北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案.pdf

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1、北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导全册课时练习含答案目 录第 1章 1.1、1.2归纳与类比第 1章 1.1、1.2归纳与类比活页作业1第 1章 2.1、2.2综合法与分析法第 1章 2.1、2.2 综合法与分析法 活页作业2第 1章 3 反证法第 1章 3 反证法活页作业3第 1章 4 数学归纳法第 1章 4 数学归纳法活页作业4阶段质量评估1第 2 章 1 变化的快慢与变化率第 2 章 1 变化的快慢与变化率活页作业5第 2 章 2.1、2.2 导数的概念及其几何意义第 2 章 2.1、2.2 导数的概念及其几何意义活页作业6第 2 章 3 计算导数第 2 章 3 计算导数活

2、页作业7第 2 章 4.1、4.2 导数的四则运算法则第 2 章 4.1、4.2 导数的四则运算法则活页作业8第 2 章 5 简单复合函数的求导法则第 2 章 5 简单复合函数的求导法则活页作业9阶段质量评估2第 3 章 1.1导数与函数的单调性第 3 章 1.1导数与函数的单调性第 3 章 1.1导数与函数的单调性第 3 章 1.1导数与函数的单调性（第一课时）（第一课时）活页作业10（第二课时）（第二课时）活页作业11第 3 章 1.2导数在实际问题中的应用第 3 章 1.2导数在实际问题中的应用活页作业12第 3 章 2.1 实际问题中导数的意义A 第 3 章 2.1 实际问题中导数的意

3、义活页作业13A 第 3 章 2.2 最大值、最小值问题A 第 3 章 2.2 最大值、最小值问题 活页作业14 阶段质量评估3A 第 4 章 1.1、1.2定积分的概念A 第 4 章 1.1、1.2定积分的概念 活页作业15第 4 章 2 微积分基本定理A 第 4 章 2 微积分基本定理活页作业16A 第 4 章 3.1、3.2定积分的简单应用 第 4 章 3.1、3.2定积分的简单应用活页作业17 阶段质量评估4A 第 5 章 1.1、1.2数系的扩充与复数的引入A 第 5 章 1.1、1.2数系的扩充与复数的引入活页作业18A 第 5 章 2.1、2.2 复数的四则运算A 第 5 章 2

4、.1、2.2 复数的四则运算 活页作业19 阶段质量评估5 模块综合测评II北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案第 一 章 11.11.2反馈-当堂达标实 战 演 练，沙 场 点 兵1 .把1,3,6,1 0,1 5,2 1,这些数叫作三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形（如图所示）,则第七个三角形数是（）A.2 7C.2 9解析：第一个三角形数是1,第二个三角形数是1+2=3,第三个三角形数是1+2+3=6,第四个三角形数是1+2+3+4=1 0.（1+因此，由归纳推理第n个三南形数是1+2+3+4+=2 由此可以得出第七个三角形数是2 8.答案：B2.如图所

5、示，椭圆中心在坐标原点，尸为左焦点，当旗时，其 离 心 率 为 肉L此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类 比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于（）C.3一 1D.4+1解 析：根 据“黄 金 椭 圆”的 性 质 无JL热，可 以 得 到“黄金双曲线”也满足这个性质，设“黄金双曲1北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案2 2线”的方程为a一方=1,则 8(0,b),F(-c,0),A(a,0).在“黄金双曲线中，：FB A B,：.FB A B=Q.又FB=(c,b),A B=(a,/?),而 必 二/一 等 号 两 边 同 除 以 下,得 e?e 1=0,求得e=

6、答案：A3.下列几种推理过程是类比推理的是()A.两直线平行，内错角相等B.由平面三角形性质，猜想空间四面体性质C.由数列的前几项，猜想数列的通项公式D.某校高二年级有1 0 个班，1 班 5 1 人，2 班 5 3 人，3 班 5 2 人，猜想各班都超过5 0 人解析：A不是合情推理，C是归纳推理，D是归纳推理，只有B是类比推理.答案：B4.设等差数列 斯 的前项和为S“，则%S8-54,Sl 2-S8,&6 S 1 2 成等差数列.类比以上结论有：设等比数列仍“的前项积为7；,则 兀，_,_,变 成等比数列.11 2解析：等差数列类比于等比数列时，其中和类比于积，减法类比于除法，可得类比结

