人教版高中数学必修二教学设计.pdf

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1、人教版高中数学必修二全册教学设计第六章平面向量及其应用6.1 平面向量的概念一、教学目标1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。二、教学重难点1.教学重点：理 解 并 掌 握 向 量、零 向 量、单 位 向 量、相 等 向 量、共 线 向 量 的 概 念，会表示向量.2.教学难点：平 行 向 量、相等向量和共线向量的区别和联系.难点突破：借助原有的位移、

2、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.三、课前准备1.了解物理学中的矢量和标量：2.了解有向线段的定义四、教学过程1、情景引入一辆摩托车在公路向东向东快速行驶了一段距离,产生了一段位移,距离和位移一样吗？【答案】摩托车行驶的路线实际上是有方向、有长短的量，距离和位移不一定一样.m2、探索新知（1）向量的实际背景与概念问题1：位移与距离这两个量有什么区别？【答案】距离只有大小，是标量：位移既有大小，又有方向，是矢量，。向量与数量的定义：只有大小，没有方向的量叫做数量（在物理学中称为标量）.既有大小，又有方向的量叫做向量（在物理学中称为矢量）；注意：数量

3、只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；而向量既有大小又有方向，向量是不能比较大小的.练习：判断下列量不是向量的选项是（）A.距离 B.速度 C.力 D.密度【答案】选 A D（2）向量的表示问题：由于实数与数轴上的点一一对应，数量可以用数轴上的一个点来进行表示，那么向量是如何表示呢？有向线段的定义以A为起点，B为终点，则线段AB 具有方向，把这样具有方向的线段AB 叫做有向线段.如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作A B .线段AB 的长度也叫做有向线段 丽 的 长度，记作|荏|.问题:一条有向线段由哪些要素所确定？【答案】起点、方向、长度.向量的几何表示（1）几何表示法：

4、用有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。（2）用字母等表示；用有向线段字母表示：A B（A 为起点、B为终点）；用小写字母表示：%、3、展；（印刷用a,书写用Z）注意：用有向线段表示向量时,起点的位置可以是任意的，所以向量与起点无关，规定数学中的向量具有自由性.4.向量的模向量薪的大小称为向量蕊 的 长 度（或模），记作|瓦|或记作|7|。思考：向量的模的取值范围？【答案】非负数。5.零向量：长度为0 的向量叫零向量，记作6.思考：6 与 o 的含义与书写区别.单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨

5、迹是什么图形？【答案】以原点为圆心，I 为半径的圆注意：（1）零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定.（2）向量是不能比较大小的，但向量的模（是非负数）是可以进行大小比较的.（三）.相等向量与共线向量1.平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定。与任一向量平行.A（起点）Ba（终点）3B（终点）A（起点）思考：若a H b ,b He,则。c?【答案】若时，则不成立2 .相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说.明：（1）零向量与零向量相等，但是两个单位向量不一定相等；（3）向量是否相等只与大小和方向有关，与起点无关.3 .共线向量与平行向量关系：如图所示,

6、因为任一组平行向量都可移到同一直线上（向量具有自由性，与有向线段的起点无关），所以平行向量就是共线向量.b.b .。一,O A B巩固训练：填空：（对下列选项对的打Y错的x）)(1)平行向量一定方向相同（(2)不相等的向量一定不平行（(3)与零向量相等的向量必定是零向量？（(4)与任意向量都平行的向量是零向量？（)(5)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是平行向量？（)(6)(7)两个非零向量相等的当且仅当长度相等且方向相同（)共线向量一定在同一直线上（)【答案】（1）x （2）x （3）7 （4）q（5）4（6）Y （7）x例1.如图，设0是正六边形ABC D E F的中心,(1)写出

7、图中的共线向量;(2)分别写出图中与向量苏、丽、无相等的向量.解：次 诬,5 5,共线向量;面,皮,瓦5,而 是共线向量;历,Q,丽 而 是 共 线 向量；（2）OA=CB=DQOBDC=Ed；OC=ABED=FO；例2.如图所示，4 x 3的矩形（每个小方格都是单位正方形），在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：B（1）与 4%相等的向量共有几个；（2）与 4%方向相同且模为3 啦的向量共有几个；分析:根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可.解:由题意可知，因为每个小方格都是单位正方形，所以每个小正方形的对角线的长度 为 亚 且都与备 平 行，则 成=8+合

8、=2应,（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，则与矗相等的向量共有5个，如图1；（2）与 A%方向相同且模为3 a 的向量共有2个，如图2.点睛:本题考查共线向量和相等向量的定义，以及向量的模的计算，考查分析问题的能力和数形结合思想.五、课堂小结1.向量的概念；2.向量的表示：代数表示、几何表示；3.研究向量的两个方面：大小：零向量、单位向量；方向：共线向量、平行向量；大小与方向：相等向量、相反向量4.数学思想方法：数形结合、分类讨论(注意对。的讨论)。六、课后作业习题6.1 2,3 题六、课后反思本节课是“平面向量及其应用”的起始课，依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理

9、念，因此在向量概念的引入过程中，从物理的角度创设问题情景，使学生明白研究向量不仅是数学本身发展的必然，更是研究客观世界的需要，从而产生强烈的求知欲望。最后又通过物理问题如何用数学的方式加以解决，为学生理解向量的数量积以及向量在实际问题中的应用埋下伏笔。教学中还需注意以下三个方面：(1)通过平面向量的概念形成,让学生体会“平面向量具有集形与数于一身的特征；(2)引导学生抓住大小与方向两个方面，让学生去发现结论，再由学生或师生共同完善概念。使学生感受知识自然形成的过程，同时也培养了学生的创新意识。第六章平面向量及其应用6.2.1向量的加法一、教学目标1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；2.

10、熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，会作已知两向量的和向量;3.理解向量加法运算律，并能熟练地运用它们进行向量计算。4.通过对向量加法的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。二、教学重难点1.两个向量的和的概念及其几何意义；2.向量加法的运算律。三、教学过程：1、情景引入在大型生产车间里，一重物被天车从A处搬运到B处，如图所示.它的实际位移彳万，可 以 看 作 水 平 运 动 的 分 位 移 衣 与 竖 直 运 动 的 分 位 移 标 的合位问题1：根据物理中位移的合成与分解，你认为 通，A D,AC之间有什么关系？【答案】AJB=AC+AD.问题2：向量AB,AC,

11、CB之间有什么关系？【答案】A B =A T +C B .2、探索新知（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示：A B +B C =A C.规定：零向量与任一向量a ,都有a +0 =6 +a =a .说明：共线向量的加法：/,不共线向量的加法：如 图（1）,已 知 向 量h,求作向量Z +B.作法：在平面内任取一点。（如 图（2）,作=A B=b,则0月=+B（1）（2）（2）.向量加法的法则：三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。表示：Q 4 +A B =0 B .【口诀】尾首相接首尾相连。平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量

12、,B 为邻边作口A6CO,则则以A为起点的对角线A C就是与坂的和,这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。【口诀】共 起点，和为对角线。小组合作探究：问题1：若向量和否共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能否做出向量Z +B吗？【答案】（1）当和3同向时，a+b=A B +BC=A C.（2）当。和Z 反向时，a+h-A B +B C =A C n问题2：日+川,日|,曲之间具有什么样的关系。【答案】当和B反向或不共线时，日+川 向+向；当Z和g同向时，日+1=向+而。综上，|+各国3+曲。问题3：向量的加法能否像数的加法也满足交换律和结合律呢？Dabc【答案】如图所示：在平行四

13、边形4 B C O中，A C=A B+B C=a+b,AC=AD+DC=b+a,所 以 a +B =B +a。在图(2)中，A D=AB+B C+CD AC+CD =(a+h)+c,R=Q+而+而=Q+访=Z+(3+K，所以，(a+3)+c =a+(3+c)。运算律：交换律：a+b-b +a.结合律：(a+b)+c=a+(b+c).4.例题分析：例1.化简下列各式：(DTB+O P+B O,(2)(AB+MB)+BO+OM；(3)AB+BC+CD+DE.解：而+而+而=砺+而)+而=而+而=0；(2)(AB+MB)+O+OM=(AB+d)+(OM+A S)=AO+OB=AB；(3)AB+BC+

