成考专升本高数二课堂笔记.pdf

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1、第0 章 预 备 知 识 函 数新修订的 大纲 中己删去了函数这一章内容，就是说函数知识在考试中不作考核要求,即不会单独出现有关函数概念及性质的试题，但因微积分学是以初等函数为研究对象，所以把函数做为预备知识，对于后面学好微积分学是十分必要的。复习考试要求1 .理解函数的概念，会求函数的表达式、定义域及函数值。会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单分段函数的图像。2 .理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。3 .了解函数了=/()与其反函数丫二尸1(之间的关系(定义域、值域、图像)，会求单调函数的反函数。4 .熟练掌握函数的四则运算与复合运算。5 .掌握基本初等函数的性质及其图像。6 .

2、了解初等函数的概念。7 .会建立简单实际问题的函数关系式。主要知识内容一、函数的概念1.函数的定义(1)常量与变量常量：在观察某种自然现象或技术过程中，保持不变的量，或者是取固定数值的量。常量一般用字母a,b,c 表示。变量：在观察某种自然现象或技术过程中，变化着的量，或者是取不同数值的量。变量一般用字母x,y,z,.表示。(2)函数的定义设在某个变化过程中有两个变量x 和 y,变量y随变量x而变化，如果变量x在非空实数集合D中取某一数值时，变 量 y依照某一对应规律f 总有惟-一确定的数值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记为y=f (x)(x C D)其中x叫自变量，y叫因变量或函数。例

3、如，收益函数y=a x (其中a 表示价格)匀速直线运动S=S0+vt总成本函数0=的+51(其中C o为固定成本，G 为单位可变成本)在上述函数的定义中，重要的是：三因素两要素。定义域：在数轴上使函数f有定义的自变量的取值范围(变化区域)D,称为函数的定义域。记为D (f)。对应规律：自变量x在 D上每取一数值时，函数y按照某一确定的规律f,有确定的数值与之对应。当自变量x取某一定值a 时，函数产f (x)的对应值记为f (a),有时也记为y|x=a。值域：函数y的取值范围，称为函数的值域，记为Z (f)。例 1.函数的定义两要素(1)下列各组函数中，两个函数相同的是A _ f(x)=x,g

4、(x)=J?B /(x)=lnr3,g(x)=3 1 n rc/(x)=ln|x|,(x)=Inxx2 -iD,欢=I【答疑编号no o o io i：针对该题提问】答B.（2）9501下列各组函数中，两个函数相等的是A J =西）2,g（x）=V?/-1C /(r)=x,g(x)=r(s in2+c o s2 r)D./（x）=lg（x 2）j（x）=21gx【答疑编号11000102：针对该题提问】答C。例2.求函数定义域（1）9401函数=4二7+馆0-1）的定义域是A.（0,5 B.（1,5 C,（1,5）D.（0,+oo）【答疑编号11000103：针对该题提问】答B。5-x 0l(

5、x 0(x-l)(x-4)0 x 4D(f)=(-c o.l s j 4,+c q)ln(x +l)(3)0001 函数 vx-1的定义域是A.(-1,+o o)B.-l,+o o)C.(1,+o o)D.l,+o o)【答疑编号11000105：针对该题提问】答 C。%+1)0(X-1)0小D(JO=(L+8)例 3.求函数值或进行函数式的变换(1)9611 设 f(x)=3x+5,则 f f(x)-2=【答疑编号11000106：针对该题提问】答 9x+14解：f(x)-2=3x+5-2=3x+3F f(x)-2=3(3x+3)+5=9x+14(2)设 I ,则/S)-l【答疑编号1100

6、0107：针对该题提问】=(x*2)答 x-2解：/(x)-l=_ L_-lx-1117Ti/W-ix-lc 1 i x-l xT /(3)设 f(x2+l)=X4+3X2+2,贝 I J f(x)=【答疑编号11000108：针对该题提问】答 x?+x/(X2+1)=(X4+2X2+1)+(X2+1)=(x2+l)2+(x2+l)f(t)=i2+tf(x)=x2+x2.函数的表示法常用的函数表示法有三种：解析法(公式法)、表格法、图示法。(I)解析法对自变量和常数施加四则运算、乘嘉、指数运算、取对数、取三角函数等数学运算所得到的式子称为解析表达式。用解析表达式表示一个函数就称为函数的解析法，

7、也叫公式法。(2)表格法在实际应用中，常把自变量所取的值和对应的函数值列成表，用以表示函数关系，函数的这种表示法称为表格法。(3)图 示 法 设 尸 f(x)是一个给定的函数，定义域是D (f),由于自变量和函数都取实数值，因而我们可以在平面上取定一个直角坐标系O x y,用 x 轴上的点表示自变量的值，用 y轴上的点表示函数值。于是，在 D (f)内的每一个x及相应的函数值f(x)就确定了该平面直角坐标系中的一个点p(x,y),当 x在 D(f)内变动时，点 P在坐标平面上移动，一般便得到平面上的一条曲线，这就是用图示法表示函数。函数的三种表示法各有优缺点，在具体应用时，常常是三种方法配合使

8、用。3.函数的图像用图示法表示函数所得到的曲线，就称为函数的图像，用图像表示函数，使我们有可能借助于几何图形，形象直观地研究事物的运动变化过程，它对于理解高等数学中的概念、方法和结论是十分重要的。描点法作图，例如作函数y=x 3的图像。定 义 域(3,+8),值 域(-00,+00)X-2-1012y-8-1018二、显函数、隐函数和分段函数(1)显函数 函数关系用解析式产f(X)表示的称为显函数，如 y=x2lgx,一 J，等。(2)隐函数 由方程F(x,y)=0 确定的函数关系产f(x),称为隐函数。(3)分段函数 有时还要考察这样的函数，对于其定义域内自变量x的不同值，函数不能用一个统一

9、的公式表示，而是要用两个或两个以上的公式来表示。这类函数称为“分段函数”。例如，分段函数x+1 x0y=0,当 x0时，用函数式y=x-l来表示，这个函数的定义域是(-00,+o o)关于分段函数要注意以下几点：1)分段函数是用几个公式和起来表示一个函数，而不是表示几个函数；2)因为函数式子是分段表示的，所以各段的定义域必须明确标出；3)对分段函数求函数值时，不同点的函数值应代入相应范围的公式中去求;4)分段函数的定义域是各项定义域的并集。例 4.分段函数cosx x0/(x)=r-(1)0106设 W*,贝 Uf (0)=o【答疑编号11000109：针对该题提问】答1。ex x-1为)=)

10、(2)03 01设 I 1 1,则 f(0)=。【答疑编号11000110：针对该题提问】答-1。-1 1 x 1 10 1(3)设 I 同,，则当 x e (-c o,+c o)时，f f (x)=_ _ _ _ _ _ _【答疑编号H 000111：针对该题提问】答1。当-1 2 f (x)=1 f f (x)=f (1)=1当 x l f (x)=0 f f (x)=f (0)=1.,.当 X G(-0 0,+8),f f(X)=1三、函数的简单性质1.函数的单调性定 义 设 函 数 y=f (x)在 区 间(a,b)内有定义，(1)如果对于(a,b)内的任意两点X1和 X2，当 x 1

11、 X2时;若恒有f(x i)f (x2),则称函数f (x)在(a,b)内是单调增加的;恒有f(X 1)f(X2),则称函数f (x)在(a,b)内是单调减少的;恒有f(X 1)f(x2).则称f (x)在(a,b)内是严格单调减少的。注意：单调增加或单调减少函数统称为单调函数。单调性是对一个区间而不是对一个点来讲的。单调函数必须指出它的单调区间。例如函数y=x 2在 区 间(0,+o o)内是单调增加的；在 区 间(-o o,0)内是单调减少的；而在 区 间(-00,+00)内不是单调的。2.函数的奇偶性定义 如果对于函数产f (x)定义域D中的任一点x恒有f (-x)=f (x)则称f (

12、x)为偶函数如果对于定义域D中的任一点x恒有f (-x)=-f (x)则称f(X)为奇函数。偶函数的图形关于Y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。3.函数的有界性定义 设函数产f (x)在区间(a,b)内有定义，如果存在一个正数M,使得对于(a,b)内的任意一点x,恒有|f (x)|W M,则称函数f (x)在(a,b)内是有界的,否则，称f (x)在(a,b)内是无界的。例如：函数y=s in x,在(-c o,+o o)内，恒旬s in x|Wl,所以函数y=s in x在其定义域内为有界函数。xD(/)=(-co,(O.+co)(l.+co)y =g 有界|1|0,使得对于任意实数x,关系