7、论为：设等比数列 勾 的前八项积为7“，则朵 小，2 成等比数列.竺安 H 112口木T4 人5.已知数列 斯 中,做=6,an-+a,an+-an+”(1)求。1，的，。4；猜想数列 恁 的通项公式.解：(1)由 0 2=6,得.。2一,3 +2-1由 赤 彳 7=2,得的=1 5.a4+a3l 与由-工 7=3,4-。3十1得 4=2 8.故 =1,。3=1 5,4=2 8.由 t z1=l =l X(2 X l-l),2=6 =2 X(2 X 2-1),4 3=1 5 =3 X(2 X 3 1),4=4 X(2 X 4-1),，猜想 an=n(2nl).2北师大版2018年高中数学选修2

8、-2同步优化指导练习含答案活页作业(一)归纳与类比基 砒 巩 固1 .有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律，拼成若干个图案，则第六个图案中有阴影花色的正六边形的个数是()第一个图案 第二个图案 第三个图案A.2 6B.3 1C.3 2D.3 6解析：设第个图案有斯个阴影花色的正六边形，则 7 1=6 X 1 0,。2=6 义2 1,6=6X3-2,故猜想 6=6 X 6 5=3 1.答案：B2 .观察下列各式：1 =12,2+3+4=3 2,3+4+5+6+7=5 4+5+6+7+8+9+1 0=72,可 以 得 出 的 一 般 结 论 是()A.+(+1)+(+2)+(3-2)=/B.+

9、(+l)+(+2)T-F(3-2)=(2-I)?C.+(+1)+(+2)+(3 -1)=2D.+(+1)+(+2)+(3 及-1)=(2 一 1 尸解析：可以发现：第一个式子的第一个数是1,第二个式子的第一个数是2 故第个式子的第一个数是n;第一个式子中有1 个数相加，第二个式子中有3个数相加.故第n个式子中有2n个数相加；第一个式子的结果是1 的平方，第二个式子的结果是3的平方故第个式子应该是2 一1 的平方，故可以得到 +(+1)+(+2)+(3-2)=(2-I)2.答案：B3 .已知x0,由不等式工+=+卜+1 2 3 毛 言 j=3,我们可以得出推广结论：x+$2 +l(W N+),则

10、。等于()A.2n B.n2C.3n D.nn3北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案解析：再续写一个不等式:由此可得a=n.答案：D4 .已知扇形的弧长为/,半径为r,类比三角形的面积公式5=底 尹，可推知扇形面积公式S用等于）j,2A.y B.C.与D.不可类比解析：由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高，可得扇形的面积公式.答案：C5 .平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到（）A.空间中平行于同一直线的两直线平行B.空间中平行于同一平面的两直线平行C.空间中平行于同一直线的两平面平行D.空间中平行于同一平面的两平面平行解析：利用类比推理，平面中的

11、直线和空间中的平面类比.答案：D6 .在平面上，若两个正三角形的边长的比为1 ：2,则它们的面积比为1 ：4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1 ：2,则 它 们 的 体 积 比 为.答案：1 ：87 .已知等差数列 斯 的前项和是S“=幽抖，由此可类比得到各项均为正数的等比数列仍“的前n项 积T,=_ _ _ _ _ _ _ _（用 九，b,勿表示）.解析：由等差数列中的“求和”类比等比数列中的“求积”，可知各项均为正数的等比数列 儿 的前nn项积（仇名）2 .n答案：S也）58 .上图中，上起第行，左起第+1列的数是.4北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案

12、17I18I19I20o_1_2_316-15-14-I25I4 _ 3169 一 8 1一 725-24-23-22-21解析：第 1 行第2 个数为2=1X 2,第2 行第3 个数为6=2X 3,第3 行第4 个数为12=3X4,第4 行第5 个数为20=4X5.故归纳出第n行第n+1 个数为n(n+l)=n2+n.答案：/+”2 29.在椭圆中，有一结论：过椭圆夕+5=1(4/?0)上不在顶点的任意一点P与长轴两端点A，A2,2连线，则直 线%I与%2斜率之积为一夕，类比该结论推理出双曲线的类似性质，并加以证明.V2 v2解：过双曲线,一方=1 上不在顶点的任意一点P 与实轴两端点A,4

13、 连线，则直线 以 与 雨2斜率,2之积为下.证明如下：设点 P(xo,y o),点 4 3,0),A2(a,0).椭圆中：狂N|MR4,=一 一-=x()a即十。劭 京/7，,2反倒一 1)j双曲线中：k P A i.kP A2=J T=x2_a2=7-a31 0.已 知 sin230+sin290+sin2150=2，$布25。+$也265。+$布2125。=2.观察上述两等式的规律，请你写出一个一般性的命题，并证明.解：一般性的命题为sii?0+sin2(60+6)+sin2(l 20+。)=*证明如下：sin20+sin2(60+0)+sin2(l 20+。)1 cos 2”一cos(

14、1200+2)J -cos(2400+2。)5北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案=|co s 20+co s(1 2 0+20)+co s(2 4 0 0+2 0=1 co s 2 0+co s 1 2 0 co s 2。s i n 1 2 0 s i n 2 +co s(1 8 0+6 0 +20)3 1 3=/g co s(6 0 0+20)co s(6 0+2。)=1.怩 力 提 升1 1.设 A B C的三边长分别为a,b,c,Z V I B C的面积为S,内切圆半径为r,则r=不 言p类比这个结论可知：四面体A-B C O的四个面的面积分别为&,SA S3,叉

15、，内切球半径为R，四面体A-8 C D的体 积 为 匕 则R等于()V2VA -R -S j +52+S3+S4,S1+S2+S 3+S 43 V 4 VC-D-S 1+S 2+S 3 +S 4 S 1+S 2 +S 3 +S 4解析：设四面体的内切球的球心为O,则球心0到四个面的距离都是R,所以四面体的体积等于以0为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.则四面体的体积为y 四 面 体 A-6 C D=q(S +S 2+S 3 +S Q R,R=_ _ _ _ _3 V _ _ _ _ _*S|+S2+S3+5 4,答案：C1 2.设 为正整数，%)=1+3+计算得欢=1，火4)2,共

16、8)|,尺6)3,观察上述结果，可推测一般的结论为.解析：由 题 意 心 得，/22)5,m3)|,；(24)1,故一般的结论为少 2答案：犬2)等Y1 3 .设函数式工)=百3a 0),观察:Y力 a)=y a)=x+2,X力(x)=A/i(x)=不 育X力(x)=/S(X)=7I+8,加 X)=A6(X)=7K，6北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案根据以上事实，由归纳推理可得：当6 N+且 2 2 时，力,(X)=/5LG)=.解析：依题意，先求函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由 1,3,7,1 5,，可推知该数列的通项公式为%=2-1.又函数结果的

17、分母中常数项依次为2,4,8,1 6,，故其通项公式为勿=2.所以当时，力(x)=/G-i(x)=(及二；八 衣;.答案：(2-x+21 4.(20 1 5 郑州模拟卷)平面几何里有“设直角三角形A 8 C 的两直角边分别为a,b,斜边上的高为小则点+表=表”,拓展到空间，研究三棱锥的侧棱长与底面上的高之间的关系可以得出的正确结论是：“设三棱锥4-8 8 的三个侧棱两两垂直，其长分别为a,b,c,面 B C 上的高为力，则”.解析：如右图所示，设 A 在底面的射影为。，连接8。并延长交C Q于 E.连接A E,由AB _ L AC,A BL AO 得 A8_ L 面 ACD.Cl rl tl，

18、AB _ L AE.设 AE=”在 AB E 中，由已知可得又易证CO _ L 面4 3 区：.CD A E,在4 C)中有*=/+1+*日答 案:5+表+/=表1 5.(2 0 6 江西模拟卷)设加)=2+十 4 1,“GN+,计算：式1),穴2),:3),-4),川 0)的值，同时作出归纳推理，并用=4 0 验证猜想是否正确.解：:1)=1 2+1+4 1=4 3,/2)=22+2+4 1=4 7,负3)=3?+3+4 1 =5 3,y(4)=42+4+4 1=6 1,X5)=52+5+4 1=7 1,#6)=6 2+6 +4 1 =83,.7)=7 2+7 +4 1=97,X8)=82+

19、8+4 1 =1 1 3,犬9)=92+9+4 1 =1 3 1,y(1 0)=1 02+1 0+4 1 =1 5 1.；4 3,4 7,5 3,6 1,7 1,83,97,1 1 3,1 3 1,1 5 1 都为质数,归纳猜想：当“C N+时，犬)=2+4 1 的值都为质数.7北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案当 ”=40 时，440)=4()2+40+41=40X(40+1)+41=41X41,./40)是合数.由上面归纳推理得到的猜想不正确.16.如右图，点P为斜三棱柱ABC-A|B|G的侧棱BBi上一点，交 4 A 于 点M,P N L B B 1交CCi于点N

20、.(1)求证：C C J M N；(2)在任意O E F 中有余弦定理。笈=。尸+尸一拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.(1)证明：加，881,P N L B B、,.88|_L 平面 PMN.:.BBJMN.大，：CCBB,:.C”MN.解:在斜三棱柱A8C-AB|G中，有6 4 8 8 0 1 =S,BCGB 1+S2ACGA12SBCG3 SACGAcos a.其中a 为平面CGB|B与平面CG A A 所成的二面角.证明如下：；CGJ平面 PMN.：.上述二面角的平面角为A MNP.在PMN中，P M2=PN

21、2+M N2-2PN-MNcos 0 M N P M2CC=PN2CC+MNCC 一 2(PN-CCi)-(MN-CC)cos N MNP,:.SBCCB、=PN CC,SACCXA =M N CC,SABBiA尸PM-BBi=PM-CCi,：.有 S2ABB1A,=52BCCIB1+S2ACCIA1-2SBCC|B1SACC1A|COS a.第一章 2 2.1 2.2反馈-当堂达标实 成 演 练，沙场点兵1.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的()8北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案A.充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.等价条件解析：分析法是从结论出

22、发执果索因，寻求使结论成立的充分条件.答案：A2.下面对命题“函数yu)=x+：是奇函数”的证明不是综合法的是()A.任意x C R,且 x 7 0,有人一x)=(一尤)+=一(x+，=y(x),所以贝x)是奇函数B.任意x C R,且 xW O,应x)=x+1+(x)+(一1)=0,即人工)=/(一幻.所以兀r)是奇函数_x_LC.任意x d R,且 x#0,因为/(x)W 0,所 以 喘?=-广=一 1，即式x)=-/U).所以穴力是奇函J(X)x+：数D.取 =一 1,-1)=一1+=2,又/(1)=1+1=2,式-1)=一 犬1),所以犬x)是奇函数解析：选项A,B,C 都是从奇函数的

23、定义出发，证明八-x)=-/(x)成立，从而得到犬x)是奇函数，而选项D 的证明方法为特殊值法，是错误的.答案：D3.用分析法证明cos%-sin%W l对任意角。成立时，最 后 明 显 成 立 的 条 件 是()A.cos%sin%=cos 20 B.sin20+cos20=1C.cos29Wl D.cos20sin20 1解析：分析法的证明过程如下：要证明 cos。一 sin%W 1,只需证明(cos20+sin%)(cos%sin 孙 W1,即证 cos%sin%b 0,则!解析：要证，+1 yci y ja-1 ya-2即证、+1 +yaya 1 +ya2.9北师大版2018年高中数学

24、选修2-2同步优化指导练习含答案答案：a+yciya+yja-2-11 3、十(a b)2 a+h 1 (ah)25.已知求证：而-yabh09 只需证（如+福）24。也就是证“第 1 yC.x=yB.x yD.不确定解析：取 a=l,Z?=4,得x=/,y=小,此 时x V y,猜想x V y.用分析法证明如下:x Vy,即yf a+yf b/；a+2ya b+b6 木+卜=2 a+b 2 y a b Qab,且 a,b W（0,+）,而a#b,且 凡 人 G(0,+8)恰是已知条件.故 x 处 仿+仄打，则实数、匕满足的一个条件是1 1北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含

25、答案解析：若G、+短扬+队，则后0,不等式两边均大于或等于0.两边平方得：a3+b3+2alrah+h2a+2ahyah,即 a3+/73a2bb1 a0,a2(a-h)+h2(ba)0,(a/?2)0,(aZ)2(a+6)0,又a2 0,b 2 0,故 a+b 2 0,故 a,6 满足的条件为a2 0,6 2 0 且因而满足上式的任一个关于a,匕的条件均可.答案：a 0,b 2 0 且8.当xG(l,2)时，不等式/+尔+4 0 恒成立，则 小 的 取 值 范 围 是.解析：xG(1,2),.,.x2+/nx+40/n Q c,且 a+b+c=0,求证7序一ac0 B.a-c 0C.(ab)

26、(ac)0 D.(一/?)(一 c)V0解析：要证明7 b 2ac 0,即证(一c)(2+c)0,即证(ac)(a。)0.答案：C12.设 Q0,b 0,则下面两式的大小关系为 lg(l+，)lg(1 +6?)+lg(1 +b).解析：(1+四)2(l+a)(l+b)=2yab(a+b)09(1+*/)2(l+a)(l+。)，lg(l+也 小 2 W lg(1 +a)(1 +8)，即 lg(l+V )|lg(l+6Z)+lg(l+Z?).答案：W13.已知x,y (0，+),a=x4+y4,b=x3y+xy3f 则 a,8 的大小关系是.解析：因为 i?=x4+y4,h=x3y+xyif 所以

27、 Z?=(x4+y4)(x3y+xy3)=(x3y3)(xy)=(xy)2(x2+xy+y2)20.故 a2 b.答案：心b14.已知兀0是定义域为R 的偶函数，当x 2 0 时,/U)=f 4x.那么，不等式/x+2)V 5 的解集是，解析：於)是 偶 函 教，段)=4。1).又当入2 0 时，r)=f 一以，不等式./U+2)V5m/Ux+2|)V5二|x+2 一 4|x+2|V5=(|x+2|-5)(|x+2|+l)|x+2|-5|x+2|-5JV+2 5=-7 JV3.解集为(一7,3).答案：(-7,3)1 5.已知非零向量a,b,且。_ 1 _ 力，求证：矢血.证明：a b|忘啦r

28、-只需证|。|+田|W 班|a+b|,只需证同2+2|a|臼+|臼 2 W 2(k)总成立，则称数列%是“P(Z)数列”.(1)证明：等差数列 斯 是 P(3)数列”；(2)若数列 斯 既 是“P(2)数列”,又 是“P(3)数列”，证明：4 是等差数列.证明：(1)斯 是等差数列，设其公差为乩则%=|+(l)d.从而当2 4 时，斯-人+。+&=4|+(-A l)d+a i +(+k l)d=2 a i+2(-1)4=2 “，=1,2,3,+。”+*-1所以斯-3+2+a”-1+a“+1+4”+2+即+3 6 “，因此等差数列%是“尸(3)数列”.(2)数列 斯 既 是“尸数列”，又 是“P

29、(3)数列”，因此当2 3 时，a-2+a-1+a+a+2=4a,当 N 4 时，斯-3+。-2+。-1+。+1+。+2 +。”+3 6 斯.0)由知 an-3+a-2=4 a-1 (a+a+),a“+2+。”+3-4 a+1-(a“-1+a”).)将代入，得斯-i +斯+i=2 斯，其中4,所以。3,4 4,5,是等差数列，设其公差为小.在中，取 =4,则。2 +。3 +a 5+。6 =4 4 4,所以 2 =的，在中，取=3,则。1+生+4 4 +“5=4 的，所以4 1=4 3 2/,所以数列“是等差数列.14北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案第 一 章 3反馈-

30、当堂达标实 战 演 练，沙 场 点 兵1.命 题“关于X的方程办=6 3#0）的解是唯一的”的结论的否定是（）A.无解B.有两个解C.至少有两个解D.无解或至少有两个解解析：“唯一”的意思是“有且只有一个”，其反面是“没有”或“至少有两个”.答案：D2.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两人说得正确，则获奖歌手是（）A.甲B.乙C.丙D.T解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁四人的话都是错的；同理，可推出乙、丙、丁获奖情况，最后可知获奖的歌手是丙.答案：C

31、3.用反证法证明命题”如果。匕，那 么 切 汨”时，假设的内容应是（）A.ya=ybB.ybC.yii=y b,且 羽 添D.ya=y jb,或 缶 航解析：羽 与 航 包 括%赤，ya=yh,翡 苑 三 方面的关系，所 以 赤 航的反面应为赤=赤，或 乐 V 折.答案：D4.用反证法证明命题“若/+/=（）,则 处 方全为0（a，人为实数）”时，应假设.解析：“。，匕全为0”即 是“a=0 且 8=0 ，因 此 它 的 否 定 为 或匕W0”.答案：a,人不全为0（“，。为实数）15北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案5.求证：两条相交直线有且只有一个交点.证明：假设结