14、CD+DE=AC+CD+DE=AD+DE=AE.例2.如图，点0是平行四边形A B CD两条对角线的交点，则下列两个等式一定成立的是哪个?AB+AD=AC-,BO+OCDA.-解：4 3 +A )=AC,故正确;0B O +O C =B C =A D,故错误注意：向量求和，注 意“首尾顺次相连”；向量加法的结果还是向量例3.小雨滴在无风时以4 m/s的速度匀速下落.一阵风吹来，使得小雨滴以3 m/s的速度向东移动.那么小雨滴将以多大的速度落地？方向如何？解：如图，设0 4 表示小雨滴无风时下落的速度,06表示风的速度，以OA,0 B 为邻边作平行四边形0 A CB,则 就是小雨滴实际飞行的速度

15、.在R ta O A C中，|OA|=4 m/s,A C1=3 m/s,所以I 1=5 m/s.且 ta n Z A O C=1,即/A 0 C 3 7 .所以小雨滴实际飞行速度为5 m/s,方向约为东偏南5 3 .四、小结：1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；2 .熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则以及向量力口法的运算律。3.a+b a +b五、作业：习题3.1 6,7,9题第六章平面向量及其应用6.2.2向量的减法运算课题：平面向量的减法一、教学目标1 .掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，2 .掌握相反向量，能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则

16、作出两向量的差向量，了解向量方程，并会用几何法解向量方程.3 .通过对向量减法的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。二、教学重难点:1.向量减法的三角形法则.2.对向量减法定义的理解.三、教学过程：1.复习回顾首先一起回顾一下求解向量和的向量加法的平行四边形法则与三角形法则，本节课我们将学习向量的减法.2、探索新知(1)向量减法的定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即ab=a+(b).求两个向量差的运算，叫向量的减法.说明：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量;零向量的相反向量仍是零向量；任一向量和它相反向量的和是零向量.(2)作法如图所示，以平面内的一点

17、作为起点作a,b,则两向量终点的连线段，并指向a终点的向量表示ab.说明：向量减法可以利用相反向量转化为向量加法,b与ab尾首相接，首尾相连，得到ab=CB.例题分析:例1.如图，已知向量a,b,c,d,求作向量ab,c d.解：作法：如图，在平面内任取一点0,作布=a,0B=b,虎=c,65=d.作疝，DC,则血=ab,D C =c-d)例2.如图，。是平行四边形ABC。的两条对角线的交点，则下列等式不正确的是(ABCA.DA-DCAC B.DA+DCDOC.OA-OB+ADDB D.AO+OB+BC=AC解:对于A，DA-DCCA故A错误；对于B,DA+DCDB故8错误；对于C.OA-OB

18、+ADBA+AD BD，故C错误。故选:A B C例3.如图，四边形。4OB是 以 向 量 诙=,砺=看 为边的平行四边形，又_ 1 _,1 _BM=-BC,CN=-CD,试用、B 表 示 丽B D-：BM=-BC,BCCA,.-.BM=-BA,3 6/.BM=-BA=-(OA-OB)=-(a-b).6 6 6OM OB+BM b+(a-h-a+-b.6、6 6.CN =-CD,CD=OC,3ON=OC+CN=-OD=-(OA+OB)=-a +-b.3 3 3 3MN=ON-dM=-a +-b-a-b=-a-b .3 3 6 6 2 6四、小结：L理解向量减法的概念及向量减法的几何意义；2.熟

19、练掌握向量减法的三角形法则以及向量减法的运算。五、作业：习题6.2.2.第六章平面向量及其应用6.2.3向量的数乘运算一、教学目标1 .让学生理解向量数乘的含义及向量数乘的运算律；2.让学生能由实数运算律类比向量运算律，并且验证强化对知识的形成过程的认识，正确表示结果；3.理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向量是否共线。二、教学重点1 .实数与向量积的定义及几何意义.2.向量共线的充要条件及其应用。三、教学过程：1、情景引入质点从点。出发做匀速直线运动，若经过1 s的位移对应的向量用2表示，那么在同方向上经过2 s的位移所对应的向量可用2 1来表示。问题L这里，2%如何表示？如何表

20、示？已知非零向量Q，求作Q +Q和（一。）+（-4）.c i。一 Q _ a a 0 A E D C如图：0Q=。+。=2。，CE=（a）+（a）=2a.问题2：这里，2%是何种运算的结果？2、探索新知引出实数与向量的积的定义：一般地，实数几与向量Z的积是一个向量，记作九 ,它的长度与方向规定如下：（1）刈 a|；（2）当/i o时，/i Z的方向与Z的方向相同；当40时，丸 的方向与Z的方向相反；当2 =0时，Za=6.（让学生自己解释其几何意义）实数X与向量相乘，叫做向量的数乘问题：通过几何意义，让学生尝试验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律2.实数与向量的积的运算律：（1）=（结