13、式f(x+T)=f (x)恒成立，则称f (x)为周期函数，称满足这个等式的最小正数T为函数的最小正周期或简称为周期。例如产s in x就是个周期函数，s in(x+2)=s in x A:=0,l,2,最小正周期T=2开对于函数y=s in。x,s in(n w x +2 k?r)=s in eo(x+)=s in eoxo)例 5.函数的性质(1)0201 函数 f (x)=x3s in x (A)奇函数(B)偶函数(C)有界函数(D)周期函数【答疑编号11000112：针对该题提问】答 B。(力=(-8,+8)/(-x)=(-x)3s in(-x)=.(一 s in x)=/s in x

14、=/w兑=0,1,2,工2兀最小正周期(x)=/(x)9(a 0,a w l)(2)97 02 设 f (x)为奇函数，且 a +l 2，则F(X)是(A)奇函数(B)偶函数(C)非奇非偶函数(D)既是奇函数，又是偶函数【答疑编号11000113：针对该题提问】答 B。g 122-(/+1)2(ax+1)一/2(+1)g(-x)=1 5 /i2(ax+)2(/+1)=-g(x)g为奇函数 F(x)=f(X)g(X)为偶函数(3)在(0,+c o)内，(A)丫5(C)y=s in x【答疑编号11000114：针对该题提问】答 D。卜列函数中是无界函数的是1(B)y=I 77(D)y=l n (

15、1+x)四、反函数定义 设已知函数为y=f (x)(1)如果由此解出的x=M)(2)是一个函数，则称为y=f (x)的反函数，记为x=P (y),并称y=f (x)为直接函数。注意：习惯上常用x表示自变量，用y表示因变量，因此将x=P (y)中的y换为x,而将x换为y,记作y=P (x)。定理 如果函数产f (x),D (f)=X,Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的，则它必定存在反函数x =伊),=匕 Z(协=X并且也是严格单调增加(或减少)的。求反函数的步骤：第一步：从直接函数产f (x)中解出x二0 8),看它是否能成为函数；第二步：如果*=是函数，将字母x换成y,将字母y换成x得=加

16、力这就是y=f(x)的反函数。注意：(1)直接函数产f(X)与它的反函数尸尸的图形，必定对称于直线产X(一般地，二者是不同的函数，其图形是不同的曲线)；(2)直接函数y=f(x)与它的反函数x=f(y)是同一条曲线(二者是不同的函数，但是，它们的图形是同一条曲线)。根据这个结论，当我们知道了直接函数y=f(x)的图形之后，就可利用对称于直线产x 9 4 0 2 函数f(x)=2 X“的反函数数(x)等于(A)log2(x+l)(B)l+Iog2X1 1 1+X一=1 0 g2-(C)2 1-x (D)2 1 og2x【答疑编号1 1 0 0 0 2 0 1：针对该题提问】答B。MTx-l =l

17、 og2yx=l+l og2yy=l +l og2 x(x)0)(2)函数/(*)=的值域是 o【答疑编号1 1 0 0 0 2 0 2：针对该题提问】答(0,1)U (1,+0 0)y=&x1一 =inyX1x=-InyZ(7)=(0,1)U(L+8)（3）函数 2+1的反函数p （x）=【答疑编号1 1 0 0 0 2 0 3：针对该题提问】1 1+Xy=ig2；答 l-x五、基本初等函数1 .常数函数y=c它的定义域是（-0 0,+0 0）,图形是一条平行于X 轴的直线，显然这是个偶函数。2 .毒函数y=姆（以为实数）它的定义域随值的不同而不同，但不管值是多少，它 在（0,8o）内总是有

18、定义的。当 时，它的图形如图1,不论为何值，它的图形都通过原点（0,0）和 点（1,1）,在（0,+8）内严格单调增加且无界。当 0,a声 1)它的定义域是(-0 0,+8),由于不论x为何值，总有aX 0,且 a=l,所以它的图形总是在 x轴的上方，且通过点(0,1)。当 a 0 时，函数严格单调增加且无界，曲线以x 轴的负半轴为渐近线；当 0 a 0,a l)它的定义域为(0,+oo),不论a 为何值，对数曲线都通过点(1,0)。当 a l 时，函数严格单调增加且无界，曲线以y轴的负半轴为渐近线；当 0 a geX叫自然对数函数，简记作y=l nx o自然对数函数在微积分中是经常用到的。5

