2016中考复习四边形综合题.docx

《2016中考复习四边形综合题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016中考复习四边形综合题.docx（44页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、四边形综合题四边形综合题1在ABC 中，AB=AC，点 F 是 BC 延长线上一点，以 CF 为边，作菱形 CDEF，使菱形 CDEF 与点A 在 BC 的同侧，连接 BE，点 G 是 BE 的中点，连接 AG、DG（1）如图，当BAC=DCF=90时，直接写出 AG 与 DG 的位置和数量关系；（2）如图，当BAC=DCF=60时，试探究 AG 与 DG 的位置和数量关系，（3）当BAC=DCF=时，直接写出 AG 与 DG 的数量关系2如图，在菱形 ABCD 中，M，N 分别是边 AB，BC 的中点，MPAB 交边 CD 于点 P，连接 NM，NP（1）若B=60，这时点 P 与点 C 重

2、合，则NMP=度；（2）求证：NM=NP；（3）当NPC 为等腰三角形时，求B 的度数3菱形 ABCD 中，两条对角线 AC，BD 相交于点 O，MON+BCD=180，MON 绕点 O 旋转，射线OM 交边 BC 于点 E，射线 ON 交边 DC 于点 F，连接 EF（1）如图 1，当ABC=90时，OEF 的形状是；（2）如图 2，当ABC=60时，请判断OEF 的形状，并说明理由；（3）在（1）的条件下，将MON 的顶点移到 AO 的中点 O处，MON 绕点 O旋转，仍满足MON+BCD=180，射线OM交直线BC于点E，射线ON交直线CD于点F，当BC=4，且=时，直接写出线段 CE

3、的长4如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AB 边的中点，沿 EC 对折矩形 ABCD，使 B 点落在点 P 处，折痕为 EC，连结 AP 并延长 AP 交 CD 于 F 点，（1）求证：四边形 AECF 为平行四边形；（2）若AEP 是等边三角形，连结 BP，求证：APBEPC；（3）若矩形 ABCD 的边 AB=6，BC=4，求CPF 的面积5如图，P 为正方形 ABCD 的边 BC 上一动点（P 与 B、C 不重合），连接 AP，过点 B 作 BQAP 交 CD于点 Q，将BQC 沿 BQ 所在的直线对折得到BQC，延长 QC交 BA 的延长线于点 M（1）试探究 AP 与 BQ 的数量

4、关系，并证明你的结论；（2）当 AB=3，BP=2PC，求 QM 的长；（3）当 BP=m，PC=n 时，求 AM 的长6如图，菱形 ABCD 中，点 P 是 CD 的中点，BCD=60，射线 AP 交 BC 的延长线于点 E，射线 BP 交DE 于点 K，点 O 是线段 BK 的中点（1）求证：ADPECP；（2）若 BP=nPK，试求出 n 的值；（3）作 BM 丄 AE 于点 M，作 KN 丄 AE 于点 N，连结 MO、NO，如图 2 所示，请证明MON 是等腰三角形，并直接写出MON 的度数7在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O；在 RtPMN 中，MPN=90

5、（1）如图 1，若点 P 与点 O 重合且 PMAD、PNAB，分别交 AD、AB 于点 E、F，请直接写出 PE 与PF 的数量关系；（2）将图 1 中的 RtPMN 绕点 O 顺时针旋转角度（045）如图 2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；如图 2，在旋转过程中，当DOM=15时，连接 EF，若正方形的边长为 2，请直接写出线段 EF 的长；如图 3，旋转后，若 RtPMN 的顶点 P 在线段 OB 上移动（不与点 O、B 重合），当 BD=3BP 时，猜想此时 PE 与 PF 的数量关系，并给出证明；当 BD=mBP 时，请直接写出 PE 与

6、 PF 的数量关系8 在正方形 ABCD 中，BD 是一条对角线，点 P 在射线 CD 上（与点 C、D 不重合），连接 AP，平移ADP，使点 D 移动到点 C，得到BCQ，过点 Q 作 QHBD 于 H，连接 AH，PH（1）若点 P 在线段 CD 上，如图 1依题意补全图 1；判断 AH 与 PH 的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点 P 在线段 CD 的延长线上，且AHQ=152，正方形 ABCD 的边长为 1，请写出求 DP 长的思路（可以不写出计算结果）9如图，QPN 的顶点 P 在正方形 ABCD 两条对角线的交点处，QPN=，将QPN 绕点 P 旋转，旋转过程中QPN 的