21、合律）；（2）（几+）。=4。+4。（第一分配律）；(3)A(a+b)+(第二分配律).例1.已知向量。和向量b ,求作向量 2.5 a和向量2 a-3 8 。解：如 下图【作法】(1)如图所示，向量一2.5的长度是2的长度的2.5倍，方向与相反，即 丽=一2.5.(2)以。为起点，分别 作 反=2 2,0 D 3b,连结D C,则 反=2 -3尻例 2 计 算:(1)4(a-b)-3(a+2b)；(2)2(2a+6 b-3 c)-3(-3 a+4 b-2c)分析：根据实数与向量的向量的线性运算的法则去解题.解：(1)a-10b；(2)1 3 a.问题：向量数乘与实数乘法有哪些相同点和不同点？

22、生答：(1)向量的数乘与实数的乘法的区别：相同点：这两种运算都满足结合律和分配律.不同点：实数的乘法的结果(积)是一个实数，而向量的数乘的结果是一个向量.(2)向量线性运算的结果是一个向量，运算法则与多项式运算类似.例3.判断下列各题中的向量是否共线：-_2-1 一(1)a =4 e,及，b =e-ei；1 5 1 0(2)Q =ei+e2,b-2e-2ei,月.臼，会共线.解：(1)当2 =0时，则石=6,显然B与共线.当 a w 6时，b =e-e2=(4G%)=，B 与。共线.1 0 4 1 5 4(3)当ei,0 2中至少有一个为零向量时，显然B与。共线.当 均不为零向量时,设工1=几

23、 工2a =(1 +%)C 2,b=(2 A-2)6 2若a二1时，4=6,显然加与。共线.9 J 7若1时，坂=三匕 ,1 +4.B与共线.例4.设 是 两 个 不 共 线 的 向 量，已知AQ=2I+三2,CB=ei+3e2,C D 2 e i-e2,若A,B,。三点共线，求攵的值。解：BD=C D-C B=2e-62)-卜1 +3/)=6-4e2T A,B,。三点共线，而与3方共线，即存在实数2,使 得 丽=2丽,即是 2e+kei=A(ei-4e?).由向量相等的条件，得 2=A，.左=8.k=44四、小结：1.实数与向量积的定义；2.理解实数与向量积的几何意义；3.实数与向量的积的运

24、算律.五、作业：习题第六章平面向量及其应用6.2.4向量的数量积一、教学目标：1、知识与技能：通过物理中“功”的实例，理解平面向量数量积的含义，掌握平面向量数量积的性质.2、过程与方法：经历从物理背景的分析，抽象概况出概念的过程，培养学生归纳概括、类比迁移的能力；经历通过不同的方式探究、发现平面向量数量积性质的过程，体会从特殊到一般、分类讨论、数形结合的数学思想方法.3、情感、态度、价值观：通过师生互动，生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会各学科之间的密切联系，感受知识的形成过程，提高数学学习的兴趣，形成独立自主的钻研精神和合作学习的科学态度.二、教材分析：重点：平面向量数量积的

25、概念和性质.难点：平面向量数量积的性质的发现.三、教学策略：启发式和问题探究相结合。四、教学过程：（-）创设情境展示背景如图小车在力F的作用下移动了一段位移是s,力和位移的夹角为e,从物理的角度来看其实质是什么？（二）分析背景 形成概念群答：力对物体做功，力对物体做功，问题1：图中力对物体所做的功是多少？W=F S cos0（可能学生回答W=耶，引导学生回答图中的力对物体所做的功是多少？）这里的。是什么？生1：力和位移的夹角问题2：影响力对物体所做的功的因素有哪些？群答：力F、位移s、力和位移的夹角e问题3：像力F、位移S这些量在物理上我们称做什么量？大家回答看看群答：矢量问题4：很好！类比矢

