立体几何基础1.pdf

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1、立体几何基础题题库一(有详细答案)I、二面角a-/-/7是直二面角，A ea,B e。,设直线AB与a、/所成的角分别为N 1 和N 2,则(A)Zl+Z2=90(B)Z I+Z 290(C)N1+/2W9O(D)ZI+Z2 Z2 ZABO+Z1=9 0 Z2+Z1 b C 则,BD=Ja2+b-,CD=-Jc2+h2,BC=y/a2+c27.设a、b 是两条不同的直线，a、B是两个不同的平面，则下列四个命题（）C若a h,a a,贝加a若 则a _L 0 a J,/,a _L夕,则a/a若a _ L b,a _ L a,b J,/?,则 a J,尸其中正确的命题的个数是()A.0 个B.1

2、个C.2 个 D.3 个B解析：注意中b 可能在a 上；中a 可能在a 上；中 ba,或 b e a 均有a _ L ,故只有一个正确命题8.如图所示，已知正四棱锥SABCD侧 棱 长 为 正，底面 边 长 为 E 是 SA 的中点，则异面直线B E与 SC所成角的大小为A.90B.60C.45D.30)B解析：平移S C 到 S 8,运用余弦定理可算得B E =S E =S B=JI9.对于平面M 与平面N,有下列条件:M、N都垂直于平面Q;M、N都平行于平面Q;M内不共线的三点到N的距离相等;/,M 内的两条直线,且/M,m N;/,m是异面直线，且I /M,m /M;/N,m /N,则可

3、判定平面M 叮平面N平行的条件的个数是()A.1 B.2只有、能判定M/N,选 B1 0 .已知正三棱柱A BCA|B|C|中，A|BJ _ CB”则 A】B 与 AC|所成的角为(A)4 5 (B)6 0(C)9 0 (D)1 2 0 C 解析：作 C DLA B 于 D,作 C Q A|B|于 D ,连 B Q、A DP易知A D B Q i 是平行四边形，由三垂线定理得A|B，A C|,选 C。1 1 .正四面体棱长为1,其外接球的表面积为/T 3 5A.J 3 B.C.D.3 2 2解析：正四面体的中心到底面的距离为高的1/4。(可连成四个小棱锥得证1 2.设有如下三个命题：甲：相交直

4、线/、m都在平面a内，并且都不在平面B 内；乙：直线/、m中至少有一条与平面B 相交；丙：平面a与平面B 相交.当甲成立时，A.乙是内的充分而不必要条件 B.乙是丙的必要而不充分条件C.乙是丙的充分且必要条件 D.乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件解析：当甲成立，即“相交直线/、m都在平面a内，并且都不在平面B 内”时，若“/、m中至少有一条与平面B 相交”，则 平面a与平面B 相交.”成立；若“平面a与平面B 相交”，则“/、m中至少有一条与平面B 相交”也 成 立.选（C）.13.已知直线机、及平面a ,其中小，那么在平面a内到两条直线机、”距离相等的点的集合可能是：（1）条直线；（2

5、）一个平面；（3）一个点；（4）空集.其中正确的是解析：（1）成立，如 布、N都在平面内，则其对称轴符合条件；（2）成立，“7、”在平面a的同一侧，且它们到a的距离相等，则平面a为所求，（4）成立，当八所在的平面与平面a垂直时，平面a内不存在到机、距离相等的点1 4 .空间三条直线互相平行，由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（）A.3 B.1 或 2 C.1 或 3 D.2或 3解析：C 如三棱柱的三个侧面。1 5 .若、6为异面直线，直线c a,则 c 与 b 的位置关系是（）A.相交 B.异面 C.平行 D.异面或相交解析：D 如正方体的棱长。解析：D BQ在平面AC上的射影

6、BD 与 AC垂直，根据三垂线定理可得。1 7.如图，点 P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与 R S 是异面直线的一个 图 是（）_ P P(A)(B)(D)解析：cA,B 选项中的图形是平行四边形，而 D 选项中可见图:1 8.如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中,Z A B C 等于A.45 B.60C.90 D.120()解析：B 如图A右图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题:A B 与 C D 所在直线垂直；A B 与 M N 所在直线成6 0 角;其中正确命题的序号是A.B.C D 与 E

7、 F 所在直线平行M N 与 EF所在直线异面()C.D.解析：DN A1 9.线段如，OB,OC不共面,Z A OB=Z BOO Z COA=60 ,OA=,OB=2,0 0=3,则是()A.边三角形B 等边的等腰三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形解析：B.设 A C=x,A B=y,B O z,由余弦定理知：jf2=l2+32-3=7,y=l2+22-2=3,z2=22+32-6=7o./回是不等边的等腰三角形，选（6）.TT2 0.若a,b,7 是两两异面的直线，a 与。所成的角是一，/与 a、，与 6 所成的角都是a,3则a 的取值范围是（）r71 5万，4.71 71、.71 5万

8、,一 71 71、AB.-9-J CD,6 6 3 2 3 6 6 2解析：DTT解 当/与 异 面 直 线 小 6 所成角的平分线平行或重合时，a 取得最小值一，当，与 a、。的公垂线平行67T时，a 取得最大值巴，故 选（）.221.小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为1m的.竹竿影长0.9m,但当他马上测树高时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所示.他测得留在地面部分的影子长2.7 m,留在墙壁部分的影 高 1.2m,求树高的高度（太阳光线可看作为平行光线）4.2 米解析：树高为A B,影长为BE,CD 为树留在墙上的影高，BE=2.7+1.08=3.

9、7 8 米,树高AB=BE=4.2 米。、0 9K2 2.如图，正四面体 A-B C D（空间四边形的 1、长及两对角线的长都相等）中,分 别 是 棱 A 2 B C 的中点，则*C D =-1 2 =1一,CE=1.08米，树影长C E C E 0.9四条边E b 和 A C 所成的角的大小是解析：设各棱长为2,则 E F=J 1,取 A B 的中点为M,c o s/M fE =Y 4.即。=工.2 423.OX,OY,0 Z 是空间交于同一点0 的互相垂直的三条直线，点尸到这三条直线的距离分别为3,4,7,则 0P 长为.解析：在长方体OXA Z8PC中，OX、OY,0 Z 是相交的三条互

10、相垂直的三条直线。又 PZ_LOZ,PY10Y,P X 1 0 X,有 OX2+OZ2=49,OY2=OX2=9,Of+OZ2=16,得 掰+。产+场=3 7,好 历.24.设 直 线 a 上有6 个点，直 线 6 上有9 个点，则 这 15个点，能确定_ _ _ 个不同的平面.解析：当 直 线。共面时，可确定一个平面；当直线a,b 异面时，直线a 与上9 个点可确定 9 个不同平面，直线b 与。上.6 个点可确定6 个不同平面，所以一点可以确定15个不同的平面.25.在空间四边形ABCD中，E,F 分别是AB,BC的中点.求证：EF和 A D 为异面直线.解析：假设EF利 AD在同一平面a

11、内，（2 分），则 A,B,E,F e a；（4 分）又 A,EeAB,.A B u a,.,.B e a,（6 分）同理C e a（8 分）故 A,B,C,D e a,这与ABCD是空间四边形矛盾。，EF和 A D 为异面直线.26.在空间四边形ABCD中，E,H 分别是AB,A D 的中点，F,G 分别是CB,CD的中点，若 AC+BD=a,AC BD=b,求 EG、FH2.解析：四边形EFGH是平行四边形，.（4 分）/EG2+FH2=2(EF2+FG2)=-(A C2+BD2)-(a2-2b)27.如图，在三角形/A B C 中，ZACB=90,AC=b,BC=a,P 是/ABC 所在

12、平面外一点，PB_LAB,点，A B 1 M C,求异面直M C与 PB间的距离.解析：作 M NAB 交 PB 于点 N.（2 分）：PB_LAB,；.PB_LMN。M 是 PA的中（4 分）又A B M C,A M NM C.（8分）M N 即为异面直线M C 与 P B 的公垂线段，（10分）其长度就是M C 与 P B 之间的距离，则得MN=LB=-J a?+/.2 22 8.已知长方体A B C D A|B|C|D|中,A|A=A B,E、F分别是B D|和 AD 中点.（1）求异面直线C D|、E F 所成的角；（2）证 明 E F 是异面直线AD 和 B D,的公垂线.（1）解析

13、：在平行四边形BAAG中，E也是AG的中点，（2分）两相交直线D C JCDI所成的角即异面直线C D|与 E F 所成的角.（A,A=A B,长 方 体 的 侧 面 都 是 正 方 形 4,.D|C 1C DI二异面直线C D1、E F 所成的角为9 0 .（7分）U（2）证：设 A B=A A 产a,；D|F=1+泣=此 .E F B D i.（9 分）由平行四边形区4|G，知 E也是A C|的中点，且点E是长方体A B C D A|B|C Q|的对称中心，（12分）；.E A=E D,AEFIAD,又 E F _ L B Di，；.E F 是异面直线 B D|与AD 的公垂线.（14 分

14、）2 9.ZABC是边长为2的正三角形，在 Z A B C 所在平一点 P,P B=P C=,PA=-,延长 B P 至 D,使2 2B D=J 7 ,E是 BC的中点，求 AE和 CD 所成角的大小条直线间的距离.解析：分别连接P E 利 C D,咻 P E/C D,（2分 测 N P E AAE和 CD 所成角.（4分）在 R t/P B E 中，面外有和这两即是P B=也，B E=1,A P E=.在/A E P 中,2 2A E=5cos Z.AEP=3 93+-4 4 _ 12.行走22/.Z A E P=6 0 ,即 A E 和 C D 所成角是 6 0.（7 分）V A E B

15、C,P E B C,P E/DC,A C D1B C,距离为1.（14 分）.C E 为异面直线A E 和 C D 的公垂线段，（12 分）它们之间的3 0.在正方体A B C D A|B|C Q|中，E,F,G,H,M,N 分别是正方体的棱A/,A B,B C,CG，G A，0I4的中点，试证：E,F,G,H,M,N 六点共面.解析：T E M/M F,；.E N与 MF共面a,（2分）又：E F/M H,，E F 和 MH共面/?.（4 分）.不共线的三点E,F,M确定一个平面，（6分）.平面a 与 4 重合，.点Hwa。（8分）同理点G e a.（1 0分）故 E,F,G,H,M,N 六

16、点共面.3 1 .三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有）A.1 条 B.2条C.3条 D.1 条或2条D解析：分类：1）当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线；2）当三个平面交于一条直线时，有一条交线，故选D3 2 .两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是（）A.4 个 B.5个 C.6个 D.8 个解析：C 如四棱锥的四个侧面，C：=6个。3 3.在 空间四边形A B C D 的边A B、B C、C D、DA上分别取E、F、G、于点M,则H四点如果E F 与 HG交（）A.M 一定在直线AC上B.M 一定在直线B D HC.M 可能在AC上，也可能在BD上D.M

17、 不在AC上，也不在BD上解析：.平面A B C n 平面A C D=A C,先证MG平面A B C,Md平面ACD,从而Md A CA3 4.用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是解析：6条3 5 .已知：aua,b ua,acb =A,P e b,P Q a.本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法.解析：P Q a,，P Q与“确定一个平面3：.直线a u p,点Pe p.p w b,b u a,:,pea又,：a ua a与乃重合:.PQ u a3 6 .已知3（：三边所在直线分别与平面a交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。（1 2分）本题主

18、要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法 4解析：A、B、C是不在同一直线上的三点/V.过A、B、C有一个平面0又；A 8 c a =P,JL48u(5点尸既在尸内又在a内设ac/3 =l,则p e/.同理可证:Q “我仁P,Q,R三点共线.3 7.已知：平面a c平面尸=u c a =A,c u 且。求证：b、c是异面直线解析：反证法：若b与c不是异面直线，则b c或bJ c相交Q)若b M C J;a M c,:.a Hb这与a c b=A矛盾(2)若仇c相交 J B,则8 w ,又 c b =A,A e J3：.A B u夕，即b u，区与b e0 =A矛盾4 c是异面直线.3 8.在空

19、间四边形A B C D中，A D=B C=2,E、F分别是A B、CD的中点，E F=J 5,求A D与B C所成角的大小（本题考查中位线法求异面二直线所成角）解析：取 BD 中点M,连结EM、M F,则EM AO,.且 EM=-AD =l,MF/3 c 且 MF=-BC=1,2 2在 AMEF 中,：EF=V I 由余弦定理得 cos NEMF=EM2+M FEf2=1 +1-3=_12-EM MF 2 2ZEMF=120异面直线AO,BC所成角的大小为603 9.如图，在正方体ABCDAIBIC QI中，M、N 分别为棱AA|和 BB1的中点，求异面直线CM与 D.N所成角的正弦值.（14

20、分）.0（本题考查平移法，补形法等求异面二直线所成角）解析：取 DD 中点G,连 结 BG,MG,MB,GC得矩形MB（则 BG和 M C所成的角为异面直线CM 与 D|N 所成的角.V MC?=MT+AC2=(3尸(设正方体的极长为幻2BC=acos ZBOC=-sin ZBOC=9 9而 CM 与 D|N 所成角的正弦值为生自94 0.如图，P 是正角形ABC所在平面外一点,M、N 分别是AB利（1）求证：M N是 AB和 PC 的公垂线（2）求异面二直线AB和 PC之间的距离:PC=AB=a。解析：（1）连结AN,BN,APC与aB P C 是全等的正三角形，又 N 是 PC 的中点AA

21、N=BN又是AB的中点，AMNAB同理可证MN J_PC又：MNnAB=M,MNCPC=N；.M N 是 AB和 PC 的公垂线。在等腰在加形 ANB 中，A N =BN =a.A B=a,M N =IA/V2-(-A B)2=a2V 2 2即异面二直线A B和PC之间的距离为国.241空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上,那么经过其中三个点的平面 A.可能有3个，也可能有2个 B.可能有4个，也可能有3个C.可能有3个，也可能有1个 D.可能有4个，也可能有1个解析：分类，第一类，四点共面，则有一个平面，第二类，四点不共面，因为没有任何三点共线，则任何三点都确定一个平面，共有4

22、个。.42.下列命题中正确的个数是 三角形是平面图形四边形是平面图形四边相等的四边形是平面图形 矩形一定是平面图形A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析：命题是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。命题是错误，因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动，就形成了空间四边形。命题也是错误，它是上一个命题中比较特殊的四边形。命题是正确的，因为矩形必须是平行四边形，有一组对边平行，则确定了一个平面。43.如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有一 1个。解析：如果有两个，则直线就在平面内，那么直线上的所有点都在这个平面内，这就与已知有一个点不

23、在平面上矛盾，所以这条直线与这个平面的公共点最多有一个。44.空间一条直线及不在这条直线上的两个点，如 果 连 结 这 两 点 的 直 线 与 已 知 直 线,则它们在同一平面内。答案：相交或平行解析：根据推论2,推论3确定平面的条件。45.三角形、四边形、正六边形、圆，其中一定是平面图形的有 3个。解析：三角形的三个顶点不在一条直线上，故可确定一个平面，三角形在这个平面内；圆上任取三点一定不在一条直线上，这三点即确定一个平面，也确定了这个圆所在的平面，所以圆是平面图形；而正六边形内接于圆，故正六边形也是平面图形；而四边形就不一定是平面图形了，它的四个顶点可以不在同一平面内。46.三 条 平

24、行 直 线 可 以 确 定 平 面 个。答案：1个或3个解析：分类、一类三线共面，即确定一个平面，另一类三线不共面，每两条确定一个，可确定3 个。47.画出满足下列条件的图形。(1)a D 0 =1,a Ua,b U0,aC b=A(2)a n B=a,b U 6 ,b a解析：如 图 1-8-甲，1-8-乙图1-848.经过平面a 外两点A,B和平面a 垂直的平面有几个？解析：-个或无数多个。当 A,B不垂直于平面2时，只有一个。当 A,B垂直于平面。时，有无数多个。49.设空间四边形AB C D,E、F、G、H分别是AC、B C、D B、D A 的中点，若 AB=1 2/5,C D=4 4

25、1,且四边形EFG H 的面积为1 2 73,求 AB 和 C D 所成的角.解析：由三角形中位线的性质知，H G ZAB,H EZC D,z EH G 就是异面直线AB 和 C D 所成的角.,?EFG H 是平行四边形，H G=-A B=6 V2 ,2H E=-,C D=2-x/3,2:.SEFCH=HG-H E-s i n z H G=1 2 76 s i n z EH G,A 1 2 76 s i n z EH G12百.6，s i n z H G=，故d H G=4 5。.2.AB 和 C D 所成的角为45。注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。5 0.点 A是 BCD