19、.三角函数三角函数有以下六个：y=s inx y=cos x y=t anxy=cot x y=s ecx y=cs cx在微积分中，三角函数的自变量X 一律以“弧度”为单位。例如X=1 就表示X 等于一个弧 度(5 7。1 7 4 4.8)。函 数 y=s inx 的定义域为(-co,+0 0),是奇函数，且是周期等于的周期函数，其图形如图 5所示。函数尸cos x 的定义域为(-co,+oo),是偶函数，且是周期等于2 兀的周期函数，其图形如图6 所示。因为|s inx|W l,|cos x|l,所以它们都是有界函数。x(2k+t)(k=0,1,2,“)函数y=t anx 的定义域是 2

20、的一切实数。它是奇函数，且是周期为的周期函数，其图形如图7 所示。函数y=cot x 的定义域是X#加的一切实数。它也是奇函数，且是周期为的周期函数，其图形如图8 所示。图7图86.反三角函数常见的反三角函数有以下四个：y=ar cs inx y=ar ccos xy=ar ct anx y=ar c cot x它们是作为相应三角函数的反函数定义出来的，由 于y=s inx,y=cos x在定义域内不单r 7VX W ,调，所以对于产s inx,只考虑 2 2 ,对于产cos x,只考虑xG 0,利使他们单调，并使其反函数存在。此时我们称反正弦函数和反余弦函数取主值,-ar cs inx ,0

21、 a r c c o s x 即2 2,它们的图形分别为图9和 图1 0中的实线部分。y=ar cs inx 和 y=ar ccos x 的定义域都是-1,1。-ar ct anx(-同理，对于反正切函数尸ar ct anx,也取主值 2 2 ,即2 2 ,它的定义域 为(-0 0,4 0 0),其图形如图I I所示。六、复合函数与初等函数1 .复合函数y=e,=/了=1 +v 2,v=s inxy=y l +s in?x定义：设 y是 u 的函数产f(u),而 u又是x的 函 数，又设X表示函数u=?S)的定义域的一个子集，如果对于X上的每一个取值x所对应的u值，函数尸f(u)有定义，则 y

22、通过u=(x)而成为*的函数，记为y=/I e(x)这个函数叫做由函数产f(皿 及 u=w S)复合而成的复合函数，它的定义域为X,其中x称为自变量，u称为中间变量，y称为因变量或函数。所以复合函数实际就是将中间变量代入后所构成的函数。注意：不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的。例如y=arcsi nu 及 u=x2+2 就不能复合成一个复合函数。因为对于u=x2+2 的 定 义 域(-8,+o o)内的任何值x所对应的u 值(都大于或等于3)都不能使y=arcsi nu 有意义。y=azrsi nM,=/+2y=f(u),u=f(y),v=g(ix)y=/g g(x)复合函数不仅可以由

23、一个中间变量，还可以有更多的中间变量，如 u、v、w、t等，即可以经过多次复合得到个函数。在求函数的导数时，往往要反过来考虑问题，即一个函数是有哪儿个基本初等函数(或简单函数)复合而成的？例 7.复合函数(1)0 20 6 设 f(x)=l nx,g(x)=e2x+1,则 f g(x)=。【答疑编号110 0 0 20 4：针对该题提问】l ne2x+l=2x+k/I g(x)=ln 0T=(2x +l)l ne=2x+lx)=tanx,g(x)=3(2)0 40 1设*,则 f g(x)=o【答疑编号110 0 0 20 5：针对该题提问】1tan 亍商士。(切=tan g(x)=tan-4

24、-(3)9 9 0 6 设 y=31u=v 2,v=tanx,则复合函数 y=f(x)=【答疑编号110 0 0 20 6：针对该题提问】2 4 2y=3v=3 3 X(4)设 f(x)的定义域是 1,10 ,复合函数f(K T)的定义域是 o【答疑编号110 0 0 20 7：针对该题提问】答 0,1。11OZ 1010 10 x 1010 x O,arl)2.对数性质：l o gal=0,l o gaa=l,。砥=N(el nN=N)3.对数运算法则log(xy)=logax+logayxloga-=logax-logayylo g/=a lo g a 脸 皱 联 五、数列1.等差数列：通

