(完整版)平面向量与三角形四心问题.pdf

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1、平面向量基本定理与三角形四心已知O是ABC内的一点，AOBAOCBOC,的面积分别为AS，BS，CS，求证：0?OCSOBSOASCBA如图 2 延长OA与BC边相交于点D则BCCODACDBODABDCODBODACDBDSSDCBDSSSSSSSSA图 1 ODBCDCOBBCBDOCCBBSSSOBCBCSSSOCCBACOABOACODBODCOACODBOABODSSSSSSSSSSSOAOD图 2 CBASSSODOACBASSSOACBBSSSOBCBCSSSOC0?OCSOBSOASCBA推论O是ABC内的一点，且0?OCOBOAzyx，则zyxSSSAOBCOABOC:OAB

2、CDOABC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 有此定理可得三角形四心向量式O是ABC的重心1:1:1:AOBCOABOCSSS0OCOBOAO是ABC的内心cbaSSSAOBCOABOC:0?OCOBOAcbaO是ABC的外心CBASSSAOBCOABOC2sin:2sin:2sin:02sin2sin2sin?OCCOBBOAAO是ABC的垂心CBASSSAOBCOABOCtan:tan:tan:0tantantan?OCCOBB

3、OAAOCABD证明：如图O为三角形的垂心，DBCDBADCDAtan,tanADDBBA:tan:tanCOABOCSS:ADDB :BASSCOABOCtan:tan:同理得CBSSAOBCOAtan:tan:，CASSAOBBOCtan:tan:CBASSSAOBCOABOCtan:tan:tan:奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 4.2 三角形“四心”的相关向量问题一知识梳理：四心的概念介

4、绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1；(2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。与“重心”有关的向量问题1 已知G是ABC所在平面上的一点，若0GAGBGC，则G是ABC的( )A重点B外心C内心D垂心如图 . AGCAB2已 知O是 平 面 上 一 定 点 ，ABC， ，是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点P满 足()OPOAABAC，(0)，则P的轨迹一定通过ABC的( ). A重点B外心C内心D

5、垂心【解析】由题意()APABAC，当(0)，时，由于()ABAC表示BC边上的中线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过ABC的重心，如图. 3 .O是ABC所在平面内一点，动点 P满足（0，+） ） ，则动点 P的轨迹一定通过 ABC的（）A内心B重心C外心D垂心图图M PCBAO精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 解：作出如图的图形ADBC ，由于sinB=sinC=AD ，=由加法法则知， P在三角形的中线上故动点 P的轨迹

6、一定通过 ABC的重心故选： B与“垂心”有关的向量问题3 P是ABC所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则P是ABC的( ) A重点B外心C内心D垂心【解析】由PA PBPB PC， 得()0PBPAPC， 即0PB CA， 所以PBCA 同理可证PCAB，PABCP是ABC的垂心如图. PABC4已 知O是 平 面 上 一 定 点 ，ABC， ，是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点P满 足coscosABACOPOAABBACC，(0)， 则动点P的轨迹一定通过ABC的( )A重点B外心C内心D垂心【解析】由题意coscosABACAPABBACC，图图HFEMA

7、BCOP精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - B C H A 图 6 由于0coscosABACBCABBACC，即0coscosAB BCAC BCBCCBABBACC, 所以AP表示垂直于BC的向量，即P点在过点A且垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过ABC的垂心，如图. 5 若H为ABC所在平面内一点，且222222HABCHBCAHCAB则点H是ABC的( ) A重点B外心C内心D垂心证明 : 2222HAHBCABC(

8、)()HAHBBACACBBA?得()0HAHBCACBBA?即()0HCHCBA?ABHC同理,ACHB BCHA，故 H 是ABC的垂心与“内心”有关的向量问题6已 知I为ABC所 在 平 面 上 的 一 点 ， 且ABc，ACb，BCa 若0aIAbIBcIC，则I是ABC的( ) A重点B外心C内心D垂心ABCOPbacIACB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 【解析】IBIAAB，ICIAAC，则由题意得()0abc IA

9、bABcAC，ABACbABcACACABABACACABABAC，bcABACAIabcABACABAB与ACAC分别为AB和AC方向上的单位向量，AI与BAC平分线共线，即AI平分BAC同理可证：BI平分ABC，CI平分ACB从而I是ABC的内心，如图. 7 已知O是平面上一定点，ABC， ，是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOAACACABAB，(0)，则动点P的轨迹一定通过ABC的( )A重点B外心C内心D垂心【解析】由题意得ABACAPABAC，当(0)，时，AP表示BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过ABC的内心，如图. 8若O在ABC所在的平面内：=，则

10、O是ABC的（）A垂心B重心C内心D外心解：向量的模等于 1，因而向量是单位向量图图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - OCAB向量、和等都是单位向量由向量、为邻边构成的四边形是菱形，可得 AO在BAC的平分线上同理可得 OB平分 ABC ，OA平分 ACB ，O是ABC的内心故选： C与“外心”有关的向量问题8 已知O是ABC所在平面上一点，若222OAOBOC，则O是ABC的 ( )A重点B外心C内心D垂心【解析】若222OAOB

11、OC，则222OAOBOC，OAOBOC，则O是ABC的外心，如图。9已 知O是 平 面 上 的 一定 点 ，ABC， ，是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点P满 足2coscosOBOCABACOPABBACC，(0)，则动点P的轨迹一定通过图MOBCAP图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - ABC的( )。A重点B外心C内心D垂心【解析】 由于2OBOC过BC的中点， 当(0)，时，coscosABACABBAC

12、C表示垂直于BC的向量（注意：理由见二、4 条解释。） ，所以P在BC垂直平分线上，动点P的轨迹一定通过ABC的外心，如图四心的相互关系1.三角形外心与垂心的向量关系及应用设ABC的外心为 O ，则点 H 为ABC的垂心的充要条件是OHOAOBOC 。2.三角形外心与重心的向量关系及应用设ABC的外心为 O ，则点 G 为ABC的重心的充要条件是1()3OGOAOBOC3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用设ABC的外心、重心、垂心分别为O 、G 、 H ，则 O 、 G 、 H 三点共线（ O 、 G 、 H三点连线称为欧拉线） ，且12OGGH 。相关题目10设 ABC外心为 O，重

13、心为 G取点 H，使求证： （1）H是ABC的垂心；（2）O，G，H 三点共线，且 OG：GH=1：2【解答】 证明： （1） ABC外心为 O，又则=?=0精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 即 AHBC同理 BHAC，CH AB即 H 是ABC的垂心；（2）G为ABC的重心=3=3+=即=3即 O，G，H 三点共线，且 OH=3OG即 O，G，H 三点共线，且 OG ：GH=1：2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -