全国自考 线性代数历年考试真题与答案.docx

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1、全国高等教育全国高等教育 线性代数经管类线性代数经管类 自学考试自学考试历年历年20212021 年年 0707 月月20212021 年年 0404 月考试真题及答案月考试真题及答案全国全国 2021 年年 7 月自考月自考线性代数经管类试卷线性代数经管类试卷试卷说明：在本卷中，试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵表示矩阵 A 的转置矩阵；的转置矩阵；A*表示表示 A 的伴随矩阵的伴随矩阵;R(A)表示矩阵表示矩阵 A的秩；的秩；|A|表示表示 A 的行列式；的行列式；E 表示单位矩阵。表示单位矩阵。一、单项选择题一、单项选择题(本大题共本大题共 10 小题，每题小题，每题 2 分，共分，共 2

2、0 分分)在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。括号内。错选、多项选择或未选均无分。1.设 A,B,C 为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立的是()B.|AB|=|A|B|A.A+BT=AT+BTD.(AB)T=BTATC.A(B+C)=BA+CA2.=3，那么=()B.-12A.-24D.12C.-63.假设矩阵 A 可逆，那么以下等式成立的是()0AB.A.A=113)3(AAD.2112)()(AAC.A=，B=，C=，那么以下矩阵运算的结果为 32

3、 矩阵的是()B.ACTBTA.ABCD.CTBTATC.CBA3线性无关，那么()2，1，4，其中 3，2，1，A：4线性无关 3，2，1，B.3线性无关 1，A.4线性相关 3，2，D.4线性相关 3，2，1，C.6.假设四阶方阵的秩为 3，那么()A.AAx=0 有非零解Ax=0Ax=b 必有解A 为 mn 矩阵，那么 n 元齐次线性方程 Ax=0 存在非零解的充要条件是()B.A 的列向量组线性相关A.A 的行向量组线性相关D.A 的列向量组线性无关C.A 的行向量组线性无关()EMBED Equation.321B.A.D.C.()正定的充要条件是为实对称阵)(AAxxTfB.|A|

4、0A.A 可逆D.A 的特征值全部大于 0C.A 的特征值之和大于 010.设矩阵 A=正定，那么()0B.kA.k01D.kC.k1二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 10 小题，每题小题，每题 2 分，共分，共 20 分分)请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.设 A=1，3，-1，B=2，1，那么 ATB=_。_。13.设 A=，那么 A*=_。14.A2-2A-8E=0，那么A+E-1=_。_。的秩为)2,1,1,0(),0,1,0,1(),2,0,1,1(321 是方程组 ,那么，而非齐次线性方程且 Ax=b 有解

5、16.设齐次线性方程 Ax=0 有解_的解。17.方程组的根底解系为_。EMBED Equation.3_,t则正交。)1,2,1,(),1,2,3(tt 18.向量19.假设矩阵 A=及矩阵 B=相似，那么 x=_。对应的对称矩阵是_。3121232221321332),(xxxxxxxxxxf20.二次型三、计算题本大题共三、计算题本大题共 6 小题，每题小题，每题 9 分，共分，共 54 分分21.求行列式 D=的值。,矩阵 X 满足方程 AX+BX=D-100121,012110,1213,0132DCB22.A=C，求 X。)3,1,0,2(1 23.设向量组为)1,1,2,3(2)

6、9,5,6,5(3)5,3,4,4(4 求向量组的秩，并给出一个极大线性无关组。齐次方程组取何值时,24.求有非零解？并在有非零解时求出方程组的通解。25.设矩阵 A=，求矩阵 A 的全部特征值和特征向量。的标准形，并写出相应的线3231232221321424),(xxxxxxxxxxf26.用配方法求二次型性变换。四、证明题本大题共四、证明题本大题共 1 小题，小题，6 分分,3232121121 nn而线性无关27.证明：假设向量组。为奇数线性无关的充要条件是nn ,21n，那么向量组+1nn 全国全国 2021 年年 10 月自学考试月自学考试线性代数线性代数(经管类经管类)试题试题是

