初中数学竞赛辅导资料初三上下册.pdf

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1、初中数学竞赛辅导资料初三上下册初三上目录45 一元二次方程46完全平方式(数)47配方法48非负数49对称式5 0基本对称 式51待定系数52换元法5 3条件等式54整数解55未知数多于方程的个数56列表法57逆推法58观察法59“或者”“并且”60解三角形初三下目录61函数的图象62绝对值63动态几何的定值64最大 最小值65图象法66辅助圆67参数法证平儿68选择题(二)69数的整除(三)70正整数简单性质的复习初中数学竞赛辅导资料(45)一元二次方程的根甲内容提要1 .元二次 方 程 a x 2+b x+c=O(a#O)的实数根，是 由 它 的 系 数 a,b,c的值确定的.根公式是：x

2、=i 2 _(b2-4 a c 0)2a2 .根的判别式 实 系 数 方 程 a x 2+b x+c=0(a W 0)有实数根的充分必要条件是：b2-4 a c 0.有理系数方程a x 2+b x+c=0(a W 0)有有理数根的判定是：b2-4 a c 是完全平方式=方程有有理数根.整系数方程x2+p x+q=0 有两个整数根O p?-4 q 是整数的平方数.3 .设 X 1,X 2 是 a x 2+b x+c=O 的两个实数根，那么 a x J+b x i+c R (a W O,b24 a c 0),a x 22+b x 2+c=0 (a W O,b24 a c 0)；/-4ac by/b

3、2-4ac,.2 ,x 1=-,X 2=-(a K O,b 4 a c 2 0)；2a 2a 韦达定理：X|+x2=,X iX 2=(a 卉0,b24 a c 0).a a4 .方程整数根的其他条件整系数方程a x 2+b x+c=0 (a/0)有一个整数根x i的必要条件是：X 1 是 c的因数.特殊的例子有：C=0=X|=0 ,a+b+c=O=X|=l,a-b+c=O=X =1.乙例题例1.已知：a,b,c 是实数，且 2 m+1.求证：两个方程x?+x+b=O 与 x 2+a x+c=0 中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.(1990年泉州市初二数学双基赛题)证明(用反证法)设两个方

4、程都没有两个不相等的实数根，那么iW O和zW O.1 4 b 0 时，则 和 中 至 少 有 一 个 是 正 数.例2.已知首项系数不相等的两个方程：(a-1)x2-(a2+2)x+(a2+2a)=0(bl)x2-0?+2 奴+82+21)=0(其中 a,b 为正整数)有一个公共根.求a,b 的值.(1989年全国初中数学联赛题)解：用因式分解法求得：方程的两个根是a 和2 ；方程两根是b 和.a-1 b-由已知al,b l且 a#b.公共根是a=2 或 b=2 .b-1 a-两个等式去分母后的结果是一样的.B|J ab-a=b+2,ab-a-b+l=3,(a_ l)(b-1)=3.a 1=

5、1 a l=3 a,b都是正整数，./，或 .h-l=3 /?-1 =1解得a=2。二4 二4或 2 ab,.a2+2 ab+b?2 4 ab,(a2+2 ab+b2)k 4 ab.一定有c,d值满足题设的条件.即总存在一个矩形B,使得矩形B与矩形A的周长比和面积比都等于k(k2 l).例 6.k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？x2-6(3 k-l)x+7 2=0 ；kx 2+(k2-2)x-(k+2)=0.解：用因式分解法求得两个根是：x,=,x2=.&+1 k-l由 x i 是整数,得 k+l=l,2,3,4,6,1 2.由 X2 是整数，得 k1=1,2,3,6.它们的公共解是：

6、得 k=0,2,-2,3,-5.答：当 k=0,2,-2,3,一5时，方程有两个整数解.根据韦达定理k+2,2I 1 2 k kV xb x2,k都是整数，.k=l,2.(这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.)把 k=l,1,2,一2,分别代入原方程检验，只有当k=2 和 k=-2时适合.答：当 k 取 2和-2时，方程有两个整数解.丙练习451 .写出下列方程的整数解：5 x 2-g x=0 的 一 个 整 数 根 是.3X2+(V2 3)X V2 =0 的一个 整 数 根 是.X?+(后+l)X+=0 的 一 个 整 数 根 是.2 .方 程(1 m)x 2 x 1=0有

7、两个不相等的实数根，那么整数m的最大值是,3.已知方程x 2-(2 m l)x 4 m+2=0 的两个实数根的平方和等于5,则 m=.4 .若 x W y ,且满足等式 X2+2X-5=0 和 y 2+2 y-5=0.那么！+.(提示：x,y是方程Z2+5Z5=0的两个根.)x y5 .如果方程x 2+p x+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那 么 p,q应满足的关系是：.(1986年全国初中数学联赛题)6 .若方程ax N+b x+c W中 a 0,b 0,c 0.那 么 两 实 数 根 的 符 号 必 是.(1987年泉州市初二数学双基赛题)7 .如果方程m x?2(m+2)x+

8、m+5=0 没有实数根，那么方程(m 5)x?2 m x+m=0 实数根的个数是().(A)2 (B)1 (C)0 (D)不能确定(1989年全国初中数学联赛题)8 .当 a,b 为何值时，方程 x 2+2(l+a)x+(3 a2+4 ab+4 b 2+2)=0 有实数根？(1987年全国初中数学联赛题)9 .两个方程x?+kx-1=0 和 x?-x k=0 有一 个相同的实数根，则这个根是()(A)2 (B)-2 (C)1 (D)-1 (1990年泉州市初二数学双基赛题)1 0 .已知：方程x?+ax+b=0 与 x?+b x+a=0 仅有-个公共根，那么a,b应满足的关系是：1 1 .已知

9、：方程x +b x+XO与 x?-x b=0 有一个公共根为m,求：m,b的值.1 2 .已知：方程x2+ax+b=0 的两个实数根各加上1,就是方程x2-a2x+ab=0 的两个实数根.试求a,b的值或取值范围.(1997年泉州市初二数学双基赛题)1 3 .已知：方程ax 2+b x+c=0(a#0)的两根和等于si，两根的平方和等于S2,两根的立方和等于 S 3.求证：as3+b S2+c S|=0.1 4 .求证：方程x?2(m+l)x+2(m 1)=0 的两个实数根，不能同时为负.(可用反证法)1 5 .已知：a,b是方程x m x+p H)的两个实数根；c,d是方程x n x+q H

10、)的两个实数根.求证：(a-c)(b_c)(a_d)(b-d)=(p q)2.1 6 .如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5,两实数根的积是2,那么这个方程是：.(1990年泉州市初二数学双基赛题)1 7 .如果方程(x 1)(x 2 2 x+m)=0 的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是()3 3 3(A)O W m W l (B)m2一 (C)一 m l (D)4 4 4(1995年全国初中数学联赛题)1 8 .方程7 x 2-(k+1 3)x+k2-k-2=0 (k是整数)的两个实数根为a,B且 0 a l,1P 2,那么k 的取值范围是()(A)3 k 4

11、(B)-2 k-l(C)3 k 0；如 果 b24ac=0且a 0；则 ax?+bx+c (aW O)是完全平方式.在有理数范围内当 b2-4ac=0且 a 是有理数的平方时，ax?+bx+c 是完全平方式.四.完全平方式和完全平方数的关系I.完全平方式(ax+b)2 中当 a,b 都是有理数时,x取任何有理数，其值都是完全平方数；当 a,b 中有一个无理数时，则 x只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2.某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数.例如：n2+9,当 n=4时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五.完全平方数与一元二次

12、方程的有理数根的关系1.在整系数方程ax 2+bx+c=0(aW 0)中 若 b?-4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；若方程有有理数根，则 b?-4ac 是完全平方数.2.在整系数方程x 2+p x+q=0中 若 p 24q 是整数的平方，则方程有两个整数根；若方程有两个整数根，则 p 24q 是整数的平方.乙例题例 1.求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为m2,m l,m,m+l,m+2.其平方和为S.那么 S=(m2)2+(m1)2+m2+(m+1)2+(m+2)2=5(m+2).n?的个位数只能是0,1,4,5,6,9 11?+2的个位数只能是2,3,6

13、,7,8,1 07+2不能被5 整除.而 5(m2+2)能被5 整除,即 S 能被5 整除，但不能被25整除.五个连续整数的平方和不是完全平方数.例 2 m 取什么实数时，(m1)x?+2mx+3m2是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得(=0 当且仅当 时，(m1)x+2mx+3m2是完全平方式加 一1 0=0,即(2m)2-4(m-l)(3m-2)=0.解这个方程，得 mi=0.5,m2=2.解 不 等 式 m10,得 ml.即4m=0.5 或机=2m 1它 们 的 公 共 解 是 m=2.答：当 m=2时，(m1)x2+2mx+3m2 是完全平方式.例 3.已知：(x+a

14、)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证：a=b=c.证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式=3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc它是完全平方式，=().即 4(a+b+c)2 12(ab+ac+bc)=0.2a2+2b2+2c22ab2bc2ca=0,(ab)2+(bc)2+(ca)2=0.要使等式成立，必须且只需：a-h=0 0(252是4的倍数由 25m*0,得|/?1|5,即一5WmW5；由 25 n?是 4 的倍数，得 m=1,3,5.以 m 的公共解1,3,5,分别代入1 l.求证：2 -1不是完全平方数.13.已知:整系数的

15、多项式4x4+ax3+13x?+bx+l是完全平方数,求整数a 和 b 的值.14.已知：a,b 是自然数且互质，试求方程X?-abx+(a+b)=0的自然数解.2(1990年泉州市初二数学双基赛题)15.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那 么 这 个 整 数 是()(A)17(B)18(C)35(D)36(1990年全国初中数学联赛题)返 回 目 录 参 考 答 案练习45初三上参考答案（1）21.0,1,一 1 2.0 3.1 (舍去一2)4.-55.9q=2p2 6.一正-负 7.D 8.a=l,b=-0.5 9.C10.a+b+l=0,aWb 11.m=-1,b=213

16、.=a(x3+X23)+b(x2+X22)+c(xt+X2)=.14.用反证法，设 X1V0,X2b 9.都不是0 0 A+B=A2-B-=176=2X2X2X2X11 iA B=Q=i,10.1987.x+38=A2x-1 3 8 =5212.a=-2,h ：b=-1.4 i(ml)C3.011.7744(882)。出?/?=11乂 0/7是平方数，a+b是 11的倍数一 门=9 1a=8 储=7可从 x2+2x y+6 x+2y2+4y+1 0=0.解：(X4-2X2+1)+(x2+2x y+y2)=0 .(折项,分组)(x2-l)2+(x+y)2=0.(配方)根 据“几个非负数的和等于零

17、，则每一个非负数都应等于零”.得卜2 T =。x +y =0：.X =1,或 .v(y+5)20或(x-4)225 (y +5)2由x-4 =0 f x =4得y +5 =5 y =0同理,共 有12个解2 5 T (x-4)0或 x=4y=-io29 5 (X-4产=16或v(y+5)2=16-l(y+5)2=9x=9J=-5X =-1)=-5(l x 2)；3+V s ；3+y1 5+3 V 5；(J 3-x )2+-Jx-8 x +16 .丙练习471.因式分解：x4+x2y2+y4；x?-2 x y+y 2-6 x+6 y+9 ；x4+x2-2 a x-a2+1.2.化简下列二次根式：

18、.Q V 4 x2+12 x 4-9+V 4 x2-2 0 x 4-2 5(-x0,同 X网 0,a2V x 0.若儿个非负数的和等于零，则每个非负数也都只能是零.例 如 若,一 1|+(b+3)2+V 2 c +l =0a-1|=0那么 (b +3)2 =0J 2 c +1=0a-1=0即 3 =02 c +l =0a=1 b =-3c 0.5乙例题例L 求证：方程x 4+3x 2+2 x+6=0 没有实数根证明：把方程左边分组配方，得(X4+2X2+1)+(X2+2X+1)+4=0即(x2+1)2+(x+l)2=4,:（x2+l）20,（x+l）2 0,.（x2+l）2+（x+l）20.但

19、右边是一4.不论x取什么实数值，等式都不能成立.方程X4+3X2+2X+6=0没有实数根.例2.a 取什么值时，根式7（-2）（|a|-l）+7（-2）（1-|）有意义？解：；二次根式的被开方数（a 2）（同一1）与（a 2）（1 同）都是非负数,且（a-2）（同一 1）与（a-2）（l 一同）是互为相反数，A(a-2)(|-l)=0.(非负数性质 2)/.a 2=0；或 同 1=0./.a|=2,a 2=l,a 3=1 1.答：当 a=2 或 a=l 或 a=-1 时，原二次根式有意义.例3.要使 等 式（2 ，x）2+6 8,=0成 立,*的值是_ _ _ _ _ _ _ _3 x-4（1

20、991年泉州市初二数学双基赛题）解：要使原等式成立：（2，x）2 2 0,”+16-8x a3x 47 x2+1 6-8 x _|-4|_x-4x-41,(x 4W 0)1 、2二(2-x)2=1,3且 X 4 0.即(2-x)2=3x-4 0解得%=3 或%=9x 0-8 a2_ 16 a b_ 16 b2+8 a 4 0,2 a2+4a b+4b2-2 a+1 0,(a+2 b)?+(a DY。(a+2 b)2 力0 且(a-l)2 2 0,得(a+2 b)2+(a-l)2 0 ，只 有 当(a+2 b)2=0 且(a 1尸=0 不等式和才能同时成立.答：当 a=l且 b=-L 时，方程

21、x 2+2(l+a)x+(3 a?+4a b+4b?+2)=0 有实数根.2丙练习481.已知在实数集合里J 7M+J=有意义，则x=.2.要使不等式(a+1)2 W 0 成立，实数a=.3.已知71 +,6 2 +2 7 +1=0,则 a=,b=,a1(K,b10,=.4.把根号外因式移到根号里：-,b J-b =,()c =,5 .如果 a b,那么 J-(x +a)3(x +.)等 于()(A)(x+a)J-(x +a)(x +).(B)(x+a)J(x +a)(x +b).(C)(x+a)J-(x +a)(x +b).(D)(x+a)J(x +a)(x +b).(1986年全国初中数学

22、联赛题)6 .已知a 是实数且使a l-a=V x ,则 x=.(1990年泉州市初二数学双基赛题)7 .已知 a,b 是实数且 a V Jb 1 +b H .2化简J 4 a 2-4 时+1 -a2h-2 a b +l后的值是.(1990年泉州市初二数学双基赛题)8 .当 x=_ _ 时，V 3 (x+V 2 )有最大值_ _ _ _ _.(1986年泉州市初二数学双基赛题)9 .已知：|1 一a|+G 7 =l,且|1一4，户 彳 都是整数.求a,c的值.(1989年全国初中数学联赛题)10 .求方程 x2+y2+x2y2+6 x y+4=0 的实数解.11.求适合不等式2 x?+4x y

23、+4y 2-4x+4W 0 的未知数x的值.12 .求证：不论k取什么实数值，方程x 2+(2 k+l)x 1?+1=0 都有不相等的实数解.13 .比较 a2+b2+c2 与 a b+b c+c a 的大小.x+y+z=214.已知方程组 孙+理+工 2 =1-。的解乂,乂2都是非负数.求 a 的值.x y +z =1返 回 目 录 参 考 答 案初三上参考答案（2）练习471.(x-y-3)22 .8,0.5 x,(3)3-2 7 2 ,匹+.,2+百，而2 3+6，7-2 x (x W 3)3 .当x=一5 士时，有最小值2一3 三 x=l时，有最大值一士12 2 24,a=2,b=l

24、代数式值是3+2 行5 .13 6.负数。由(a+b+c)2=0 得出 a b+a c+b c v O7.值为5。先化简已知为4一 右，代入分母值为2,可知X?8 x+13=0分子可化为(X2+2X+1)(X2-8X+1 3)+10 =108.配 方(a-b)2+(b-c)2=Ox =6 f x 1 一9.(7 =3 17 =7x=l x=1 x=-10.y=-l y =-2 y =-练习481.3 2.14.-后,-J-/,6.0 o 因 为 左 边 a W O,17.-ao b=l,a -29.i l=,l j c -4=1,01 1x-2J y =-1_1 fv =_1(x-3)2+(y

25、+5)2=9-3 y-23.1,1,一 1 4c 5.C右边42 0。8.x=V 2 ,最大值百7=1,=0,Q=2,Vc =5；c =4;1c =4.返回目录x=V 2,x=-V 210.y=-y/2；y=y/212.A=8 k2+1 13.用求差法,114.-a 4x=21Hb =-i配 方(乘 上 2 X0.5)初中数学竞赛辅导资料(49)对称式甲内容提要一.定义1.在含有多个变量的代数式f(x,y,z)中，如果变量x,y,z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.例如：代数式 x+y,xy,x3+y3+z3 3xyz,x+y+xy,+,x y8+山+上

26、,都 是 对 称 式.xyz xyz xyz其中x+y和 xy叫做含两个变量的基本对称式.2.在含有多个变量的代数式f(x,y,z)中，如果变量x,y,z 循环变换后代数式的值不变,则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.例如：代数式 a2(bc)+b2(ca)+c2(ab),2x2y+2y2z+2z2x,I-4-,a b c abc(xy+yz+zx)(-4-F%yi 1 1a+b-c2+b2+c2-a2+c2+a2-b2都是轮换式.显然，对称式一定是轮换式，而轮换式不一定是对称式.二.性质1.含两个变量x 和 y 的对称式，定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍.2.对称式中，

27、如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式,且系数相等.例如：在含x,y,z 的齐二次对称多项式中，如果含有X?项，则必同时有yL z2两项；如含有xy项，则必同时有yz,zx两项，且它们的系数，都分别相等.故可以表示为：m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx)其中 m,n 是常数.3.轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.例如：轮换式a-(bO+bca)+c(ab)中，有因式ab 一项，必有同型式bc 和ca 两项.4.两个对称式(轮换式)的和，差，积，商(除式不为零)，仍然是对称式(轮换式).例如：

28、x+y,xy都是对称式，x+y+xy,(x+y)xy,“十，等也都是对称式.孙xy+yz+zx和一+工+,都是轮换式，x y z+xy+yz+z,（+）（xy+yz+z）.也都是轮换式.x y z x y z乙例题例 1.计算：（xy+yz+zx）（,+）-x y z（+二+二）.x y z x y z分析：:（xy+yz+zx）（,+）是关于x,y,z的轮换式，由性质2,在乘法展开时，只x y z要用x y分别乘以1，,连同它的同型式一齐写下.x y z解：原式=（+%y&)+(z+x+y)+(y+z+x)(些 +至+&)Z x y z=2x+2y+2z.例2.已知：a+b+c=O,求代数式

29、abcWO.1a2+h2-c2+b2+c2-a2+c2+a2-b2的值11（1989年泉州市初二数学双基赛题）分析：这是含a,b,c的轮换式，化筒第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式.a2+b2-c2 a2+b2-(-a-b)2-2ah a2+h2-c2 h2+c2-a2 c2+a2-b2 2ab 2bc 2ca_ c+a+02abc=0.例3.计算：（a+b+c）分析：展 开 式 是 含 字 母a,b,c的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用待定系数法.例4.解：设(a+b+c)3=m(a3+b3+c3)+n(a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b)+pabc.令

30、 a=l,b=O,c=O.令 a=1 ,b=l,c=0令 a=l,b=l,c=lQm,比较左右两边系数得比较左右两边系数得比较左右两边系数得n,p是待定系数)m=l；2m+2n=8；3m+6n+p=27.m=1 m=1解方程组12m+2=8 得(=33m+6+p=27 P=6 (a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2c+3b2a+3c2a+3c2b+6abc.例5.因式分解：a3(bc)+bca)+c3(ab)；(x+y+z)5(y+zx)5-(z+xy)(x+yz)5.解：:当 a=b 时，a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=O.，有因式ab 及其同型式bc

31、,ca.原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式(a-b)(b-c)(c-a),可得一次齐次的轮换式a+b+c.用待定系数法：得 a3(bc)+b3(ca)+c3(a-b)=m(a+b+c)(ab)(b_c)(c-a)比较左右两边a3b的系数，得 m=-1.a3(bc)+b3(c-a)+c3(a-b)=(a+b+c)(ab)(bc)(c-a).x=0 时，(x+y+z)5(y+zx)5(z+xy)5(x+yz)5=0,.有因式x,以及它的同型式y 和 z.原式是五次齐次轮换式，除以三次轮换式x y z,其商是二次齐次轮换式.用待定系数法：可 设(x+y+z)(y+zx)5(z+xy)、一(x+