25、项公式an=a1+(n-1)d3 力-y T-u.前n项和公式 2 22.等比数列：通项公式an=ai qn_1_ 1(1-0”)_-强4七=-=-前n项和公式.9六、常用三角函数公式1.同角三角函数间基本关系式s i n a+c o s a=1 t a n o r +1 =s e c a c o t c+l =c s c as i n a C S C a =1 c o s a -s e c a =1 t a n c r -c o t a =1s i n a 人 c o s at a n a r =-c o t a=：-c o s a s i n a2.二倍角公式s i n 2 a=2s i

26、n a -c o s ac o s 2 a=c o s2 a-s i n2 a=2 c o s2 a-1=1-2 s i n2 a3.降暴公式.2 1-c o s 2a 2 1+c o s 2 as i n a =-c o s a =-22七、特殊角的三角函数值度030456 09018 027 036 0弧度0乃7几4允3我53%T2区sin02V 22皂210-10cos1乖TV 2220-101tan0乖T1上不存在0不存在0八、旋转体的面积与体积公式1.正圆柱体：%=2%法 隆=2仃2+2方4 V =n r2h2.正圆锥体：%=隆=#+芯八V=%Rh32 V=%户3.球体：$=4仃 3

27、九、直线无=t a n a(a w )1.直线的倾角和斜率：22.直线的斜截式方程：八 以+贴*)3.两直线的平行与垂直：己知两条直线4=%了+句,?2：7=历+与若1?2,则%=k2 2.若?11?2，则可*2=-1第 一 章 极 限 和 连 续第 一 节 极 限 复习考试要求1.了解极限的概念(对极限定义 -N 、-、e-M等形式的描述不作要求)。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等

28、价)。会运用等价无穷小量代换求极限。4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。主要知识内容(一)数列的极限1.数列定 义 按 一定顺序排列的无穷多个数为,/，称为无穷数列，简称数列，记作 X n ,数列中每个数称为数列的项，第 n 项 X”为数列的一般项或通项，例如(1)1,3,5,，(2n-l),.1 1 1 1一 _ _._ (2)2 4 8 2*1 2 3 n一 1_ (3)2 3 4 +11 +(一 1严(4)1,0,1.0,.2,.【答疑编号11010101：针对该题提问】都是数列。它们的一般项分别为1 n 1 +(-1)”“(2n-l),2 +12对于每一个正整数n,都有一个xn与之

29、对应，所以说数列 Xn可看作自变量n的函数xn=f（n）,它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取1,2,3一切正整数时，对应的函数值就排列成数列。在 几 何 匕 数 列 X j可看作数轴上的个动点，它依次取数轴匕的点X.X2,X3,Xn.。2.数列的极限定义对于数歹U Xn,如果当noo时，Xn无限地趋于一个确定的常数A,则称当n趋于无穷大时，数列 Xn以常数A为极限，或称数列收敛于A,记作lim/=4或x*-月（当徵coB寸）否则称数列 Xn没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。数列极限的几何意义：将常数A及数列的项/瓜2,/,依次用数轴上的点表示，若数列 Xn以A为极限，就表示当

30、n趋于无穷大时，点Xn可以无限靠近点A,即点Xn与点A之间的距离|x/A|趋于0。（二）数列极限的性质与运算法则1.数列极限的性质定 理1.1（惟一性）若数列 X0收敛，则其极限值必定惟一。定 理1.2（有界性）若数列 Xn收敛，则它必定有界。注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。2.数列极限的存在准则定 理1.3（两面夹准则）若数列 Xn,yn,Zn满足以下条件：（1）匕 气 气（1,2,3）,lim y”=lim z”=A（2）,lim 冗=Ahill 1 9定 理1.4若数列 xJ单调有界，则它必有极限。3.数列极限的四则运算定理。如果lim q =A 贝 ijlim

31、y*=瓦则定 理1.5（1）地 士 居”黜 勺 士 愿3月3酚（%K）=Q%Q.（配 用）=4 3r lim x AEmy,#0-ta v limy.B（3）当&时，z（三）函数极限的概念1.当XTXo时函数f（x）的极限（1 ）当XXo时f（X）的极限定义对于函数产f（X）,如果当X无限地趋于Xo时，函数f（X）无限地趋于一个常数A,则称当X-XO时，函数f（x）的极限是A,记作hm/(x)=人rAg或 f（X）A（当 X X o 时）例 y=f(x)=2x+lx 1,f (x)?【答疑编号11010102：针对该题提问】X1y,2.82.98 2.998-3xl x 1x 1.1 1.01