7、两边分别与正方形 ABCD 的边 AD 和 CD 交于点 E 和点 F（点 F 与点 C，D 不重合）（1）如图，当=90时，DE，DF，AD 之间满足的数量关系是；（2）如图，将图中的正方形 ABCD 改为ADC=120的菱形，其他条件不变，当=60时，（1）中的结论变为 DE+DF=AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中QPN 的边 PQ 与射线 AD 交于点 E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD 之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明10如图，点 P 是正方形 ABCD 内的一点，连接 CP，将线段 CP 绕点 C 顺时针旋转 90，得到线

8、段 CQ，连接 BP，DQ（1）如图 a，求证：BCPDCQ；（2）如图，延长 BP 交直线 DQ 于点 E如图 b，求证：BEDQ；如图 c，若BCP 为等边三角形，判断DEP 的形状，并说明理由11已知：如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AC=12cm，BD=16cm点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，直线 EF 从点 D 出发，沿 DB 方向匀速运动，速度为 1cm/s，EFBD，且与 AD，BD，CD 分别交于点 E，Q，F；当直线 EF 停止运动时，点 P 也停止运动连接 PF，设运动时间为 t（s）（0t8）解答下

9、列问题：（1）当 t 为何值时，四边形 APFD 是平行四边形？（2）设四边形 APFE 的面积为 y（cm2），求 y 与 t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻 t，使 S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出 t 的值，并求出此时 P，E 两点间的距离；若不存在，请说明理由12已知菱形 ABCD 的边长为 1，ADC=60，等边AEF 两边分别交 DC、CB 于点 E、F（1）特殊发现：如图 1，若点 E、F 分别是边 DC、CB 的中点，求证：菱形 ABCD 对角线 AC、BD 的交点 O 即为等边AEF 的外心；（2）若点 E、F 始终分别在边 DC、CB 上

10、移动，记等边AEF 的外心为 P 猜想验证：如图 2，猜想AEF 的外心 P 落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如图 3，当 E、F 分别是边 DC、CB 的中点时，过点 P 任作一直线，分别交 DA 边于点 M，BC 边于点 G，DC 边的延长线于点 N，请你直接写出的值13已知：在四边形 ABCD 中，ADBC，BAC=D，点 E、F 分别在 BC、CD 上，且AEF=ACD（1）如图 1，若 AB=BC=AC，求证：AE=EF；（2）如图 2，若 AB=BC，（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；（3）如图 3，若 AB=kBC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成

11、立，请写出 AE 与 EF之间的数量关系，并证明14正方形 ABCD 的边长为 4cm，点 E 在边 AB 上，将线段 AE 绕点 E 顺时针旋转（090）得线段EF，以 EF 为边在 EF 右侧作正方形 EFGH；（1）如图，分别连接线段 AF、FH、AH，AH 交 EF 于点 I；求证FAH 的度数是一个常数；求证：2AE2=AHIH（2）如图，若=60，点 E 为 AB 的中点，在直线 AG 上是否存在一点 J，使EBJ 的周长最小？若存在，求出EBJ 的最小周长；若不存在，说明理由（3）如图，若=45，点 E 从 A 出发，按 1cm/s 的速度沿 AB 方向运动，直至点 C 落在 G

12、H 上停止运动，设点 E 的运动时间为 t（t0），正方形 EFGH 与正方形 ABCD 重叠部分的面积为 S，请用含 t 的代数式表示 S15请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题（1）初步探究：如图（1），点 E、F 分别在正方形 ABCD 边 AB、AD 上，DECF 于点 P，小芳看到该图后，发现 DE=CF，这是因为EDA 和FCD 都是EDC 的余角，就会由 ASA 判定得出ADEDCF（2）类比发现：小芳进一步思考，如果四边形 ABCD 是矩形，如图（2），且 DECF 于点 P，她发现，请你替她完成证明；（3）拓展延伸：如图（3），若四边形 ABCD 是平行四边形，试探

13、究：当B 与EPC 满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论16如图 1，在矩形 ABCD 中，点 E 为矩形的边 CD 上任意一点，点 P 为线段 AE 的中点，连接 BP 并延长交边 AD 于点 F，点 M 为边 CD 上一点，连接 FM，且DMF=ABF（1）若 AD=2，DE=1，求 AP 的长；（2）求证：PB=PF+FM；（3）若矩形 ABCD 改为ABCD，如图 2，（2）中的结论成立吗？若成立，请证明；不成立，说明理由17在菱形 ABCD 和正三角形 BGF 中，ABC=60，P 是 DF 的中点，连接 PG、PC（1）如图 1，当点 G 在 BC 边上时，猜想 PG 与 PC