26、所在平面外一点，AD=BC,E、F 分别是AB、CD的中点，且 E F=AD,2求异面直线A D和 BC所成的角。（如图）解析：设 G是 AC中点，连接DG、FG。因 D、F 分别是AB、点，故 EGZBC 且 EG=，BC,FGZAD,且 FG=，A D,由异面直22成角定义可知EG与 FG所成锐角或直角为异面直线AD、BC角，即 zEGF 为所求。由 BC=AD 知 EG=G F=AD,又 EF=AD.2B弦定理可得 coszEGF=0,即zEGF=90。AGCDCD中线所所成由余注：本题的平移点是A C中点G,两条异面直线的平行线，然后在aEFC按定义过G 分别作中求角。通常在出现线段中

27、点时，常取另一线段中点,出了以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。5 1.已知空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N 分别为BC、A D 的中点。求：AM 与CN所成的角的余弦值;解析：连接DM,过 N 作 NEAM -为 AM与 CN所成的角。交 DM 于 E,WJZCNE：N 为 A D 的中点,NEAM 省，N E=LAM 且 E 为 M D 的中点。2设正四面体的棱长为1,则N C=且=且ME=，MD=2 2 43 1 7在 RtZkMEC 中，CE2=ME2+CM2=+-=16 4 1622 A2_ 2 CN2+N E2-C E2（4）（4）1

28、6.cosZCNE=-=-=2-C N-N E .662-4 423式又：NCNE e （0,）22二异面直线AM与 CN所成角的余弦值为一.3注：1、本题的平移点是N,按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在4CEN外计算CE、CN、EN长，再回到4CEN中求角。2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或 钝 角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。52.如图所示，在空间四边形A B C D中，点E、F分别是B C、A D上的点，已知A

29、B=4,C D=2 0,EF=7,A p f p 1-=-求异面直线A B与C D所成的角。F D EC 3解析：在B D上取一点G,BE,在 A B C D 中，一=-EC(E G BE 1C D B C 4所以，EG=5；类似地,故FG=3,在A E F G中c o s Z使 得 四=L,连结EG、FG CKG D 3 N,故EG/C D,并且 犬AFG D F 3可证 FG/AB,且 上=一=-,A B A D 4,利用余弦定理可得EE G2+G F2-E F2 32+52-72FG E=-=-=2-E G G F 2-3-5另一方面，由前所得EG/C D,FG/AB,是A B与C D所

30、成的角等于6 0。D1 P_Q -JBA B故N FG E=1 2 0。2所以E G与F G所成的锐角等于A B与C D所成的角，于53.在长方体 AB C D-AB C D 中，AAF C,AB=a,AD=b,且 a b.解一：连AC,设AC C B D=0,则。为AC中点，取G C的中点F,所以N F O B即为AC 1与DB所成的角。在 FO B中，O B=，J2B E=gg+/2,由余弦定理得DrD1求AC i与B D所成的角的余弦.连 O F,则 O F AC 1 且 O F=-AC 1,2a2+h2,O F=-+。2+c2,2/旨二G-Z-二 二、7-1 3-A B-(a2+b2)

31、+-(a2+b-+c2)-(/?2+-c2)2 ,2，4 4 4 a -bc o s Z O B=-=-J：二2-y la2+b2-y ja2+b2+c2+b2)(a2+h2+c2)4解二：取 A G 中点U,B i B 中点G.在 C Q 中，/CQG即 A C 1 与 DB所成的角。解三：.延长C D 到 E,使 ED=D C.则 AB D E为平行四边形.AEB D,所以ZEAC,即为A C 与 B D 所成的角.连E G,在AEC l中，A E=V a2+b2,A C 1=V 2+&2+c2,C 1 E=由余弦定理，得面 +/)+面 +匕2+。2)_(442 +c2)b2-a2c o

32、s Z E AC i=-/二 一 7 -=/2-y a2+b2-y ja2+b2+c2 y l(a2+b a2+b2+c2)所以N EAC,为钝角.根据异面直线所成角的定义，AC,与 BD所成的角的余弦为-.y j(a2+b2)(a2+b2+c2)54.已知A 0是平面a 的斜线，A 是斜足，OB垂直a,B为垂足，则直线A B是斜线在平面a 内的射影，设 A C是 a 内的任一条解析：设 A O与 A B所成角为仇，A B与 A C所成角为仇，角为 0,贝 i j 有 c o s。=c o s。1-c o s%。在三棱锥 SA B C 中，Z S A B=Z S A C=直线,A O与 A C

