专题26 动点综合问题-三年（2020-2022）中考数学真题分项汇编（全国通用）（解析版）.pdf

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1、专题2 6动点综合问题一、单选题1.（2 0 2 2 广西河池）东东用仪器匀速向如图容器中注水，直到注满为止.用/表示注水时间，y 表示水面的高度，下列图象适合表示y 与 f 的对应关系的是（）【答案】C【解析】【分析】根据题目中的图形可知，刚开始水面上升比较慢，紧接着水面上升较快，最后阶段水面上升最快，从而可以解答本题.【详解】因为对边的圆柱底面半径较大，所以刚开始水面上升比较慢，中间部分的圆柱底面半径较小，故水面上升较快，上部的圆柱的底面半径最小，所以水面上升最快，故适合表示y与t的对应关系的是选项C.故选：C.【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.2

2、.（2 0 2 2 甘肃武威）如 图 1,在菱形A 8 C D 中，Z A =6 0,动点尸从点A出发，沿 折 线 fDC f C B 方向匀速运动，运动到点B停止.设点尸的运动路程为X,A P 8 的面积为y,y与X的函数图象如图2所示，则A3的 长 为（)【答案】B【解析】【分析】根据图1和图2 判定三角形A8D为等边三角形，它的面积为域 解 答 即可.【详解】解：在菱形ABC。中，ZA=60,：.A A B D为等边三角形，设由图2 可知，的面积为3百，.48。的 面 积=旦 2=3 64解得：4=2百故选B【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正

3、确信息是解此题的关键.3.（2022.四川绵阳）如 图 1,在菱形ABCD中，NC=120。，M 是 AB的中点，N 是对角线BD上一动点，设。N 长为x,线段MN与 4N长度的和为y,图 2 是 y 关于x 的函数图象，图象右端点尸的坐标为（2 6,3）,则图象最低点E 的坐标为（)D图1图2【答案】C【解析】【分析】根据点F 的坐标，可得MB=1,AB=2,连接AC,C M,交 8。于点M,连接A M,此时MN+AN的最小值=MNi+A N尸CM,根据菱形和直角三角形的性质可得CM=五_心=如,DN,=,进而即可得到答案.【详解】解：；图象右端点F 的坐标为（2班,3）,M 是 A 8的中

4、点，BD=2 G ,MN+AN=AB+MB=3MB=3,:.MB=1,48=2,连接AC,C M,交 BQ于点M,连接A M,此时MN+AN的最小值=知M+A M=CM,在菱形 ABC。中，NC=120。，ZABC=60,A C是等边三角形，：.CMLAB,N8CM=30,二 8c=2x 1=2,CM=V22-I2=不，AB/CD,J.CMVCD,:ZADC=ZABC=60,：.N8OC=30,.M=Cos3（）o=2+包，6，2 3的坐标为皆，百，故选C.图1【点睛】本题主要考查菱形的性质，含30。角的直角三角形的性质，勾股定理，函数的图像，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键.4.（20

5、22山东潍坊）如图，在。A8C。中，ZA=60,AB=2,4。=1,点E,尸在DABCZ）的边上，从点A同时出发，分别沿4-BTC和 ATOTC 的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y,运动时间记为x,能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）【答案】A【解析】【分析】分 OSEl,lx2,2W3三种情况讨论，利用三角形面积公式求解即可.【详解】.AG=x,由勾股定理得FG二立x,2：.y=AEx FG=-x2f图象是一段开口向上的抛物线;V ZDA/=60,AE=xf AD=f DF=x-1,：.AH=,由勾股定理得。”=走，2，尸 呆D F+A E)

6、x D H=B x-*,图象是一条线段;当 2人 3 时，过点E作 E/_LCO于点/,/C=ND48=60。，CE=CF=3-x,同理求得E/=（3-x）,2.y=ABxDH-:CFxEI=+-显（3-x）2=-且/+述*巫,图象是一段开口向下的抛物线；2 4 4 2 4观察四个选项，只有选项A 符合题意，故 选:A.【点睛】本题考查了利用分类讨论的思想求动点问题的函数图象；也考查了平行四边形的性质，含 30度的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式以及一次函数和二次函数的图象.5.（2022 辽宁）如图，在 RhABC中，N/WC=90。,A3=23C=4,动点P 从点A 出发，以每