14、 的关系，并证明（提示：延长 GP 交 CD 于点 E）（2）如图 2，当点 F 在 AB 的延长线上时，线段 PC、PG 还满足（1）中的结论吗？写出你的猜想，并给与证明；（3）如图 3，当点 F 在 CB 的延长线上时，线段 PC、PG 又有怎样的关系，直接写出你猜想18问题情境：小彬、小颖和小明对一道教学问题进行研究已知，如图 1，正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 是线段 OC 上一点，过点 A 作 BE 的垂线，交线段 OB 于点 G，垂足为点 F，易知：OG=OE变式探究：分析完图 1 之后，小彬和小颖分别对此进行了研究，并提出了下面两个问题，请回答：（

15、1）小彬：如图 2，将图 1 中的点 E 改为线段 OC 延长线上的一点，过点 A 作 BE 垂线，交 OB 的延长线于点 G，垂足为点 F求证：OG=OE（2）小颖：如图 3，将图中的“正方形 ABCD”改为“菱形 ABCD”，且ABC=60，其余条件不变，试求的值拓展延伸：（3）小明解决完上述问题后，又提出了如下问题：如图 4，将图 3 中的“ABC=60”改为“ABC=”，并且点 E，G 分别在 OC，OB 的延长线上，其余条件不变，直接用含“”的式子表示的值19已知矩形 ABCD，AB=4，BD=2现有另一个与矩形 ABCD 相似矩形 EFGH，相似比为 2：1最初矩形 EFGH 的

16、GH 边放置在BCD 的平分线处（如图 1），现将矩形 EFGH 沿着 FG 作一条直线 l，再连接AH、BH、DH、BE，设 BC 与 EH 的交点为 M，CD 与 GH 的交点为 N（若没有交点则不计），回答下列问题（1）如图 1，当矩形 ABCD 矩形 EFGH 都不动时，求出矩形 ABCD 与矩形 EFGH 重合部分三角形的面积（2）如图 2，现矩形 ABCD 不动，矩形 EFGH 沿直线 l 开始出发，以 1m/s 的速度移动设移动时间为 t，矩形 ABCD 与矩形 EFGH 重合部分的面积为 S，求出 S 关于 t 的函数关系式，并写出相应的取值范围，并且求出当 t 为多少时，S

17、为最大值？（3）如图 3，矩形 ABCD 仍然不动，矩形 EFGH 运动一段时间后停止在某一个点，并且此时CEH 为等腰三角形，这时，在AHC 中，AH=HC 成立吗？请说明理由，并求出此时 S 和 t 的值20在菱形 ABCD 中，A=60，以 D 为顶点作等边三角形 DEF，连接 EC，点 N、P 分别为 EC、BC 的中点，连接 NP（1）如图 1，若点 E 在 DP 上，EF 与 CD 交于点 M，连接 MN，CE=3，求 MN 的长；（2）如图 2，若 M 为 EF 中点，求证：MN=PN；（3）如图 3，若四边形 ABCD 为平行四边形，且A=DBC60，以 D 为顶点作三角形 D

18、EF，满足 DE=DF且EDF=ABD，M、N、P 仍分别为 EF、EC、BC 的中点，请探究ABD 与MNP 的和是否为一个定值，并证明你的结论21已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8，E 是 BC 边上的一点，将矩形 ABCD 沿折痕 AE 折叠，使得顶点 B落在 CD 边上的点 P 处，PC=4（如图 1）（1）求 AB 的长；（2）擦去折痕 AE，连结 PB，设 M 是线段 PA 的一个动点（点 M 与点 P、A 不重合）N 是 AB 沿长线上的一个动点，并且满足 PM=BN过点 M 作 MHPB，垂足为 H，连结 MN 交 PB 于点 F（如图 2）若 M 是 PA 的中点，求 M

19、H 的长；试问当点 M、N 在移动过程中，线段 FH 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段FH 的长度22如图 1，ABCD 中，AEBC 于 E，AE=AD，EGAB 于 G，延长 GE、DC 交于点 F，连接 AF（1）若 BE=2EC，AB=，求 AD 的长；（2）求证：EG=BG+FC；（3）如图 2，若 AF=5，EF=2，点 M 是线段 AG 上的一个动点，连接 ME，将GME 沿 ME 翻折得GME，连接 DG，试求当 DG取得最小值时 GM 的长23如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，CAB 的平分线分别交 BD，BC 于点 E，F，作 BHAF于点

