初中数学竞赛试题及答案汇编.pdf

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1、全国初中数学竞赛初赛试题汇编(1998-2018)目录1998年全国初中数学竞赛试卷.11999年全国初中数学竞赛试卷.62000年全国初中数学竞赛试题解答.92001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷.142002年全国初中数学竞赛试题.152003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题.172004年叮RULY信利杯”全国初中数学竞赛试题.252005年全国初中数学竞赛试卷.302006年全国初中数学竞赛试题.322007年全国初中数学竞赛试题.382008年全国初中数学竞赛试题.462009年全国初中数学竞赛试题.472010年全国初中数学竞赛试题.522011年全国初中数学竞赛试题.

2、572012年全国初中数学竞赛试题.602013年全国初中数学竞赛试题.732014年全国初中数学竞赛预赛.772015年全国初中数学竞赛预赛.852016年全国初中数学联合竞赛试题.942017年全国初中数学联赛初赛试卷.1032018年初中数学联赛试题.1051998年全国初中数学竞赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a、b、c都是实数，并且ab c,那么下列式子中正确的是（）（A）a b b e（B）a +b b +c（C）a b b c（D）c c2、如果方程/+/+1 =0（0）的两根之差是1,那么p的 值 为（）（A）2 （B）4（C）V3 （D）V53、在A A B

3、 C中，己知B D和C E分别是两边上的中线，并且BD_ LCE,BD=4,CE=6,那么 ABC的面积等于（）（A）1 2 （B）1 4（C）1 6 （D）1 84、已知出七工（），并且,+=.,那么直线y =p x+p一定通过第（）象限cab（A）一、二（B）二、三（C）三、四（D）一、四9x a 05、如果不等式组 的整数解仅为1,2,3,那么适合这个不等式组的整数a、b的有序数对（a、b）共有Sx-b Q（）（A）1 7 个（B）6 4 个（C）7 2 个（D）8 1 个二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形A B C D中，已知两邻边AD=1 2,AB=5,P是A D边上任意

4、一点，P E BD,P F 1 AC,E、F分别是垂足,那么 P E+P F=/+（2。+1 b+2。+（的图象与x轴/只有一个交点，（1）求a的值；（2）求。阳+3 2玄-6的值。.1 3、A市、B市和C市有某种机器1 0台、1 0台、8台，B C 现在决定把这些机器支援给D市1 8台，E市1 0台。已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为2 0 0元和8 0 0元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为3 0 0元和7 0 0元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为40 0元和50 0元。（1）设从A市、B市各调x台到D市，当2 8台机器调运完毕后，求总运费W （元）关于x （台）的

5、函数关系式，并求W的最大值和最小值。（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当2 8台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W （元），并求W的最大值和最小值。解 答1 .根据不等式性质，选B.学习2 .由=p2-40及 p 2,设 x l,x 2 为方程两根，那么有x l+x 2=-p,x lx 2=l.又由(x 1-x 2)2=(x 1 +x 2)2-4x 1 x 2,得 2=(-P)2-4,所 以 p2=5,p=#(p 2).故 选 D.图 3-2713.如图32 7 1,连 ED,则SQ 四 功 簿 B CD E =2 BDDL CSE =112乙.又因为DE是aABC 两边中点连线

6、，所以4 4S A B C=-S3 四 总 遭 B CD E=_3 x 12=16故选C.4.由条件得a +b =pc,b +c =pa,a +c =pb.三式相加得 2(a+b+c)=p(a+b+c),所以有 p=2 或 a+b+c=0.当 p=2 时，y=2 x+2,则直线通过第一、二、三象限.9+卜当a +b+c =0时，不妨取a +b =-c,于是p=-l(c r 0),所以c y=-x-l,则直线通过第二、三、四象限.综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象 限.故 选 B.,由原不等式组可得x 3 .在数轴上画出这个不等式组解9 o的可以区间,如图32 7 2.-1OI5I 4b-