32、 1.001 71y 3.2 3,02 3.002 3(2)当X T X O时f (x)的左极限定义对于函数y=f (x),如果当x从X。的左边无限地趋于X。时，函数f(x)无限地趋于一个常数A,则称当X T X O时，函数f(x)的左极限是A,记作lim_ f(x)=A一 近 或 f(x o-O)=A(3)当x x o时，f (x)的右极限定义对于函数产f(X),如果当X从X o的右边无限地趋于X o时，函数f(x)无限地趋于一个常数A,则称当x x o时，函数f(x)的右极限是A,记作lim/(x)=A一 布 或 f(x o+O)=A例如函数x+10 x-1x0求 域 /(,场饵【答疑编号

33、1 1 01 01 03：针对该题提问】解：当x从0的左边无限地趋于0时f (x)无限地趋于一个常数l o我们称当x-0时,f (x)的左极限是1,即有lim f(x)xfCT 八 lim_(x+1)=1当x从0的右边无限地趋于0时,f (x)无限地趋于一个常数-1。我们称当x-0时，f(x)的右极限是-1,即有蚓 人 力=%(片 1)=1班 八 X”勖f(x)lim_/(x)lim/(x)lim/(x)显然，函数的左极限-X。-、右极限一5 与函数的极限-%之间有以下关系：定 理1.6当X T X O时，函数f (x)的极限等于A的必要充分条件是lim_/(x)=lim f(x)-A1X X

34、 人0这就是说：如果当X-X O时，函数f(x)的极限等于A,则必定有左、右极限都等于A。lim/(x)=A反之，如果左、右极限都等于A,则必有、7”。攵_ 1x)=J(xwl)x-1X-1 时 RX)T?/(x)=巴1=(x+l)(T)=x+1x#l x-1 x-1x 1 f i f x)2仁 V 1 ol i m-=2x f 1 x-1父-1X)=J(X K l)对于函数 x-l ,当x-l时，f(x)的左极限是2,右极限也是2。图22.当X-8 时，函数f (x)的极限(1 )当 X T O O 时，函数f(X)的极限y=f(x)x 一8 f(x)?1 _y=f(x)=l+x1X 00

35、f(x)=l+X 1H m(l +)=119 x定义对于函数kf(X),如果当X T 8 时，f(X)无限地趋于一个常数A,则称当X T 8时，函数f (x)的极限是A,记作l i m /(x)=A 8 或 f(x)A(当 x c o 时)(2)当 X+8 时，函数f (x)的极限定义 对于函数产f(x),如果当X T+OO时，f(x)无限地趋于一个常数A,则称当X+8时，函数f (x)的极限是A,记作期/(x)=4这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极限的定义中n 一+8 的 n 是正整数；而在这个定义中，则要明确写出X T+OO,且其中的x不一定是正整数，而为任意实数。y=f(x)x

36、一+o o f(x)x 一？/(x)=2 +=2 +11x+oo,f(x)=2+&-2触(2 +e”2例：函数 f(x)=2+e ,当 X T+OO时，f(x)?【答疑编号1 1 0 1 0 1 0 4：针对该题提问】1解：f(x)=2+e-x=2+&，1x+co,f(x)=2+2 2h m (2 +”2所以一 权(3)当xoo时，函数f(x)的极限定义 对于函数kf(x),如果当X-8时，f(x)无限地趋于一个常数A,则称当X-8时，f(x)的极限是A,记作x 蚂0 y U)=AX-o o f(x)?1则 f(x 尸 2+6 (x-00,-x+81f(x尸2+/一2蚂Q+白=2/W=2 +-

37、IL(X0)例：函数7 一X,当 X-8 时，f(x)?【答疑编号11010105：针对该题提问】解：当 X8 时，XT+OOx)=2+、，-=x-2,即有山上述X*00,X一+8,X-00时，函 数 f(X)极限的定义，不难看出：XW时 f(x)的极限是A 充分必要条件是当X T+OO以及XT8 时，函数f(x)有相同的极限Aof(x)=1 +例如函数 X,当 XT8 时，f(x)无限地趋于常数1,当 XT+00时，f(X)也/(X)=1 +无限地趋于同一个常数1,因此称当X00时 X 的极限是1,记作+)=1其几何意义如图3 所示。f(x)=l+Xl i m (1+3i f Xl i m

