数学竞赛讲义.pdf

《数学竞赛讲义.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学竞赛讲义.pdf（107页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、惠东中学校本课程一数学竞赛讲义惠东县惠东中学数学科组第。页目录第 一 章 集 合.2第二章 函数.1 52 .1 函数及其性质.1 52.2 二次函数.2 12.3 函数迭代.2 8 2.4 抽象函数.3 2第 三 章 数 列.3 73 .1 等差数列与等比数列.3 73.2 递归数列通项公式的求法.4 43.3 递推法解题.4 8第四章 三角平面向量复数.5 1第 五 章 直 线、圆、圆锥曲线.6 0第六章空间向量简单几何体.6 8第七章二项式定理与多项式.7 5第八章联赛二试选讲.8 2 8.1 平儿名定理、名题与竞赛题 8 28.2 数学归纳法.9 98.3 排序不等式.1 0 3第 一

2、 章 集 合第1页集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学的基础.它的基础性体现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题.1.1 集 合的概念与运算【基础知识】集合的有关概念1.集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的元素.2.集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.3.集合的分类：无限

3、集、有限集、空集”4.集合间的关系：集合的运算1.交集、并集、补集利差集差集：记 A、B是两个集合，则所有属于A 且不属于B的元素构成的集合记作Z 8.即 N 8 =xe 力且XW 3.2.集合的运算性质（l）Z U/=Z,Z n/=4（塞等律）；（2）N U 8 =8 U，=（交换律）；（3）（4 UB）U C=/U（8 UC）,（z n 8）n c=z n（8 n c）（结合律）；（4）z u（4 j c）=（）u 8）n（4 u c）,z r i（5 u c）=（）n 3）u（z n c）（分配律）;（5）Z n（BU 4）=4,Z U（/n B）=N（吸收律）；对合律）；（7）CA n

4、 8）=（Cb,A）u （CuB）,Cu（4 U 8）=（C/）fl（C （摩根律）（8）Z （8 U C）=（/B）n（Z C）,Z （8 n C）=（4 B）U（/C）.3.集合的相等（1）两个集合中元素相同，即两个集合中各元素对应相等；（2）利用定义，证明两个集合互为子集；（3）若用描述法表示集合，则两个集合的属性能够相互推出（互为充要条件），即等价；（4）对于有限个元素的集合，则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合相等的必要条件.【典例精析】【例 1在集合 1,2,中，任意取出一个子集，计算它的各元素之和.则所有子集的元素之第2页和是.K分析已知 1,2,的所有的子集共

5、有2个.而对于V i e 1,2,显然 1,2,中 包 含i的 子 集 与 集 合1,2,的 子 集个数相 等.这 就 说 明i在集合 1,2,的所有子集中一共出现2-次,即对所有的i求和,可得S =2-(/).i=l【解】集合 1,2,的所有子集的元素之和为2 T(1+2+)=2-网 )=.(+1)2”.K说明H本题的关键在于得出 1,2,中包含i的子集与集合 1,2,+L,的子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛.【例 2】已知集合 24=x|x2+3x +2 0,B =x|x2-4a x +3a2 0且 4 q B,求参数 a的取值范围.K分析首先确定

6、集合A、B,再利用/=8的关系进行分类讨论.【解】由已知易求得 A=x 2 x 1),B =x|(x-a)(x -3a)0 时，B-x a x 3a,由 N a 6 知无解；当a=0时,8 =。,显然无解；2当 a 0 时，B-x 3a x a ,i l l J c 5 解得一 1 a0,.-.x2+x +l -x，且 一+%+1o及集合中元素的互异性知X?+X +1 H -X ,即 X K -1,此时应有 X2+X +1 -X -X -1.而y w R+,从而在集合B中,y +1 -y.第 3 页/+x+l=y+l由/=8,得 x =2-x-=-y(1)(3)由(2)(3)解得x =l,y

7、=2，代入(1)式知x =1,y =2 也满足(1)式.x2+y2=F+22=5.K 说明 本题主要考查集合相等的的概念，如果两个集合中的元素个数相等，那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.【例 4】已知集合Z =x,y,l g(x y),B=0,|x|,y.若 4 =8,求(x +)+(/+)+.y y+(-8+)的值K 分析7从集合A=B 的关系入手，则易于解决.【解】4 =8,.*十k+(x y)=|x|+7，根据元素的互异性,由B知x H O,y w O.x 盯 g(肛)=0:0 e 8且 2 =8,0 e /，故只有 1g