7、8132图 3-272不难看出3 4.由0，4 1,得0 a9,所以a=l,y o y2,3,，9,共9个.由 3 号 4得 3 X8 b4 4 X8,所以b =3X 8O+1,3X 8+2,3X 8+3,.3 X 8+8,共 8 个，9X 8=7 2(个).故选 C.图 3-2736.如图32 7 3,过 A作 A G _ L B D 于 G.因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所学习以 PE+PF=A G.因为 AD=12,A B=5,所以 B D=13,所以 G12X5 60 u s ,60石，所以PE+PF=行.13图 3-2747.如图3-274,直线y=-2x

8、+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(l,1),B(-3,9).作 AA1,BB1分别垂直于x 轴,垂足为Al,B l,所以SACLAB=S梯彩-SABBI。图 3-2758.如图32 7 5,当圆环为3 个时，链长为b-a.3a+-X 2=2a+b（厘米）.当圆环为50个时，链长为50a+2 X=49a+b（厘米）.9.因为aW O,解得故 a 可 取 1,3 或 5.图 3-27610.如图3 276,设经过t小 时 后A船、B船 分 别 航 行 到 A1B ,设AA=x,于是BB=2 x.由AB=10、扬，得AC=B C=10,所以AlC=|10-x|,B1C=|10-2x|,所以A31=

9、7|10-x|2+|10-2x|2=择-6）2+20,当x=6时,AB=2有最小.学习1 1.解 法 1 如图32 7 7,过 C 作 CDLCE与 E F的延长线交于D.因为ZABE+ZAEB=90,ZCED+ZAEB=90,所以 ZABE=ZCED.于是 RtA B EsRt/X CED,所以2 C D E _fC EV _ 1 CE _AB _Sd E A B-IABJ 4r CDAE 又NECF=NDCF=45,所以C F是NDCE的平分线，点 F 到 C E和 C D 的距离相等，所以S&CEF C E-=-=/S “e C D 2 A CDF所以_ 2 _ 2 1 _ 2 1 1

10、1SdCEF=3S-iCDE=3 X 4SiABE=3 X 4 X 5 s A妣C =可 解法2 如图32 7 8,作 FH_LCE于 H,设 F H=h.因为ZABE+ZAEB=90,ZFEH+ZAEB=90,所以 ZABE=ZFEH,于是 R tZEH FsR iB A E.因为EH _ A BF H =A E即 EH =2 h,所以H C =g-2h.又因为H C =F H,所以h =(-2 h,h =7 ,2 6所以SQ&CEF=1ECXFH21 1 1-X -X -2 2 612 41 2.(1)因为抛物线与x 轴只有一个交点，所以一元二次方程x2+(2 a+l)x +2 a +?=

11、0有两个相等的实根，于是=(2 a +1尸-4I 2 a +j=0,即a?-a -1 =0,所以1士 有a=-(2)由(1)知，a 2=a+l,反复利用此式可得a4=(a+1 )2=a2+2a+l=3a+2,学习a8=(3a+2)2=9a2+12a+4=21 a+13,a 16=(21 a+13)2=441 a2+546a+169=987a+610,al8=(987a+610)(a+l)=987a2+1597a+610=2584a+1597.又-6 _ 1 _ 1 _ 1 _ 1a a6 a4a2(3a+2)(a+l)8a+5 因为 a2-a-1=0,所以 64a2-64a-65=-l,即(8

12、a+5)(8a-13)=-l.所以 a-6=i =-8a+13.8a+5所以al8+323a-6=2584a+1597+323(-8a+13)=5796.13.(1)由题设知，A 市、B 市、C 市发往D 市的机器台数分别为x,x,18-2x,发往E 市的机器台数分别为10-x,10-x,2x-10.于是W=200 x+300 x+400(l 8-2x)+800(10-x)+700(l 0-x)+500(2x-10)=-800 x+17200.又04:1 0,0 1 8-2 K 8,k10,5。久9,所以XK9,所以W=-800 x+17200(5xW9,x 是整数).由上式可知，W 是随着x

13、 的增加而减少的，所以当x=9时，W 取到最小值10000元；当 x=5时，W 取到最大值 13200元.(2)由题设知，A 市、B 市、C 市发往D 市的机器台数分别为x,y,18-x-y,发往E 市的机器台数分别为10-x,10-y,x+y-1 0.于是W=200 x+800(l 0-x)+300y+700(10-y)+400(l 8-x-y)+500(x+y-10)=-500 x-300y+17200.又4b x io,0 y 1 0,0418-x-y 18,o K io,0 7 10,所以104x+M 18,所以W=-500 x-300y+17200,且0 x 1 0,0 4 y 1