26、量在数学上我们把既有大小又有方向的量称为什么量？群答：向量问题5：那我们用数学的眼光来看这是向量的一种什么运算？我们看等式的左边是什么量？群答：标量问题6：在数学上我们称为什么量?群答：数量从求功的运算中，能否抽象出某种数学运算？（课件展示）生 5：a b c o s O问题7：下面大家注意了，像这种向量运算前面我们学习了好几种，对不对？有向量的加法、减法、数乘，这些运算的结果都是什么量？群答：向量这种运算的结果是数量，跟以往不同。我们今天这节课就是从力的做功公式出发来引进向量的一种新的运算，你能否给这种运算起个名称？大家想想看，取什么名字好！生 6：向量的积问题7：太好了，这里的确是向量的积

27、的运算。有没有人对这种运算有其他名字？生 8：向量的数量积问题9：太棒了!大家觉得好不好！。从结果来看是一个数量。还有吗？生 9:平面向量的数量积.师:简直太牛了！（由力对物体做功公式类比得出平面向量的数量积）师：我们知道功运算中除了力和位移，还有一个夹角仇 物理上称为力和位移的夹角，在数学上我们称为向量的夹角，下面我们来看书本给出的向量夹角的定义：向量的夹角：已知两个非零向量 和石，作 凉=，OB=b 则 N AOB=6叫做向量与坂的夹角.问题1 0：两个非零向量的夹角的范围是什么？（课件展示）当且仅当两非零向量、h同方向时6=；生 1 0：夕=0 当且仅Z，g 反方向时，。=;生 1 1：

28、。=1 80 以上统称为Z 各当0=，称a与匕垂直，记作（I -L l j .规定：0 =2x3xcosl35=-3A/2；（2）当向量、g同方向时6=0 ,则73=6（3）当Z，g 反方向时，6=180，则=-6当1 _L 时,6=90,则5=0数量积的性质：已知是两个非零向量.（l）a6a-6=0（2）a.a=H 或 口=/.3伍3=晶 卜 年 耶小组合作讨论：（1）如果a石满足a 1 =0,试讨论a与 诞 否 垂 直。，生答：a=。或者君=。或者a _L B（2）如果a,礴 足a/H0,试讨论a与仍勺夹角情况。生答：若.石 0,则与B同向或者夹角为锐角；若7 3 0,则与3反向或者夹角为

29、钝角;变式 1：已知H=2,W=3，a b=-3 求6生板演：%.=a bcos；.01806=1 2 0 变式2：已知口=2,W=3,求 的 范 围生板演：a.b=abcosO.0(,.【答案】假设Q=乂6 *:a-ex+4G，,4,=4G+4生，(4 鸠+(4 儿)弓=a 4 i o,且 4 一出=。，4 =,且4-2，2阳 和 2进行表示唯一。2、探索新知平面向量基本定理：如果与弓是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量4,有且只有一对实数4 4,使 =46+402。我们把不共线向量4/2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；说明：(1)基底不唯一，关键是不共线；*(

30、2)由定理可将任一向量&在给出基底弓 上2 的条件下进行分解；(3)基底给定时，分解形式唯一；例1.如图，不共线，且 赤=用而 表 示 丽。解：因为 A P =L 4 6(/w R),所以 0 P =0 4 +A P =O 4 +f A B=OAt(OB-OA)=OA+tOB-tOA(l-t)OA+tOB重要结论:如果尸、A、B三点共线，点0是平面内任意一点，若 加=/1苏+丽，则4+1 o1 2变 式 训 练:设 分 别 是AA3C的边A氏3 c上的点，AD=-AB,B E tB C,若诙=4通+%恁（4,4为实数），则4+4的值为.【解析】易 知 瓦=丽+诙=-AB+-BC=-AB+-（A

31、C-AB =-AB+-AC,2 3 2 3、6 34=一!，=T 二4+4=彳o 3 Z例2.如图所示，在A80C中，。是以A为中点的点3的对称点，0D=2DB OB=b-（1）用 和5表 示 向 量 反、加；（2）若 诟=几 丽，求实数/I的值.-5-4【答案】（1）OC=2a-b DC=2a b,（2）/=.2 2-【解析】（1）由题意知，4是线段BC中点，且“=一。5=江3 3OC=OA+AC=OA+BA=OA+OA-OB=2a-bDC=OC-OD=（2a-b）-b =2a-b；设 反=反，即（2-2）”石=A（2G-京），则有,(2),.e EC=OC-OE=(2d-h-Ad=(2-A