20、 H，分别交 AC，CD 于点 G，P，连接 GE，GF（1）求证：OAEOBG；（2）试问：四边形 BFGE 是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由；（3）试求：的值（结果保留根号）24在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，将COD 绕点 O 按逆时针方向旋转得到C1OD1，旋转角为（090），连接 AC1、BD1，AC1与 BD1交于点 P（1）如图 1，若四边形 ABCD 是正方形求证：AOC1BOD1请直接写出 AC1与 BD1的位置关系（2）如图 2，若四边形 ABCD 是菱形，AC=5，BD=7，设 AC1=kBD1判断 AC1与 BD1的位置关系，说明理

21、由，并求出 k 的值（3）如图 3，若四边形 ABCD 是平行四边形，AC=5，BD=10，连接 DD1，设 AC1=kBD1请直接写出 k的值和 AC12+（kDD1）2的值25已知，如图 1，矩形 ABCD 中，AD=6，DC=8，矩形 EFGH 的三个顶点 E，G，H 分别在矩形 ABCD的边 AB，CD，DA 上，AH=2，连接 CF（1）如图 2，当四边形 EFGH 为正方形时，求 CF 的长和FCG 的面积；（2）如图 1，设 AE=x，三角形 FCG 的面积=y，求与 x 之间的函数关系式与 y 的最大值；（3）当CGF 是直角三角形时，求 x 和 y 值26如图，点 E 是矩形

22、 ABCD 的边 BC 的中点，连接 DE 交 AC 于点 F（1）如图，求证：AF=2CF；（2）如图，作 DGAC 于 G，试探究：当 AB 与 AD 满足什么关系时，使得 AG=CF 成立？并证明你的结论；（3）如图，以 DE 为斜边在矩形 ABCD 内部作等腰 RtDEM，交对角线 BD 于 N，连接 AM，若 AB=AD，请直接写出的值27数学课上，张老师出示了问题 1：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，BC=2，对角线交点记作 O，点 E是边 BC 延长线上一点联结 OE 交 CD 边于 F，设 CE=x，CF=y，求 y 关于 x 的函数解析式及其定义域（1）经过思考，小明认

23、为可以通过添加辅助线过点 O 作 OMBC，垂足为 M 求解你认为这个想法可行吗？请写出问题 1 的答案及相应的推导过程；（2）如果将问题 1 中的条件“四边形 ABCD 是正方形，BC=2”改为“四边形 ABCD 是平行四边形，BC=3，CD=2，”其余条件不变（如图 2），请直接写出条件改变后的函数解析式；（3）如果将问题 1 中的条件“四边形 ABCD 是正方形，BC=2”进一步改为：“四边形 ABCD 是梯形，ADBC，BC=4，CD=3，AD=2”其余条件不变（如图 3），请你写出条件再次改变后 y 关于 x 的函数解析式以及相应的推导过程28如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分

24、别是 BC、DC 上的两点，若 EF=BE+DF（1）求证：EAF=45；（2）作EFC 的平分线 FG 交 AE 的延长线于 G，连接 CG，如图 2求证：BCCF=CG；（3）若 F 是 DC 的中点，AB=4，如图 3，求 EG 的长29已知四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 边上的点，DE 与 CF 交于点 G（1）如图 1，若四边形 ABCD 是矩形，且 DECF 则 DECDCFAD（填“”或“=”或“”）；（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当B与EGC满足什么关系时，使得DECD=CFAD成立？并证明你的结论；（3）如图 3，若 BA=BC=3，D

25、A=DC=4，BAD=90，DECF则的值为30如图 1，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB=13，BD=24，在菱形 ABCD 的外部以AB 为边作等边三角形 ABE点 F 是对角线 BD 上一动点（点 F 不与点 B、D 重合），将线段 AF 绕点 A 顺时针方向旋转 60得到线段 AM，连接 FM（1）求 AO 的长；（2）如图 2，当点 F 在线段 BO 上，且点 M，F，C 三点在同一条直线上时，求证：ACM=30；（3）连接 EM，若AEM 的面积为 40，请画出图形，并直接写出AFM 的周长答案1在ABC 中，AB=AC，点 F 是 BC 延长线上一