7、单位矩E的伴随矩阵，A表示矩阵*A的转置矩阵，A表示矩阵TA说明：在本卷中，的秩.A表示矩阵)(Ar的行列式，A表示方阵A阵，一、单项选择题本大题共 10 小题，每题 2 分，共 20 分在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。=21A1行列式第二行第一列元素的代数余子式B-1A-2D2C1A2=3，那么A3为 2 阶矩阵，假设A2设B121AD234C1C，那么EABC 满足C、B、A阶矩阵n3设BABABA11ABD11BAC1*)(A，那么1A42 阶矩阵的行列式BADC的秩不为零的充分必要条件是)2(,21ss 5向量

8、组中至少有一个非零向量s ,21B中没有线性相关的局部组s ,21A全是零向量s ,21D全是非零向量s ,21C有非零解的充分必要条件是0Ax元齐次线性方程组n矩阵，那么nm为A6设mr)(ABnr)(AAmr)(ADnr)(AC的特征值为-1，0，1，那么以下矩阵中可逆的是A73 阶矩阵AE BAAAE 2DAE C8以下矩阵中不是初等矩阵的为BADC的秩为4332412143212222),(xxxxxxxxxxxxf94 元二次型B2A1D4C3的标准形为AxxT10设矩阵，那么二次型232221zzzB232221zzzA232221zzzD232221zzzC二、填空题本大题共 1

9、0 小题，每题 2 分，共 20 分请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11行列式，那么_.=_.2C，那么BACT，且)1,1,2(),1,2,1(BA12矩阵13设矩阵，那么_._.X，其中，那么BXA 14矩阵方程_.a线性相关，那么数TTTa),2,3(,)2,2,2(,)3,2,1(321 15向量组的秩21,，那么向量组22211,，且TT)0,1,0(,)0,0,1(21 16设向量组为_.的取值为_.a173 元非齐次线性方程组的增广矩阵为，假设该方程组无解，那么的特征值分别为 1，2，3，那么|E+A|=_.A183 阶矩阵_.k正交，那么数Tk),1,1(及Tk

10、)2,3(19向量的最大取值范围是a正定，那么数232221321)3()1(),(xaxxaxxxf203 元二次型_.三、计算题(本大题共 6 小题，每题 9 分，共 54 分)的值.1111111111111111xxxxD21计算行列式|.B，求|EBBA满足B为 2 阶单位矩阵，矩阵E22设矩阵，23线性方程组满足什么条件时，方程组有解321,aaa(1)讨论常数(2)当方程组有无穷多解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的根底解系表示)，TTTT)3,6,2,0(,)1,3,0,1(,)3,1,1,2(,)0,1,4,1(4321 24设向量组求该向量组的秩及一个极大无关组，

11、并将其余向量用此极大无关组线性表示,511 A，使得TT)1,1(,)2,1(21 25设矩阵，存在.试求可逆矩阵2211,5 BB使得,)1,0(,)1,3(21TT ；存在22 A.BAPP1，使得P，将此二次型化为Pyx，求一正交变换323121321222),(xxxxxxxxxf26二次型标准形四、证明题(此题 6 分)0，那么向1k证明：假设332211 kkk线性无关，且321,27设向量组也线性无关32,量组全国全国 2021 年年 4 月自学考试月自学考试线性代数经管类试题线性代数经管类试题一、单项选择题(本大题共 20 小题，每题 1 分，共 20 分)在每题列出的四个备选

12、项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。1.2 阶行列式=m,=n,那么=()B.n-mA.m-nD.-(m+n)C.m+n2.设 A,B,C 均为 n 阶方阵，AB=BA，AC=CA，那么 ABC=B.CABA.ACBD.BCAC.CBA3.设 A 为 3 阶方阵，B 为 4 阶方阵,且行列式|A|=1，|B|=-2，那么行列式|B|A|之值为()B.-2A.-8D.8C.24.A=，B=，P=，Q=，那么 B=B.APA.PAD.AQC.QA5.A 是一个 34 矩阵，以下命题中正确的选项是A.假设矩阵 A 中所有 3 阶子式都为 0，那么秩