14、0,x,y为整数.104x+18,W=-200 x-300(x+y)+172002-200X 10-300 X 18+17200=9800.当 x=10,y=8时，W=9800,所以W 的最小值为9 8 0 0.又W=-200 x-300(x+y)+17200-200 X 0-300 X 10+17200=14200,当 x=0,y=10时,W=14200,所以W 的最大值为14200.学习1999年全国初中数学竞赛试卷一、选 择 题（本题共6 小题，每小题5 分，满分30分.每小题均给出了代号为A,B,C,D 的四个结论，其中只有一个是正确的.请将正确答案的代号填在题后的括号里）1.一个凸n

15、 边形的内角和小于1999。，那么n 的最大值是（）.A.11 B.12C.13 D.142.某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费.已知某用户4 月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4 月份该用户应交煤 气 费（）.A.60 元 B.66 元 C.75 元 D.78 元-1|=1 +1|3.已知a,那么代数式。的 值 为（）.6 石A.2 B.-2 c.-石 D.招4.在三角形ABC中，D 是 边 BC上的一点，己知AC=5,AD=6,BD=IO,C D=5,那么三角形ABC的面积是（）.A.

16、30 B.36 C.72 D.1255.如果抛物线了=一生一 1 卜一上一 1与 x 轴的交点为A,B,项点为C,那么三角形ABC的面积的最小值是（）.A.1 B.2C.3D.46.在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P,使得 PCD与 BCD的面积相等，并且 ABP为等腰三角形，这样的不同的点P 的个数为（）.A.2B.3C.4D.5二、填空题（本题共6 小题，每小题5 分，满1 1x=j =7.己知 出+无、回-0,那么8.如 图 1,正方形ABCD的边长为10cm,点 E 在边C B 的延长线上，且 EB=10cm,点 P 在边DC上运动，EP与 A B的交点为F.设之间的函数关系式

17、是DP=xcm,EFB与四边形AFPD的面积和为ycm 2,那么，y 与 x（0 x 2 2也可以倒过来考虑：22-20-10-8（或者 4 8 1122.）（2）1 3x 2-4-3 x 2-2 3 x22-4-3x 22-2 -3 x 23-4 3x 23-2（不断乘以 2,再加 2）上 f 3 x 2 96 _ 4-3x 2 96 2 99+2 96-3 2+296-1U21 0 0+297-2 .或倒过来考虑：2100+297 _2_299+296 _1 2 _ 299+296 _3 3 3X 29 6 _J 3 3X 29 6 _4+2 3x 2*-2 -2）3 x2”-4 3x 2

18、“-2 73x2-4.（不断地除以2,再减去2）3x 23-2=2 2,2 2 2 0 1 0 4-2 -1.注意：加法与乘法必须是交错的，否则不能得分.学习2000年全国初中数学竞赛试题解答一、选 择 题（只有一个结论正确）1、设 a,b,c 的平均数为M,a,b 的平均数为N,N,c 的平均数为P,若 a b c,则 M 与 P 的大小关系是（）。（A）M=P；（B）M P；（C）M b c,.I-=0,即 M-P 0,即 MP12 122、某人骑车沿直线旅行，先前进了 a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千 米（b 0,且一25+5NW 0,二 LWN S5,即 N=l,2,3,4,

19、5。45、设 a,b,c 分别是 ABC的三边的长，且/=a+h,则它的内角/A、N B 的关系是（b a+b+c（A）Z B 2Z A；（B）Z B=2Z A；（C）Z B al,b b l,c c l则 S 与 S I 的大小关系一 定 是()(A)SS1；(B)S 1答：(D)。分别构造 ABC与 A1B1C1如下：作 ABCS/A IB IC I,显然$%,即 S S I；设&二方=同，。=2 0,则 4=L s=io,=S =1 0,则 S I=7 xl O O IO,即 S G=10,则 4=2,S1=1O(即 s=si；因此，s与 si 的大小关系不确定。二、填空题2+j _+j