26、点，以 CF 为边，作菱形 CDEF，使菱形 CDEF 与点 A在 BC 的同侧，连接 BE，点 G 是 BE 的中点，连接 AG、DG（1）如图，当BAC=DCF=90时，直接写出 AG 与 DG 的位置和数量关系；（2）如图，当BAC=DCF=60时，试探究 AG 与 DG 的位置和数量关系，（3）当BAC=DCF=时，直接写出 AG 与 DG 的数量关系【分析】（1）延长 DG 与 BC 交于 H，连接 AH、AD，通过证得BGHEGD 求得 BH=ED，HG=DG，得出 BH=DC，然后证得ABHACD，得出BAH=CAD，AH=AD，进而求得HAD=90，即可求得 AGGD，AG=G

27、D；（2）延长 DG 与 BC 交于 H，连接 AH、AD，通过证得BGHEGD 求得 BH=ED，HG=DG，得出 BH=DC，然后证得ABHACD，得出BAH=CAD，AH=AD，进而求得HAD 是等边三角形，即可证得AGGD，AG=DG；（3）延长 DG 与 BC 交于 H，连接 AH、AD，通过证得BGHEGD 求得 BH=ED，HG=DG，得出 BH=DC，然后证得ABHACD，得出BAH=CAD，AH=AD，进而求得HAD 是等腰三角形，即可证得DG=AGtan2如图，在菱形 ABCD 中，M，N 分别是边 AB，BC 的中点，MPAB 交边 CD 于点 P，连接 NM，NP（1）

28、若B=60，这时点 P 与点 C 重合，则NMP=30度；（2）求证：NM=NP；（3）当NPC 为等腰三角形时，求B 的度数【分析】（1）根据直角三角形的中线等于斜边上的一半，即可得解；（2）延长 MN 交 DC 的延长线于点 E，证明MNBENC，进而得解；（3）NC 和 PN 不可能相等，所以只需分 PN=PC 和 PC=NC 两种情况进行讨论即可若 PN=PC，则PNC=NCP=2x，在PNC 中，2x+2x+x=180，解得：x=36，B=PNC+NPC=2x+x=363=108，若 PC=NC，则PNC=NPC=x，在PNC 中，2x+x+x=180，解得：x=45，B=PNC+N

29、PC=x+x=45+45=903菱形 ABCD 中，两条对角线 AC，BD 相交于点 O，MON+BCD=180，MON 绕点 O 旋转，射线OM 交边 BC 于点 E，射线 ON 交边 DC 于点 F，连接 EF（1）如图 1，当ABC=90时，OEF 的形状是等腰直角三角形；（2）如图 2，当ABC=60时，请判断OEF 的形状，并说明理由；（3）在（1）的条件下，将MON 的顶点移到 AO 的中点 O处，MON 绕点 O旋转，仍满足MON+BCD=180，射线OM交直线BC于点E，射线ON交直线CD于点F，当BC=4，且=时，直接写出线段 CE 的长【分析】（1）先求得四边形 ABCD

30、是正方形，然后根据正方形的性质可得EBO=FCO=45，OB=OC，再根据同角的余角相等可得BOE=COF，然后利用“角边角”证明BOE 和COF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）过 O 点作 OGBC 于 G，作 OHCD 于 H，根据菱形的性质可得 CA 平分BCD，ABC+BCD=180，求得 OG=OH，BCD=18060=120，从而求得GOH=EOF=60，再根据等量减等量可得EOG=FOH，然后利用“角边角”证明EOG 和FOH 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（3）过 O 点作 OGBC 于 G，作 OHCD 于 H，先求得四边形 OGCH 是正方形，从而

31、求得 GC=OG=3，GOH=90，然后利用“角边角”证明EOG 和FOH 全等，根据全等三角形对应边相等即可证得OEF是等腰直角三角形，根据已知求得等腰直角三角形的直角边 OE 的长，然后根据勾股定理求得 EG，即可求得 CE 的长4如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AB 边的中点，沿 EC 对折矩形 ABCD，使 B 点落在点 P 处，折痕为 EC，连结 AP 并延长 AP 交 CD 于 F 点，（1）求证：四边形 AECF 为平行四边形；（2）若AEP 是等边三角形，连结 BP，求证：APBEPC；（3）若矩形 ABCD 的边 AB=6，BC=4，求CPF 的面积【分析】（1）由折叠的

