高等数学(下册)课件.ppt

《高等数学(下册)课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学(下册)课件.ppt（542页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、高等数学高等数学下册下册营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 多元微积分的概念、理论、方法是一元微多元微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻理意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻理解，融会贯通。解，融会贯通。多元函数微分学多元函数微分学

2、 在上册中，我们讨论的是一元函数微积分，在上册中，我们讨论的是一元函数微积分，但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量的但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量的函数函数多元函数，也提出了多元微积分问题。多元函数，也提出了多元微积分问题。营口地区成人高等教育 QQ群 54356621重点重点 多元函数基本概念，偏导数，全微分，多元函数基本概念，偏导数，全微分，复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何应用，多元函数极值。应用，多元函数极值。难点难点复合函数求导，多元函数极值。复合函数求导，多元函数极值。函数的微分法从一元函数发展到函数的微分法从一元函数发展到

3、二元函数本质上要出现一些新东西，但二元函数本质上要出现一些新东西，但 从二元函数到二元以上函数则可以类推，从二元函数到二元以上函数则可以类推，因此这里基本上只讨论二元函数。因此这里基本上只讨论二元函数。营口地区成人高等教育 QQ群 54356621（1）邻域）邻域（2）区域）区域一、多元函数的概念一、多元函数的概念营口地区成人高等教育 QQ群 54356621例如，例如，即为开集即为开集营口地区成人高等教育 QQ群 54356621例如，例如，例如，例如，连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域营口地区成人高等教育 QQ群 54356621有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区

4、域（3）聚点）聚点营口地区成人高等教育 QQ群 54356621说明：说明：说明：说明：内点一定是聚点；内点一定是聚点；边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；例例(0,0)既是边界点也是聚点既是边界点也是聚点 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E例如例如,(0,0)是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合营口地区成人高等教育 QQ群 54356621（4）n维空间维空间说明：说明：说明：说明：n维空间的记号为维空间的记号为 n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 营口地区成人高等教育 QQ

5、群 54356621 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离 n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念邻域：邻域：内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义设两点为设两点为营口地区成人高等教育 QQ群 54356621（5）二元函数的定义）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数营口地区成人高等教育 QQ群 54356621例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为营口地区成人高等教育 QQ群 54356621（6）二元函数二元函数 的图形的图形

6、（如右图）（如右图）二元函数的图形通二元函数的图形通常是一张曲面常是一张曲面.营口地区成人高等教育 QQ群 54356621二、多元函数的极限二、多元函数的极限营口地区成人高等教育 QQ群 54356621（1）定义中）定义中 的方式可能是多种多样的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数。于同一常数。这是产生本质差异的根本原这是产生本质差异的根本原因。因。（2）二

7、元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等，建议自行复习，写出有关结论等价无穷小代换等，建议自行复习，写出有关结论以巩固和加深理解。以巩固和加深理解。说明：说明：营口地区成人高等教育 QQ群 54356621证证当当 时，时，原结论成立原结论成立例例2 2 求证求证 营口地区成人高等教育 QQ群 54356621例例3 3 求极限求极限 解解其中其中营口地区成人高等教育 QQ群 54356621例例4

8、4 证明证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在营口地区成人高等教育 QQ群 54356621确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：营口地区成人高等教育 QQ群 54356621利用点函数的形式有利用点函数的形式有营口地区成人高等教育 QQ群 54356621例例5 5 讨论函数讨论函数在在(0,0)处的连续性处的连续性三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性营口地区成人高等教育 QQ群 54356621解解取取当当 时时故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.例例6 6 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性营口地区成人高等

9、教育 QQ群 54356621解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次营口地区成人高等教育 QQ群 54356621（2）介值定理）介值定理 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果上的多元连续函数，如果在在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上

10、取得上取得介于这两值之间的任何值至少一次介于这两值之间的任何值至少一次多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域营口地区成人高等教育 QQ群 54356621多元函数的定义多元函数的定义多元函数极限的概念多元函数极限的概念（注意趋近方式的（注意趋