13、A=2B.假设 A 中存在 2 阶子式不为 0，那么秩A=2C.假设秩A=2，那么 A 中所有 3 阶子式都为 0D.假设秩A=2，那么 A 中所有 2 阶子式都不为 06.以下命题中错误的选项是A.只含有一个零向量的向量组线性相关B.由 3 个 2 维向量组成的向量组线性相关C.由一个非零向量组成的向量组线性相关D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关7.向量组1,2,3线性无关，1,2,3，线性相关，那么B.2必能由1,3，线性表出A.1必能由2,3，线性表出D.必能由1,2,3线性表出C.3必能由1,2，线性表出8.设 A 为 mn 矩阵，mn,那么齐次线性方程组 Ax=0 只有零解的充

14、分必要条件是 A 的秩B.等于 mA.小于 mD.等于 nC.小于 n9.设 A 为可逆矩阵，那么及 A 必有一样特征值的矩阵为B.A2A.ATD.A*C.A-1的正惯性指数为212322212xxxxx10.二次型 f(x1,x2,x3)=二、填空题本大题共 10 小题，每题 2 分，共 20 分请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式的值为_.,那么 ATB=_.100212.设矩阵 A=,B=3，那 么(3,-1,0,2)T,=(3,1,-1,4)T，假 设 向 量满 足 213.设 4 维 向 量=_.,那么|A-1|=_.n114.设 A 为 n 阶可逆矩阵，且|

15、A|=15.设 A 为 n 阶矩阵，B 为 n 阶非零矩阵，假设 B 的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0 的解，那么|A|=_.16.齐次线性方程组的根底解系所含解向量的个数为_.17.设 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值是-3，那么矩阵必有一个特征值为_.18.设矩阵 A=的特征值为 4，1，-2，那么数 x=_.19.A=是正交矩阵，那么 a+b=_。20.二次型 f(x1,x2,x3)=-4x1x2+2x1x3+6x2x3的矩阵是_。三、计算题本大题共 6 小题，每题 9 分，共 54 分21.计算行列式 D=的值。22.矩阵 B=2，1，3，C=1，2，3，求1A=BTC；2A2

16、。求向量组的秩及,T4T3T2T1(1,1,1,1)(-1,1,-3,0(1,2,0,1)(2,1,3,1)23.设向量组一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。24.矩阵 A=，B=.1求 A-1；2解矩阵方程 AX=B。25.问 a 为何值时，线性方程组有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的根底解系表示全部解。26.设矩阵 A=的三个特征值分别为 1，2，5，求正的常数 a 的值及可逆矩阵 P，使 P-1AP=。四、证明题此题 6 分27.设 A，B，A+B 均为 n 阶正交矩阵，证明A+B-1=A-1+B-1。全国全国 2

17、021 年年 10 月自学考试月自学考试线性代数线性代数(经管类经管类)试题试题说明:在本卷中,AT表示矩阵 A 的转置矩阵,A*表示矩阵 A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,|A|表示方阵 A 的行列式,r(A)表示矩 A 的秩.一、单项选择题(本大题共 10 小题，每题 2 分,共 20 分)在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。1.设 A 为 3 阶矩阵,|A|=1,那么|-2AT|=(),B=(1,1),那么 AB=()112.设矩阵 A=B.(1,-1)A.0D.11C.3.设 A 为 n 阶对称矩阵,B 为 n 阶反

18、对称矩阵,那么以下矩阵中为反对称矩阵的是()B.AB+BAA.AB-BA*=,那么 A-1=()21B.21A.21D.21C.不是初等矩阵的是()B.A.D.C.6.设 A,B 均为 n 阶可逆矩阵,那么必有()D.AB+BA 可逆C.A-B 可逆1=(1,2),2=(0,2),=(4,2),那么()A.1,2,线性无关B.不能由1,2线性表示C.可由1,2线性表示,但表示法不惟一D.可由1,2线性表示,且表示法惟一8.设 A 为 3 阶实对称矩阵,A 的全部特征值为 0,1,1,那么齐次线性方程组(E-A)x=0 的根底解系所含解向量的个数为()为()9.设齐次线性方程组有非零解,那么10

19、.设二次型 f(x)=xTAx 正定,那么以下结论中正确的选项是()A.对任意 n 维列向量 x,xTAx 都大于零二、填空题(本大题共 10 小题，每题 2 分，共 20 分)请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。的值为_.211012.A=,那么|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_.13.设矩阵 A=,P=,那么 AP3=_.14.设 A,B 都是 3 阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,那么|A-1B|=_.1,=(1,2,3),2=(3,-1,2),3=(2,3,k)线性相关,那么数 k=_.16.Ax=b 为 4 元线性方程组,r(A)=3,1,2,3为该方程组的 3 个