32、d-b,.一 5 一由题可得C QC，DC=2a-h,(42 A =2k 4=,5,.解得1 :1 =k.3Qk=I 54因此，A =.例3.证明：三角形的三条中线交于一点.【解析】如图所示，设AD、BE、C F分别为ABC的三条中线，令踵二a,北=4则有而 一。设G在AD上，且；彳=；，则 有 而=蠢+而=+；仍 一。）=；（。+协.BE=AE AB=b-a.2:.B G AG-A B =B D-AB-（a+b）-a=b a3r 3 3=；（-，卓；.G在BE上.同理可 证 函=；否，即G在CF上.故AD、B E、Cr三线交于同一点.四、小结1.平面向量基本定理;2.基底；3.掌握平面向量基

33、本定理的简单应用五、作业习题6.3.1第六章平面向量及其应用6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示一、教学目标1 .理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；2 .会用坐标表示平面向量；对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的关系转化来用坐标表示；3 .通过对平面向量的正交分解及坐标表示的学习，培养学生数学抽象、数学运算等数学素养。二、教学重难点1 .平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示；2 .对平面向量的坐标表示的理解。三、教学过程：1、复习回顾平面向量基本定理如果弓 上 2 是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个 向 量 有且只有一对实数4%,使我们

34、把不共线向量弓，0 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；说明：(D 基底不唯一，关键是不共线；(2)由定理可将任一向量4在给出基底备/2 的条件下进行分解；(3)基底给定时，分解形式唯一；2、探索新知平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解。问 题 1：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(乂历表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？答:在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个不共线向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x,y 使得a=x i+W，则把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标.记

35、作a=(x,y),此式叫做向量的坐标表示.作向量0A=a,设 O A =x i +y/,所以a=Q 4 =（x,y）。说明：（1）对于7,有且仅有一对实数（乂历与之对应；（2）两向量相等时，坐标一样；(3)(4)7=（1,0）;=（o,i）o =（o,o）,，从原点引出的向量函的坐标“，刃 就是点A的坐标。例 1.如图，用基底7,/分别表示向量5、B、c解：由图知：a=2 7 +2/=(2,2)；2=-2：+2,=(-2,2).C=-2 7-2 7 =(-2,-2)；5 =2 7-2；=(2,-2)况=使32 2例 2.如果将J 绕原点0逆时针方向旋转1 2 0 得到。后，则求O B的坐标.解

36、：由题意知A 是 3 0 角的终边与以点0为圆心的单位圆的交点,B 点是将0 A绕原点0逆时针方向旋转1 2 0。终边与以点。为圆心的单位圆的交点.由三角函数的定义，,2 6 冗设终边0 A与 x 轴 所 形 成 的 角 为 t a n t z =r =yj3 3 o2因为小笄=|OA|=|OB|,所以点B的坐标为0 3 0(8 S ,S i喏)即(-甥).变式训练：已知向量04=（5,1 2）,将 方 绕原点按逆时针方向旋转9 0 得到。耳，则 0 豆（）A（-5,1 3）B（-542）c（-1 2,1 3）口（7 2,5）解：向 量 西=（5,1 2）,将 方 绕 原 点按逆时针方向旋转9

37、 0 得 到 砺，点 B 的 坐 标（-1 2,5）,如图:所 以 砺=（-1 2,5）.故选：D.四、小结：1.平面向量的正交分解；2.正确理解平面向量的坐标意义；五、作业：习题6.3.2第六章平面向量及其应用6.3.3 平面向量的加、减运算的坐标表示一、教学目标1 .掌握平面向量加、减运算的坐标表示；2 .会用坐标求两向量的和、差；3 .通过对平面向量加、减运算的坐标表示以及运算学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学素养。二、教学重难点1 .平面向量加、减运算的坐标表示；2 .对平面向量的坐标表示的理解。二、教学过程：1、复习回顾平面向量基本定理如果6,0 2 是同一平面内两个不

38、共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量有且只有一对实数4%,使 0 =4 0+4 02。我们把不共线向量弓 上 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；说明：（D 基底不唯一，关键是不共线；由定理可将任一向量a在给出基底弓/2 的条件下进行分解；(3)基底给定时，分解形式唯一；问题1：向量用坐标表示的基本原理是什么？设 八 J是与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若 a=x i+y j,则 a=(x,y).2、探索新知小组活动探究：问题2：若a =(X,y)3 =(w，y 2)，你可以推导出a +分,。一办的坐标吗？生答：a+b =(xli +yj)+(x2i+y2j)=(x+x2)i+