32、论不成立，即有两种可能：无交点；至少有两个交点.设两条直线为a,b.(1)若 无 交 点，则 a 匕或。，是异面直线，与已知矛盾；(2)若“，至少有两个交点，设两个交点为A 和 8,这样同时经过4,B 两点就有两条直线，这 与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾.综上所述，两条相交直线有且只有一个交点.活页作业(三)反证法表 砒 巩 固1.用反证法证明命题”三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是()A.假设至少有一个钝角B.假设至少有两个钝角C.假设没有一个钝角D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角解析：“至多有一个”的否定是“至少有两个”，故选B.答案：B2.设 a,b,c 是正数，P a

33、+b-c,Q b+c-a,R c+a-b,则“P Q R 0”是“P,Q,R 同时大于零”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：必要性显然成立.充分性：若 P Q-R 0,则 P,Q,R 同时大于零或其中两个负的一个正的，不妨设 P0.因为 P0,Q0,即 a+b c,b+c a,所以 a+b+b+c c+a.所以b Z A P C,求证：N8A P V NC A P.用反证法证明时，假设应分 和 两类.解析：N B 4 P V N C 4 P的否定为N B A P N N C A P,因此假设应分两类：Z B A P=Z CA P Z B A P

34、 ZCA P.答案：Z B A P=Z C A P Z B A P Z C A P9 .用反证法证明：已知a,匕均为有理数，且W和的都是无理数，求证：，+也是无理数.证明：假设W+9为有理数，K J（yja+yf b X yja ylb）=a-b.由a 0,b 0,得也+或 0.,.ya yb a-byc i+yb：a,b为有理数,且或+或为有理数.J+金为有理数，即出 一 巾 为有理数.；.（6+福）+（京 一的）为有理数，即2g为有理数.应为有理数，这与已知也为无理数矛盾.,.,十的 一 定为无理数.1 0 .已知 x 0,y 0,且 x+y 2.求证:+x 1+y,中至少有一个小于2.y

35、 x1 y I A；证明：假设h，T都不小于2,1 +JC 1+y、即k,2,2 2.V x 0,y 0,1+x N 2 y l +y 2 2 x.，2+x+y 2 2 a+y).18北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案即x+y W 2,与已知x+)2 矛盾,故假设错误，原命题正确.1+x 1+v,.人 ,-，一【，1a中至少有一个小于2y x惋 力 提 升11.用反证法证明命题”。，人 G N,如 果 必 能 被 5 整除，那么a,匕至少有一个能被5 整除”，则假设的内容是()A.”，匕都能被5 整除B.a,6 都不能被5 整除C.a 不能被5 整除D.a,人 有一个不

36、能被5 整除解析：至少有一个的反面是一个也没有，故选B.答案：B12.若下列方程：$+4 内：-4a+3=0,f+g 1)工+2=0,x2+2ax2 =0,至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围为.解析：假设三个方程均无实根，则有4 =1 6/一4(一4+3)V0,2=(。一 I)?4 2V0,/3=42-4(-2Q)V 0,1-23-2解3即一广4一1.l-2 V a V 0,.3所以当a 2 一1或 aW 时，三个方程至少有一个方程有实根.答案：a 3一213.设二次函数犬%)=6 2+/+C 3#0),若关于工的不等式*xi)2 o 的解集为0 ,则关于x 的不等式/(x+1)骨12

37、7（N+）成立，其初始值至少应取（）A.7B.8C.9 D.1 0I 1 1 1 2n 1解析：左边=l+w+产=j-=2 一声T,代入验证可知”的最小值是8.1-2答案：B4.用数学归纳法证明1+2+2?+2 1=2 1 伽 N+）的过程如下：当=1时，左边=1,右边=2 i l =l,等式成立.假设当=&时，等式成立，即1+2+2 z+2%T=241,则当n=k+1 时，_ 2 11+2+22H+2 A=1 丁=2+i 1,1 2所以，当=&+1时等式成立.由此可知，对任何“G N+等式都成立.上 述 证 明 错 误 的 是.解析：当附=k+1时正确的解法是21北师大版2018年高中数学选

38、修2-2同步优化指导练习含答案1+2+2?+2*7+2*=2*1+2*=2 1-1,即一定用上第二步中的假设.答案：没有用上归纳假设进行递推5.用数学归纳法证明：(1 (1 一%)=叫 心 2,心+).证明：(1)当=2时，左边=13-4=1-4右边=3-412+X22 左边=右边.，=2时等式成立.(2)假设=k(kN2,AGN+)时等式成立,那么n=k+i时，利用归纳假设有:1 1k+1 k(k+2)伙+1)2 =W 而I7k+2(f c+l)+l=2(2+1)=2/+1)，即=Z+1时等式也成立.由和(2),可知对任意2 2,N+等式恒成立.活页作业(四)数学归纳法去 砒 巩 固1 .用