32、性质得到 BE=PE，EC 与 PB 垂直，根据 E 为 AB 中点，得到 AE=EB=PE，利用三角形内一边上的中线等于这条边的一半的三角形为直角三角形，得到APB 为 90，进而得到 AF 与 EC 平行，再由 AE 与 FC 平行，利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证；（2）根据三角形 AEP 为等边三角形，得到三条边相等，三内角相等，再由折叠的性质及邻补角定义得到一对角相等，根据同角的余角相等得到一对角相等，再由 AP=EB，利用 AAS 即可得证；（3）过 P 作 PMCD，在直角三角形 EBC 中，利用勾股定理求出 EC 的长，利用面积法求出 BQ 的长，根据 BP=2BQ

33、求出 BP 的长，在直角三角形 ABP 中，利用勾股定理求出 AP 的长，根据 AFAP 求出 PF的长，由PM与AD平行，得到三角形PMF与三角形ADF相似，由相似得比例求出PM的长，再由FC=AE=3，求出三角形 CPF 面积即可5如图，P 为正方形 ABCD 的边 BC 上一动点（P 与 B、C 不重合），连接 AP，过点 B 作 BQAP 交 CD于点 Q，将BQC 沿 BQ 所在的直线对折得到BQC，延长 QC交 BA 的延长线于点 M（1）试探究 AP 与 BQ 的数量关系，并证明你的结论；（2）当 AB=3，BP=2PC，求 QM 的长；（3）当 BP=m，PC=n 时，求 AM

34、 的长【分析】（1）要证 AP=BQ，只需证PBAQCB 即可；（2）过点 Q 作 QHAB 于 H，如图易得 QH=BC=AB=3，BP=2，PC=1，然后运用勾股定理可求得 AP（即 BQ）=，BH=2易得 DCAB，从而有CQB=QBA由折叠可得CQB=CQB，即可得到QBA=CQB，即可得到 MQ=MB设 QM=x，则有 MB=x，MH=x2在 RtMHQ 中运用勾股定理就可解决问题；（3）过点 Q 作 QHAB 于 H，如图，同（2）的方法求出 QM 的长，就可得到 AM 的长6如图，菱形 ABCD 中，点 P 是 CD 的中点，BCD=60，射线 AP 交 BC 的延长线于点 E，

35、射线 BP 交DE 于点 K，点 O 是线段 BK 的中点（1）求证：ADPECP；（2）若 BP=nPK，试求出 n 的值；（3）作 BM 丄 AE 于点 M，作 KN 丄 AE 于点 N，连结 MO、NO，如图 2 所示，请证明MON 是等腰三角形，并直接写出MON 的度数【分析】（1）根据菱形的性质得到 ADBC，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理证明结论；（2）作 PICE 交 DE 于 I，根据点 P 是 CD 的中点证明 CE=2PI，BE=4PI，根据相似三角形的性质证明结论；（3）作 OGAE 于 G，根据平行线等分线段定理得到 MG=NG，又 OGMN，

36、证明MON 是等腰三角形，根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出MON 的度数7在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O；在 RtPMN 中，MPN=90（1）如图 1，若点 P 与点 O 重合且 PMAD、PNAB，分别交 AD、AB 于点 E、F，请直接写出 PE 与PF 的数量关系；（2）将图 1 中的 RtPMN 绕点 O 顺时针旋转角度（045）如图 2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；如图 2，在旋转过程中，当DOM=15时，连接 EF，若正方形的边长为 2，请直接写出线段 EF 的长；如图 3，旋转后，若 RtPMN

37、的顶点 P 在线段 OB 上移动（不与点 O、B 重合），当 BD=3BP 时，猜想此时 PE 与 PF 的数量关系，并给出证明；当 BD=mBP 时，请直接写出 PE 与 PF 的数量关系【分析】（1）根据正方形的性质和角平分线的性质解答即可；（2）根据正方形的性质和旋转的性质证明FOAEOD，得到答案；作 OGAB 于 G，根据余弦的概念求出 OF 的长，根据勾股定理求值即可；过点 P 作 HPBD 交 AB 于点 H，根据相似三角形的判定和性质求出 PE 与 PF 的数量关系，根据解答结果总结规律得到当 BD=mBP 时，PE 与 PF 的数量关系8 在正方形 ABCD 中，BD 是一条