38、(1+)=1xy=a r c t a n xl i m a r c t a n x =-,l i m a r c t a n x =-c o 2 他 2l i m a r c t a n x不存在。但 是 对 函 数y=a r c t a n x来 讲，因为有l i m a r c t a n x =K o 2即 虽 然 当x 时，f（X）的极限存在，当X+8时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当x-8时，尸a r c t a n x的极限不存在。（四）函数极限的定理l i m /(X)定 理1.7（惟一性定 理）如果1%存 在，则极限值必定惟 一。定 理1.8（两面夹定

39、理）设 函 数,“），8。），“炽）在 点 殉 的 某 个 邻 域 内（殉 可 除 外）满足条件:(1)g(x)/(x)KQl i m /(x)r =l i m/(x)r X T%用极限的运算法则求极限时,必须注意:这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在,且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。另外，上述极限的运算法则对于X -8的情形也都成立。(五)无穷小量和无穷大量1.无穷小量(简称无穷小)定 义 时 于 函 数 丁=/(*),如 果 自 变 量x在某个变化过程中，函数/s)的极限为零,则称在该变化过程中，,。)为无穷小量，一般记作l i m/(x)=O.常用希腊字母外/，来表示无穷小

40、量。定 理1.10函数/(”)以A为极限的必要充分条件是：了。）可表示为A与一个无穷小量之和。lim/（%）=A f（x）=A+a（a为无穷小）注意：（1）无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。（2）要把无穷小量与很小的数严格区分开，个很小的数，无论它多么小也不是无穷小量。（3）一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变化过程中，同一个变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽相同。例 如.x 0 sinx 0,cosx 1兀.x sinx 12x 7 8 Sin x振荡型发散|sinx|）为无穷大量。当加一无穷大X-8,/“（X、）=-1

41、-Y（X-D 无穷小当 彳 7 8,/（x）=e-为无穷小一 8,，少/W 无穷大4.无穷小量的基本性质性 质 1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。lim x-sin =0 xx-0,-ooxsin-03r4.r2hm 匚-=Hm(3+x)=32 x 03/4-r3 clim-=lim(3x+/)=0-o x x-0 x+x.、li m-=lim(l+x)=1x-0 x A-0 x+z2 x(x 0)等价无穷小量代换定理：如果当时(x-8),a，N，a，均为无穷小量，又 有aa，0,且rd a.a!li

42、m-lim =hm 一为 B 2%B HQ 夕存在，则 n8)oa，/，步均为无穷小又有a以，夕a _ a a!F斤二/7万=lim 工 lim 工 lim Ja B 0dlim 夕这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。但是必须注意：等价无穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用。常用的等价无穷小量代换有：当X-0 时，sinx x;tan x;arctanx x;arcsinx x;1-cosx ;ln(l+%)%;-+x-1(六)两个重要极限1.重要极限I重要极限I 是指下面的求极限公式.sinx-.tan x 一 .arc sin x“lim-=1 lim-=1 lim-=1

43、xfo x,x-0 x,x-0 x1tan x sinxli m-=li m-g o x QO x cosx sin x v 1=hm-hm-K-0 x K TO COS x=1.arc sinx ,li m-=10 x令夕rsinx=2 sin/=xX T 0,t T 0arc sin x t 1.1 ,hm-=lim =hm-=1x-0 x t-o sin t t-0 tsin/0这个公式很重要，应用它可以计算三角函数的6型的极限问题。其结构式为：h m型迤=1贝 x)T d W(X)X-1 x-lsin(x2-1)=(x+1)-sin(x2-1)li m-=lim-3 x-1 3(x+l

44、)(x-l)sin(x2-1)Qi)/八 sin(x-1)=lim(x+1)lim W-3 3(x-l)=22.重要极限H重要极限】【是指下面的公式:lim(l+-)n=en-8 nlim(1+)x=ex-oo x1lim(l+t)*=et-0其 中e是个常数(银行家常数)，叫自然对数的底，它的值为e=2.718 281 828 495 045.其结构式为：1lim(l+.(x)C)=e0重 要极限i是属于6型的未定型式，重要极限II是 属 于“产”型的未定式时，这两个重要极限在极限计算中起很重要的作用，熟练掌握它们是非常必要的。(七)求极限的方法：1.利用极限的四则运算法则求极限；2.利用两