11、近方式的任意性任意性）多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质四、小结四、小结营口地区成人高等教育 QQ群 54356621思考题思考题营口地区成人高等教育 QQ群 54356621不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.原因为若取原因为若取思考题解答思考题解答营口地区成人高等教育 QQ群 54356621练练 习习 题题营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育 QQ群 54356621练习题答案练习题答案营口地区成人高等教育 QQ群 54356621复合函数求导法则复合函数求导法

12、则先回忆一下一元复合函数的微分法则先回忆一下一元复合函数的微分法则则复合函数则复合函数 对对 x 的导数为的导数为 这一节我们将把这一求导法则推广到多元函这一节我们将把这一求导法则推广到多元函数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元微分法中仍然适用，那么为什么还要

13、介绍多元营口地区成人高等教育 QQ群 54356621复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数如如它是由它是由复合而成的复合而成的由于由于 f 没有具体给出没有具体给出 一元复合函数的微分法则就无能为力了，为一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。微分法。营口地区成人高等教育 QQ群 54356621一、链式法则一、链式法则证证营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育

14、QQ群 54356621上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数.上定理还可推广到中间变量不是一元函数上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：营口地区成人高等教育 QQ群 54356621链式法则如图示链式法则如图示营口地区成人高等教育 QQ群 54356621称为标准法则或称为标准法则或 这个公式的特征：这个公式的特征：函数函数有两个自变量有两个自变量 x 和和 y故法则中包含故法则中包含两个公式；两个公式；营口地区成人高等教育 QQ群 54356621

15、由于在复合过程中有两个中间变量由于在复合过程中有两个中间变量 u 和和 v故法则中每一个公式都是两项之和，这两故法则中每一个公式都是两项之和，这两项分别含有项分别含有 每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似，每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似，即即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对自函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数变量的导数”多元复合函数的求导法则简言之即：多元复合函数的求导法则简言之即：“分道相加，连线相乘分道相加，连线相乘”营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育 QQ群 54356621特殊地特殊地其中其中即即令令两者的区别两者的区别区区

16、别别类类似似营口地区成人高等教育 QQ群 54356621注注 此公式可以推广到任意多个中间变量和任此公式可以推广到任意多个中间变量和任意多个自变量的情形意多个自变量的情形如如则则 从以上推广中我们可以得出：所有公式中从以上推广中我们可以得出：所有公式中两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自变量的个数无关变量的个数无关营口地区成人高等教育 QQ群 54356621关于多元复合函数求偏导问题关于多元复合函数求偏导问题这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求阶偏导数，既是

17、重点又是难点。对求导公式不求强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用公式公式用图示法表示出函数的复合关系用图示法表示出函数的复合关系函数对某个自变量的偏导数的结构函数对某个自变量的偏导数的结构（项数及项的构成）（项数及项的构成）营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 的结构是求抽象的复合函的结构是求抽象的复合函数的二阶偏导数的关键数的二阶偏导数的关键 弄清弄清 仍是复合函数仍是复合函数且复合结构与原来的且复合结构与原来的 f(u,v)完全相同完全相同即仍是以即

18、仍是以 u,v 为中间变量，以为中间变量，以 x,y 为自变量为自变量的复合函数的复合函数因此求它们关于因此求它们关于 x,y 的偏导数时必须使链式法则的偏导数时必须使链式法则营口地区成人高等教育 QQ群 54356621在具体计算中最容易出错的地方是对在具体计算中最容易出错的地方是对 再求偏导数这一步再求偏导数这一步 是与是与 f(u,v)具具有相同结构的复合函数易被误认为仅是有相同结构的复合函数易被误认为仅是 u 的的函数，从而导致漏掉函数，从而导致漏掉原因就是不注意原因就是不注意 求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量注意引用这些公式的条件注意引用这