20、_7、已知：2=退+也+%，那 么&(22/=。1=3/7_1 3+3+1 _ 3.+3 a+l_答：1。；(痣 -1)。=2 T =1,即&o a a2 a3 a3 0 A mlo 根据题设，有如 1。学习(1)因为 X：+君二(马+x2)2-2 x 2 =4(m-2)2-2(m2-3m +3)=22 1 n i nm2-5m +2=0,：.m =5=2TM-10小+10,二2加 一10加+10 =6 即 2m =由于一1 出 1,故5-17 2(2)7 n X：*m x 2 相 x：(-叼)+只(1 一31)_根卜；+君 一/巧(毛+巧)1一七 1-X2(l-x1)(l-x2)xrx2-X

21、j -x2+1m(2m2-l O w +10)+(m2-3m +3)(2小-4)_ m(2m3-8m2+8m-2)(m2-3m+3)+(2 m -4)+1 m2-m士-1)(/-3如+1)=2(4 3如+1)m(m -1)y =2(m2-3m +1)=2(m -)2-(-1 m 1)v y E-1 m .Ck jHn -_ i OB2-B H7=x/4 3 _ iA H=O A-O H=2-l=loS“DBD盘=卜2陋 八=透$=$2 2 ，:E 是 A C 的中点，4MsE 岫谖，SADE=SACDE,S&ABD=iCD,S四 边.s =2 sA=2道。15、一幢33层的大楼有一部电梯停在第

22、一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2 层至第33层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到I 分不满意，往上走一层楼梯感到3 分不满意 现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2 至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）解：易知，这 32个人恰好是第2 至第33层各住1人。对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数。事实上，设 住 第 s 层的人乘电梯，而 住 第 t 层的人直接走楼梯上楼，$1。交换两人上楼方式，其余的人不变，则不满意总分不增，

23、现分学习别考虑如下：设电梯停在第X层。当时，若 住 第s层的人乘电梯，而 住 第t层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为3t +3s-3x-3.交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为3才+3 s-3。当X =S 0当s 。当s 。今设电梯停在第x层，在第一层有了人直接走楼梯上楼，那么不满意总分为：S 3 1 +2+(3 3一%)+3(1 +2+?)+1 +2 +(x-y-1 -1)_ 3X(3 3-X)(34-K)3J(?+1)(X-J-2)(K-J-1)-I-I-2 2 2二2/一 孙 i o 2 x+2 y2 +3)+1 6 8 4 =2/-()+1 0 2)x+2y2+3y+1 6

24、 8 4=2(x-02)2 +1(1 5 2 -180J/+3 0 6 8)=2(x-j 402)2+y(-6)2+3 1 6 3 1 6当 x=27,y=6 时,s=316o所以，当电梯停在第27层时，这 32个人不满意的总分达到最小，最小值为316分。学习2001年T I杯全国初中数学竞赛试题B卷选 择 题(30分)1、化简2+4 2(2)(A)2+,2(2田)1(B)o-2+,7 7(C)8 叫得()2、如果。，c 是三个任意整数，那 么 2,山()2 2 2(A)都不是整数(B)至少有两个整数(C)至少有一个整数(D)都是整数3、如 果 是 质 数，且I3a+w=o,b 2 1%+机=

25、0,那么q 的 值 为()a b,、123(A)-(B)22125 、125、或 2(C)(D)22 224、如图，若将正方形分成k 个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则 女的 值 为(A)6(B)8(C)10(D)125、如图，若 PA=PB,ZAPB=2ZACB,AC 与 PB交于点D,且 PB=4,PD=3,贝 i ADDC等 于(A)6(B)7(C)12(D)166、若。力是正数,(A)a h填 空 题(30分)且满足 12345=(1 1 1+0)(1 1 1-/?),则 a和加之4(B)a=b(C)a =年平。那 么 冬+=V3+V2-V3-V2 x2 y28、若