39、数学归纳法证明2 2+1 对于”他的自然数都成立时，第一步证明中的起始值的应取()A.2 B.3C.5 D.6解析：当取1,2,3,4 时 2 /+1 不成立，当=5 时，2$=3 2 5 2+1=2 6,第一个能使2 2+1 的值为5.答案：C2.用数学归纳法证明1+J+；+Wr7 1)时，第一步应验证不等式()A.1+/V 2 B.1+弓+与 222北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案C.1+3+；3 D.1+；+3解析：且 C N+,；.取的第一个值 o=2.第一步应验证：l+；+g 5时，|2+|)_/(2)=.解析：道)有”项，最后一项为:2)有 2 项,最后一

40、项为表八2+,有 2+i 项，最后一项为击，.J(2+i)比火2)多 出 的 项 为*f+亍 匕+“+?.答案:2+1+2+2f+pn9 .设 0,/(x)=q i,令 a =1,G N+.(1)写出恁，的，。4的值，并猜想数列 斯 的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论.(1)解：因为q=1,所以 2=/(a|)=7(1)=+“，的=A2)=弟,%=五 的)=岸 7猜 想 尸 谑 木 工(G N+).(2)证明：易知，当n=时，由猜想知正确.假设当=/时正确，即以=:、上，(4-1)十4则 像+产 以)=4+必=&伙 )+a(k)+a24北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练

41、习含答案_ _ _ _ _ _ _a _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ a _ _ _ _ _ _=(kl)+a+l=(k+l)-l+a，这说明，当=&+1时也正确.由，可知对于任何“G N+,都有为=;_10.试比较2+2与2的大小(C N+),并用数学归纳法证明你的结论.解：当 =1 时，21+2=4 12,当 ”=2 时，22+2=6 22,当 ”=3 时，23+2=10 32,当=4 时，24+2=1 8 42,由此可以猜想，2+2 2(GN+)成立.用数学归纳法证明如下：(1)当=1时，左边=2 1+2=4,右边=1,左边右边，不等式成立.当=2时，左边=2一+

42、2=6,右边=2=4,左边右边，不等式成立.当 ”=3 时，左边=2 3+2=1 0,右边=3?=9,左边右边，不等式成立.(2)假设当且AEN+)时，不等式成立，即2*+2 F，那么当 =k+l 时，2*+|+2=2-2*+2=2(2*+2)-2 2-2.要证当n=k+l时结论成立，只需证2必一2 2(k+l尸，即证您一2A320,即证+1)(%3)20.又；h H 0,上 一320,.(%+1)(%3)20.,.当n=k+I时，结论成立.由(1)和(2),可知“CN+时，2+2/12.惚 力 提 升11.用数学归纳法证明34+】+52+i(WN)能 被8整 除 时,当”=A+1时,对 于3

43、-+I)+I+52(H I)+I可变形为()A.56-34 t+l+25(34:+l+52,:+l)B.34-34t+1+52-52*c.34%+452*+1D.25(34*+I+524+1)25北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案解析：当“=/时，3+1+52|可被8整除；当，?=%+1 时，34(*+1)+1+52(*+1)+1=34*+1.34+52*+1.52=56-34A+1+25(34A+1+52 z,1+X+T 1,1+5，+T4-卜上 2,你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明.解：猜想第九个不等式，即一般不等式为：1 +wl-卜 W N+).用数学归纳

44、法证明如下：当=1时，1*，猜想成立.1 1 1 k(2)假设当=%时，猜想成立，即l+j+gd-.A ，则当n=k+时,1.1.11+2+3+-+7+F+T2汗|_|2十梦十2人+141）如.2 1+1十2百|一 2十2&+I-2-26北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案即当 =k+l 时，猜想也正确，所以对任意的GN+,不等式成立.1 6.一种计算装置，有一数据入口 A和一个运算出口 B,按照某种运算程序：当从A 口输入自然数1 时，从 B 口得到;，记为负1)=；当从A 口输入自然数(22)时，在 B 口得到的结果负 )是前一个结E ,2(/71)1 .果贝 -1)

