新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总.pdf

《新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总.pdf（105页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第五章 三角函数5.1任意角和弧度制.-1-5.1.1任意角.-1-5.1.2弧度制.-7-5.2三角函数的概念.-13-5.2.1三角函数的概念.-13-5.2.2同角三角函数的基本关系.-21-5.3诱 导公式(1).-27-5.3诱 导公式(2).-33-5.4三角函数的图象与性质.-39-5.4.1正弦函数、余弦函数的图象.-39-5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(1).-45-5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(2).-51-5.4.3正切函数的性质与图象.-57-5.5三角恒等变换.-74-5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式.-74-5.5.2简单的三角恒等变换.-79-

2、5.6函数 yAsin(x).-85-5.7三角函数的应用.-99-5.15.1任意角和弧度制任意角和弧度制5.1.15.1.1任意角任意角知识点一角的概念O 上的点 P 以 A 为起点做逆时针方向的旋转 如何刻画点 P 的位置变化呢？知识梳理(1)角的概念角定义描述角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形其中 O 为顶点，OA 为始边，OB 为终边表示记法角 或，或简记为(2)角的分类按旋转方向可将角分为如下三类：新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第1页新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点

3、易错点解题方法提炼汇总-第1页类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转称它形成了一个零角(3)相等角与相反角把角的概念推广到了任意角(any angle)，包括正角、负角和零角设角 由射线 OA 绕端点 O 旋转而成，角 由射线 OA绕端点 O旋转而成如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称.设，是任意两个角我们规定，把角 的终边旋转角，这时终边所对应的角是.把射钱 OA 绕端点 O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角角 的相反角记为.知识点二象限角角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非半轴重合，如何借助象限来定义角？

4、知识梳理角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角分别为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限知识点三终边相同的角30与 390、330的终边有什么关系？知识梳理所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 S|k360，kZ Z，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和解题方法探究解题方法探究探究一任意角的概念例 1(1)下列说法正确的有_(填序号)新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第2页新教材人教

5、A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第2页零角的始边和终边重合始边和终边重合的角是零角如图，若射线 OA 为角的始边，OB 为角的终边，则AOB45；若射线OB 为角的始边，OA 为角的终边，则BOA45.绝对值最小的角是零角(2)经过 5 小时 25 分钟，时钟的分针和时针各转多少度？解析(1)根据角的概念知正确，不正确，因为 360角的始边和终边也重合(2)时针走一周用 12 小时，即 12 小时转360，那么时针每小时应转30，5而 5 小时 25 分钟为 512小时，而分针每小时转360，所以，时针转过的角度为55(512)30162.5；分针转过的

6、角度为5123601 950.答案(1)(2)见解析求解任意角问题的步骤(1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角(2)定大小：根据旋转角度的绝对量确定角的大小探究二象限角与终边相同的角例 2教材 P170例 1、例 2 拓展探究(1)与2 010终边相同的最小正角是_(2)下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角 的集合 S，并求出 S 中适合不等式360360的元素60；21.(3)写出终边在 x 轴上的角的集合解析(1)因为2 0106360150，新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点

7、解题方法提炼汇总-第3页新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第3页所以与2 010终边相同的最小正角是 150.(2)60是第一象限角，S|60k360，kZ Z，S 中适合360360的元素是：60(1)360300；60036060.21是第四 象限角，S|21k360，kZ Z，S 中适合360360的元素是：21036021；211360339.(3)终边在 x 轴的非负半轴的角的集合S1|k360，kZ Z终边在 x 轴的非正半轴的角的集合S2|k360180，kZ Z终边在 x 轴上的角的集合SS1S2|k360，kZ Z|k36018

8、0，kZ Z|2k180，kZ Z|2k180180，kZ Z|2k180，kZ Z|(2k1)180，kZ Z|n180，nZ Z答案(1)150(2)(3)见解析1.判断 是第几象限角的三个步骤第一步，将 写成 k360(kZ,Z,0360)的形式第二步，判断 的终边所在的象限第三步，根据 的终边所在的象限，即可确定 的终边所在的象限象限角第一象限角第二象限角象限角 的集合表示|k360k36090，kZ Z|k36090k360180，kZ Z第三象限角|k360180k360270，kZ Z|k360270k360360，kZ Z第四象限角2求解给定范围内终边相同的角的方法新教材人教A

9、版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第4页新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第4页先写出与角 终边相同的角，即：k360(kZ Z)，根据给定的范围建立关于 k 的不等式，解出 k 的范围，再根据 kZ Z 确定.3已知角的终边所在直线或射线求角的集合方法先写出 0360内的射线所在的角的集合，再将各个集合进行合并探究三区域角的写法例 3(1)如图，已知角 的终边在图中阴影部分所表示的区域内(包括边界)，用集合表示角 的取值范围为_(2)写出角的终边落在图中阴影区域内的角的集合(包括边界)解析(1)若角 的终边落

10、在 OA 上，则 60360k，kZ Z.若角 的终边落在 OB 上，则 30360k，kZ Z.所以角 的终边在图中阴影区域内时，60360k30360k，kZ Z.故角 的取值范围为|60360k30360k，kZ Z(2)在 0360范围内，4590或 225270，所以 S1|45k36090k360，kZ Z，|452k180902k180，kZ Z，S2|225k360270k360，kZ Z|45(2k1)18090(2k1)180，kZ Z，所以 S1S2|45n18090n180，nZ Z答案(1)|60360k30360k，kZ Z(2)见解析新教材人教A版高中数学必修第一