7、秒1个单位长度的速度沿线段A 8匀速运动，当点P 运动到点2 时，停止运动，过点P 作 PQJ*A 8交AC于点Q,将AAP。沿直线P。折叠得到AA P Q,设动点P 的运动时间为f秒，AAPQ与AM C 重叠部分的面积为S,则下列图象能大致反映S 与 之间函数关系的是（）c.D.【答 案】D【解 析】【分 析】由题意易得AP=f，tanNA=g,则有尸Q=gf,进 而 可 分 当 点P在AB中点的左侧时和在4 8中点的右侧时，然后分类求解即可.【详解】解：V ZABC=90,AB=2BC=4,/.tan ZA=,2由题意知I：AP=t,：.PQ=AP tanZA=-t,由折叠的性质可得：AP

8、=AP,ZAPQ=ZAPQ=90,当点 尸 与AB中点重合时，则 有r=2,当点 尸 在AB中点的左侧时，即0 4 f 2,AAPQ与 AABC重叠部分的面积为S v 2=g A P P Q =$T，=：*；当 点P在4 8中点的右侧时，即2 4 f =A0tanNA =r-2,APQ与 AABC重叠部分的面枳为 S梯形.=g(8。+P。)P8=-2：(4t)=-/+今_4；综上所述：能反映AAP。J AA3C重叠部分的面积S与f之间函数关系的图象只有D 选项；故选D.【点睛】本题主要考查二次函数的图象及三角函数，熟练掌握二次函数的图象及三角函数是解题的关键.6.（2022.黑龙江齐齐哈尔）如

9、图所示（图中各角均为直角），动点P 从点A 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿ATBTCOTE路线匀速运动，AAFP的面积y 随点尸运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列说法正确的是（）图A.AF=5B.AB=4C.DE=3D.EF=*【答案】B【解析】【分析】路线为ATBTCTDTE,将每段路线在坐标系中对应清楚即可得出结论.【详解】解：坐标系中（4,12）对应点运动到B点A-yB/C-=v f=1x4=4B 选项正确即：12=！x4.AF2解得：AF=6A选项错误1216s对 应 的DE段DE=V-A/=lx（16 12）=4C选项错误612s对 应 的CD段CD=v=1x（1

10、2 6）=6EF=AB+CD=4+6=10D选项错误故 选：B.【点 睛】本题考查动点问题和坐标系，将坐标系中的图象与点的运动过程对应是本题的解题关键.7.（2021.广西玉林）图（1）,在用中，ZA=9 0 ,点P从 点A出发，沿三角形的边以1cm/秒的速度逆时针运动一 周，图（2）是 点P运 动 时，线 段 小 的 长 度V（cm）随运动时间x（秒）变化的关系图象，则 图（2）中 尸 点 的 坐 标 是（）(1)武an)A.(13,4.5)B.(13,4.8)C.(13,5)D.(13,5.5)【答 案】C【解 析】【分 析】由图象及题意易得A8=8cm,AB+8C=18cm,则 有BC=

11、10cm,当 尸13s时，点 尸 为BC的中点，进而根据直角三角形斜边中线定理可求解.【详解】解：由题意及图象可得：当点P 在 线 段 上 时，则有AP=lxx=Acm,AP的长不断增大，当到达点B 时，A P为最大,所以此时”=AB=8cm；当点P 在线段8 c 上时，由图象可知线段AP的长度y 先随运动时间X的增大而减小，再随运动时间X的增大而增大,当到达点C 时，则有A8+8C=18cm,即 8 c=10cm,由图象可知当时间为13s时，则 8P=13-8=5cm,此时点P 为 BC的中点，如图所示：P点的坐标是（13,5）；故选C.【点睛】本题主要考查勾股定理、直角三角形斜边中线定理及

12、函数图象，解题的关键是根据函数图象得到相关信息,然后进行求解即可.8.（2020湖北荆门）在平面直角坐标系中，长为2 的线段8（点。在点C右侧）在x轴上移动A（0,2）,8（0,4）,连接AC、B。，则AC+BO的最小值为（）【答案】BC.6点D.3石【解析】【分析】作 A(0,2)关于x 轴的对称点A，(0,-2),再过A，作 A，Ex 轴且A，E=CD=2,连接BE交 x 轴与D 点,过 A，作 A，CDE交 x 轴于点C,得到四边形CDEA，为平行四边形，故可知AC+BD最短等于BE的长，再利用勾股定理即可求解.【详解】作 A(0,2)关于x 轴的对称点A，(0,-2)过 A作 AEx

13、轴且 AE=CD=2,故 E(2,-2)连接BE交 x 轴与D 点过 A，作 A，CDE交 x 轴于点C,四边形CDEA，为平行四边形，此时AC+BD最短等于BE的长，即 AC+BD=A(+BD=DE+BD=BE=J(2-Of+(-2-4)2=2回故选B.【点睛】此题主要考查最短路径的求解，解题的关键是熟知宜角坐标系、平行四边形的性质.9.(2020.四川乐山)数轴上点A 表示的数是-3,将点A 在数轴上平移7个单位长度得到点8.则点8 表示的 数 是()A.4B.T 或 10C.-10 D.4 或-10【答案】D【解析】【分析】根据题意，分两种情况，数轴上的点右移加，左移减，求出点B 表示的

14、数是多少即可.【详解】解：点 A 表示的数是-3,左移7 个单位，得-3-7=T 0,点 A 表示的数是-3,右移7 个单位，得-3+7=4,故选：D.【点睛】此题主要考查了数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数轴上的点右移加，左移减.10.（2021山东泰安）如图，在矩形A8C 中，AB =5,BC=5 6 ,点 P 在线段BC上运动（含 3、C 两点）,连接A P,以点A 为中心，将线段AP逆时针旋转60。到 A Q,连接。，则线段。的最小值为（）573D.3【答案】A【解析】【分析】根据题中条件确定出点P 的轨迹是线段，则 线 段 的 最 小 值 就 转 化 为 定 点

15、D到点P的轨迹线段的距离问题.【详解】解：AP与 4。固定夹角是60。，AP：4Q=1,点 P 的轨迹是线段，.Q的轨迹也是一条线段.两点确定一条直线，取点P 分 别 与 重 合 时，所对应两个点Q,来确定点Q的轨迹，得到如下标注信息后的图形：Qi求 OQ的最小值，转化为点。到点。的轨迹线段的距离问题，A B =5,B C =5s n 在 R S A B C 中，t a n Z B A C=年=瓜:.Z B A C=60.-.AB/DC,:.ZDCA=60,将 AC逆时针绕点A转动6（）。后得到A Q i,A C。为等边三角形，D C =D Qt=5,。2 为AC的中点，根据三线合一知，NCQ

16、Q=30。.过点。作Q Q的垂线交于点。，在用AQQ。中，3 对应的边等于斜边的一半，/）Q=；OQig。的最小值为故选：A.【点睛】本题考查了动点问题中，两点间距圈的最小值问题，解题的关键是：需要确定动点的轨迹，才能方便找到解决问题的突破口.1 1.（2 0 2 1 辽宁阜新）如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在（0,2）.将弓形沿x 轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为2 0 2 b r时，圆 心 的 横 坐 标 是（)八，二，,*/!：A;又知 一oXA.2 0 2 0乃 B.1 0 1 0万+2 0 2 0 C.2 0 2 U D.1 0 1 U+2 0 2 0【答 案】D【解

17、 析】【分 析】求 出 个 周 期 圆 心 走 的 路 程，即可求出圆心经过的路彳仝长为2 0 2 1万时圆心的位置，故可求解.【详 解】如 图,圆 心 在（0,2）,可 得 2,0 4=；乂2万厂=万,AB-2r4,BC=：x2r=兀,/地，=；*2万厂=%=/愉,二一个周期圆心经过的路径长为OA+1酗+1血+BC=4兀,A C （4+2万，0）,故当圆心经过的路径长为2 0 2 1万时，2 0 2 b r+4 万=5 0 5-1，圆心的横坐标是5 0 5 x （4+2/）+1=1 0 1 1万+2 0 2 0【点 睛】此题主要考查弧与坐标综合，解题的关键是根据题意求出一个周期圆心经过的路径

18、长.1 2.（2 0 2 1 广东）设。为坐标原点，点A、B为 抛 物 线y =F上的两个动点，且。4 J.O 8.连 接 点A、B,过。作O C _ L A B于点C,则点。到y轴距离的最大值()A.B.C.3 D.1222【答案】A【解析】【分析】设A(a,)，B(/b b2),求出A 8的解析式为y =(a-3 x +l，进而得到。=1,由N O C B=9 0。可知，C点在a以。的中点E为圆心，以=!。0 =(为半径的圆上运动，当C 为圆E半径时最大，由此即可求解.2 2【详解】解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为H,A B与x轴的交点为力，设4(。，a2),B(b,夕)，其中存0