8、(盯)=0,从而x y =l.又由IwZ及 4=3,得 l e B.x y =l f x y =1 一所以或-，其中x =_y =l 与元素的互异性矛盾！|x|=1 y =1所以x =_y l,代入得：(x +，+(x?+-p-)+.+(x2008+)=(2)+2+(-2)+2+.+(-2)+2=0.K 说明 本题是例4 的拓展，也是考查集合相等的概念，所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件，即两个集合相等,则两个集合中，各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键.【例 5】已知A 为有限集，且A工 N*,满足集合A 中的所有元素之和与所有元素之积相等，写出所有这样的集合A.【

9、解】设集合 A=q,%,且 1 4 al e /(G N*),得 a+a2 4-an=ay-a2.an a“(-1)!,即 N (”-1)!;.=2 或=3 (事实上，当 3 时，有(-1)!N (一 1)(-2)(H-1)-2 n).第4 页当 =2 时，a,-a2=。+o,2a 2,/.ai 2,.,.a=1,而 1%w 1 +%，；,/2.当 =3 时，q%=%+W+%3%，,a ai 3,q =L%=2.由 2 a 3 =3 +%,解得 a3=3.综上可知，4 =1,2,3 .R说明U本题根据集合中元素之间的关系找到等式，从而求得集合A.在解决问题时，应注意分析题设条件中所给出的信息,

10、根据条件建立方程或不等式进行求解.【例6】已知集合尸=x|Y -3 x +2 4 0 ,S =x|x 2 2 or+a 4 0，若S之尸,求实数a的取值组成的集合A.【解】P=x 1 1 x K 2 ,设/(x)-x2-l a x +a .当 =(2 a)2-4 a 0,即 0。0时，满足SQP等价于方程x2-2a x +a 0的根介于1和2之间.即A 01-(=22/(I)2 0/2 0a 1 a 04 -3 a 0=a w 0.综合得0 a 4 1,即所求集合A=a|0 a 0.【例7】(2 0 0 5年江苏预赛)已知平面上两个点集M(x,y)x+y+/),x,y&R ,N=(x,y)|x

11、-a|+|y-1|W l,x,y e R .若 A/DNH0,贝ij a 的取值范围是【解】由 题 意 知M是以原点为焦点、直 线x +y +l =0为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，N是 以(凡1)为中第5页心的正方形及其内部的点集(如图).考 察M CN =0时 。的取值范围：令 歹=1,代入方程|%+/+1|=,2(段+/),得f _ 4 x 2 =0,解 出 得x =2 土 戈.所以，当。3 +V 1 0 时，M CN =0.因此，综 合 与 可 知，当l-ga 3+屈,即a e l-V 6,3 +V 1 0 时，A/n Nw0.故 填 1-76,3 +71 0 .【例 8】已知集合

12、己=a a2,a3,a4 ,B=a；,a；,片,裙,其中 al a2 a3 a4,a”外,%,%w N.若Z C l B =q,%+%=1 0.且NUB中的所有元素之和为1 2 4,求集合A、B.【解】；4%/4，且力 口 8=q,4，q =a；,又 4 e N,所以 4 =1.又 q+4=1 0,可得 4=9,并且 a；=(或 a；=%.若a；=9,即 4=3,则有 1 +3 +3+9 +4；+81 =1 2 4,解得%=5或a、-6(舍)此时有/=1,3,5,9 ,5=1,9,2 5,81).若a；=9,即%=3,此时应有生=2,则Z U 8中的所有元素之和为1 0 0 H 1 2 4.不

13、合题意.综上可得，A=1,3,5,9 ,B=1,9,2 5,81).K说明 本题的难点在于依据已知条件推断集合A、B中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分，每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.例9 满 足 条 件|g()g(z)区4 西一2 1的 函 数g(x)形 成 了 一 个 集 合M,其中为,2 w/?,并且W1,求函数y =/(x)=x 2+3 x-2(x e/?)与集合M的关系.K分析求函数/(x)=X?+3 x -2集合M的关系，即求该函数是否属于集合M,也就是判断该函数是否满足集合M的属性.【解