45、个重要极限求极限；3.利用无穷小量的性质求极限；4.利用函数的连续性求极限；5.利用洛必达法则求未定式的极限；6.利用等价无穷小代换定理求极限。基本极限公式(1)lime=clim x=XQ(2)x7即l i m =0(3)r 8 xl i m (a0 x2+/xT-t-a2xn 2+-an)(4)2 82 n-1 w-2-Oxo+0)A.xB e X(xTO)cl n(l +x2)(x O)田2【答疑编号1 1 0 1 0 3 0 1：针对该题提问】答Cx -0,-o o,s i n-A.x x发散1_ 1 -B.x 0 ,-oo,&x 0 x1一x 0+,-Hx),ex-+o oxx-3

46、x-3D.Q=(X+3)(3)=1x+3”3)二0(2)0 2 0 2 当x -0时、皿1 +与 x比较是A.高阶的无穷小量B.等价的无穷小量C.非等价的同阶无穷小量D.低阶的无穷小量【答疑编号1 1 0 1 0 3 0 2：针对该题提问】答 B解:当x-O jnQ +x)与*是x-0,ln(l+x)-xrln(l+x)1lim-=hm-InQ+x)一。x 一 (J x=lim ln(l+x)x=ln lim(l+x)x 一 0 一。=In e=1极限的运算：0 6 1 1 一。x +1【答疑编号1 1 0 1 0 3 0 3：针对该题提问】2=一 lim(x2+3 x-l)八2 c 八 一.

47、x2+3x-l r.n 02+3 0-lhm-=-=-r-0 x+1 lim(x+l)0+1解：一 0 答案卜10例 2.6 型因式分解约分求极限+x-6l i m z-(1)0 2 0 8 X 2 -4【答疑编号1 1 0 1 0 3 0 4：针对该题提问】5 答,.”+了一6 (x+3)(x-2).x+3 5l i m z-=l i m -=h m -=解.r f 2 x2-4 r 7 2 (x +2)(x-2)x-2 x +2 4.Xr 2-xr 一 /9l i m -(2)0 6 2 1 计算X 2 x -4【答疑编号1 1 0 1 0 3 0 5：针对该题提问】一 了 丁-2=.(x

48、-2)(x+l)=2解.x-2 x 4 x-2 (x 2)(x 4-2)43 答 o例 3.0 型有理化约分求极限hm五 W(1)0 3 1 6 计算了72 无一2【答疑编号1 1 0 1 0 3 0 6：针对该题提问】1 答 2 蠡h m 互史=lim解x-2 r-2 (x-2)(j x +j 2)x-2,.1=l i m-=-=-=h m -=-r-2(x-2)(y/x+应)x72 (正 +应)1 2 2hmV27n-3(2)9 5 1 6 尸4 -2-0【答疑编号1 1 0 1 0 3 0 7：针对该题提问】逑 答 3百 T +1+3)(7+0)1尿 J-=1 i m/尸 /解.r-4

49、(上一 2-J 2)(j 2x+1+3)(J x-2+J 2).2(工-4)(J x-2+=l i m-7 -T f 4 (x-4)(j 2x+l+3)1.2 3 x 2+-/2)=h m -=-一 4 (J 2x+1+3)_ 4 应 _ 2 0一丁一亍00例 4.当%7 8 时求8 型的极限.X2-1l i m z-=_.(1)03 08 X-8 3/+X【答疑编号110103 08：针对该题提问】一般地，有k m 5+叩”：+%叫 产+如 用 1+.+%o(r n).h m (1-Uf /Jh m (3 +与 3r-oo x1 答 5例 5.用重要极限 求极限 si nx 1 1 於si

50、n(w(x)hm-=1 h m -=1x o x 0(x)-0 0(x)（1）9 6 03 F 列极限中,成立的是.si n x2,h m-=1A.。xl i mt a n xB.o X1H m 萼=1C.xf O x2D.X78 X【答疑编号110103 09：针对该题提问】答 B.si n(x-l)1 1 m y-=(2)0006 l x+5 x-6【答疑编号1 1 0 1 0 3 1 0：针对该题提问】答疗sin(x-l)sin(x-l)h m 5-=hm-=解.-1 x+5x-6 x-l(x+6)(x-l)sin(x-l)1x-1 x+6x-x 1 x-lx+67例6.用重要极限I I