26、 x?+xy+y-,y2+x y+x =2&则x+y 的值为9、用长为1,4,4,5 的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于10、销售某种商品，如果单价上涨加 ,则售出的数量就将减少言。为了使该商品的销售总金额最大，那么利的值应该确定为11、在直角坐标系尤。y中，X轴上的动点M(x,0)到定点P(5,5)、Q(2,1)的距离分别为M P和 M Q,那么当 MP+MQ取最小值时，点 M 的横坐标 =12、己 知 实 数 满 足 a?+。6+后=1,且 =a b-a?后，那么t 的取值范围是解 答 题(60分)13、某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次。在第6、第 7、第 8、第 9

27、次射击中，分别得了 9.0环、8.4环、8.1环、9.3环。他的前9 次射击所得的平均环数高于前5 次射击所得的平均环数。如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环。那么他在第10次射击中至少要得多少环？(每次射击所得环数都精确到0.1环)14、如图，已知点P 是。外一点，PS、PT是。O 的两条切线，过点P 作。O 的割线PA B,交。O 于 A,B两点，并交 ST于点C学习求证：-=P C 2 PA PBs1 5、已知：关于x的方程3 _ 1)()2 _(2。+7)(4)+1 1 =0 x-1 x-1有实根。求。取值范围；CO若原方程的两个实数根为玉，/，且 +=二网一1 1 1 1求。的

28、值。2002年全国初中数学竞赛试题一、选择题(每小题5 分，共 3 0 分)1、设 a b 0,a 2+b 2=4 a b,则 空 的 值 为a-bA、Q B.V6 C、2 D、32、己知 a=1 9 9 9 x+2 0 0 0,b=1 9 9 9 x+2 0 0 1,c=1 9 9 9 x+2 0 0 2,则多项式 a 2+b 2+c 2 a b b c-c a 的值为A、0 B、1 C、2 D、33、A、C、4、如图，点 E、F分别是矩形ABCD的边A B、BC的中点，连 A F、CE交于点G,则 迎 3 丝 等 于S矩 形 A B C D5624B、D、4?2设 a、b、c 为实数兀 兀

29、，x=a 2 2 b H-，y=b 2 2 c H,z=c 2 2 a H,则 x、y、z 中至少有一个值3 3 3A、大于0 B、等于0C、不大于0D、小于05、设关于x的方程a x 2+(a+2)x+9 a=0,有两个不等的实数根x l、x 2,且 x l lx 2,那么a的取值范围是A、22-a C、72a 一52 a 01 16、A 1 A 2 A 3 A 9 是一个正九边形,A lA 2=a,A l A 3=b,则 A 1 A 5 等于A、+b2 B、V a2+a h+b2C、+Z?)D、a+b二、填空题(每小题5 分，共 3 0 分)7、设 x l、x 2 是关于x的一元二次方程x

30、 2+a x+a=2 的两个实数根,则(x l-2 x 2)(x 2 2 x 1)的最大值为。学习8、已知a、b 为抛物线y=（xc）（xcd）2 与 x 轴交点的横坐标，a 0,那么就可以交换b,c 的位置，这称为一次操作.(1)若圆周上依次放着数1,2,3,4,5,6,问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4 个 数 a,b,c,d,都有(a-d)(。一c)WO?请说明理由.(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1,2,，2 0 0 3,问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4 个数a,b,c,d,都有(a d)0 c)W 0?请说明理由.解：2

31、003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题参考答案与评分标准一、选择题(每小题6 分，满分30分)1.Dy=2z.代入即得.2.D因为20X372.520X4,所以根据题意，可知需付邮费0.8X4=32（元）.3.C如图所示，ZB+ZBMN+ZE+ZG=360,ZFNM+ZF+ZA+ZC=360,而N B M N+N FN M=N D+180,所以ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG=540.J N J（第3题图）显 然AB是四条线段中最长的，故 AB=9或 AB=x。（1）若 A B=9,当 CD=xtl寸，9 2=/+（1+5）2,X=3A/5；学习当 CD=5 时，92=52+

32、(X+1)2,X=2 V 1 4-1；当 CD=1 时，9?=+(x +5)2,x =4旧-5.(2)若 A B=x,当 CD=9 时，x2=92+(1+5)2,x =3-713；当 CD=5 时，x2=52+(1+9)2,x =55；当 CD=1 时，x2=12+(5+9)2,x=VT97.故 x 可取值的个数为6 个.5.B设最后一排有k 个人，共 有 n 排，那么从后往前各排的人数分别为k,k+1,k+2,，k+(n-1),由题意可知kn+=1 0 0,即 2&+(n-l)=200.因为k,n 都是正整数，且 n 2 3,所以n 0 ,（一 a l）2 4。（3 2a）0,即（9a 1）

33、3-D 0，由于 a 是正整数，故。1,所以a 2.又因为b+c=-3 a+2 W-4,且当a=2,b=-3,c=-l 时，满足题意，故 b+c的最大值为-4.三、解 答 题（共 4 题，每小题15分，满分60分）1 1.如图所示，己知A B是 的 直 径，BC是。O于 弦 A D,过 点 D 作 DELAB于点E,连 结 AC,问 EP与 PD是否相等？证明你的结论.解：DP=PE.证明如下：因为AB是。O 的直径，B C是切线，所以AB1BC.由 RtA A EPRtA A BC,得的切线，OC平行与 D E 交 于 点 P.又 ADO C,所以NDAE=NCOB,于是 RtaAED必 E

34、D AE AE 2AE-故=-=-BC OB 1 AB-A B2由，得 ED=2EP.所以 DP=PE.(15 分)RtAOBC.（12 分）1 2.某人租用一辆汽车由A 城前往B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示.若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1 千米需要的平均费用为1.2元.试指出此人从A 城出发到B 城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？解：从 A 城出发到达B 城的路线分成如下两类：（1）从 A 城出发到达B 城，经过O 城.因为从A 城到O 城所需最短时间为26小时，从 O 城到B 城所需最短时间为 22

35、小时.所以，此类路线所需 最短时间为26+22=48（小时）.（5 分）（2）从 A 城出发到达B 城，不经过O 城.这时从A 城到达B 城，必定经过C,D,E 城或F,G,H 城，所需时间至少为49小时.（10分）综上，从 A 城到达B 城所需的最短时间为4 8 小时,A-F-O-E-B.(12 分)所需的费用最少为：80X48X1.2=4608（元）（14 分）答：此人从A 城到B 城最短路线是A-F用最少为4608元(1513B.如 图 所 示，在 4 A B C 中，Z（1）当点D 在斜边A B 内部时，求证：CD2-BD2 AD-BDBC2AB（2）当点D 与点A 重合时，第（1）小

36、题说明理由.（3）当点D 在 BA 的延长线上时，第（1）请说明理由.解：（1）作 D EJ_BC,垂 足 为 E.由勾股CD2-BD2=(CE2+DE2)-(B E2+DE2)12所走的路线为:COGDBE（第 12题图）A-0 f E B,所需的费分）ACB=90.中的等式是否存在？请小题中的等式是否存在？定理得=CE2-BE2=(CE-BE)BC.所以CZ)2 _ BD?BCiCE-BE CE BEBC学习因为D E A C,所以C E A D BE BDw C D2-B D2 A D B D AD-B D 八、故-=-=-.（1 0分）B C2 A B A B A B（2）当点D与点A

37、重合时，第（1）小题中的等式仍然成立。此时有A D=0,C D=A C,B D=A B.r ci.C D2-B D2 A C2-A B2-B C2,B C2 B C2 B C2A D-B D-A B ,-A B A B 从 而 第（1）小题中的等式成立.（1 3分）（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式不成立.作D E _ L B C,交B C的延长线于点E,则C D2-B D2 C E2-B E2B C2 -B C2C E+B E _ _ 2C EA D-B D-A B而-A B A B所以C D?BD?AD-B DB C2-A B（1 5分）说明第（3）小题只要回答等式不成立

38、即可（不成立的理由表述不甚清者不扣分）.1 4 B.已知实数 a,b,c 满足：a+b+c=2,a b c=4.（1）求a,b,c中的最大者的最小值；（2）求同+帆+卜的最小值.解：（1）不妨设a是a,b,c中的最大者，即a N b,a N c,由题设知a 0,4且 b+c=2-a,b e a94于是b,c是一元二次方程一一（2-口+二。的两实根，a94A =（2-a Y-4 x 2 0,a-4 o +4。-1 6 2 0,（。+4）（4）2 0.所以 a N 4.（8 分）又当a=4,b=c=-l时,满足题意.故a,b,c中最大者的最小值为4.（1 0分）（2）因为a b c 0,所以a,b