14、】v|/(x j-/(x2)|=|(x 2 4-3%1 +2)-(%2 +3X2+2)|=|Xj -x21-|x,+x2+3 1第 6 页4 5 9取 再=2 户2=2 时，1/(再)一/(%2)1=71%一 马 4|再一Zl 由此可见,/(x)M.K说明本题中M 是一个关于函数的集合.判断一个函数/(x)是否属于M,只要找至一个或几个特殊的Xj使得/(X,)不符合M 中的条件即可证明/(x)任M.【例 10 对集合1,2,2008及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列，然后从最大数开始，交替地加减相继各数，如 124,6,9的“交替和”是9 6+4-2 +1=6,

15、集合 7,10的“交替和”是 10 7=3,集合5的“交替和”是 5 等等.试求A 的所有的“交替和”的总和.并针对于集合1,2,求出所有的“交替和”.K分析B 集合A 的非空子集共有220 8一 1个，显然，要想逐个计算“交替和”然后相加是不可能的.必须分析“交替和”的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如 1,2,3,4)的非空子集共有 15 个，共“交替和”分别为：1;2 2;3 3;4 4;1,2 2-1;1,3 3-1;1,4 4-1;2,3 3-2;2,4 4-2;3,4 4-3;1,2,3 3-2+1;1,2,4)4-2+1;(1,3,4 4-3=1;2,3,4)4-3+2;1,2

16、,3,4)4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现，除以外,可以把(1,2,3,4)的子集分为两类:一类中包含4,另一类不包含4,并且构成这样的对应:设同是1,2,3,4中一个不含有的子集，令 4 与 4 U 4 相对应，显然这两个集合的“交替和”的和为4,由于这样的对应应有7 对，再 加 上 的“交替和”为 4,即 1,2,3.4)的所有子集的“交替和”为 32.【解】集合1,2,2008)的子集中，除了集合2008，还有22008-2 个非空子集将其分为两类:第一类是含2008的子集，第二类是不含2008的子集，这两类所含的子集个数相同.因为如果4 是第二类的,则必有4 U 2008

17、是第一类的集合;如果B j是第一类中的集合，则B j中除2008外,还应用1,2,2007中的数做其元素，即易中去掉2008后不是空集，且是第二类中的.于是把“成对的”集 合 的“交替和”求出来，都 有 2008,从而可得A 的所有子集的“交替和”为|(22008-2)x 2008+2008=22007 x 2008.同样可以分析1,2,因为个元素集合的子集总数为2个(含。，定义其 交替和为 0),其中包括最大元素的子集有2T个,不包括的子集的个数也是个，将两类子集一一对应(相对应的子集只差一个元素n)，设不含的子集“交替和”为 S,则对应的含n子集的“交替和”为 两 者 相 加 和 为 .故

18、 所 有 子 集 的“交替和”为27 .第7页K说明X 本题中 退到最简，从特殊到一般的思想及分类讨论思想、对应思想都有所体现，这种方法在数学竞赛中是常用的方法，在学习的过程中应注意强化.【例 1 1】一支人数是5的倍数的且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差 3 人；若按每横排3 人编队，最后差2 人；若按每横排2 人编队，最后差1 人，求这支游行队伍的人数最少是多少？R 分析U 已知游行队伍的总人数是5 的倍数，那么可设总人数为5 .“按每横排4 人编队，最后差3人”，从它的反面去考虑，可理解为多1 人，同样按3 人、2 人编队都可理解为“多1 人”，显然问题转化为同余问

19、题.5 被 4、3、2 除时都余地，即5-1是 12的倍数，再由总人数不少于1000人的条件，即可求得问题的解.【解】设游行队伍的总人数为5 (e N+),贝 I J 由题意知5 分另U被 4、3、2 除时均余1,即12/7 7 +15 1是 4、3、2 的公倍数，于是可令5 1 =12加(加e N+),由此可得：=上-要使游行队伍人数最少，则式中的机应为最少正整数且12?+1为 5的倍数，应为2.于是可令机=5 q +2(p e N+),由此可得：=:12 6 Q?+25 所以6 0p +25 N 1000,4取 p =17 代入式，得 5 =6 0 x17+25 =104 5故游行队伍的人