38、对角线，点 P 在射线 CD 上（与点 C、D 不重合），连接 AP，平移ADP，使点 D 移动到点 C，得到BCQ，过点 Q 作 QHBD 于 H，连接 AH，PH（1）若点 P 在线段 CD 上，如图 1依题意补全图 1；判断 AH 与 PH 的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点 P 在线段 CD 的延长线上，且AHQ=152，正方形 ABCD 的边长为 1，请写出求 DP 长的思路（可以不写出计算结果）【分析】（1）根据题意画出图形即可；连接 CH，先根据正方形的性质得出DHQ 是等腰直角三角形，再由 SAS 定理得出HDPHQC，故 PH=CH，HPC=HCP，由正方形的性质即可

39、得出结论；（2）根据四边形 ABCD 是正方形，QHBD 可知DHQ 是等腰直角三角形，再由平移的性质得出 PD=CQ作 HRPC 于点 R，由AHQ=152，可得出AHB 及DAH 的度数，设 DP=x，则 DR=HR=RQ，由锐角三角函数的定义即可得出结论9如图，QPN 的顶点 P 在正方形 ABCD 两条对角线的交点处，QPN=，将QPN 绕点 P 旋转，旋转过程中QPN 的两边分别与正方形 ABCD 的边 AD 和 CD 交于点 E 和点 F（点 F 与点 C，D 不重合）（1）如图，当=90时，DE，DF，AD 之间满足的数量关系是DE+DF=AD；（2）如图，将图中的正方形 ABC

40、D 改为ADC=120的菱形，其他条件不变，当=60时，（1）中的结论变为 DE+DF=AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中QPN 的边 PQ 与射线 AD 交于点 E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD 之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明【分析】（1）利用正方形的性质得出角与线段的关系，易证得APEDPF，可得出 AE=DF，即可得出结论 DE+DF=AD，（2）取 AD 的中点 M，连接 PM，利用菱形的性质，可得出MDP 是等边三角形，易证MPEFPD，得出 ME=DF，由 DE+ME=AD，即可得出 DE+DF=AD，（3）当点 E

41、落在 AD 上时，DE+DF=AD，当点 E 落在 AD 的延长线上时，DFDE=AD10如图，点 P 是正方形 ABCD 内的一点，连接 CP，将线段 CP 绕点 C 顺时针旋转 90，得到线段 CQ，连接 BP，DQ（1）如图 a，求证：BCPDCQ；（2）如图，延长 BP 交直线 DQ 于点 E如图 b，求证：BEDQ；如图 c，若BCP 为等边三角形，判断DEP 的形状，并说明理由【分析】（1）根据旋转的性质证明BCP=DCQ，得到BCPDCQ；（2）根据全等的性质和对顶角相等即可得到答案；根据等边三角形的性质和旋转的性质求出EPD=45，EDP=45，判断DEP 的形状11已知：如图

42、，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AC=12cm，BD=16cm点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，直线 EF 从点 D 出发，沿 DB 方向匀速运动，速度为 1cm/s，EFBD，且与 AD，BD，CD 分别交于点 E，Q，F；当直线 EF 停止运动时，点 P 也停止运动连接 PF，设运动时间为 t（s）（0t8）解答下列问题：（1）当 t 为何值时，四边形 APFD 是平行四边形？（2）设四边形 APFE 的面积为 y（cm2），求 y 与 t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻 t，使 S四边形APFE：S菱形ABCD

43、=17：40？若存在，求出 t 的值，并求出此时 P，E 两点间的距离；若不存在，请说明理由【分析】（1）由四边形 ABCD 是菱形，OA=AC，OB=BD 在 RtAOB 中，运用勾股定理求出 AB=10 再由DFQDCO得出=求出 DF由 AP=DF求出 t（2）过点 C 作 CGAB 于点 G，由 S菱形ABCD=ABCG=ACBD，求出 CG据 S梯形APFD=（AP+DF）CGSEFD=EFQD得出 y 与 t 之间的函数关系式；（3）过点 C 作 CGAB 于点 G，由 S菱形ABCD=ABCG，求出 CG，由 S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，求出 t，再由PBNAB

44、O，求得 PN，BN，据线段关系求出 EM，PM 再由勾股定理求出 PE12已知菱形 ABCD 的边长为 1，ADC=60，等边AEF 两边分别交 DC、CB 于点 E、F（1）特殊发现：如图 1，若点 E、F 分别是边 DC、CB 的中点，求证：菱形 ABCD 对角线 AC、BD 的交点 O 即为等边AEF 的外心；（2）若点 E、F 始终分别在边 DC、CB 上移动，记等边AEF 的外心为 P 猜想验证：如图 2，猜想AEF 的外心 P 落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如图 3，当 E、F 分别是边 DC、CB 的中点时，过点 P 任作一直线，分别交 DA 边于点 M，BC 边于点

