2018年上海市青浦区高考数学一模试卷.docx

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1、2018年上海市青浦区高考数学一模试卷一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1（4分）设全集U=Z，集合M=1，2，P=2，1，0，1，2，则PCUM 2（4分）已知复数（i为虚数单位），则= 3（4分）不等式2（）3（x1）的解集为 4（4分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最大值为 5（4分）在平面直角坐标系xOy中，以直线y=2x为渐近线，且经过椭圆x2+=1右顶点的双曲线的方程是 6（4分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为 7（5

2、分）设等差数列an的公差d不为0，a1=9d若ak是a1与a2k的等比中项，则k= 8（5分）已知（1+2x）6展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则= 9（5分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为 10（5分）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 11（5分）已知Sn为数列an的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向量，满足=（an1+an+1）+（1an），n2，nN*，若A，B，C在同一直线上，则S2018= 12（5分）已知函数f（x）=m（xm）（x+m+2）和g（x）=3x3同时满足以下两个条件：对任意实数x都有f（x

3、）0或g（x）0；总存在x0（，2），使f（x0）g（x0）0成立则m的取值范围是 二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13（5分）“ab”是“（）2ab”成立的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件14（5分）已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）f（x）f（x2），则|x2x1|的最小值是（）AB2C2D415（5分）已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，nN*，设n为和的夹角，则（）An随着n的增大而增大Bn随

4、着n的增大而减小C随着n的增大，n先增大后减小D随着n的增大，n先减小后增大16（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又点A坐标为（3，1），M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（）A0个B2个C4个D无数个三解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17（14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中点（1）求三棱锥PABC的体积；（2）求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函

5、数值表示）18（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点19（14分）如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C值班室A在值班室B的正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向2千米处（1）保安甲沿CA从值班室出发行至点P处，此时PC=1，求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/

6、小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？20（16分）设集合A，B均为实数集R的子集，记A+B=a+b|aA，bB（1）已知A=0，1，2，B=1，3，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当nN*且n2时，曲线+=的焦距为an，如果A=a1，a2，an，B=，设A+B中的所有元素之和为Sn，求Sn的值；（3）在（2）的条件下，对于满足m+n=3k，且mn的任意正整数m，n，k，不等式Sm+SnSk0恒成立，求实数的最大值21（18分）对于定义在0，+）上的函数f（x），若函数y=f（x）（ax+b）满足：在区间0，+）上单

7、调递减，存在常数p，使其值域为（0，p，则称函数g（x）=ax+b是函数f（x）的“逼进函数”（1）判断函数g（x）=2x+5是不是函数f（x）=，x0，+）的“逼进函数”；（2）求证：函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x0，+）的“逼进函数”（3）若g（x）=ax是函数f（x）=x+，x0，+）的“逼进函数”，求a的值2018年上海市青浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1（4分）设全集U=Z，集合M=1，2，P=2，1，0，

8、1，2，则PCUM2，1，0【解答】解：CUM=2，1，0，故PCUM=2，1，0故答案为：2，1，02（4分）已知复数（i为虚数单位），则=【解答】解：复数=，=，=，故答案为 3（4分）不等式2（）3（x1）的解集为（，2）（3，+）【解答】解：不等式2（）3（x1）化为2233x，即x24x333x，x2x60，解得x2或x3，原不等式的解集为（，2）（3，+）故答案为：（，2）（3，+）4（4分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最大值为【解答】解：函数f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，当2x+=2k+，kZ，即x=k+，k

9、Z，函数取得最大值1+=，故答案为：5（4分）在平面直角坐标系xOy中，以直线y=2x为渐近线，且经过椭圆x2+=1右顶点的双曲线的方程是x2=1【解答】解：设以直线y=2x为渐近线的双曲线的方程为x2=（0），双曲线椭圆x2+=1右顶点（1，0），1=，双曲线方程为：x2=1故答案为：x2=16（4分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2r=2，r=1圆锥的高h=圆锥的体积V=故答案为：7（5分）设等差数列an的公差d不为0，a1=9d若ak是a1与a2k的等比中项，则k=4【解答】解：因为ak是a1与a2k的等比中项，则ak2=a