20、解,且那么该线性方程组的通解是_._.)P,P(,201,231则内积17.P 是 3 阶正交矩,向量18.设 2 是矩阵 A 的一个特征值,那么矩阵 3A 必有一个特征值为_.19.及矩阵 A=相似的对角矩阵为_.20.设矩阵 A=,假设二次型 f=xTAx 正定,那么实数 k 的取值范围是_.三、计算题(本大题共 6 小题，每题 9 分，共 54 分)21.求行列式 D=求满足矩阵方程 XA-B=2E 的矩阵 X.,000012021B,10000101022.设矩阵 A=的秩为 2,求 k 的值.k202,k62,311,1114321.012b,121011322A(1)求 A-1;(

21、2)求解线性方程组 Ax=b,并将 b 用 A 的列向量组线性表出.25.3 阶矩阵 A 的特征值为-1,1,2,设 B=A2+2A-E,求(1)矩阵 A 的行列式及 A 的秩.(2)矩阵 B 的特征值及及 B 相似的对角矩阵.26.求二次型 f(x1,x2,x3)=-4 x1x2+2x1x3+2x2x3经可逆线性变换所得的标准形.四、证明题(此题 6 分)12=E,证明 A 的特征值只能是全国全国 2021 年年 1 月自学考试月自学考试线性代数经管类试题线性代数经管类试题及表示向量,说明：本卷中，A-1表示方阵 A 的逆矩阵，r(A)表示矩阵 A 的秩，的内积，E 表示单位矩阵，|A|表示

22、方阵 A 的行列式.一、单项选择题本大题共 10 小题，每题 2 分，共 20 分在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。1.设行列式=4，那么行列式=B.24A.12D.48C.362.设矩阵 A，B，C，X 为同阶方阵，且 A，B 可逆，AXB=C，那么矩阵 X=B.CA-1B-1A.A-1CB-1D.CB-1A-1C.B-1A-1C3.A2+A-E=0，那么矩阵 A-1=B.-A-EA.A-ED.-A+EC.A+E是四维向量，那么54321,4.设一定线性相关54321,B.一定线性无关54321,A.线性表出5432,

23、一定可以由1D.线性表示4321,一定可以由5C.5.设 A 是 n 阶方阵，假设对任意的 n 维向量 x 均满足 Ax=0,那么B.A=EA.A=0D.0r(A)(n)C.r(A)=n6.设 A 为 n 阶方阵，r(A)n，以下关于齐次线性方程组 Ax=0 的表达正确的选项是B.Ax=0 的根底解系含 r(A)个解向量A.Ax=0 只有零解D.Ax=0 没有解C.Ax=0 的根底解系含 n-r(A)个解向量是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，那么21,7.设是 Ax=b 的解21B.是 Ax=b 的解21A.是 Ax=b 的解2132D.是 Ax=b 的解2123C.=321为矩阵

24、 A=的三个特征值，那么3，2，18.设B.24A.20D.30C.28=PP,=2，那么,的内积为,9.设 P 为正交矩阵，向量B.121A.D.223C.的秩为323121232221222xxxxxxxxx10.二次型 f(x1,x2,x3)=B.2A.1D.4C.3二、填空题本大题共 10 小题，每题 2 分，共 20 分请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式=0，那么 k=_.12.设 A=，k 为正整数，那么 Ak=_.13.设 2 阶可逆矩阵 A 的逆矩阵 A-1=，那么矩阵 A=_.，那么32满足=-3，1，5，7，向量=6，-2，0，4，14.设向量=_.15.设 A 是 mn 矩阵，Ax=0,只有零解，那么 r(A)=_.=_.217是齐次线性方程组 Ax=0 的两个解，那么 A321,16.设17.实数向量空间 V=x1,x2,x3|x1-x2+x3=0的维数是_.18.设方阵 A 有一个特征值为 0，那么|A3|=_.2，-1，2-1，1，-3，119.设向量