33、所成N AC B=90,A C =2,B C =Q,S B=J 沟，求异面直线S C 与 A B所成角的大小。(略去了该题的1,2 问)由SA_L 平 面 A BC知，A C为 S C 在平面A BC内的射影,设异面直线S C与 A B所成角为0 ,贝 ij c o s 0 =c o s Z S C A-c o s A B A C ,由 4 C=2,B C =g,S 8 =V 得A B =i,S A =2 5 S C =22c o s Z-SCA -，c o s Z B A C =,2 V1 7c o s O =姮，即异面直线S C与A B所 成 角 为ar c c o s叵1 71 755.

34、已知平行六面体A B C D -A IIGB的底面A B C D是菱形，且ZC.C B =ZC,C D =Z B C D=6 0 ,证明 G C 1 B。（略去了该题的2,3问）解析：设G在平面A B C D内射影为H,贝ij C H为G。在平面AB C D射影，内的，c o s ZC,C D =c o s ZC,C H c o s ZD C/7,c o s N C CB=c o s Z.CC H -c o s Z.BCH,由题意 NgC D =Ng C B ,.I c os N D C H=co s N B C”。又Z D C H,Z B C H e 0,K)N D C H =N B C H

35、 ,从而CH为Z D C B的平分线，又四边形A B C D是菱形，C H L B D，G C与B D所成角为9 0 ,即C.C 1 SD5 6.在正四面体A B C D中，E,F分别为B C,AD的中点,求异面直线AE与C F所成角的大小。解析：连接B F、E F,易证A D J _平面B FC,E F为A E在平面B F C内的射影，设A E与C F所成角为。，co s 0 =co s ZA EF-co s Z.CFE,设正四面体的棱长为a，则A E =C F=8尸=巨 ，2/y显然 EF_ L B C,EF=a ,2，c s/A E F=比，c s/A FE=近,A E 3 CF 32

36、2co s 9 =,即 A E.,.与 C F所成角为 ar cco s ()3 35 7.三棱柱。4B-0|A 5,平面。8 8 0 1 J _平面 OA B,N O|0 8 =6 0,N 40 6 =9 0,且0 6 =。1=2,0 4=百，求 异 面 直 线 与A O1所成角的大小,（略去了该题的1问）解析：在平面B O1内作6 cL OO|于C ,连AC，由平面3。|坊_1 _平面A OB,Z A O B =9 0 知，A O L平面 BOO.B,；.A 0 1 B C ,又 A O c O O j=O,Z.B C _ L 平面 A 0 0 j A 1,&C为4 8在平面A OO|A

37、1内的射影。设4啰 与A。1所成角为。，AQ与A 0 1所成角为仇，则 co s 0 =co s ZBA C-co s 02,由题意易求得BC=6,A C=2,A B=5AC 2 co s N BA。=-j=-,A,B 7 7在矩形A 00I4中 易 求 得 与 所 成 角%的余弦值:2 14/.co s 0 =co s ZBA.C-c os=1-7即AB与A i所 成 角 为ar cco s 1 75 8.已知异面直线a与人所成的角为5 0 ,P为空间一定点，则过点P且与a,b所成的角均是30。的直线有且只有（）A、1条 B、2条 C、3条 D、4条解析：过空间一点P作。a,b/b,则由异面

38、直线所成角的定义知：。与b 的交角为5 0,过 P与a,。.成等角的直线与a,b 亦成等角，设 a,d 确定平面a,a,U 交角的平分线为/,贝啦/且与a 垂直的平面（设为口）内的任一直线/与a,b 成等角（证明从略），由上述结论知：与a ,b所成角大于或等于/与a,6所成角2 5。，这样在（3 内/的两侧与a,5成 30 角的直线各有一条，共两条。在 a,。相交的另一个角1 30 内，同样可以作过1 30 角平分线且与a 垂直的平面丫，由上述结论知，y 内任一直线与a,b 所成角大于或等于6 5,所以丫内没有符合要求的直线，因此过P与。，b 成 30 的直线有且只有2条，故 选（B）5 9