19、些公式的条件外层函数可微（偏导数连续）外层函数可微（偏导数连续）内层函数可导内层函数可导 的合并问题的合并问题视题设条件视题设条件营口地区成人高等教育 QQ群 54356621解解营口地区成人高等教育 QQ群 54356621解解例例3 设设均满足复合函数求偏导数的条件均满足复合函数求偏导数的条件 计算计算（两重复合问题）（两重复合问题）解解由链式法则由链式法则营口地区成人高等教育 QQ群 54356621故故同理可得同理可得营口地区成人高等教育 QQ群 54356621解解令令记记同理有同理有营口地区成人高等教育 QQ群 54356621于是于是二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性营口地

20、区成人高等教育 QQ群 54356621全微分形式不变形的实质全微分形式不变形的实质：无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理且作微分运算的结果对自变量的微分且作微分运算的结果对自变量的微分 来说是线性的来说是线性的从而为解

21、题带来很多方便，而且也不易出错从而为解题带来很多方便，而且也不易出错营口地区成人高等教育 QQ群 54356621例例5 设设各函数满足求导条件各函数满足求导条件求求解一解一 变量间的关系如下图所示变量间的关系如下图所示营口地区成人高等教育 QQ群 54356621这里变量间的关系比较混乱这里变量间的关系比较混乱用全微分来解用全微分来解由全微分定理由全微分定理注意到注意到 x,z 是独立自变量是独立自变量 解二解二营口地区成人高等教育 QQ群 54356621由全微分定义由全微分定义注注解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错故故 营口地区成人高等教育

22、QQ群 54356621三、小结三、小结1、链式法则、链式法则（分三种情况）（分三种情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（理解其实质）（理解其实质）营口地区成人高等教育 QQ群 54356621思考题思考题营口地区成人高等教育 QQ群 54356621思考题解答思考题解答营口地区成人高等教育 QQ群 54356621练练 习习 题题营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育 QQ群 54356621练习题答案练习题答案营口地区成人高等教育 QQ群 543

23、56621营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育 QQ群 54356621偏偏 导导 数数 我们已经知道一元函数的导数是一个很重我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自自变量不变的条件下，只考虑函数

24、对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。下定义。营口地区成人高等教育 QQ群 54356621一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育 QQ群 54356621偏导数的求法偏导数的求法 由偏导数的定义可知，求二元函数的由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法偏导数并不需要新的方法求求 时把时把 y 视为常数而对视

25、为常数而对 x 求导求导求求 时把时把 x 视为常数而对视为常数而对 y 求导求导这仍然是一元函数求导问题这仍然是一元函数求导问题营口地区成人高等教育 QQ群 54356621如如 在在 处处 偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数营口地区成人高等教育 QQ群 54356621一般地一般地 设设营口地区成人高等教育 QQ群 54356621解解证证营口地区成人高等教育 QQ群 54356621原结论成立原结论成立解解营口地区成人高等教育 QQ群 54356621不存在不存在营口地区成人高等教育 QQ群 54356621证证营口地区成人高等教育 QQ群 543566

26、21有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；计算计算 f x (x0 ,y0)时可先将时可先将 y=y0 代入代入 f(x,y)再对再对 x 求导然后代入求导然后代入 x=x0 计算计算 f y (x0 ,y0 )时同理时同理解解3、营口地区成人高等教育 QQ群 543566214、偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常量，但由于变量较多，易产生混乱量，但由于变量较多，易产生混乱-重要的是

27、重要的是区分清函数的类型区分清函数的类型这是出错的主要原因。这是出错的主要原因。5、若若 f(x,y)=f(y,x)则称则称 f(x,y)关于关于 x,y 具有轮换对称性具有轮换对称性在求在求 时时只需将所求的只需将所求的 中的中的 x,y 互换即可互换即可营口地区成人高等教育 QQ群 543566216、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.营口地区成人高等教育 QQ群 543566217