20、数最少是104 5 人.K 说明 本题利用了补集思想进行求解，对于题目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、“都”等词语，可以根据补集思想方法，从词义气反面(反义词)考虑，对原命题做部分或全部的否定，用这种方法转化命题，常常能起到化繁为简、化难为易的作用，使之寻求到解题思想或方法，实现解题的目的.【例 12】设 eN且2 15,43 都是 1，2,3,，真子集，40 3 =。，且AU 3=1,2,3,，.证明：/或 者 8中必有两个不同数的和为完全平方数.【证明】由题设，1,2,3.的任何元素必属于且只属于它的真子集48之一.假设结论不真，则存在如题设的 1,2,3,的真子集48,使得

21、无论是N还是8中的任两个不同的数的和都不是完全平方数.不妨设I d,则 3史/,否 则 1+3=22,与假设矛盾，所以36 8.同样6 任8,所以6 G A,这 时 1 0 e/,即 106 8 .因工15,而 15 或者在4中，或者在8中，但 当 15 G /时，因1+15=4 2,矛盾；当 i s w 8时，因 1 0 W 8,于是有10+15=5 2,仍然矛盾.因此假设不真，即结论成立.【赛向点拨】1.高中数学的第一个内容就是集合，而集合又是数学的基础.因此，深刻理解集合的概念，熟练地进行集合运算是非常重要的.由于本节中涉及的内容较多，所以抓好概念的理解和应用尤其重要.2 .集合内容几乎

22、是每年的高考与竞赛的必考内容.一般而言，一是考查集合本身的知识;二是考第8页查集合语言和集合思想的应用.3.对于给定的集合，要正确理解其含义，弄清元素是什么，具有怎样的性质？这是解决集合问题的前提.4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中，集合题是普遍而又基本的题型之一.【针对练习】（A 组）1 .（2 0 0 6年江苏预赛）设在xQy平 面 匕0 x表示把集合M中的元a素x映射到集合P中仍为x,则a+6的值等于（）A.-l B.O C.l D.l3 .（2 0 0 4 年全国联赛）已知 M=（x,y）|+2产=3 ,N=（x,j；）y =m x +b ,若对于所有的 加 火，均有A f

23、cN W则人的取值范围是A.四,场2 2,娓庭、，2 7 3 2 7 3.n r 2 7 3 2y 312 2 3 3 3 34 .（2 0 0 5 年全国联赛）记集合7=0,1,2,3,4,5,6 ,M呜+辛 +辛+辛&e T,i =l,2,3,4 ,将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2 0 0 5个 数 是（）5 5 6 3A.-+7 72 73 74-110 47 72 73 745 5 6 2B.-+7 721 1D.-+7 72一473一74T+一370735 .集合A,B的并集A U B=a i,a 2,a 3 ,当且仅当A#B时,（A,B）与（B,A）视为不同的对，则这样的（

24、A,B）对的个数有（A.2 7B.2 8.)C.2 6D.2 56.设A=|1 0 0（W 6 0 0,e N）,则集合A中 被7除 余2且不能被57整除的数的个数为7 .已知 A=-4x+3-2k B =x .若 4|8工0，21 x-a求实数。的取值范围.12.以某些整数为元素的集合P具有下列性质：尸中的元素有正数，有负数；P中的元素有奇数，有偶数；一1任尸；若x,y G P,则x +歹 e尸试判断实数0 和 2 与集合尸的关系.(B组)1.设 S为满足下列条件的有理数的集合：若aeS,bGS ,则a+bG S,ab&S；对任一个有理数r,三个关系r e s,-res,r=0 有且仅有一个

25、成立.证明：S是由全体正有理数组成的集合.2.S,S?昌 为非空集合，对于1，2,3的任意一个排列i J左，若x G S e S j,则 x-y w Sk(I)证明：三个集合中至少有两个相等.(2)三个集合中是否可能有两个集无公共元素？3.已知集合:/=(x,y)|a x +y =l 8=(x,y)|x +a y=l,C =(x,y)|x 2+y 2=l*n j(1)当。取何值时，(Z U 8)nc为含有两个元素的集合？(2)当。取何值时，(/UB)nc为含有三个元素的集合？4.已知4=(x,y)k2+y2+4x+4y+7=0,x,y e?,B=(X,J)|XJ=-10,x,j e R.请根据

26、自己对点到直线的距离，两条异面直线的距离中“距离”的认识,给集合A 与 B的距离定义；依据中的定义求出A与3的距离.5.设集合尸=不小于3 的正整数,定义P 上 的函数如下：若“cP,定义/()为不是的 约 数 的 最 小 正 整 数，例 如/(7)=2,/(12)=5.记 函 数/的 值 域 为 M .证 明：19e A/,99g A/.6.为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了 P(P e N+)条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于20T个.【参考答案】A 组1.解：M PI N 在 x O y 平