39、,c为全大于0或一正二负.若a,b,c均大于0,则 由（1）知，a,b,c中的最大者不小于4,这与a+b+c=2矛盾.2）若 a,b,c 为或一正二负，设 a 0,b 0,c 0,则时+|母+口=ci h c=a （2 ci）=2a 2,由（1）知 心4,故2 a-2 2 6,当a=4,b=c=-l时，满足题设条件且使得不等式等号成立。故时+网+卜的最小值为6.（1 5 分）1 3 A.如图所示，。的直径的长是关于x的二次方d+2（Z 2）尤+%=。（k是整数）的最大整数根.P作OO的切线P A和割线P B C,其中A为切点，点B,程是。O外一点，过点PC是直线P B C与。OBOC学习P的交

40、点.若PA,PB,PC的长都是正整数，且 PB的长不是合数，求 2片+2 尸+的 值解：设方程f+2(Z 2)x+左=0 的两个根为阳，龙 2，七 二 工 2 由根与系数的关系得X 1+%2=4 2k,xtx2=k.由题设及知，匹，马 都是整数.从，消去匕 得(第13A图)2X/2+X 1+%=4,(2x,+l)(2x2+1)=9.由上式知，x2 4,且当k=0时，x2=4,故最大的整数根为4.于是。O 的直径为4,所以BCW4.因为BC=PCPB为正整数，所以BC=1,2,3 或 4.(6 分)连结 AB,A C,因为N PAB=/PC A,所以 PABs/pCA,PA P CPBPA故 P

41、 A2=P B(P B+B Q (10 分)(1)当 BC=1时，由得，PA?=PB?+P B,于是P B1 PA2 (P B+1)2,矛盾！(2)当 BC=2时，由得，P A2=P B2+2 P B,于是P B2 P A2 (P B+1)2,矛盾！(3)当 BC=3时，由得，PA?=P B?+3 P B,于是(PA-PB)(PA+PB)=3PB,由于PB不是合数，结合B 4-P B B 4 +P B,故只可能P A-P B =1,P A-P B =3,P A-P B=P B,P A+P B=3PB,PA+P B =PB,PA+P B=3,PA=2,解 得 此时 P A1+P B2+P C2(

42、4)当 B C=4,由得，PA?=PB2+4 P B ,于是(PB+1)2 P B2+4 P B=P A2 0,那么就可以交换b,c 的位置，这称为一次操作.(1)若圆周上依次放着数1,2,3,4,5,6,问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4 个 数 a,b,c,d,都有(a d)(0 c)w0?请说明理由.(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1,2,，2003,问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4 个数a,b,c,d,都有(a d)0 c)WO?请说明理由.解：(1)答案是肯定的.具体操作如下：学习.(5 分)(2)答案是肯定的.考虑这2

43、 0 0 3 个数的相邻两数乘积之和为P.(7 分)开始时，=1 X2 4-2 X 3+3 X 4+-+2 0 0 2 X 2 0 0 3+2 0 0 3 X 1,经过k(k?0)次操作后，这 2 0 0 3 个数的相邻两数乘积之和为号，此时若圆周上依次相连的4个数a,b,c,d 满足不等式(。-d)(0 -C)0,即 ab+c d ac+b d,交换b,c的位置后，这 2 0 0 3 个数的相邻两数乘积之和为4用，有A+i-Pk=(a c+?/?+b d)-(a b+b e +cd)=a c+b d-a b-c d 0,/.a +h=-5,a h=.故 a、b均为负数.因此,lb I a b