19、,厚0,：OA1.OB,：.?-1a b即 ab=-l，设A 8的解析式为：y =(-代入A(m t z2),a解得：?=1，：.OD=1,V OC LA B,即 N0C8=90，C点在以。的中点E为圆心，以，=g 0O=g为半径的圆上运动，当C”为圆E的半径时，此时C”的长度最大，故C”的最大值为厂=g,故选：A.【点睛】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出4 8与），轴交点的纵坐标始终为1,结合/O C B =90,由此确定点E的轨迹为圆进而求解.二、填空题13.（2021湖南衡阳）如 图1,菱形A 8 8的对角线AC与8 0相交于点。，P、。两点同时从。点出发，以1

20、厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动.点尸的运动路线为O-A-O-。，点Q的运动路线为O-C-B-O.设运动的时间为x秒，P、。间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示,当点P在A。段上运动且P、。两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为 厘米.图1图2【答案】（2百+3）【解析】【分析】四 边 形 是 菱 形，由图象可得AC和BD的长，从而求出OC、OB和ZACB.当点P在A-。段上运动且 尸、。两点间的距离最短时，此时PQ连线过。点且垂宜于8 C.根据三角函数和已知线段长度，求出P、。两点的运动路程之和.【详解】由图可知，A C =2 G,B D =2（厘米），.四边

21、形A8C。为菱形O C =-ACy/3,O B -B D=（厘米）2 2ZACB=30P 在 AO上时，。在 B C 匕P。距离最短时，PQ连线过。点且垂直于BC.此时，P、。两点运动路程之和S=2（OC+CQ）V C Q =OC-cosZACB=y/3x-=-（厘米）2 2.S=2（G +|）=20+3（厘米）故答案为（2石+3）.【点睛】本题主要考查菱形的性质和三角函数.解题的关键在于从图象中找到菱形对角线的长度.14.（2021.四川眉山）如图，在菱形ABCD中，AB=AC=1 0,对角线4 C、8 0 相交于点O,点M 在线段AC上，且 A M=3,点P 为线段8。上的一个动点，则的最

22、小值是.【答案】|7 3【解析】【分析】过 M 点 作 垂 直 3 c 于H 点，与。8 的交点为P 点，此时+的长度最小为M 4,再算出MC的长度,在 直 角 三 角 形 MPC中利用三角函数即可解得【详解】过 M 点 作 垂 直 8 c 于”点，与。8 的交点为P 点，此时加尸+；尸 8 的长度最小,菱形 ABCD 中，AB=AC=10：.AB=BC=AC=0,ABC为等边三角形A Z P B C=3 0,N A C B=6 0。，在直角尸8”中，N P B H=3 0。：.P H=-P B2：.此时 MP+PB 得到最小值，MP+；P B=M P+P H =MHV A C=1 0,AM=

23、3,：.M C=1又 N M P C=6 0。：.M H=M Csi n600=-y/32故答案为：；石2【点 睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的尸点是解题关键.1 5.（2 0 2 0内蒙古赤峰）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动.第一次从原点O起跳，落 点 为4,点4表示的数 为1；第 二 次 从 点4起 跳，落 点 为04的 中 点 第 三 次 从4点起跳，落 点 为 的 中 点A”如此跳跃下去最 后 落 点 为O A 2 0/9的 中 点4 2 0 2 0.则 点A 2 O 2 O表示的数为.第一次“10203 次 小【答 案】【解 析】【分 析】先根据数轴的定义、

24、线段中点的定义分别求出点A，4,4,A,表示的数，再归纳类推出一般规律，由此即可得.【详解】由题意得：点A表示的数为i=点 4表示的数为g o A点&表 示 的数为点4表示的数为归纳类推得：点A,表示的数 为 击（n为正整数）则点4（）2 0 表示的数为2 20 2 0-1 =故答案为：，记.【点睛】本题考查了数轴的定义、线段中点的定义，根据点A，4,4,4表示的数，正确归纳类推出一般规律是解题关键.1 6.（2 0 2 2 湖北黄冈）如 图 1,在 A B C 中，Z B=3 6 ,动点尸从点A出发，沿折线A B C匀速运动至点 C停 止.若 点 P的运动速度为l c m/s,设点尸的运动时