27、面上的图形关于x 轴与y 轴均对称，由此“P I N 的图形面积只要第10页算出在第一象限的图形面积乘以4 即得.为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了.由题意1 1 1 2可得，A/P I N 的图形在第一象限的面积为A=一.因 此 的 图 形 面 积 为 一.2 3 6 3所以选B.2.解:由M=P,从而幺=0,。=1,即“=1,6=0,故。+6=1.从而选C.a3.解：M n N W 0 相 当 于 点(0,b )在 椭 圆 Y+2y2=3 上 或 它 的 内 部2b：y/6 ,46-1,-W b J-,故选 A.3 2 24.解：用%幺 0 表示k 位 P进制数，将集合M 中的每个数乘

28、以7 4，得=7,-73+(72-72+(73-7 +|ai G T,i -1,2,3,4 =e T,i-1,2,3,4.M 中的最大数为 6666b=2 40 0 1.在十进制数中，从 2 40 0 起从大到小顺序排列的第2 0 0 5 个 数 是 2 40 0-2 0 0 4=39 6.而 39 6儿=H0 4:将 此 数 除 以 7 4，便 得 M中的数5.解：A=小时，有 1种可能；A为一元集时，B必须含有其余2元，共有6 种可能；A为二元集时，B必须含有另一元.共有12 种可能；A为三元集时，B可为其任一子集.共8 种可能.故共有1+6+12+8=2 7 个.从而选A.6.解：被 7

29、除余2的数可写为”+2.山 10 0 7-2 W 60 0.知 14W A W 8 5.又若某个k使7 k+2能被57 整除，贝何设7 左+2=57”.即A=显 尸=生 铲 =8+早.即勿一2应为7的倍数.设勿=7 加+2代入，得 A=57 m+16.，14W 57/W+16W 8 5.,加=0,1.于是所求的个数为8 5-(14-1)-2=7 0.7.解：依题意可得A=xlx 133,就 有 15 19 9 5.故取出所有大于133而不超过 19 9 5的整数.由于这时己取出了 15x 9=135,-15x 133=19 9 5.故 9至 133的整数都不能再取，还可取1至 8 这 8个数，

30、即共取出19 9 5 133+8=18 7 0 个数，这说明所求数与18 7 0.另一方面，把 k 与 15k配对，(k不 是 15的倍数，且 l W kW 133)共 得 1338=12 5对，每对数中至多能取1 个数为A的元素，这说明所求数W 18 7 0,综上可知应填18 7 0.9 .解：考 虑 M的+2 元子集P=-I,n,n+,In .P中任何4 个不同元素之和不小于(-1)+(+1)+(+2 尸4 +2,所以 Q +3.将 M 的元配为对，B(=(i 2 n+1z),l z w.对 M 的任一+3 元子集A,必有三对耳，纥,同属于A i、/2 h两两不同).又第11页将M的元配为

31、/7-1对，C I(i,2/7-0,对M的任一 n+3元子集A,必有一对*4同属于A,这一对G.必与耳，8八，耳中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和为2 +1+2 =4”+1,最小的正整数A=n+310.10.解：.左,Jt-l e Z 且2A-1=k2-(k-l)2,：.2 k-l e A；假设斯 2GA(AGZ),则存在x,ywZ,使疑一2 =f-y即(x-j)(x+y)=2(24-1)(*)由于x-y与x+y具有相同的奇偶性，所 以(*)式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍 数，另一方 面，(*)式 右 边 只 能 被4除 余2的数，故(*)式不能成立.由此，44一2 任 A(

32、A eZ).11.解：A=x|-l x 3 ,8 =x (x-a)(x-3a)0 时，8 =x 0 a x 3力，由工 0 得0 a 3；当 a 0 时，8 =x 3a x a 一1；当a =0 时，8 =卜,0,y 2/7-1,则负奇数2科+(2 1)e P.前后矛盾B组1.证明：设任意的r w o,由知re S,或一/e S之一成立.再由，若厂eS,则/e S；若一re S,则*=(f)(r)eS.总之，r2&S.取r=l,则1GS.再由，2=1+1G S,3=1+2G S,，可知全体正整数都属于S.设.p,q w S ,由pqe S,又由前证知e S,所 以 工=0初 上w S.因此，S