32、yz)5=xyz m(x+y+z)+n(xy+yz+zx).令x=l,y=l,z=l.比较左右两边系数，得80=m+n；令x=l,y=l,z=2.比较左右两边系数，得480=6m+n.解方程组m+H=806m 十 几=480m=80n=0/.(x+y+z)(y+zx)5(z+xy)5(x+yz)5=80 xyz(x+y+z).丙练习491.已知含字母x,y,z的轮换式的三项x?+x2y2xy2,试接着写完全代数式2.已知有含字母a,b,c,d的八项轮换式的前二 项 是 a3b-(a-b),试接着写完全代数式3.利用对称式性质做乘法，直接写出结果：(x2y+y2z+z2x)(xy2+yz2+zx

33、2)=.(x+y+z)(x2+y2+z2xyyzzx)=.4.计算：(x+y)5.5.求(x+y)(y+z)(z+x)+xyz 除以 x+y+z 所得的商.6 .因式分解：a b(a b)+b c(b c)+c a(c a)；(x+y+z)(x3+y3+z3)；(a b+b c+c a)(a+b+c)a b c；a(b-c)3+b(ca)3+c(a b)3.I l l 17 .已知：一+=.a b c a b c求证：a,b,c 三者中，至少有两个是互为相反数.a2-a h-a c +b e h2-b e-b a-c a c2-c a -c b +a h9 .已知：S =(a+b+c).2+、

34、T 4a2b2 _ 伍 2 +。2 _。2)4b 2 c 2 g 2 +0 2 一2)4c2a2-(C2 a2 /)求证：-+-+-16 16 16=3 S (S-a)(S-b)(S-c).1 0 .若 x,y 满足 等 式 x=l +1和 y=l +且 x y W O,那么y的 值 是()V%(A)x-1.(B)1-x.(C)x.(D)1+x.返 回 目 录 参 考 答 案初中数学竞赛辅导资料(50)基本对称式甲内容提要1.上讲介貂了对称式和轮换式的定义和性质.形如x+y和 xy是两个变量x,y 的基本对称式.2.含两个变量的所有对称式，都可以用相同变量的基本对称式来表示.2 2 x例 如

35、x2+y2,x3+y(2x-5)(2y-5),-，-+-都是含两个变量3 x 3 y x y的对称式，它们都可以用相同变量x,y的基本对称式来表示：x2+y2=(x+y)22xy,x3+y3=(x+y)33xy(x+y),2 2 2(x+y)(2x5)(2y-5)=4xy-10(x+y)+25,-=-,3 x 3 y 3 xyy x y2+x2(x+y)2-2xy-1-=-=-.x y xy xy3.设 x+y=m,xy=n.贝 I x2+y2=(x+y)22xy=m22n；x、y3=(x+y)3 3xy(x+y)=m3-3mn；x4+y4=(x2+y2)22x2y2=m44m2n+2n2；x

36、5+y5=(x2+y2)(x3+y3)x2y2(x+y)=m5-5m3n+5mn2；一般地，xZyn(n为正整数)用基本对称式表示可建立递推公式：xk+1+yk+,=(xW X x+-xyC x,+y1)(k 为正整数).4.含 x,y 的对称式，x+y,xy这三个代数式之间，任意知道两式，可求第三式.乙例题例1.已知X=L(6+1),y=1(7 3-1)求下列代数式的值：2 2x3+x2y+xy2+y3；x2(2y+3)+y2(2x+3).解：,含两个变量的对称式都可以用相同变量的基本对称式来表示.；先 求 出 x+y=V3,乂 丫 二;x3+x2y+xy2+y3=(x+y)_ 2xy(x+

37、y)=(V3)2 X V32=26；x2(2y+3)+y2(2x+3)=2x2y+3x2+2xy2+3y2=3(x2+y2)+2xy(x+y)=3(x+y)22xy+2xy(x+y)=3 (g)2 2 x L)2 X-V 32 2=V 3 -6.例2.解方程组+y:5 x+y=5 分析：可 由x3+y x+y求出xy,再由基本对称式，求两个变量x和y.解：V x3+y3,=(x+y)3 3 xy(x+y)把和代入，得3 5=53-15 xy.xy=6.Ly=5解方程组xy=6例3.化简#2 0+14收 +#2 0-14拒.解：设#2 0+14痣=x,2 0-14 72 =y.那么 x3+y3=