25、间为，（s）,A P的长度为y（c m）,y 与 f 的函数图象如图2 所 示.当 A P 恰好平分N B A C 时，r 的值为.【答案】2出+2#2+26【解析】【分析】根据函数图像可得A3=4=8 C,作/8A C 的平分线AO,/3=3 6。可得/B=/D 4 C=3 6。，进而得到A D C-A BA C,由相似求出8。的长即可.【详解】根据函数图像可得A8=4,AB+BC=8,:BC=AB=4,VZB=36,:.ZBC4=ZBAC=72。,作N5AC的平分线AQ,J NBAD=ZDAC=360=ZB,；AD=BD,ZBCA=ZDAC=72,:AD=BD=CD,设 AD=BD=CD=

26、x，ZDAC=ZB=36fAADC ABAC,.AC DC BC-AC?.x _ 4-x 4 x解得：百=-2+2石，&=2-2石(舍去),AD=BD=CD=2亚-2，48+8。1此时t=2A/5+2(s),故答案为：2 6 +2.【点睛】此题考查了图形与函数图象间关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，关键是证明A4DCAR4c.17.(2021江苏淮安)如图(1),ABC和A b C是两个边长不相等的等边三角形，点Q、C B、C都在直线/上，ABC固定不动，将A8C在直线/上自左向右平移.开始时，点C与点8重合，当点移动到与点C重 合 时 停 止.设 夕C移动的距离为x,两个三角形重

27、叠部分的面积为y,y与x之间的函数关系【答案】5【解析】【分析】在点后到达8之前，重叠部分的面积在增大，当点8到达B点以后，且点。到达C以前，重叠部分的面积不变，之后在8到达C之前，重叠部分的面积开始变小，由 此 可 得 出 的 长 度 为a,8 c的长度为。+3,再根据 4 8 c的面积即可列出关于a的方程，求出a即可.【详解】解：当点夕移动到点8时;重叠部分的面积不再变化，根据图象可知B C=a,S B.C.=6过点4作A H L gC,则4”为&A b C的高，(1):A b C是等边三角形,4 4方77=60。，.AHO A H A/3.sin60=,AB 2；.AH=a,2S=-x-

28、a-a ,HP-a2=/3.MBC 2 2 4解得a=-2 （舍）或a=2,当点C移动到点C时，重叠部分的面积开始变小，根据图像可知BC=a+3=2+3=5,二 48C的边长是5,故答案为5.【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象和三角函数，关键是要分析清楚移动过程可分为哪几个阶段，每个阶段都是如何变化的，先是点后到达B之前是一个阶段，然后点。到 达C是一个阶段，最 后 到 达C又是一个阶段，分清楚阶段，根据图象信息列出方程即可.18.（2020.内蒙古通辽）如图，在AABC中，A8=AC,NBAC=120。，点E是边A 3的中点，点P是边上一动点，设PC=x,PA+PE=y.图是y关于x的函

29、数图象，其中”是图象上的最低点.那么的值为.【答案】7【解析】【分析】过B作A C的平行线，过C作A B的平行线，交于点D,证明四边形A B C D为菱形，得到点A和点D关于B C对称，从而得至lj PA+PE=PD+PE,推出当P,D,E共线时，PA+PE最小，即D E的长，观察图像可知:当点P与点B重合时，P D+P E=3 g,分别求出PA+PE的最小值为3,P C的长，即可得到结果.【详解】解：如图，过B作A C的平行线，过C作A B的平行线，交于点D,可得四边形ABCD为平行四边形，又 AB=AC,二四边形ABCD为菱形，点 A 和点D 关于BC对称,.PA+PE=PD+PE,当 P

30、,D,E 共线时，PA+PE最小，即 D E的长，观察图像可知：当点P 与点B 重合时，PD+PE=30,.点E 是 A B中点，BE+BD=3BE=3g，BE=Q ,AB=BD=2百，VZBAC=120,ZABD=(180-120)+2x2=60。,.ABD为等边三角形，ADEIAB,ZBDE=30,.DE=3,即 PA+PE的最小值为3,即点H 的纵坐标为a=3,当点P 为 DE和 B C交点时，：ABCD,AAPBEAPCD,.PB BE 一 PC CD ,菱形ABCD中,ADBC,BC=2x#可一=6,.6-PC A/3诉解得：PC=4,即点H 的横坐标为b=4,a+b=3+4=7，故