45、G，DC 边的延长线于点 N，请你直接写出的值【分析】（1）连接 OE、0F，由四边形 ABCD 是菱形，得出 ACBD，BD 平分ADC，AD=DC=BC，又由 E、F 分别为 DC、CB 中点，证得 0E=OF=OA，则可得点 O 即为AEF 的外心；（2）连接 PE、PA，过点 P 分别作 PICD 于 I，PJAD 于 J，求出IPJ 的度数，又由点 P 是等边AEF的外心，易证得PIEPJA，可得 PI=PJ，即点 P 在ADC 的平分线上，即点 P 落在直线 DB 上；连接 BD、AC 交于点 P，由（1）可得点 P 即为AEF 的外心设 DM=x，DN=y（x0，yO），则 CN

46、=y1，先利用 AAS 证明GBPMDP，得出 BG=DM=x，CG=1x，再由 BCDA，得出NCGNDM，根据相似三角形对应边成比例得出=，进而求出为定值 213已知：在四边形 ABCD 中，ADBC，BAC=D，点 E、F 分别在 BC、CD 上，且AEF=ACD（1）如图 1，若 AB=BC=AC，求证：AE=EF；（2）如图 2，若 AB=BC，（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；（3）如图 3，若 AB=kBC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出 AE 与 EF之间的数量关系，并证明【分析】（1）中所给的是最特殊的一种情况，但对整个题来说，要从（1）

47、中找到基本的解题思路，此题难的是构造全等三角形，从而证明线段相等虽然（1）中没有要求步骤，但能正确的解出（1）可以给（2）和（3）定一个基调；（2）是将（1）中的等边三角形变为等腰三角形，但起关键作用的条件没变，任然可以仿照（1）中的方法去做；（3）中将三角形变为更一般的三角形，但和（1）比较起来还是有两个条件没变，而利用这两个条件能证明两个三角形相似，从而利用相似的对应边成比例得出结论14正方形 ABCD 的边长为 4cm，点 E 在边 AB 上，将线段 AE 绕点 E 顺时针旋转（090）得线段EF，以 EF 为边在 EF 右侧作正方形 EFGH；（1）如图，分别连接线段 AF、FH、AH

48、，AH 交 EF 于点 I；求证FAH 的度数是一个常数；求证：2AE2=AHIH（2）如图，若=60，点 E 为 AB 的中点，在直线 AG 上是否存在一点 J，使EBJ 的周长最小？若存在，求出EBJ 的最小周长；若不存在，说明理由（3）如图，若=45，点 E 从 A 出发，按 1cm/s 的速度沿 AB 方向运动，直至点 C 落在 GH 上停止运动，设点 E 的运动时间为 t（t0），正方形 EFGH 与正方形 ABCD 重叠部分的面积为 S，请用含 t 的代数式表示 S【分析】（1）易证 A、F、H 在以点 E 为圆心，AE 为半径的圆上，根据圆周角定理可得FAH=FEH=45；由于

49、FH=EF=AE，要证 2AE2=AHIH，只需证到 FH2=AHIH，只需证到FHIAHF 即可；（2）连接 DE 与直线 AG 交于点 N，连接 NB，如图，易证AFGAEH，则有FAG=EAH，从而可得DAG=GAE由 AD=AB 可得点 D 与点 B 关于直线 AG 对称，从有而 ND=NB，从而可求得EN+BN+EB=2+2根据两点之间线段最短可得：当点 J 运动到点 N 处，EBJ 的周长最短，问题得以解决；（3）点 E 运动的过程中，依次出现图a、图b、图c、图d、图e、图f 的情况，只需运用割补法分别求出图a、图c、图e 中 S 与 t 的关系式，运用方程思想求出图b、图d、图

50、f 中对应 t 的值，就可解决问题15请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题（1）初步探究：如图（1），点 E、F 分别在正方形 ABCD 边 AB、AD 上，DECF 于点 P，小芳看到该图后，发现 DE=CF，这是因为EDA 和FCD 都是EDC 的余角，就会由 ASA 判定得出ADEDCF（2）类比发现：小芳进一步思考，如果四边形 ABCD 是矩形，如图（2），且 DECF 于点 P，她发现，请你替她完成证明；（3）拓展延伸：如图（3），若四边形 ABCD 是平行四边形，试探究：当B 与EPC 满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论【分析】（2）根据A=ADC=90，DECF，