33、含有全q-q q-体正有理数.再由知，0及全体负有理数不属于S .即S是由全体正有理数组成的集合.2.证明：(1)若x e S,/e S j,则丁一工5人.，8 x)y =x w S j,所以每个集合中均第 12页有非负元素.当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立.否则，设 S”S 2，S 3 中的最小正元素为。，不妨设4 6 5,设6为$2,S 3 中最小的非负元素,不妨设6 w S 2,则若b 0,则O W b a b,与b的取法矛盾.所以b=0.任取x e S”因 0 w S 2,故x 0=x e S 3 .所以 S c S 3,同理S 3 c St.所以51=邑.（2）可能.例如H

34、=S 2=奇数,S 3 T 偶数 显然满足条件，$和 S?与S,都无公共元素.3.解：（zu8）nc=（4nc）u（8 nc）./nc 与8 nc 分别为方程组(I)f a x y-x2+y2(IDJ x +a y -x2+y2=1)2的解集.由(I )解 得(x,y )=(0,1)=(二 ,)；由(H)解得1 +/+a2-a2(x,y)=(1,0),(-1 +。2a1 +a2（1）使（/u 8）n c 恰有两个元素的情况只有两种可能:1 ,2+。，+(y+2)2=l上任一点,圆心为M.显然,|P Q|+|M Q|2 1 M p i (当P、Q、M三点共线 时 取 等 号)=5.解：记=18!

35、时，由于1,2,18都是的约数，故此时/()=19.从而1 9 e .若存在 e P ,使/()=9 9 ,则对于小于9 9 的正整数k,均有左|，从而9|11 ，但是(9,11)=1,由整数理论中的性质9 X 11=9 9 是n的一个约数，这是一个矛盾！从而9 9 eM.6 .证 明：假设该校共有加个班级，他们的建议分别组成集合4,4,，4”。这些集合中没有两个相同(因为没有两个班级提出全部相同的建议)，而任何两个集合都有相同的元素，因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集。这样在耳,工 2.，4“中至多有A (所 有 P条建议所组成的集合)的4x 2 =2i个子集，所以机4 20T.2第二

36、章 函数 2.1 函数及其性质一、函数的基本性质:第14页1 .函数图像的对称性(1)奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意X W。，都有/(-x)=-/(x)成立：偶函数的图像关于y轴对称，对于任意X e。，都有/(-x)=/(X)成立。(2)原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线y =x对称。若某一函数与其反函数表示同一函数时;那么此函数的图像就关于直线y =x对称。(3)若 函 数 满 足/(x)=/(2 a-x),则 x)的 图 像 就 关 于 直 线x =a对 称；若函数满足/(x)=-f(2a-x),则/(x)的图像就关于点(。,0)对称。(4)互对称知识：

37、函数y =/(x -a)与y =f(a -x)的图像关于直线x =a对称。2 .函数的单调性函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质(如复合函数的单调性)特别提示：函数y =x +且(a 0)的图像和单调区间。X3 .函数的周期性对于函数y =/(x),若存在个非零常数T,使得当x为定义域中的每个值时，都有f(x +T)=f(x)成豆,则称y =/(x)是周期函数，T称为该函数的一个周期。若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。(1)若7是y =/(x)的周期，那么n T(G Z)也是它的周期。(2)

38、若y =/(x)是周期为7的函数，则y =/(依+6)(“二0)是周期为二的周期函数。a(3)若函数y =/(x)的图像关于直线x =。和x =b对称，则y =/(x)是周期为2(a-6)的函数。(4)若函数y =/(x)满足f(x +a)=-/(x)(a#0),则y =f(x)是周期为2 a的函数。4.函数的最值：常规求法：配方法、判别式法、不等式法、换元法、构造法5 .G a u s s(高斯)函数对于任意实数x,我们记不超过x的最大整数为 x ,通常称函数y =x 为取整函数。又称高斯函数。又记 x =x-x ,则函数y =x 称为小数部分函数，它表示的是x的小数部分。高斯函数的常用性质