31、答案为：7.【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.19.（2019 四川乐山）如 图1,在四边形A8CO中，AD/B C,?B 30,直线/，4 8.当直线/沿射线8。方向，从点8开始向右平移时，直线/与四边形A8CD的边分别相交于点E、F.设直线/向右平移的距离为x,线段E F的长为V,且 旷与x的函数关系如图2所示，则四边形ABCD的 周 长 是.图2【答案】10+2A/3【解析】【分析】根据图1直线1的平移过程分为三段，当F与A重合之前，x与y都不断增大，当当F与A重合之后到点E与点C重合之前,x增加y不变,E与点C

32、重合后继续运动至F与D至合x增加y减小.结合图2可知BC=5,AD=7-4=3,由/_LA8且NB=30可知A B=2 6,当F与A重:合时，把C D平移到E点位置可得三角形AED，为正三角形，可得C D=2,进而可求得周长.【详解】由题意和图像易知BC=5,AD=7-4=3当BE=4时（即F与A重合），EF=2又/LA B 且/B=30。.,.AB=2/3,.当F与A重合时，把C D平移到E点位置可得三角形AED，为正三角形，CD=2:.AB+BC+CD+AD=2石 +5+2+3=10+2 后故答案时10+2 6.【点睛】本题考查了 30。所对的直角边是斜边的半，对四边形中动点问题几何图像的

33、理解，解本题的关键是清楚掌握直线1平移的距离为x,线段E尸的长为的图像和直线运动的过程的联系，找到对应线段长度.20.(2022 广西柳州)如图，在正方形ABC。中，AB=4,G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且E G=2,连接QE,将线段QE绕点。逆时针旋转90。得到线段DF,连接CF,则线段CF长的最小值为.【答案】2逐一2【解析】【分析】如图，由E G=2,确定E在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接A E,再证明VADE丝VCDF CS AS),可得A=C F可得当4 E,G三点共线时，4 E最短，则C/最 短，再利用勾股定理可得答案.【详解】解：如图，由E G=2,可得E在以G

34、为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE,;正方形ABCZ),/.AD CD,?ADC 90?,1 ADC?EDF 90?,/.?ADE?CDF,；DE=DF,：.VADEVCDF(SAS),二 AE=CF,二当A E,G 三点共线时，AE最短，则C F最短，位 3 c 中点，3 c =43=4,/.BG=2,此时 AG=y/BG2+AB2=42?+42=2底此时AE=26-2,所以C尸的最小值为：2亚-2.故答案为：2石-2【点睛】本题考查的是正方形的性质，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的利用圆的基本性质求解线段的最小值是解本题的关键.21.(2020山东滨州)如图，点 P

35、是正方形ABCD内一点，且点P 到点A、B、C 的距离分别为2 6,0,4 则正方形ABCD的面积为 答案4后+14【解析】【分析】如图，将 ABP绕点B 顺时针旋转90。得到 CBM,连接PM,过点B 作 BHLPM T H.首先证明NPMC=90。,推出/CMB=NAPB=135。，推出A,P,M 共线，利用勾股定理求出AB?即可.【详解】解：如图，将 ABP绕点B 顺时针旋转90。得到 C B M,连接P M,过点B 作 BHJ_PM F H.VBP=BM=V2，NPBM=90。，PM=&PB=2,：PC=4,PA=CM=2 百，.*.PC2=CM2+PM2,ZPMC=90,VZBPM=

36、ZBMP=45,.,.ZCMB=ZAPB=135,，NAPB+/BPM=180。，A A,P,M 共线，VBH1PM,；.PH=HM,/.BH=PH=HM=1,，AH=2 百+1,.*.AB2=AH2+BH2=（273+1）2+l2=14+4,.正方形ABCD的面积为14+473.故答案为14+4省.【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题.三、解答题22.（2020.河北）如图，甲、乙 两 人（看成点）分别在数轴一3 和 5 的位置上，沿数轴做移动游戏.每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬

37、币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动.若都对或都错，则甲向东移动1 个单位，同时乙向西移动1 个单位;若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位.（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率?；（2）从图的位置开始，若完成了 1 0 次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错.设乙猜对 次,且他展孥停留的位置对应的数为也，试用含的代数式表示机，并求该位置距离原点。最近时 的值；（3）从图的位置开始，若进行了 k 次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，富搂写出女的值.【答案】（1）P =