45、的2(_ )+3倍 一 1(1)当从A 口分别输入自然数2,3,4 时，从 8 口分别得到什么数？试猜想迷 )的关系式，并证明你的结论；(2)记 5“为数列伏)的前项和，当从B 口得到1 6 1 9 2 5 75 的倒数时，求此时对应的&的值.2-3解：(1)由已知得人)=三不酒一 1)(22,W N+),4 3 i l l当=2时，2)=项力乂/(1)=5*1=记，同理可得,3)=,.穴 4)=表，猜想/)=(2-1)(2+1)*)用数学归纳法证明如下：当=1,2,3,4 时，由上面的计算结果知(*)成立.假设=k(A 24,左 C N+)时,(*)成立，即火灯=(24-1)(2左+1)，那

46、么当n=k+l时，2k 1 2k-1 _ _ _ _ _ _ 1_ _ _ _ _ _1)=2忆+并)=2&+3.(2左 一 l)(2k+1)，即 J(k+1)=2(k+l)-l 2(k+l)+l 当n=k+时，(*)也成立.综合所述，对所有的“G N+,cos Acos C,可得cos(4+C)0,所以B 为锐角，但并不能判断角A,C,故选D.答案：D4.用反证法证明：“方程以2+云+=0,且 a,b,c 都是奇数，则方程没有整数根”时，正确的假设是方程存在实数根沏为()A.整数 B.奇数或偶数28北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案C.正整数或负整数 D.自然数或负整

47、数解析：方程没有整数根的否定是方程有整数根，在方程中，a,b,c都是奇数，故 0不是方程的根，因此正确的假设是方程存在实数根沏为正整数或负整数.答案：C1 一+25.用数学归纳法证明1+。+/+a +】=GN+）,在验证=i 成立时，左边计算所1 a得结果为（）A.1B.+aC.1+Q+2 D.1+/+3解析：=1 时，代入+1 得 2,故验证=1 成立时，左边应为1+。+2.答案：c6.已知 1+2 X 3+3 X 3 2+4 X 3 3+37=3（wb）+c 对一切金N+都成立，那么 m b,c,的值为（）1 ,1 1A.a=2f B.a=b=c=4C.=0,b=c=/D.不 存 在 这

48、样 的h,c3（一 b）+c=1,解析：令=1,2,3,得,9（2 i）+c=7,解得=g,=c=；.经验证此时等式对一切 N+均成、27（3 一 ）+c=34,立.答案：A7.用数学归纳法证明1+古 H-1 古 5（/2 N+）的步骤（1）中，验证的初始值为（）A.1 B.2C.3D.4解析：=1时不等式不成立，=2时不等式成立，因此步骤（1）中验证的初始值为2.答案：B8.已知数列仍 为等比数列,%=2,则仇历一2 9=29.若数列 斯 为等差数列,为=2,则数列 斯的类似结论为（）A.42a3 “9=29B.4+他+。3+9 =2。C.4。2a 3.的=2 X 9D.。+。2+3+9=2

49、*9解析：由等差数列的性质知。1+的=。2+。8=3 =245.答案：D29北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案9.下列结论正确的是（）A.当 x 0 且 xW l 时，l g x+9 2 2i g xB.当x 0 时，5+）2小C.当x 2 2 时，的最小值为2D.当0 x W 2 时，x 无最大值解析：选项A 错在Ig x的符号不确定；选项C错在等号成立的条件不存在；根据函数1 x）=x-q 的单调性，当x=2 时，K t）取最大值3，故选项D不正确.答案：B10.某同学在电脑上打出如下若干个和“O ：O O*O O O*O O O O*O O O O O依此规律继续

50、打下去，那么在前2014个图形 中 的 的 个 数 是（）A.6 0 B.6 1C.6 2 D.6 3解析：第 一 次 出 现 在 第 一 个 位 置，第 二 次 出 现 在 第（1+2）个位置，第 三 次 出 现 在第（1+2+3）个位置，第次出现“”在第（1+2+3+）个位置._.z?（n+l）*.*1 +2+3 +=2，.L 伽+1）6 2 X（6 2+1）当 7 7=6 2 时，2=2=1 9 53,2014-1 9 53=6 1 3 n 詈成立,运用类比思想方法可知，若点A。1，ta n X i),8 3，ta n?)是函数y=ta n一：x 0)的图像上任意不同两点，则类似地有 成