28、、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义如图如图几何意义几何意义:营口地区成人高等教育 QQ群 54356621二、高阶偏导数二、高阶偏导数纯偏导纯偏导营口地区成人高等教育 QQ群 54356621混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.营口地区成人高等教育 QQ群 54356621观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：函数图象间的关系：原原函函数数图图形形偏偏导导函函数数图图形形偏偏导导函函数数图图形形二二阶阶混混合合偏偏导导函函数数图图形形营口地区成人高等教育 QQ群

29、54356621解解问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？营口地区成人高等教育 QQ群 54356621解解营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育 QQ群 54356621三、小结三、小结偏导数的定义偏导数的定义（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）思考题思考题营口地区成人高等教育 QQ群 54356621思考题解答思考题解答不能不能.例如例如,营口地区成人高等教育 QQ群 5

30、4356621练练 习习 题题营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育 QQ群 54356621练习题答案练习题答案营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育 QQ群 54356621全全 微微 分分营口地区成人高等教育 QQ群 54356621一、全微分的定义一、全微分的定义由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得全增量的概念全增量的概念营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育 QQ群 5435

31、6621全微分的定义全微分的定义营口地区成人高等教育 QQ群 54356621事实上事实上二、可微的条件二、可微的条件营口地区成人高等教育 QQ群 54356621证证总成立总成立,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621同理可得同理可得一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如例如营口地区成人高等教育 QQ群 54356621则则当当 时时营口地区成人高等教育 QQ群 54356621说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，证证营口

32、地区成人高等教育 QQ群 54356621（依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）同理同理营口地区成人高等教育 QQ群 54356621习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加叠加叠加叠加原理原理原理原理全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况营口地区成人高等教育 QQ群 54356621解解所求全微分所求全微分营口地区成人高等教育 QQ群

33、 54356621解解解解所求全微分所求全微分营口地区成人高等教育 QQ群 54356621证证令令则则营口地区成人高等教育 QQ群 54356621同理同理营口地区成人高等教育 QQ群 54356621不存在不存在.营口地区成人高等教育 QQ群 54356621多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导营口地区成人高等教育 QQ群 54356621三、小结三、小结、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法；、多元函数全微分的求法；、多元函数连续、可导、可微的关系、多元函数连续、可

34、导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）营口地区成人高等教育 QQ群 54356621思考题思考题营口地区成人高等教育 QQ群 54356621练练 习习 题题营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育 QQ群 54356621练习题答案练习题答案营口地区成人高等教育 QQ群 54356621隐函数的求导法则隐函数的求导法则一、一个方程的情形一、一个方程的情形营口地区成人高等教育 QQ群 54356621解解令令则则营口地区成人高等教育 QQ群 54356621解解令令营口地区成人高等教育

35、QQ群 54356621则则营口地区成人高等教育 QQ群 54356621解解令令营口地区成人高等教育 QQ群 54356621则则思路：思路：营口地区成人高等教育 QQ群 54356621解解令令则则整理得整理得营口地区成人高等教育 QQ群 54356621整理得整理得整理得整理得营口地区成人高等教育 QQ群 54356621二、方程组的情形二、方程组的情形1、对于方程组、对于方程组 怎样求偏导数怎样求偏导数首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数当当 x 给定以后相当于解含关于给定以后相当于解含关于 y,z 的方程组的方程组如果有解且唯一则对于不同的

36、如果有解且唯一则对于不同的 x 就完全确定了就完全确定了y,z 故方程组确定了两个一元隐函数故方程组确定了两个一元隐函数y=y(x),z=z(x)营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 若若 则则怎样求怎样求两边对两边对 x 求导求导 注意左边是复合函数（三个中间变量），注意左边是复合函数（三个中间变量），同理同理营口地区成人高等教育 QQ群 543566212、营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育 QQ群 54356621解解1直接代入公式；直接代入公式；解解2运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并