38、l;（2）m =25-6n；当=4 时，距离原点最近；（3）无=3 或 5【解析】【分析】（1）对题干中三种情况计算对应概率，分析出正确的概率即可；硬币朝上为正面、反面的概率均为甲和乙猜正反的情况也分为三种情况:甲和乙都猜正面或反面，概率为4，甲猜正，乙猜反，概率为二,4甲猜反，乙猜正，概率为!,4（2）根据题意可知乙答了 1（）次，答对了 n次，则打错了（1 0-n）次，再根据平移的规则推算出结果即可;（3）刚开始的距离是8,根据三种情况算出缩小的距离，即可算出缩小的总距离，分别除以2即可得到结果;【详解】（1）题干中对应的三种情况的概率为:1 1 1 1 1一x 一 十 一 x 一 二 一

39、2 2 2 2 2一X +X =2 4 2 4 4(3)X +X =2 4 2 4 4甲的位置停留在正半轴上的位置对应情况，故 p=“(2)根据题意可知乙答了 1()次，答对了 n次，则打错了(1 0-n)次，根据题意可得，n次答对，向西移动4 n,1 0-n 次答错,向东移了 2 (1 0-n),.m=5-4 n+2 (1 0-n)=2 5-6n,二当n=4 时，距离原点最近.(3)起初，甲乙的距离是8,易知，当甲乙一对一错时，二者之间距离缩小2,当甲乙同时答对打错时，二者之间的距离缩小2,.当甲乙位置相距2个单位时，共缩小了 6 个单位或1 0 个单位，6+2=3 或 1 0 +2=5,，

40、左=3 或%=5 .【点睛】本题主要考查了概率的求解，通过数轴的理解进行准确分析是解题的关键.2 3.(2 0 2 1 甘肃兰州)在R t Z V L B C 中，Z A C B =90,A C =6c m,8 c =8 c m,将 NB A C 绕点A顺时针旋转，角的两边分别交射线BC于。，E两点，尸为A E上一点，连接CP,且=(当点8,。重合时,点C,F 也重合).设B,。两点间的距离为x c m(0 4 x 4 8),A,F 两点间的距离为冲工小刚根据学习函数的经验，对因变量y随着自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小刚的探究过程，请补充完整.(1)列表：下表的已知数据是根据B

41、,。两点间的距离 进行取点，画图，测量分别得到了x 与 y的几组对应值；x/c m00.511.522.533.544.55678y/cm6.0 05.765.5 35.3 15.0 94.8 84.694.5 04.3 34.174.0 23.793.65a请你通过计算补全表格：。=;（2）描点、连线：在平面直角坐标系x O y中，描出表中各组数值所对应的点（x,y）,并画出函数丫关于x的图像；（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数）的变化趋势；（4）解决问题：当A F =C 时，8。的长度大约是 c m.（结果保留两位小数）【答案】（1）3.6；（2）见解析；（3）随着自变量的不断增

42、大，函数N不断减小；（4）3.5 0【解析】【分析】（I）根据题意画出图形，证明AACFS AAB C,根据相似三角形性质可得结果；（2）描点连线画出图形即可；（3）根 据（2）画出图像判断增减性即可；（4）根据A/=C Z）,可得y =-x+8,画出y =-x+8与（2）中图像交点即为所求.【详解】解：（1）当x=8时，即仇。两点之间的距离为8 c m,旋转至如图所示时：C(D)B.此时点。和点C 重合,V ZACF=Z Bt ZFAC=ZCAB,ACFABC 9.AF AC.-=-，AC ABV AC=6cm,BC=8cm,ZACB=90,*-AB=y)AC2+BC2=IO(cm)，AF=

43、3.6C V?7,ci 3.6，故答案为：3.6；(2)函数图像如下图:o 1 2 3 4 5 6 7 8 1(3)根据图像可知：随着自变量x 的不断增大，函数不断减小;(4):AF=CD,BD=x,AF=CD=8-xy=-x+8,如图：y=-x+8 与(2)中函数图像交点即为所求x 3.5 0 ,即BD的长度大约是：3.50c m,故答案为：3.5 0.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，动点问题的函数图像，读懂题意，运用数形结合的思想解题是关键.2 4.（2 0 2 0 吉林长春）如图，在AABC中，Z A B C =9 0 ,A B =4,3 C =3.点尸从点A出发，