38、4 0,xy=V 4 00196 x 2 =2.V x3+y3=(x+y)3 3 xy(x+y),:.4 0=(x+y)3 6 (x+y).设 x+y=u,得 U3-6U-40=0.(U-4)(U2+4U+10)=0.VU2+4U+1 0=0 没有实数根，A u4=0,u=4.:.x+y=4.即 2 0+14 72 +V 2 0-14 V 2 =4.例4.a取什么值时，方程x2 a x+a 2=0的两根差的绝对值最小？其最小值是什么？解：设方程两根为X|,x2,根据韦达定理，V|x,-x2|=J(X|-2)2=J(X+%2)2 -4%/2 =yla2-4 tz +8J(a-2)+4 ,:.当a

39、=2时，归 x2|有最小值是2.丙练习501.已知 Xy=a,x y=b.贝 lj x2+y2=_ ;X3 y3=_.2.若 x+y=l,x2+y2=2.则 x3+y3=_ _;x5+y5=_.3.如果 x+y=2 k,xy=4,2=3.y%则 k=_.4.已知x+=4,那么X=_,2 1X H.-=XXX-5.若-x+不.=a,那么x+=.X 2 d-1-=.Xx26.口-1已知：a=-j=,2 6b=27V3求：7a 2+l l a b+7b 2 ；a3+b3-a2-b2-3 a b+l.7.已 知 五+J =8,则 上 卫.（1990年全国初中数学联赛题）8.已 知 a2+a-l=0 则

40、 a 3 二=.（1987年泉州市初二数学双基赛）a9.已知一元二次方程的两个根的平方和等于5,两根积是2,则这个方程可写成为:.（1990年泉州市初二数学双基赛）10.化简：42+百+#2-石；#5 拒+7#5 行 一7.11.已知：a,B是方程a x2+b x+c=0（a W0）的两个根.求证：a 2(b B+c)+02(b a +c)=-a返回目录参考答案初中数学竞赛辅导资料(5 1)待定系数法甲内容提要1.多项式恒等的定义：设f(x)和g(x)是含相同变量X的两个多项式，f(x)三g(x)表示这两个多项式恒等.就是说X在取值范围内，不论用什么实数值代入左右的两边，等式总是成立的.符 号

41、“三”读 作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式.例如：(x+3)2=X2+6X+9,5X2 _6X+1=(5X_ 1)(X-1),x339x70=(x+2)(x+5)(x7).都是恒等式.根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值.例如：已知：恒等式 ax2+bx+c=2(x+l)(x2).求：a+b+c；ab+c.解：以x=l,代入等式的左右两边，得a+b+c=-4.以x=-1,代入等式的左右两边，得ab+c=O.2.恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即如果 a()xn+a|Xn-|+.+an|X+an=boxn+b|Xn-1+.+bn|X+bn力a0=bo,a=

42、b,*,a“i=bn ，a“=bn.上例中又解：,.,ax:2+bx+c=2x22x4.a=2,b=2,c=-4.*.a+b+c 4,ab+c=O.3.待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值.乙例题例L已知:x 一 x+2 A B C-=-1-1-x(x-3)(x+2)x x-3 x+2求：A,B,C的值.解：去分母，得x2x+2=A(x3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x3).根据恒等式定义(选择x的适当值，可直接求出A,B,C的值)，当 x=0 时，2=6A./.A=.38当 x=3 时，8=15 B./.B=.154当 x=-

43、2 时，8=10C.，C=一.5本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于x的二次三项式，然后用恒等式性质：“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解.(见下例).例2.把多项式X3-X2+2X+2表示为关于x-1的降幕排列形式.解：用待定系数法：设 x3x2+2 x+2=a(x 1 )3+b(x 1 )2+c(x l)+d把右边展开，合 并 同 类 项(把 同 类 项 对 齐)，得 x3x2+2x+2=a x33 a x2+3 a xa+b x22b x+b+C X-c+d用恒等式的性质，比较同类项系数，a =1a =1-3 a +b =-l3 a-2 b +c =2-a+b-c+d=2解

44、这个方程组,c =3d=4得b =2:.x3X2+2X+2=(X 1)3+2(X 1)2+3(X 1)+4.本题也可用换元法：设 X l=y,那么 x=y+l.把 左 边 关 于x的多项式化为关于y的多项式，最 后 再 把y换 成x-1.例3.已知：4 x4+a x3+13 x2+b x+l是完全平方式.求：a和b的值.解：设4 x4+a x3+13 x?+b x+l=（2x2+m x l）2（设待定的系数，要尽可能少.）右边展开，合并同类项，得4 x4+a x3+13 x2+b x+l =4 x4+4 m x3+（m2 4）x2 2m x+l.比较左右两边同类项系数，得a=4 ma =4 m