44、 I -a /-ci2 4-Z 72/-(a +hY /la b _ _ F a、=7 a n 7 a b =-7 a b =-=-=-2 3.a b a b a b y j a b2.若直角三角形的两条直角边长为。、6,斜边长为c,斜边上的高为力，则有().91 1 1 1 1 1 1io(A)a b=h2(B)-+-=-(C)+-r=(D)a2+b2=2ha b h a2 b2 h2答:选(C)a h 0 f Z?/z 0 ,/.a b h2,a2+h2 h2+/z2=2h2；因此，结 论(A)、(D)显然不正确.设斜边为 c,则有 +(a +b)h c h=ab,即有22 21 1 1a

45、 b h因此，结 论(B)也不正确.学习由工，“2+心/?=_出?化 简 整 理 后,得 与+1=与，2 2 a2 b-h2因此结论(C)是正确的.3.一条抛物线)的顶点为(4,-11),且 与 x 轴的两个交点的横坐标为一正一负，则 a、b、c 中为正 数 的().(A)只有a(B)只有b(C)只有c(D)只有a 和方答：选(A)由顶点为(4,-11),抛物线交x 轴于两点，知 a0.设抛物线与x 轴的两个交点的横坐标为M，X 2,即为方程ax1+bx+c-0的两个根.由题设x/2 0,知 0,所以C0,知 b0 时，X3-X2+3X=0,方 程 一 1+3=0 无实根;(2)当 x2)=答

46、：-5解：由a +b =x+y =2,#(+b)(x+y)=a x+b y+a y+b x=4,a x+b y =5,a y+hx-1.因而，(/+b2)x y+a b(x2+y2)=(a y+b x)(a x+b y)=5.9 .如图所示，在 梯 形ABCD中，A D B C (B C A D),B C=C D=1 2,ZA BE =4 5 ,若 A E=1 0,则 C E 的长答：4或6解：延长D A至M,使B M_ L B E.过B作B G _ L A M,G为B C D G为正方形，所以B C=B G.又N C B E =4 G B M ,/.R t A B EC R t A B MG

47、.,B M=B E,ZA BE =Z A B M=4 5 ,.,.A B E A A B M,A M=A E=1 0.设 C E=x,则 A G=1()尤，A D=1 2-(1 0-x)=2-x,DE=N D =9 0 ,为.垂足.易知四边形1 2 x.在 R t A DE 中，A E2=AD2+D E2,：.100=(X+2)2+(1 2-X)2,即/-1 0 x +2 4=0,解之，得 的=4,x2=6.故C E的长为4或6.学习1 0.实数x、y、z 满足x+y+z=5,xy+yz+zx=3,则 z 的最大值是解：*/x+y=5-z,xy=3 z(x+y)=3 z(5 z)=z2 5z+

48、3,x、y 是关于t 的一元二次方程r-(5-Z)/+Z2-5Z+3=0的两实根.A=(5-Z)2-4(Z2-5Z+3)0,即3Z2-10Z-13 0,(3Z-13)(Z+1)0.当 x-v 时 z 13 z 3，三 i x y pj,z 3-3 313故 z 的最大值为2.3三、解 答 题（共 4 题，每小题15分，满分60 分）1 1.通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散.学生注意力指标数y 随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示学生注意力越集中

49、）.当 O W xW lO 时，图象是抛物线的一部分，当1（）V xW 2O 和 2（）尤4（）时，图象是线段.（1）当O V xW lO 时，求注意力指标数y 与时间x 的函数关系式；（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟.问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.解：（1）当OW xW lO时，设抛物线的函数关系式为y=+b x+c,由于它的图象经过点（0,20）,（5,39）,(10,4 8),所以c=20,25a+5+c=39,10(h+10/?4-c=48.1?4解得，。=,b=,c 20.5 5所以1 2 24.y=x-x+205 50 x 10.(5

50、分)(2)当2()2 4,所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于3 6 时，讲授完这道竞赛7 7题.（15分）1 2.已知a,b 是实数，关于x,y 的方程组学习3 2y=x-a x -bx.2,/.A P 3 A D,.，PB AP rr所以-=-=A/3.PD AD(5分)(10 分)(15 分)1 4.已知。0,b 0,K Jb2-4 a c -b la c,的最小值.解：令 卜=。幺+%+。，由 a 0,b 0,判别式=从-4 c 0,所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛且与x 轴有两个不同的交点A(x,0),B(X2,0),因为x,x2=0,ahx c =-，.（