10、1a2k，9d+（k1）d2=9d9d+（2k1）d，又d0，则k22k8=0，k=4或k=2（舍去）故答案为：48（5分）已知（1+2x）6展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则=12【解答】解：由题意可得a=20，再根据，解得，即r，r=4，此时b=24=240；=12故答案为：129（5分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为【解答】解：同时掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数n=66=36，两个点数之积小于4包含的基本事件（a，b）有：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），共5个，两个点数之积不小于4的概率为p=1=故答案为：10（

11、5分）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是1，+）【解答】解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增对数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由对数函数过点（1，0），故需左移至少1个单位，故a1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点0，解得a0或a，综合可得：a1，故答案为：1，+）11（5分）已知Sn为数列an的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向量，满足=（an1+an+1）+（1an），n2，nN*，若A，B，C在同一直线上，则S2018=2【解答】解

12、：若A，B，C三点共线，则=x+（1x），根据条件“平面内三个不共线的向量，满足=（an1+an+1）+（1an），n2，nN*，A，B，C在同一直线上，”得出an1+an+1+1an=1，an1+an+1=an，Sn为数列an的前n项和，a1=a2=1，数列an为：1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，即数列an是以6为周期的周期数列，前6项为1，1，0，1，1，0，2018=6336+2，S2018=336（1+1+011+0）+1+1=2故答案为：212（5分）已知函数f（x）=m（xm）（x+m+2）和g（x）=3x3同时满足以下两个条件：对任意实数x都有f（x）0或g（x）

13、0；总存在x0（，2），使f（x0）g（x0）0成立则m的取值范围是（3，2）【解答】解：对于g（x）=3x3，当x1时，g（x）0，又xR，f（x）0或g（x）0f（x）=m（xm）（x+m+2）0在x1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面，即，可得3m0又x（，2），f（x）g（x）0此时g（x）=3x30恒成立f（x）=m（xm）（x+m+2）0在x（，2）有成立的可能，则只要2比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当1m0时，较小的根为m2，m22不成立，（ii）当m=1时，两个根同为13，不成立，（iii）当3m1时，较小的根为m，即m

14、2成立综上可得成立时3m2故答案为：（3，2）二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13（5分）“ab”是“（）2ab”成立的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【解答】解：由（）2ab得ab，即a2+2ab+b24ab，则a22ab+b20，即（ab）20，则ab，则“ab”是“（）2ab”成立的充分不必要条件，故选：A14（5分）已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）f（x）f（x2），则|x2x1|的最小值是（）

15、AB2C2D4【解答】解：对于函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）f（x）f（x2），则|x2x1|的最小值为函数f（x）的半个周期，即=2，故选：C15（5分）已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，nN*，设n为和的夹角，则（）An随着n的增大而增大Bn随着n的增大而减小C随着n的增大，n先增大后减小D随着n的增大，n先减小后增大【解答】解：分别以 和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则=（1，0），=（0，1），设=（xn，yn），nN*，xn=n，yn=2n+1，nN*，=（n，2n+1），nN*，n为和的夹角，tann=2+y=tann为减函数，n随着n的增

16、大而减小故选：B16（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又点A坐标为（3，1），M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（）A0个B2个C4个D无数个【解答】解：如图所示，任取圆C2上一点Q，以AQ为直径画圆，交圆C1与M、N两点，则四边形AMQN能构成矩形，由作图知，四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个故选：D三解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17（14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=

17、2AB=2，E是PB的中点（1）求三棱锥PABC的体积；（2）求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示）【解答】解：（1）PA平面ABCD，底面ABCD是矩形，高PA=2，BC=AD=2，AB=1，SABC=1故VPABC=（2）BCAD，ECB或其补角为异面直线EC和AD所成的角，又PA平面ABCD，PABC，又BCAB，BC平面PAB，BCPB，于是在RtCEB中，BC=2，BE=PB=，tan=，异面直线EC和AD所成的角是arctan18（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、