44、沿折线以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点。从点C出发，沿C4以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点 户、。同时停止运动.当点p不与点A、C重合时，作点P 关于直线AC的对称点Q,连结P Q 交 AC于点E,连结OP、D Q.设点户的运动时间为r 秒.（1）当点户与点8重合时，求t的值.（2）用含f 的代数式表示线段C E 的长.（3）当AP。为锐角三角形时，求r 的取值范围.（4）如图，取 的 中 点 连 结 QM.当直线QM与AABC的一条直角边平行时，直接写出/的值.4 21 5 49 7 5.6【答案】（1）f=；（2）5 4，或5-3 r；（3）0 z g Jc

45、；（4）而 或彳.【解析】【分析】（1）由题意直接根据A B=4,构建方程进行分析求解即可：（2）由题意分两种情形：当点P 在线段AB上时，首先利用勾股定理求出A C,再求出A E即可解决问题.当点 P 在线段B C 匕时，在 R S P C E 中，求出C E 即可；（3）根据题意求出两种特殊情形下 PDQ是等腰直角三角形时t 的值，即可求解当 PDQ为锐角三角形时t 的取值范围；（4）根据题意分两种情形：如图7,当点P 在线段AB上，QMAB时以及如图8,当点P 在线段BC上，QMBC时，分别求解即可.【详解】4解：（1）当点P 与点B重合时，5/=4.解得/=不3 4（2）在 R/AAB

46、C 中，AB=4,BC=3,所以 AC=5,sinA=-,cos4=.5 5如图3,当点P 在AB上时，在RA4PE中，AE =AP cosA=4t.所以。石=4。+钻=5-4，.3如图 4,当点 P 在 3C 上时，在 MAPCE中，P C =l-5t9 cosC=sinA=-.3 21所以 CE=P CCOSC=（7 5，）=M 3，.（3）先考虑临界值等腰直角三角形POQ，那么P E=0 E.如图5,当点P 在A 8上时，在R/AAPE中，PE=APsinA=3f.而 D E =A C-A E-C D =5-4t-2t=5-6t,由 PE =D E,得3r=5-6/.解得/=.4?8如图

47、6,当点P 在 BC上时，在用APCE中，尸石=尸。与 m。=（7-5。=彳一4 3 21W D=CD-C=2 r-j（7-5r）=5 r-y,由 PE =D E,得28-4，=5/2-14,解得，=4?9.5 5 45再数形结合写结论.5 49 7当APDQ为锐角三角形时，0 1 =2PK.QQ 3 24在心APQK 中，P(2=2PE=-P C =|(7-5 r),所以 PK=弓。=石(7-5。.4 8在 RfADCH 中,D H=-D C =-t.由 D H =2 P K,得|f =2 x|(7 5 f),解得 1 =(.【点睛】本题属于几何变换综合题，考查解直角三角形，平行线的性质，等

48、腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题.2 5.（2 0 2 0 湖南益阳）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补 四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：（1）如 图 1,正方形A B C。中，E是 C。上的点，将A B C E 绕 B点旋转，使 B C 与 8 4 重合，此时点E的对应点F 在 D 4的延长线上，则四边形3 E Z 为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2,已 知 四 边 形 是“直等补 四边形，AB=B C =5,C D =,A D

49、 A B,点B到 直 线 的距离为求B E 的长.若M、N分别是43、AO边上的动点，求 A M NC周长的最小值.【答案】(1)见解析；(2)BE=4；AMNC周长的最小值为8行【解析】【分析】(1)由旋转性质证得/F+NBED=/BEC+/BED=180。，ZFBE=ZABF+ZABE=ZCBE+ZABE=90,BF=BE,进而可证得四边形比D F 为“直等补”四边形；(2)如图2,将 ABE绕点B 顺时针旋转90。得到 C B F,可证得四边形EBFD是正方形，则有BE=FD.设 B E=x,则 F C=x-l,由勾股定理列方程解之即可；(3)如图 3,延长 CD 到 P,使 DP=CD

50、=1,延长 CB 到 T,使 TB=BC=5,贝 ij NP=NC,MT=MC,由 MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NPNPT知，当 T、M、N、P 共线时，MNC的周长取得最小值P T,过 P 作 PH1.BC交 BC延长线于H,易证 BFCS P H C,求得CH、P H,进而求得T H,在 R s PHT中，由勾股定理求得P T,即可求得周长的最小值.【详解】(1)如图 1 由旋转的性质得：ZF=ZBEC,ZABF=ZCBE,BF=BE/BEC+/BED=180。，NCBE+NABE=90。，.*.ZF+ZBED=180,/ABF+NABE=90 即 NFBE=90,故满足“