37、移项营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育 QQ群 54356621将所给方程的两边对将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得求导，用同样方法得注注这组公式不太好记，具体做题时应这组公式不太好记，具体做题时应用的是其基本思想用的是其基本思想营口地区成人高等教育 QQ群 54356621关于隐函数求二阶偏导数关于隐函数求二阶偏导数以以为例，为例，主要有三种方法：主要有三种方法：公式法公式法类似地可求得类似地可求得直接法直接法方程两边连续求导两次方程两边连续求导两次营口地区成人高等教育 QQ群 54356621解得：解得：两种方法相比，法二较简便，因为可避免两种方法相

38、比，法二较简便，因为可避免商的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数商的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入时，毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入即可求得二阶偏导数，使运算大为简化。即可求得二阶偏导数，使运算大为简化。营口地区成人高等教育 QQ群 54356621则则这样一次就可求得全部的一阶偏导数。这样一次就可求得全部的一阶偏导数。全微分法全微分法利用全微分形式不变性，在所给的方程两边直接利用全微分形式不变性，在所给的方程两边直接求全微分求全微分营口地区成人高等教育 QQ群 54356621三、小结三、小结隐函数的求导法则隐函数的求导法则（分以

39、下几种情况）（分以下几种情况）营口地区成人高等教育 QQ群 54356621思考题思考题营口地区成人高等教育 QQ群 54356621思考题解答思考题解答营口地区成人高等教育 QQ群 54356621练练 习习 题题营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育 QQ群 54356621练习题答案练习题答案营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育 QQ群 54356621多元函数极值多元函数极值一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值营口地区成人高等教育 QQ群 543566211 1、二元函数

40、极值的定义、二元函数极值的定义(1)营口地区成人高等教育 QQ群 54356621(2)(3)2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件营口地区成人高等教育 QQ群 54356621证证营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点.注意：注意：驻点驻点极值点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？营口地区成人高等教育 QQ群 54356621解解营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育 QQ群 5

41、4356621营口地区成人高等教育 QQ群 543566213 3、多元函数的最值、多元函数的最值 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法求最值的一般方法设设 f(x,y)在在D上连续，上连续，D内可微且在内可微且在D内至多有有限个驻点内至多有有限个驻点,这时若这时若 f(x,y)在在D内取得最值内取得最值,则这个最值也一定是极值则这个最值也一定是极值将函数在将函数在 D D 内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在 D D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最的边界上的

42、最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值大者即为最大值，最小者即为最小值.故一般方法是故一般方法是营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 在实际问题中，往往根据问题的性质就可在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数在区域内部确有最大值（最小值），以断定函数在区域内部确有最大值（最小值），这时如果函数在区域内只有一个驻点，则可以断这时如果函数在区域内只有一个驻点，则可以断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值（最小值）（最小值）解解如图如图,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育 QQ群 5

43、4356621解解由由营口地区成人高等教育 QQ群 54356621无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件外，并无其他条件.二、条件极值与拉格朗日乘数法二、条件极值与拉格朗日乘数法条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 一些较简单的条件极值问题可以把它转化为一些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件极值来求解无条件极值来求解降元法，但这种方法需要降元法，但这种方法需要经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就经过解方程和

44、代入的手续，对于较复杂的方程就不容易作到，有时甚至是不可能的不容易作到，有时甚至是不可能的解决条件极值问题的一般方法是解决条件极值问题的一般方法是Lagrange乘数法乘数法升元法升元法求求 z=f(x,y)其几何意义是其几何意义是其中点其中点(x,y)在曲线在曲线 L 上上营口地区成人高等教育 QQ群 54356621假定点假定点P(x0,y0)为条件极值点为条件极值点在在(x0,y0)的某个邻域内的某个邻域内 且不同时为且不同时为0f(x,y)可微可微确定了一个隐函数确定了一个隐函数y=y(x)故故 z=f x,y(x)在在P(x0,y0)处取得极值处取得极值故故即即又由隐函数的微分法知又