39、(yl+y2)j即。+1=(玉+巧，y+%)同理可得a-g =(X X2，y,y2)0重要结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。例 1.已知。=(2,1),各=(-3,4),求。+2,。-2的坐标。解：(2,1)+(-3,4)=(-1,5)=(2,1)-(-3,4)=(5,-3)：问题3：如图，已知向量A 耳，且点A(为，y),B(x2,y2)t你能推导出赢 的坐标吗？生答：A B =O B-O A=(x2,y2)-(xi,y)=(x2-xi,y2-yl)重要结论：(1)一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标;(2)两个向量相等的充要条件是这二个向量的

40、坐标相等。例 2：如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C 的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D 的坐标.图6.3-13解：设顶点。的坐标为(乂咒.丽=(一 1 一 (2),3-l)=(l,2)DC=(3-x,4-y)，由 A B =D C,得(1,2)=(3 -x,4 -y)1 =3 x x =2 2=4 y .y =2，顶点。的坐标为(2,2).变式训练1：已知点A(0,1),B(3,2),向量A C=(-4,3),则向量B C=(A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)答案：A变式训练2：已知平行四边形A B C D 中，A(0,0

41、),B 0),D 4),对角线A C,B D 交于点M,则D M 的坐标是()答案：A四、小结：1.掌握平面向量加、减运算的坐标表示；3.能用平面向量的坐标及其加、减运算解决一些实际问题。五、作业：习题6.3.3第六章平面向量及其应用6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示一、教学目标1 .掌握向量数乘运算的坐标表示；2 .会根据向量的坐标，判断向量是否共线；3 .通过对平面向量数乘运算的坐标表示的学习，培养学生数学抽象、数学运算等数学素养。二、教学重难点1 .向量数乘运算的坐标表示，根据向量的坐标，判断向量是否共线；2 .向量运算的坐标表示的理解及应用向量共线的充要条件证明三点共线和两直线平行的

42、问题。三、教学过程：1、复习回顾(1)若“=(%,%),=(孙)，W O a+b =(xt+x2,yt+y2)a-b =(xi-x2,yi-y2)(2)已知向量A 从 且点A(%，y),8(孙 必)，而).2.探索新知问题1.已知】=(x,y),你 能 推 导 出 的 坐 标 吗？生答：因为a =(x,y),所以=+即4 =(於,为)。重要结论：实数与向量的积的坐标等用这个实数乘以原来向量的相应坐标.例1.已知Z =(2,1)3 =(-3,4),求3 2+的坐标。变式训练1：已知向量=(1,2)=(2,3),c=(3,4),且。=为。+励,则 2 1 的值分别为(A.-2,1 B.1,-2C.

43、2,-1 D.-l,2&UI+2 A2=3,解：由题意得(3,4)=在(1,2)+%2(2,3)=(，1+2 入 2,2 2I+3Z2).由 _1 2 2 1+3 x 2=4,)解得，A i =1,故选：D无=2.变式训练2：若向量.1 -3 tA.a +b2 23 _ 1 rC.一a -b2 2【答案】D=(1,1),力=(1,7),C=(-1,2)T 则 等 于()B.D.3 -1 r a +b2 21 _ 3 r a b2 2【解析】因为。=(1,1),5 =(1,-1),c =(-l,2),设。=九 2 +4力，则有(-1,2)=(2 +,4 一),即 几+=1,c，解得4 _ =2%

44、=23=2所以c =-a b ,故选：D.2 2问题2.设=(%,%)3=(%,%)，若 向 量 共 线(其 中 1力6)，你能推导出这两个向量的坐标应满足什么关系？生答：向量Z3共线的充要条件是存在实数4，使之 =忘，用坐标表示为(,其)=/1(，%)即 修 2,71=为 2问题3.你能将这两个等式合并成一个式子吗？生答：重要结论：向量平行(共线)的充要条件的两种表达形式：(加 w 6)=a =4(2 R,b 工 0)；a 3 (B w G)且设。=(%，x)，b =(x2,y2)xy2-x2y=0(x,x2 9yi 9y2 G/?)例 2.已知向量1(2,1),%=(x,l),若2+各与5