39、.垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（）A.平行 B.相交C.异面 D.以上都有可能解析：D60、L是两条异面直线，直线孙、n h 与 h、k都相交，则n h 的位置关系是（）A.异面或平行C.异面解析：DB.相交D.相交或异面61.在正方体A B C D-A，B，CD，中，与棱A A，异面的直线共有几条（）A.4 B.6C.8 D.1 0解析：A62.在正方体ABCD-A BO 中 1 2 条棱中能组成异面直线的总对数是（）A.48 对 B.2 4 对C.1 2 对D.6 对解析：B一次，共有2 4对.棱A A，有4条与之异面，所以，所有棱能组成4 X 1 2=48对，但每一对都重复计算

40、63.正方体A B C D-A B，CD，中，异面直线CD，和BC所成的角的度数是()A.45 B.6 0 C.9 0 D.1 2 0 解析：BNAD(=6 0 即为异面直线CD，和BC所成的角的度数为6 0 64.异面直线a、b,a_ L b,c与a成30 角，则c与b成角的范围是(B.DTLC2:1解 Ab 成角的最小值是60直线c 在位置c2时，它与b 成角的最大值为90,直线c 在 c l位置时，它与65.如图，空间四边形ABCD的各边及对角线长都是1,点 M 在 边 A B上运动、点 Q 在边CD上运动,则 P、Q 的最短距离为（）B叵2D.叵2解析：B当M,N分别为中点时。因为AB

41、,CD为异面直线，所以M,N 的最短距离就是异面直线AB,CD的距离为最短。连接BN.AN则CD_LBN,CD_LAN且 AN=BN,所以NM_LAB。同理，连接 CM,MD 可得 MN_LCD。所以 MN 为 AB,CDV3的公垂线。因为AN=BN=2 所以在RTZkBMN中，MN=7BN2-BM2=3 1 72 -4 4-2求异面直线的距离通常利用定义来求，它包括两个步骤:先证一条线段同时与两异面直线相交垂直；再利用数量关系求解。在做综合题时往往大家只重视第二步，而忽略第一步。66.空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点，E F=J 3,则 AD,BC所成的角为

42、)A.30 B.6O0C.90 D.120“诋-1 2 .（2 1cosNEMF=-解 B注:面直线所成角的概念，范围及求法，需注意的是，异面直线所不能是钝角，而利用平行关系构造可求解的三角形，可能是钝形，望大家注意。同时求角的大小是先证明再求解这一基本过67.直线a是平面a 的斜线，b 在平a 内，已知a 与 b 成 60考察异成的角角三角程。的角，且 b 与 a 在平a 内的射影成4 5 角时，a 与 a 所成的角是（）A.4 5 B.6 0 C.9 0 D.1 3 5 解 AA a,A在a内的射影是C,贝!)AC_La于C,ABb于B,贝IJOB_L平面ABC.OBJ_BCOC OB,:

43、COSZAOC=TT7 cosZAOB=cos600=7rrOA OAOB OCcosZ BOC=cos45=.*.cosZAOC=7rrOC OAcosZAOB cos60 42cosZBOC-cos45-2.*.ZAOC=4568.m和 n 是分别在两个互相垂直的面a、p 内的两条直线，a 与 B交于1,m 和 n与 1 既不垂直,也不平行，那么m 和 n的位置关系是A.可能垂直，但不可能平行B.可能平行，但不可能垂直C.可能垂直，也可能平行D.既不可能垂直，也不可能平行解析：这种结构的题目，常常这样处理，先假设某位置关系成立，在此基础上进行推理，若无矛盾,且推理过程可逆，就肯定这个假设；

44、若有矛盾，就否定这个假设。设 mn,由于m 在 B外，n 在 B内，而 a 过 m 与 B交于1这与已知矛盾，Am 不平行n.设 0 1 _1 必 在 B 内作直线a 1,a JL 8,A a a,A ma.又由于n 和 a 共面且相交（若 a/n 则 n _L l,与已知矛盾）/.m B,A m l 与己知矛盾，Am 和 n 不能垂直.综上所述，应 选（D）.6 9.如图，ABC D-ABG DI是正方体，E、F分别是A D、D D 1 的中点，则面EFQB和面BCG所成二面角的正切值等于A、泛 B.也C.y/5 D.币解析：为了作出二面角E-B G-C 的平面角，需在一个面内取点，过该点向

