苏教版一元二次方程解法讲义(共8页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上 课题一元二次方程的解法 教学目标1理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2掌握直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法解方程，会应用判定方法解决有关问题；3理解解法中的降次思想，直接开方法中的分类讨论与换元思想，配方法中的转化思想，理解求根公式的推导过程，以及因式分解降次的实质.重难点透视学习重点：掌握一元二次方程的解法. 学习难点：体会解法中蕴含的数学思想.考点一元二次方程的解法知识点剖析序号 知识点预估时间 掌握情况 1直接开方法 配方法复习 30 2公式法 解一元二次方程 30 3因式分解法 解一元二次方程 30 4练

2、习小结 30教学内容一、知识要点梳理知识点一、一元二次方程的有关概念1一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程2一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.关于一元二次方程的判定1.判定下列方程是不是一元二次方程: (1)； (2

3、)思路点拨：判定一个方程是不是一元二次方程，要看它是否能整理为ax2+bx+c=0的形式，并且仅当a0时，它才是一元二次方程总结升华：虽然根据“只有一个未知数，且未知数的最高次数是2”可以对一些一元二次方程作出初步的判定，但却不十分严格，如(2)题，如果只从原方程看就会做出错误的判断举一反三：【变式1】判定下列方程是否关于x的一元二次方程：(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a； (2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1思路点拨：首先整理成一元二次方程的一般形式，再根据二次项的系数的取值来讨论、判定总结升华：对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一

4、元二次方程进行研究讨论时，必须确定对参数的限制条件如在第(2)题，对参数的限定条件是m1例如，一个关于x的方程，若整理为(m-4)x2+mx-3=0的形式，仅当m-40，即m4时，才是一元二次方程(显然，当m=4时，它只是一个一元一次方程4x-3=0)又如，当我们说：“关于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0”时，实际上就给出了条件“a-10”，也就是存在一个条件“a1”由于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”知识点二、一元二次方程的解法1直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次

5、方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据： 平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： 形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根 形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 .总之，用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.一元二次方程的一般形式、各项及各项的系数的确定一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二

6、次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数： (1)-3x2-4x+2=0； (2)思路点拨：利用等式的性质作变形总结升华：值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中不能写为举一反三：【变式1】已知关于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m的取值范围思路点拨：整理为一般形式总结升华：在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题用直接开平方

7、法解一元二次方程3.解方程3x2-24=0 总结升华：应当注意，形如=k(k0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一举一反三：【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x2=361； (2)2y2-72=0； (3)5a2-1=0； (4)-8m2+36=0总结升华：在使用直接开平方法时，x2=k(k0)是方程化归、变形的目标形如的方程，都可以变形为(k0)的形式由，所以只需0，就可以用直接开平方法求解4.解方程(x-3)2=49 总结升华：应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n0)的方

8、程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标举一反三：【变式1】解下列方程：(1)(x+5)2=225； (2)(3y-2)2=27； (3)3(b+4)2=96； (4)5(4-3n)2=320思路点拨：运用换元的思想，把方程中形如ax+b的式子看作一个整体，利用直接开平方法求解总结升华：本例的解法是直接开平方法的运用，也是换元思想的运用通过这种方法，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解应当注意，这种转化的思想是解一切高于一次的一元方

9、程的基本指导思想【变式2】解方程 (1)(3x+1)2=7； (2) 9x2-24x+16=11.思路点拨：(1)此方程显然用直接开平方法好做，(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=110，所以此方程也可用直接开平方法解.2配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程 的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 把原方程化为的形式； 将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

10、再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 若方程右边是非负数，则两边直接开平方；求出方程的解；如果右边是一个负数，则判定此方程 无实数解.用配方法解一元二次方程5.用配方法解方程x2-7x-1=0 总结升华：一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：(1)把形如ax2+bx+c=0(a0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2=n(n0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题举一反三：【变式1】用配方法解方程.(1)x2-4x-2=0； (2)3x2-4x-2=0； (3)

11、x2+6x+8=0； (4)x2-4x+6=0总结升华：(1)此例运用了配方法，把原方程化为(x+m)2=n(n0)的形式，用直接开平方法可以求出这个方程的根；(2)这种解法是解一元二次方程的最基本的方法，这种解法的关键步骤是配方；(3)配方的关键是在方程的两边都加“一次项系数一半的平方”；3公式法解一元二次方程： (1)一元二次方程求根公式： 对于一元二次方程进行配方：当时，这个式子叫做一元二次方程的求根公式注意：0是公式使用的前提条件，是公式的重要组成部分 公式法是解一元二次方程的一般方法；由公式法可知，一元二次方程最多有两个实数根(2)归纳一元二次方程根的情况： 对于一元二次方程，其中，

12、称为一元二次方程根的判别式 当时，原方程有两个不等的实数根； 当时，原方程有两个相等的实数根； 当时，原方程没有实数根.(3)用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： 把一元二次方程化为一般形式； 确定a、b、c的值； 求出的值；若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根.一元二次方程的根及根的判别式6.不解方程，判定方程根的情况(1)16x2+8x=-3 (2)9x2+6x+1=0 (3)2x2-9x+8=0 (4)x2-7x-18=0思路点拨：不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可举一反三：【变式】若关于x的一元二次方程(a-2)x2-

13、2ax+a+1=0没有实数解，求ax+30的解集(用含a的式子表示)思路点拨：要求ax+30的解集，就是求ax-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0因为一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根，即(-2a)2-4(a-2)(a+1)0就可求出a的取值范围用公式法解一元二次方程7.利用公式法求解方程5(x+1)-3x2=x(x+3) 举一反三：【变式1】利用公式法解方程.(1)2x2-8x+3=0； (2)2x2-8x=-5.4因式分解法解一元二次方程： (1)因式分解法解一元二次方程： 将一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次式分

14、别等于 0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法.(2)因式分解法算理：(A、B至少一个为0)(3)用因式分解法解一元二次方程的步骤： 将方程右边化为0； 将方程左边分解为两个一次式的积； 令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.(4)常用因式分解法： 提取公因式法，平方差公式、完全平方公式.三、规律方法指导一元二次方程有多种解法，要根据形式择优选择解法，但所有解法都是通过“降次”实现求根的：开方降次和分解降次.一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数.直接开平方法是最基本的方法.公式法和配方法是最重要的方法.公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法)，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在使用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解.配方法是推导公式的工具，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好.(三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法).课堂总结课后作业 专心-专注-专业