45、方 程 组 m2+4 =13；或 m2-4 =13b =2mb =-2 mj,a =12 解 得 ,或4h=6。=-1 2 _ L =4 7 17或 b =-6 b =-2V 17a=-4717b =2万或*例4.推导一元三次方程根与系数的关系.解：设 方 程a xb x,cx+dH X a W O）的三个根分别为xi,x2,x3.原 方 程 化 为x3+-x2+-x +-=0.a a aVX l,X2,X 3是方程的三个根.3 b 2 c d.X +X d X-=（x X i）（X X 2）（X X 3）.a a a把右边展开，合并同类项，得3 b 2c d 3/2 X+X 4-X d-=X

46、 (X+X2+X3)X+(XX2+XX3+X2X3)X X 1X2X3.a a a比较左右同类项的系数，得一元三次方程根与系数的关系是：bcdXI+X2+X3=-，X1X2+X|X3+X2X 3=，X|X2X3=a a a例5.已知：x3+px+q能 被(xa)2整除.求证：4p3+27q2=0.证明：设 x+px+q=(xa)2(x+b).x3+px+q=x3+(b2a)x2+(a22ab)x+a2b.h-2a=0 a2-2ab=pa2 b=q P=-3Q2由得b=2a,代入和得 q=2a3A4p3+27q2=4 (-3 a2)3+27(2a3)2=4X(-2 7 a6)+27X(4a6)=

47、0.(证 毕).例6 1知：f(x)=x?+bx+c 是 g(X)=X4+6X2+25 的因式，也是 q(x)=3x4+4x2+28x+5的因式.求：f的值.解：g(x),q(x)都能被f(x)整除，它们的和、差、倍也能被f(x)整除.为了消去四次项，设g(X)q(x)=kf(x),(k为正整数).B|J 14x2-28x+70=k(x2+bx+c)14(x22x+5)=k (x2+bx+c)k=14,b=-2,c=5.即 f(x)=x22x+5.A f(l)=4.例7.用待定系数法，求(x+y)5的展开式解：展开式是五次齐次对称式，A n JS：(x+y)5=a(x5+y5)+b(x4y+x

48、y4)+c(x3y2+x2y3)(a,b,c 是待定系数.)当 x=l,y=0 时，得 a=l；当 x=l,y=l 时，得 2a+2b+2c=3 2,即 a+b+c=16当 x=-l,y=2 时，得 31a-14b+4c=1.a=1得方程组，a+b+c=163k-14/7+4c=la=1解方程组，得+y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3),a=l,b=5,c=10.5.设原式=(x+y+z)a(x2+y2+z2)+b(xy+y z+z x),a=0,b=l.6 .当 a=-b 时，原式=0,原式=m(a+b)(b+c)(c+a)m=l7.由已知等式去分母后，使右边为0,因式分解

49、8.1 9.1 个分式化为 S (Sa)(S_b)(S_c)10.选 C练习501.a2+2b,a3+3 a b 2.2.5,4.7 5 3.V 54.2址 或一26,14,5 25.a2-2,a4-4 a2+26.10 9,3 6 7.6 29.x2 3 x+2=0 1 0.1,2运用韦达定理，把左边式子化为基本对称式表示练习517 11 八1.a=,b=2.A=1,B=2,C=32 28.-43.土 (X23 x+2)4 2 d4.由(x+p)(a x+),5.1P7.3(X-2)3+8(X-2)2-4(X-2)-38 .先整理为关于x 的二次三项式，并把常数项分解因式，再用待定系数法。9

50、 .(x+y+l)(x+2y+3)*+*+1)仪2-*+19 8 7)10 .(D x6+6 x5y+15 x4y2+20 xy +15 x2y4+6 xy5+y6.x3+y3+z3+3(x2y+y2z+z2x+x2z+y2x+z2y)+6 xy z.11.(A)12.(C)13.a=l,b=1.5,c=-2.返回目录初中数学竞赛辅导资料(5 2)换元法甲内容提要i.换元就是引入辅助未知数.把题中某一个(些)字母的表达式用另一个(些)字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.2.换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等