18、ON交于点A，B，其中O为原点（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点【解答】解：（1）y2=2px过点P（1，1），1=2p，解得p=，y2=x，焦点坐标为（，0），准线为x=，（2）证明：设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），直线OP为y=x，直线ON为：y=x，由题意知A（x1，x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k1）x+=0，x1+x2=，x1x2=y1+=kx1+=2kx1+=2kx1+=2kx1+（1k）2x1=2x1，A为线段BM的中点19（14分）如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C值班室A在

19、值班室B的正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向2千米处（1）保安甲沿CA从值班室出发行至点P处，此时PC=1，求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？【解答】解：（1）在RtABC中，AB=2，BC=2，所以C=30，在PBC中PC=1，BC=2，由余弦定理可得BP2=BC2+PC22BCPCcos30=（2）2+1221=7，即BP=；（2）在RtABC中，B

20、A=2，BC=2，AC=4，设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0t4，设甲在线段CA上的位置为点M，则AM=4t，当0t1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t，如图所示，在AMQ中，由余弦定理得MQ2=（4t）2+（2t）222t（4t）cos60=7t216t+79，解得t或t，所以0t；当1t4时，乙在值班室B处，在ABM中，由余弦定理得MB2=（4t）2+422t（4t）cos60=t26t+129，解得t3或t3+，又1t4，不合题意舍去 综上所述0t时，甲乙间的距离大于3千米，所以两人不能通话的时间为小时20（16分）设集合A，B均为实数集R的子集，记A+B=a+b|a

21、A，bB（1）已知A=0，1，2，B=1，3，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当nN*且n2时，曲线+=的焦距为an，如果A=a1，a2，an，B=，设A+B中的所有元素之和为Sn，求Sn的值；（3）在（2）的条件下，对于满足m+n=3k，且mn的任意正整数m，n，k，不等式Sm+SnSk0恒成立，求实数的最大值【解答】解：（1）A+B=a+b|aA，bB；当A=0，1，2，B=1，3时，A+B=1，0，1，3，4，5；（2）曲线+=，即=，在n2时表示双曲线，故an=2=n，a1+a2+a3+an=B=，A+B中的所有元素之和为Sn=3（a1+a2+a3+an）+n（）=3+n（）=n

22、2，（3）Sm+SnSk0恒成立=恒成立，m+n=3k，且mn，=，故实数的最大值为21（18分）对于定义在0，+）上的函数f（x），若函数y=f（x）（ax+b）满足：在区间0，+）上单调递减，存在常数p，使其值域为（0，p，则称函数g（x）=ax+b是函数f（x）的“逼进函数”（1）判断函数g（x）=2x+5是不是函数f（x）=，x0，+）的“逼进函数”；（2）求证：函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x0，+）的“逼进函数”（3）若g（x）=ax是函数f（x）=x+，x0，+）的“逼进函数”，求a的值【解答】解：（1）f（x）g（x）=（2x+5）=，可得y=f（x）g（x）在0，

23、+）递减，且x+22，0，可得存在p=，函数y的值域为（0，则函数g（x）=2x+5是函数f（x）=，x0，+）的“逼进函数”；（2）证明：f（x）g（x）=（）xx，由y=（）x，y=x在0，+）递减，则函数y=f（x）g（x）在0，+）递减，则函数y=f（x）g（x）在0，+）的最大值为1；由x=1时，y=0，x=2时，y=1=0，则函数y=f（x）g（x）在0，+）的值域为（，1，即有函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x0，+）的“逼进函数”；（3）g（x）=ax是函数f（x）=x+，x0，+）的“逼进函数”，可得y=x+ax为0，+）的减函数，可得导数y=1a+0在0，+）恒成立，可得a1，由x0时，=1，则a11，即a2；又y=x+ax在0，+）的值域为（0，1，则（a1）x，x=0时，显然成立；x0时，a1，可得a11，即a2则a=2第19页（共19页）