39、：(1)对任意x e R,均 有x-l x 4 x 1000/(/(+5),1 0 0 0，求/(84)函数迭代中的 穿脱技巧设函数y=f(x),并记(fx)，其 中n是正整数,j(x)叫做函数f(x)的n次迭代，函数迭代是一种特殊的函数复合形式,在现代数学中占有很重要的地位,尤其是近年来在国内外数学竞赛屡次出现.成为热点问题之一，以引起广在数学爱好者的关注.由f(x)(或%(x)的表达式“穿上“或“脱去”-1个函数符号得出/付(或于)的函数迭代问题，这里我们对数学竞赛中穿脱问题的解题技巧作简单介绍和粗浅的探索.1程序化穿脱“穿；脱”函数符号是一种有序的过程，由内至外一层层穿上手,或从外至内一

40、层层脱去j；往往是种程序化的模式,例 已知f(x)=I X，求fn(x).V l+x22实验法穿脱许多情况下，求解穿脱问题并非只是一种程序化的操作，还需要用敏锐的思维和眼光去发现穿脱过程所蕴含的规律性,实验是发现的源泉，是发现规律的金钥匙.例函数定义在整数集上,且满足f(n)=n-3(n 21000)ff(n+5)(n 1000 求f(84)例2 1对 任 意 的 正 整 数k,令 h 定 义 为k的各位数字和的平方.对于22小fn(k尸&(fT(k),求加巡).3周期性穿脱在求解函数迭代问题时我们经常要借助于函数的周期性，利用周期性穿脱要能达到进退自如,做到需穿插则穿,需脱则脱,从而优化解题

41、过程.例定义域为正整数的函数,满足:f(n)=n-3(n 21000)ff(n+7)(n V x2-3 x 4-2 =y-x 0a2,两边平方得Qy =y1 2,从而y*工且*=彳 二,y2-2 7任取y 2 2,由x=-,易知x 2 2,子凝厂一3 1+220。N2 0任取&y二,同样由*=匚 一,易知xWl。2 2 y -3于是 x2 3 x +220。3因此,所求函数的值域为。，3 UQ、g。7 x-l)3+2 0 0 4(x-l)=-l例5 (1)设x,y是实数，且 满 足 )，求x+y的值(y-1)3+2 0 0 4(y-l)=l(2)若方程一 一2 a s i n(c o s x)

42、+q 2 =0有唯一解，求 a例 6：解方程、不等式：(1)x +l o g,(2 -3 1)=5 (2)(X+8)2 0 0 7+X2 O0 7+2X+8=0(3)(x2-2 0 x +3 8)3+4 x2+1 5 2 0,f(x)是定义在实数集上的一个实值函数，且对每一实数x,有/M=2+7/W-/(X)2证明:f(x)是周期函数;对a=l,具体给出一个这样的非常数的函数例 7.设。1,a,。均为实数，试求当。变化时，函数y =(+i n 6)(4+s m。)的最小值。1 +s i n。第18页例 8.设/(x)是定义在Z上的一个实值函数，/(x)满足f(x +y)+Jx-j)=2 f(x

43、)f(y)7 0)=0求证：/(x)是周期为4 的周期函数。例 9.己知函数外)对任意实数x,都有f(x+m)=-，求证f(x)是周期函数l +f(x)三、练习1 .集 合 M由 满 足 如 下 条 件 的 函 数/(%)组 成：当 玉，e -1,1 时，有|/(再)一/(82)归 4 忖 一 引，对于两个函数(X)=X22X+5，K(X)=J M，以下关系中成立的是()A.f,e M,f2eM-C.D.，丸史 M;1+X2 .设/(x)=：一,记(x)=/(x),若 M(X)=/(，),则 720 06a)=()L-XD、x +1)(0 4+产 03.若(/也3户(/侬3)、(/耸3尸-(/

44、侬 3产，贝 U(A)x-y 0 (B)x+y 0(0 x-y W O4.定义在实数集上的函数f(x),对一切实数x都 有 f(x+l)=f(2-x)成立，若 f(x)=0 仅有1 0 1 个不同的实数根，那 么 所 有 实 数 根 的 和 为()A.1 50 B.C,1 52 D,2 25.已知 f(x)=as i n x +b l/x+4(。、6；实数)且/(l gl o g31 0)=5，则/(l g 1 g3)的 值 是()(A)-5(B)-3(C)3(D)随 m 6 取不同值而取不同值6 .函数/(x)=)(1 一厂)的奇偶性是:|x -2 I -2第 1 9 页A.奇函数 B.偶函

