2017年高中数学联赛初赛复习讲义.docx

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1、2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷考生注意：1.本试卷共两大题（14小题），全卷满分150分，考试时间：120分钟. 2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答. 3.解题书写不要超出装订线. 4.不能使用计算器.一、填空题（本题共10小题，每小题7分，共70分.要求直接将答案写在横线上.）1.若关于x的不等式的解集为，则ab的值是_.2.从中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率是_.3.已知函数是周期为4的奇函数，且当时,则的值是_.4.已知直线l是函数图像的切线，当l的斜率最小时，l的方程是_.5.在平面直角坐标系xOy中，如果直线l将圆平分，且不经过第四象限，那么l的斜率的取值范围

2、是_.6.已知等边的边长为2，若，则的面积是_.7.已知正方体的棱长为1，点P在棱BC上，点Q为棱CC1的中点，若过点的平面截该正方体所得的截面为五边形，则BP的取值范围为_.8.已知数列的奇数项依次构成公差为d1的等差数列， 偶数项依次构成公差为d2的等差数列，且对任意，都有，若，且数列的前10项和=75，则_.9.已知正实数满足，则_.10.设M表示满足下列条件的正整数n的和：n整除20162，且2016整除n，那么M的所有不同正因子的个数为_.二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11.已知，求12.如图，点P在的边AB上，且，过点P的直线MN与的外接圆交于点且点A是弧MN

3、的中点，求证：(1) ；(2) 13.在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为F，过点F的直线l与双曲线C交于两点，若，求双曲线C的离心率.14.已知凸九边形的任意5个内角的正弦与其余4个内角的余弦之和都等于某个常数值.若九个内角中有一个角等于，试求常数的值2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分要求直接将答案写在横线上）1已知点P(4，1)在函数f(x)loga(xb) (b0)的图象上，则ab的最大值是 解：由题意知，loga(4b)1，即ab4，且a0，a1，b0，从而ab4，当ab2时，ab的最大值是42函数f(x)sin(

4、2x)在x 处的值是 解：2x2，所以f()sin3若不等式|ax1|3的解集为x |2x1，则实数a的值是 解：设函数f(x)|ax1|，则f(2) f(1)3，故a24第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 解：有两类情况：同为白球的概率是，同为红球的概率是，所求的概率是5在平面直角坐标系xOy中，设焦距为2c的椭圆1(ab0)与椭圆1有相同的离心率e，则e的值是 解：若cb，则，得ab，矛盾，因此cb，且有，解得eABCDE（第6题图）A1B1C1D16如图，在长方体ABCDA1B1C1

5、D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点记四棱锥EABCD的体积为V1，长方体ABCDA1B1C1D1的体积为V2，则的值是 （第6题图）ABCDEOA1B1C1D1解：记四棱锥B1ABCD的体积为V如图，DEDB1，从而V1V又VV2，所以7若实数集合A31x，65y与B5xy，403仅有一个公共元素，则集合AB中所有元素之积的值是 解：因为31x65y5xy4032015xy若xy0，则集合A和集合B中有一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意所以xy0，从而AB中所有元素之积的值为08设向量a(cos，sin)，b(sin，cos)向量x1，x2，x7中有3个为a，其余为b；向量y1

6、，y2，y7中有2个为a，其余为b则xiyi的可能取值中最小的为 解：因为aabb1，ab0，所以xiyi的最小值为2（第9题图）1220159在33的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等如图，三个方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其余6个数之和为 解：如图，设幻方正中间的数为x，则由题意知a2012，从而对角线上三个数的和为x2011因此bx2014，c4026，d2013，ex2014（第9题图）ecdab122015x由bexx2011，解得x这9个数的和为3(2011)，所以幻方中其余6个数之和为201810在平面直角坐标系xOy中，设D是满足x0，y0，x