45、由隐函数的微分法知营口地区成人高等教育 QQ群 54356621代入上式代入上式令令得得P(x0,y0)为条件极值点的必要条件为为条件极值点的必要条件为营口地区成人高等教育 QQ群 54356621xyzoz=f(x,y)LM无条件极值点无条件极值点.P条件极值点条件极值点.营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育 QQ群 54356621例例4求内接于椭球求内接于椭球 的最大长方体的体积的最大长方体的体积,长方体的各面平行于坐标面长方体的各面平行于坐标面解一解一 设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第一卦限的顶点的坐标为

46、一卦限的顶点的坐标为(x,y,z)则长方体的体积为则长方体的体积为V=8xyz令令营口地区成人高等教育 QQ群 54356621解得解得或或两式相除两式相除同理同理即即代入解得代入解得三式相加得三式相加得营口地区成人高等教育 QQ群 54356621解二解二任意固定任意固定 z0 (0 z0 0且且u 在在D上连续，故必存在上连续，故必存在 最大值，且一定在最大值，且一定在D内取得内取得另一方面另一方面由于由于 u 和和 lnu 在在D内有相同的极值点内有相同的极值点故问题转化为求故问题转化为求lnu 在条件在条件 x+y+z=m 下的极值。下的极值。营口地区成人高等教育 QQ群 543566

47、21令令则则与与 x+y+z=m 联立解得联立解得营口地区成人高等教育 QQ群 54356621注注若一元函数若一元函数 f(u)在区间在区间 I 上严格单调增上严格单调增一般情形一般情形多元函数多元函数 g(P)在区域在区域D上有定义上有定义则则 f(u)与复合函数与复合函数 f g(P)有相同的极值点有相同的极值点利用这一结论可将求利用这一结论可将求f g(P)的驻点转化为的驻点转化为f(u)的驻点的驻点或相反地将求或相反地将求f(u)的驻点转化为求的驻点转化为求f g(P)的驻点的驻点使问题简化使问题简化 转移大法转移大法营口地区成人高等教育 QQ群 54356621四、小结四、小结多元

48、函数的极值多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法思考题思考题营口地区成人高等教育 QQ群 54356621思考题解答思考题解答营口地区成人高等教育 QQ群 54356621练练 习习 题题营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育 QQ群 54356621练习题答案练习题答案营口地区成人高等教育 QQ群 54356621二重积分的概念和性质二重积分的概念和性质 在一元函数积分学中，我们已经知道，定积在一元函数积分学中，我们已经知道，定积分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定

49、形分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形式的和式的极限，由于科学技术和生产实践的发式的和式的极限，由于科学技术和生产实践的发展，需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空展，需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空间物体的质量、重心、转动惯量等，定积分已经间物体的质量、重心、转动惯量等，定积分已经不能解决这类问题，另一方面，从数学逻辑思维不能解决这类问题，另一方面，从数学逻辑思维的规律出发，必然会考虑定积分概念的推广，从的规律出发，必然会考虑定积分概念的推广，从而提出了多元函数的积分学问题。而提出了多元函数的积分学问题。营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 当人们把定积分解决问题的基本

50、思想当人们把定积分解决问题的基本思想“分分割、近似代替、求和、取极限割、近似代替、求和、取极限”用于解决这类问用于解决这类问题时发现是完全可行的。把解决的基本方法抽象题时发现是完全可行的。把解决的基本方法抽象概括出来，就得到多元函数积分学。概括出来，就得到多元函数积分学。具体地说就是推广到：定义在平面区域上的二元具体地说就是推广到：定义在平面区域上的二元函数、定义在空间区域上的三元函数、定义在一段函数、定义在空间区域上的三元函数、定义在一段平面曲线弧上的二元函数、定义在空间一段曲线弧平面曲线弧上的二元函数、定义在空间一段曲线弧上的三元函数、定义在空间曲面上的三元函数，从上的三元函数、定义在空间