45、另个面引垂线（这是用三垂线定理作二面角的平面角的关键步骤）。从图形特点看，应当过E （或 F）作面B C G 的垂线.解析：过 E作 EHLBC,垂足为H.过 H作 HGLBG，垂足为G连 E G.,面 A B C D _L 面 B C C”而 E H B CVE H l ffl B E C）,E G 是面B C G 的斜线，H G 是斜线E G 在面B C G 内的射影.VH G B C i,A E G I B C,.A Z EGH是二面角E-B G-C 的平面角。CCX 2在 R t Z W C i 中：s i n/C|B C=g=HG在 Rt ZB H G 中：s i n ZC ,B C

46、=2 X 1 =1；.H G=、6 2 处（设底面边长为1）.而 E H=1,也=第在 Rt ZE H G 中：t g/E G H=GZE G H=ar c t g V5故二面角E-B CrC 等于ar c t g V5 .7 67 0 .将边长为1 的正方形A B C D,沿对角线AC折起，使 B D=2 .则三棱锥D-A B C 的体积为m-245,D.V21276一12工C.解析：设 A C、BD交于O点，则 B O L A C且 DOLAC,在折起后，这个垂直关系不变，因此/B0D是二面角B-A C-D 的平面角.由于a DOB中三边长已知，所以可求出/BOD：1 1 6一+icosZ

47、BOD=-_2-4=2x1 22这是问题的一方面，另一方面为了求体积，应求出高，这个高实际上是ADOB中，OB边上的高D E,理由是：AC1.OB 工=面。如ACLODi=面/871面。如VD E 1 0 B，D E J _ 面 A B C._2 V s由 c o s ZD O B=2 ,知 s i n ZD O E=2D布一424-力1-2近4应 选(B)17 1 .球面上有三个点A、B、C.A和 B,A和 C间 的 球 面 距 离 等 于 大 圆 周 长 的 B 和 C间的球面距离等1于大圆周长的彳.如果球的半径是R,那么球心到截面A B C 的距离等于A-R2D.-R3解析：本题考查球面

48、距离的概念及空间想像能力.如图所示，圆 O 是球的大圆，且大圆所在平面与面ABC垂直，其中弦EF是过A、B、C 的小圆的直径，弦心距OD就是球心0 到截面ABC的距离，0 E 是球的半径，因此，欲求O D,需先求出截面圆ABC的半径.、I下一个图是过A、B、C 的小圆.AB、AC、CB是每两点之间的直线段.它们的长度要分别在AOB、AOC、4C O B 中求得（0 是球心）.由于A、B 间球面距离是大圆周长的6，所以NA0B=6 X2n=3,同理NA0C=3,ZBOC=2.AIABI=R,IACI=R,IBCI=V27?1在 ABC 中，由于 AB2+AC2=BC2./NBAC=90.BC是小

49、圆ABC的直径.凡-2XAIEDI=2-x从而 10D|=2.故应选B.7 2.如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA_L底面A B C D,该图中，互相垂直的面有E CA.4对 B.5对 C.6对 D.7 对答 案（D）解析：要找到一个好的工作方法，使得计数时不至于产生遗漏7 3.ABCD是各条棱长都相等的三棱锥.M是ABC的垂心，那么AB和 DM所成的角等于A解析：9 0 连 C M 交 A B 于 N,连 D N,易知N是 A B 中点，A B C N,A B D N.7 4 .已知P A _ L 矩形A B C D 所在平面，M、N分别是A B、P C的中点.(1)求证：M

50、NXCD；(2)若N P D A=4 5 ,求证 M N J j f f f P C D.(1 2 分)解析：取P。中点E,乂N 为P C 中点,连N E,则N E /CD,N E=-C D2又 v A M /CD,A M =-CD,：.A M /N E,：.四边形A M N E 为52 =:.MN/A E平面 A 8 C O,CD u 面A B C DCD I P ACD L A DC 1 平面A O P=A E u 平面4 O P=Cb0 :蜕乳俅三垂线定理,(2)当N P D A =4 5。时,M A P A D 为等腰直角二角形则A E 1 PD,乂M N U A E,:.MN L P