7、yxy19的点(x，y)形成的区域（其中x是不超过x的最大整数）则区域D中整点的个数为 解：区域D中整点的个数为1231055二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11在等比数列an中，a22，q是公比记Sn为an的前n项和，Tn为数列a的前n项和若S2n2Tn，求q的值解：若q1，则ana22，a4，则S2n4n，Tn4n，S2n2Tn若q1，则an2(1)n，a4，则S2n0，Tn4n，S2n2Tn 5分若q1，则an2qn2，a4q2n4，从而S2n，Tn 15分由S2n2Tn，则1，q2q40，解得q综上，q的值为和 20分ABCDP(第12题图)E12如图，ABC中，A

8、BAC，点D、E分别在边AB、AC上，且BDCEBAC的外角平分线与ADE的外接圆交于A、P两点求证：A、P、B、C四点共圆ABCDP(第12题图)EF证明：如图，连结PD，PE，PC因为四边形APDE是圆内接四边形,所以PADPED，PAFPDE又因为AP是BAC的外角平分线，所以PADPAF，从而PEDPDE，故PDPE 10分又ADPAEP，所以BDPCEP又因为BDCE，所以BDPCEP，从而PBDPCE，即PBAPCA，所以A、P、B、C四点共圆 10分xOyO1l(第13题图)O2P13如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O1、圆O2都与直线l：ykx及x轴正半轴相切若两圆的半径之积

9、为2，两圆的一个交点为P(2，2)，求直线l的方程解：由题意，圆心O1，O2都在x轴与直线l的角平分线上若直线l的斜率ktan，设ttan，则k圆心O1，O2在直线ytx上，可设O1(m，mt)，O2(n，nt)交点P(2，2)在第一象限，m，n，t0 4分所以O1：(xm)2+(ymt)2=(mt)2，O1：(xn)2+(ynt)2=(nt)2，所以即 8分所以 m，n是方程X2(4+4t)X8=0的两根，mn8由半径的积(mt)(nt)2，得t2，故t 16分所以 k，直线l：yx 20分14将正十一边形的k个顶点染红色，其余顶点染蓝色（1）当k2时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；（2

10、）k取何值时，三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少？并说明理由解：（1）设正十一边形的顶点A1，A2，A3，A11，则易知其中任意三点为顶点的三角形都不是正三角形以这些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算：以Ai(i1，2，3，11)为顶角顶点的等腰三角形有5个，这些三角形均不是等边三角形，即当ji时，以Aj为顶角顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形故所有的等腰三角形共有51155个 5分当k2时，设其中Am，An染成红色，其余染成蓝色以Am为顶角顶点的等腰三角形有5个，以Am为底角顶点的等腰三角形有10个；同时以Am，An为顶点的等腰三角形有3个，这些等腰三角形的顶点不同色，且

11、共有(510)2327个注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色，故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有552728个 10分（2）若11个顶点中k个染红色，其余11k个染蓝色则这些顶点间连线段(边或对角线)中，两端点染红色的有条，两端点染蓝色的有条，两端点染一红一蓝的有k(11k)条并且每条连线段必属于且仅属于3个等腰三角形把等腰三角形分4类：设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有x1个，三个顶点均为蓝色的等腰三角形有x2个，两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有x3个，两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有x4个，则按顶点颜色计算连线段，3x1x33， 3x2x43， 2x32x43

12、k(11k)， 由得 3(x1x2)x3x4k(k1)(11k)(10k)，用代入得 x1x2 k(k1)(11k)(10k)k(11k)(3k233k110)当k5或6时，(x1x2)min(546556)10 即顶点同色的等腰三角形最少有10个，此时k5或6 20分2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题（4月20日8:00至10:00）一填空题（本大题共10小题，每小题7分，共70分）1若，则函数的最小值是 2已知函数若，则的值是 3已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为，为前项和，且满足，则数列的通项 4若函数是奇函数，则实数的值是 5已知函数若关于的方程的实根之和为，则的值是 6