45、数 C.既是奇函数又是偶函数 D.不是奇函数又不是偶函数7 .已 知 函 数/(x)=l o g(,ax-x +在 1,2 上 恒 正，则 实 数a的 取 值 范 围 是_L 22583 ,+o o28.函数/(x)=5/1 与+J 1 2 3 x 的值域为()A.1,V2 B.1,百 C.1,1 D.1,2 9 .给定实数x,定义 x 为不大于x的最大整数，则下列结论中不正确的序号是()x-x 2 0/(x)=x-x 是周期函数 x)=x-x 是偶函数1 0 .函数/(x)=x 3+x -1 0 s i nx +3,(x e 1 0,1 0)，贝 U7m析(x)=l l o 实数 x,y 满

46、足 x2=2 x s i n(x y)1.贝 U 2 0 0 6+6 81 1 1 =1 2 .方程 l n(Vx2+1 +x)+l n(V 4 x2+1 +2 x)+3x=0 的解集是兀 兀 x3+s i nx-2 t?=0 ,_1 3.已知 x,y e -e R，则 c o s(x +2 y)=_ _ _ _ _ _ _ _4 4 1 4y 3+s i ny c o s y+a =01 4.下列说法正确的是(1)函数y =/(4+)与、=/(o-x)关于直线x =a对称；(2)函数y =/(a +%)与丁=/(a-x)关于y 轴对称；(3)若函数/(x)满足/(“+x)=/(a-幻，则/(

47、x)关于直线x =。对称：(4)若函数/(无)满足/(4+幻=/(。一x),则/(x)关于y轴对称1 5.若函数/(x)的 定 义 域 为 R,且对于x 的 任 意 值 都 有f(x+2 0 0 5)=f(x+2 0 0 4)+f(x+2 0 0 6),则函数/(x)的周期为。1 6 .设方程l o g3X +x 3=0的根为X”方程3、+x 3=0的根为 2,则 再+/=第2 0页1 7 .函数/（x）=mi n4x +1,x +2,-2 x+4,则（x）=1 8.设xl/l,S=l o gv 2,l o g,y,l o gv（8x2）则 S 的最大值为1 9 .设函数_/0（）=|4力（）

48、=|_/0住）一1|/（刈=|力二）一2,求函数夕=人（幻的图象与x轴所围成的封闭部分的面积.2 0 .%为何实数时，方程，-小|+3=%有四个互不相等的实数根.2 1 .若函数满足/（a +x）=/（a-x）,求证_/*）的图像就关于直线工=。对称（2）函数/（x）=/+2工3 +4x 2 +B的图像关于某条垂直于x轴的直线对称，求实数c的值x+,2 2 .己知灯=2 2,定义/.（X）=/（/（/*）.）,一2（l-x）,;x 4 1 （1）求7 2 0 0忌）（2 ）设8=X|/5（X）=X,XW 0 J ,求证：8中至少含有9个元素函数“X）的定义域关于原点对称，但不包括数0,对定义域

49、中的任何实数x,在定义域中存在可,2，使得工=工1-工2，/（可）工/（工2），且满足以下三个条件：（1）阳,工2是定义域中的数，/*)丰 f(x2)或 0 -叼 2。|，则 f(x1-x2)=方；J x2 )J Vx)(2 )f(a)=1 (a 是-个正常数）；（3）当0 x 0 .求证：（1）是奇函数；（2）/（x）是周期函数，并求出其周期；（3）/（x）在（0,4 a）内为减函数.2.2 二次函数一、基础知识：1 .二次函数的解析式(1)(2)(3)(4)一般式：/（X）=ax2+A x +c （。0 0）顶点式：/（x）=a*-。）？+女，顶点为（力,女）两根式：/（x）=a（x 一玉

50、）（x -x2）三点式：/（X）仇）+广4一%）（y三）（三-芭）（三-x2）（x2-X|）（X 2-x3）（占一%）（占一x3）2 .:次函数的图像和性质（1）/（x）=q x 2+b x +c（a w0）的图像是一条抛物线，顶点坐标是（-2,丝 匚 生），对称轴方程为2 a 4 ax -一 开口与。有关。2 a（2）单调性：当。0时，/（x）在（-8,上为减函数，在 _ _ L,+8）上为增函数；4 Vo时相反。l a 2 a（3）奇偶性：当 =0时，/（乃为偶函数;若/（。+刈=/（。一%）对x e R恒成立，则x =a为/（%）的对称轴。第2 1页、4 4 c b2 b(4)最值：当x