45、共线，则求实数的值解：由 a =(2,l),Z?=(x,l),则+6 =(2 +%,2),右一5 =(2 ,0),因为Z +B与-另共线，所以(2 +X)X0=2(2-X)，解得尤=2变式训练：已知乙=(1,2),5 =(-3,2).(1)求证：a,5不共线；(2)若3 d+4 6 =(m一 1)4 +(2-)b ,求实数加，的值：(3)若 姐+5与-2 b 共线，求实数%的值.解：证明:根据题意，a =(1,2),5 =(-3,2),有1X2H2X(-3),故0,5不共线；(2)根据题意，3 a +4 b =(m-l)a +(2-n)b ,H.a,5 不共线；.(w 1 =3 f m=4则有

46、 解可得 ;2-=4 -2(3)根据题意，若 姐+b与豆 一 2 内共线，设(k d+6)=t(d-26),即初+5 =位一2 区，则有(，则女=L 故答案为：2 =-2.1 =-2/2 2问题4：设点P是线段PR 上的一点，点 P,P 2 的坐标分别为(2，必),(,火)，当 P是线段 P F 2 的中点时，你能推导点P的坐标吗？生答：P(土 土,2 1 土匹)2 2重要结论：中点坐标公式若 点 P l,巴的坐标分别为(和凹),(，必)，线 段 PR 的 中 点 P 的坐标为(X,y)，则_ X|+x212 _ _例 3.已知点8(1,3),C(l,5),0(2,7),向量入月与。力平行吗？

47、直线AB平行与直线CO吗？解：V A B =(1 -(-1),3-(-1)=(2,4),丽=(2 1,7 -5)=(1,2),又2 x 2 1 x 4 =0,A A B/C D；又 急=(1 (1),5 (1)=(2,6),丽=(2,4),2 x 4-2 x 6 0,正与入月不平行，A、B、C 不共线，A B 与 C。不重合,所以，直线A 3 与C O 平行。四、小结：1.向量数乘运算的坐标表示；2.向量共线的充要条件；3.中点坐标公式；五、作业：习题6.3.4第六章平面向量及其应用6.3.5平面向量数量积的坐标表示一、教学目标1.掌握平面向量数量积的坐标表示；2.会运用两个向量的数量积的坐标

48、表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题；3.通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学抽象、数学运算等数学素养。二、教学重难点1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.三、教学过程：1、复习回顾平面向量的数量积以及向量线性坐标运算2.探索新知问 题 L 过对平面向量的数量积以及向量线性坐标运算的学习，你能否已根据两个非零向量a=(xi，V),b(X2,J2)用 a 和 的坐标表示a3?生答：记 a=(Xl，%),8=(X2，”)

49、，.a=xii+yij,b=X2i-yij.a-b(Xi+y f)(X2i+y2j)x X2i1+(xiy2+x2y)i-j+yiyj2=XX2+y y2重要结论：平面向量数量积的坐标表示己知两个非零向量a=(x”yi),b(X2,yi),则。仍=_ _ _ x i X 2+y i y 2，即两个向量的数量积等于 它们对应坐标的乘积的和.问题2.小组合作，请大家利用平面向量的数量积的坐标表示推导出向量模的坐标表示、两向量垂直的坐标表示以及两向量夹角的余弦公式？生 1 答：设a=3，y D，b=(九2，y i)则 a b O a b=0XX2+y y 2=0生 2 答：设。=(为,y。,b=(x

50、 i，y i),贝lj a _ L 5 0b=|b|c os 9 O=O生3答：设。是。与6的夹角，则c os 6=磊=74誓 泻固网 y l x i+y t l x i+y i重要结论：平面向量坐标表示的几个公式(1)向量模的坐标表示若。=(冗，y),则|a|2=x2+y2,或(2)两向量垂直的坐标表示设。=(汨，y i),b=g,2)，则级_Lb汨1 2+)叮2=0.(3)两向量夹角的余弦公式n-h设。，力是两个非零向量，a(x 9 y ),b=x i，y i),。是。与的夹角，则c os。=而百X 1 X 2+K V2人+)人/卜+货3.数学运用例 1.(1)已知向量“=(T，2),b