13、设、都是锐角，且，则等于 7四面体中，异面直线和之间的距离为4，夹角为，则四面体的体积为 8若满足，的恰有一解，则实数的取值范围是 9设集合，是的两个非空子集，且中的最大数小于中的最小数，则这样的集合对的个数是 10如果正整数可以表示为 (，)，那么称为“好数”问1，2，3，2014中“好数”的个数为 二解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11已知，为正实数，求的值12已知，分别是双曲线的左右焦点，点的坐标为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点若，求双曲线C的离心率13如图，已知是锐角三角形，以为直径的圆交边于点，交边上的高于点以为直径的半圆交的延长

14、线于点求证：14（1）正六边形被条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成个三角形将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？（2）凸边形被条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成个三角形将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明你的结论2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题（5月5日8:00至10:00）一填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分1设方程的根大于，且小于，则实数的范围是

15、 2从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为 3设实数，满足，则的最大值与最小值之差是 4若存在正实数，满足（是虚数单位，），则的最小值是 5若三角形的三边，成等差数列，则的取值范围是 6若数列满足，（），则满足条件的的所有可能值之积是 7已知，则 8设，且满足，则的最大值为 9已知正四面体的棱长为9，点是面上的一个动点，满足到面、的距离成等差数列，则到面距离的最大值是 10将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是 二解答题：本大题共4小题，每小题

16、20分，共80分11设为实数，椭圆与椭圆交于点和，的左顶点为，的右顶点为（如图），若四边形是正方形，求实数12如图，梯形中，、关于对角线对称的点分别是、，、关于对角线对称的点分别是、证明：四边形是梯形13设实数，满足证明：14正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点2012年全国高中数学联赛江苏赛区试题解析1. 当时,函数的最大值为_解：设，根据的单调性结合绝对值的性质知的最大值为18评析：本题主要考查导数与绝对值的有关知识，较基础2. 在ABC中 ,已知,则AC=_解：，评析：本题主要考查向量的有关概念与运算，有一定的灵活性3.从集合3,4,5,

17、6,7,8中随机选取 3个不同的数,这 3个数可以构成等差数列的概率是_解：考虑取出三数从小到大成数列当=1时，有3，4，5；4，5，6；5，6，7；6，7，8四组当=2时，有3，5，7；4，6，8两组，所以有6种情形，从6个元素中随机选取 3个不同的元素共有种情形，故概率为评析：本题以集合与数列为载体，考查排列组合与概率的知识，本题数据较小，可用枚举法处理，体现文理科学生的公平性4. 已知,方程的一个实数根是,则的值为_解：即=评析：本题全面考查复数的概念与运算和方程等知识5. 在平面直角坐标系 XOY 中,双曲线的右焦点为F,一条过原点O且倾斜角为锐角的直线与双曲线C交于A,B两点。若FA

18、B的面识为，则直线的斜率为_xyOBAF解：由题可设斜率为（0）,将代入C： 得，评析：本题是解析几何试题、考查双曲线的方程、几何性质、直线方程、三角形面积等知识 检测学生数学的基本素养和运算能力6. 设为正实数, ，则的取值范围是_解：两边取对数得 ，即的取值范围是 评析：本题考查指对数运算等知识，较为基础，考查学生的灵活性7. 在四面体ABCD中,AB= AC=AD=DB=5,BC=3,CD =4,该四面体的体积为_解：由平面几何知识知底面三角形为直角三角形，且A点在底面上的射影为三角形的外心所以即为BD中点，故评析：本题是立体几何试题，主要考查空间几何体的性质与几何体的体积的计算8.已知

19、等差数列和等比数列满足: ，则_解：设公差为d，公比为q，则（4）-（3）得=20 ， （3）-（2）得 （5）（1）+（4）得，（2）+（3）得两式相减得，（6）得，评析：本题以等差、等比数列为载体，全面考查学生解方程组和代数推理等运算能力，本题运算要求较高9. 将27，37，47，48，55，71，75这 7个数排成一列,使任意连续4个数的和为3的倍数则这样的排法有_ 种。解：将7个数分成3类：（1）3的数为 27，48，75，有3个（2）3-1的数为47，71，有2个（3）3+1的数为37，55，有2个要使排列的一列数中任意的四个数之和为3的倍数，则7个位置上第1位和第5位应排同一类数，

20、第2和第6位排同一类数，第3和第7位排同一类数，且第4位必排第（1）类共有3种排法，三类数排到三类位置共有种，每一类位置各有种排法，故共有种排法。评析：本题是一个排列组合与数论结合的问题，重点考查学生利用数论中剩余类思想和分类讨论的能力，要求较高，有较好的区分度10、三角形的周长为31，三边为均为整数且 ，则满足条件的三元数组的个数为_解： 的取值为11，12，13，14，15当=11时，的取值为（9，11）（10，10） 有2组=12时，的取值为（7，12）（8，11）（9，10）有3组=13时，的取值为（5，13）（6，12）（7，11）（8，10）（9，9）有5组=14时，的取值为 (3

21、，14）（4，13）（5，12）（6，11）（7，10）（8，9）有6组=15时，的取值为（1，15）（2，14）（3，13）-（8，8）有8组故满足要求的三元的个数为24评析：本题是以三角形为背景的整数问题，考查学生分类讨论和分析问题和解决问题的能力，对学生背景公平但又有较高的区分度，是一个相等精彩的好题11、 .在ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,证明：(1) ； 证法一：（余弦定理法）（1）（2），所以等式成立证法二：（正弦定理法）（1）在ABC中由正弦定理得 ，所以（2）由（1）知， 同理有 所以即 所以 评析：本题是三角中解三角形题，主要考查正弦、余弦定理的应用和有关三

22、角变换等知识，较为基础以检测学生的基本运算能力12、已知为实数, ，函数，若 (1)求实数； (2)求函数的单调区间； (3)若实数满足,求证：解：（1）（2）设，在上递增，时，在上递减当，在上递增，即的减区间为，增区间为（3） ，1，所以命题成立评析：本题是一个函数与不等式综合题，主要考查函数的有关性质，绝对值、导数、不等式等知识，属中档题，作为预赛题有较好的选拔功效13. 如图,半径为1的圆O 上有一定点M, A为圆O 上动点，在射线OM上有一动点B,AB=1,OB1. 线段AB交圆O于另一点C,D为线段OB的中点，求线段CD长的取值范围证明： 如图，设，于是，D为OB的中点，又,得， ，

23、于是 评析：本题是一个以平几为背景的题目，它可用三角函数知识转化为二次函数问题来加以处理，考查学生灵活运用数学知识的能力14. 设是正整数，是方程的两根，证明：存在边长是正整数且面积为的直角三角形。证明： （命题组提供） 由题设可知，由于是正整数，则中任两个数之和大于第三个数，且为正整数，又故存在边长为（均为正整数）的直角三角形（为斜边）符合题设要求.评析：本题为全套试题的压轴题，是一个开放性问题，能很好地考查学生的思维能力和创新能力，难度较高，试题构思巧妙朴实优美。本题的关键是如何构造一个满足题设要求的三边长为正整数，面积为的三角形上述命题组给出的证明方法，结论是正确的但很不自然，让人感到迷

24、茫，正如美籍匈牙利数学家波利亚所言：“就像从一顶帽子里抓出一只兔子的戏法一样令人感到意外，根本不具有什么启发性。聪明的学生和聪明的读者不会满足于只验证推理的各个步骤都是正确的，他们也想知道各个不同步骤的动机和目标。如果最为引人注目的步骤其动机和目的仍不可理解的话，那么他们在推理和创新方面学不到任何东西。”我们研究一个问题不仅希望得到一个解答，也希望这个解答是优美的、富有启发性的，更渴望知道这个解答是如何想到的，因此揭示出问题解决的心理过程和分析探索过程，对培养学生的解题能力进而提高他们的思维能力和创新能力显得尤为重要。下面给出笔者的探索尝试过程，供参考设以正整数为直角边的三角形满足要求，则，为

25、完全平方数由题设根据韦达定理可知，正整数满足 ， 又 ，可尝试猜想 ，则 得，又，利用韦达定理和一元二次方程求根公式结合对称性不妨设 ，因为是方程的两根，同样不妨设，所以或所以得 或 ，此时 这样可得到满足要求的三角形两条直角边为，斜边为。2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分要求直接将答案写在横线上）1 复数 2 已知直线是圆的一条对称轴，则实数 .3 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是 （结果用最简分数表示）4 已知，则 5 已知向量a，b满足，则以向量与表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积

26、为 6 设数列an的前n项和为Sn若Sn是首项及公比都为2的等比数列，则数列an3的前n项和等于 7 设函数若f(a)f(b)，且0ab，则ab的取值范围是 8 设f(m)为数列an中小于m的项的个数，其中，则 9 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是 10已知m是正整数，且方程有整数解，则m所有可能的值是 二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11已知圆与抛物线有公共点，求实数h的取值范围12设若时，且在区间上的最大值为1，求的最大值和最小值13如图，P是内一点（1）若P是的内心，证明：；（2）若且，证明：P是的内心ABCP1

27、4已知是实数，且存在正整数n0，使得为正有理数证明：存在无穷多个正整数n，使得为有理数2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分要求直接将答案写在横线上）1 复数 答案：8基础题，送分题，高考难度2 已知直线是圆的一条对称轴，则实数 .答案：基础题，送分题，高考难度3 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是 （结果用最简分数表示）答案：基础题，送分题，高考难度，但需要认真审题，否则很容易有错4 已知，则 答案：计算量挺大的，要注重计算的方法，对于打酱油的同学有一定难度5 已知向量a，b满足，则

28、以向量与表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为 答案：可以用特殊法，把向量放在直角坐标系中，很容易可以得出答案6 设数列an的前n项和为Sn若Sn是首项及公比都为2的等比数列，则数列an3的前n项和等于 答案：高考难度级别，基础好的同学可以做出来7 设函数若f(a)f(b)，且0ab，则ab的取值范围是 答案：(0,2)这是一道高考题8 设f(m)为数列an中小于m的项的个数，其中，则 答案：6这也是一道高考题9 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是 答案：4还是一道高考题10已知m是正整数，且方程有整数解，则m所有可能的值是 答案：3,1

29、4,30这是2011年苏州市一模的第十四题。二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11已知圆与抛物线有公共点，求实数h的取值范围解：设公共点（cos，sin），代入抛物线方程，得因为，所以简单，很简单12设若时，且在区间上的最大值为1，求的最大值和最小值解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且在区间上的最大值只能在闭端点取得，故有，从而且若有实根，则，在区间有即消去c，解出即，这时，且若无实根，则，将代入解得综上所以，单调递减故注重分类讨论13如图，P是内一点（1）若P是的内心，证明：；（2）若且，证明：P是的内心ABCP证明：（1）这其实是平面几何一个很重要的结论，在一般的平面几何的参考书上都有14已知是实数，且存在正整数n0，使得为正有理数证明：存在无穷多个正整数n，使得为有理数证明：设，其中p，q为互质的正整数，则设k为任意的正整数，构造，则非常非常常规的一道数论题，不需要数论的预备知识总结：这张试卷大约90分以上应该可以出线了。一般说来，出线并不算太难，只要平时基础好，不粗心，填空题应该可以做满分（笔者错了一个），对于没有进行过竞赛辅导的同学来说，大题的1、2两题还是可以做做的。尤其提醒一点，大题目不管会不会做，一定要写写，写写总是有份的，而且分很多。比如最后一题，只要把他设出来，就有8分。