11、册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第5页新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第5页由角的终边的范围求角的集合的步骤(1)写出临界处终边所对应的角，一般在 0360内找一个(2)按照所给的范围写出角的范围(3)每个临界角都加上 360k，即得范围内的角的集合易错点归纳易错点归纳一、“分”角所在象限的判定方法“分封制”已知角 所在象限，要确定角n所在象限，有两种方法：(1)用不等式表示出角n的范围，然后对 n 的取值分情况讨论：被 n 整除，被 n除余 1，被 n 除余 2，被 n 除余 n1，从而得出结论(2)作出各个象限的从原点出

12、发的 n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成 4n 个区域从 x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这 4n 个区域依次循环标上 1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据角 终边所在的象限确定角n的终边所落在的区域如此，角n所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出典例若 是第一象限角，3是第几象限角？解析k360k36090，kZ Z，k1203k12030(kZ Z)法一(分类讨论)：当 k3n(nZ Z)时，n3603n36030(nZ Z)，是第一象限角；3当 k3n1(nZ Z)时，n3601203n360150(nZ Z)，3是第二象限角；当 k3n2(nZ Z)时，n3602403n

13、360270(nZ Z)，3是第三象限角新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第6页新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第6页综上可知：3是第一、二或第三象限角法二(几何法)：如图，先将各象限分成 3 等份，再从 x 轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上 1,2,3,4，则标有 1 的区域即为3终边所落在区域，故3为第一、二或第三象限角二、角的终边与角的终边旋转方向不明致错典例写出角的终边落在 OA、OB 之间的阴影的角的集合解析由 OA 逆时针旋转到 OB，角是由小变大OA 表示角的终边为 k3602

14、10.则 OB 的终边为 k360300阴影中的角的集合为|360210k360300，kZ Z纠错心得此题易错为将角的终边随意写一个角的形式不考虑角的旋转方向，如写为k360210，k36060写区域角时，务必要明确角的旋转方向，才能写对角的边界5.1.25.1.2弧度制弧度制知识点一角度制与弧度制设 n，OPr，点 P 所形成的圆弧 PP1的长为 l.由初中所学知识可知 lnrll确定，r的值变化吗？180，于是rn180.如果 n新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第7页新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法

15、提炼汇总-第7页知识梳理(1)度量角的单位制单位制角度制内容1周角的360为 1 度角，记作 1；用度作为单位来度量角的单位制叫角度制弧度制(2)弧度数一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0.如果半径为 r 的圆的圆心角 所对的弧长为 l，那么，角 的弧度数的绝对l值是|r.这里，的正负由角 的终边的旋转方向决定(3)弧度制与角度制的换算公式角度化弧度3602 rad180 rad1180rad0.017 45 rad(4)角的集合与实数集 R R 的关系弧度化角度2 rad360 rad1801801 rad()57.30规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心

16、角叫做 1 弧度的角，以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制；在弧度制下，1 弧度记作 1 rad角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，如图新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第8页新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第8页知识点二扇形的弧长、面积初中学的扇形的弧长公式、扇形面积公式，改为弧度制如何表示？知识梳理扇形的弧长及面积公式

17、n设扇形的半径为 R，弧长为 l，(02)为其圆心角，其中 180，则度量单位类别扇形的弧长扇形的面积解题方法探究解题方法探究探究一角度与弧度之间的互化例 1(1)将下列各角进行角度与弧度的互化(角度精确到 0.01)：1151117，26，39，4855；1611(2)把下列各角化为 2k(02，kZ Z)的形式：3，315，7；2(3)在 0720中找出与5终边相同的角1111解析(1)177180282.86；51151126618015 330；180399515.66；1948558551804.164(2)343；3153604524；113727.弧度制lR11S2lR2R2角度

18、制nRl180nR2S360新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第9页新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第9页22(3)5518072，2与5终边相同的角为 72k360(kZ Z)当 k0 时，72；当 k1 时，432.2在 0720中与5终边相同的角为 72，432.1进行角度与弧度的互化时，抓住关系式 rad180是关键，由它可以得到：180度数180弧度数，弧度数()度数2特殊角的弧度数与度数对应值要熟记：角度弧度角度弧度探究二用弧度制表示角例 2用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影

19、部分内(不包括边界)的角的集合002107630622554454240436032703290230053120233157413534330116150563602180解析对于题图(1)，225角的终边可以看作是135角的终边，化为弧度，3即4，60角的终边即3的终边，3所求集合2k42k3，kZ Z.新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第10页新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第10页对于题图(2)，同理可得，所求集合为2k 2k，kZ Z62.2k 2k，kZ Z62k6k2，kZ Z首先写

20、出终边所在的角的形式，再根据旋转方向写出所在区域的角的集合，注意单位要统一，注意虚实边探究三扇形的弧长、面积公式的应用例 3教材 P174例 6 拓展探究(1)已知扇形的周长为 4 cm，当它的半径为_，圆心角为_弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是_解析设扇形的圆心角为，半径为 r，则42r|r4，|r2.1S扇形2|r22rr2(r1)21.当 r1 时，(S扇形)max1，此时|2.答案1 cm21 cm25(2)求半径为 2，圆心角为3的圆弧的长度5解析半径 R2，圆心角 3，10弧长 l|R3.(3)已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形圆心角的弧度数解析设扇形的半

21、径为 r，弧长为 l，所对圆心角为(02，不符合，舍去；l21当 r4 时，l2，此时 r42(rad)1所求圆心角的弧度数为2rad.求扇形的弧长和面积的解题技巧11(1)记公式：弧长公式为：l|R.面积公式为 S2lR2|R2(其中 l 是扇形的弧长，是扇形圆心角的弧度数)(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解易错点归纳易错点归纳一、弧度的实际应用生活实际中的“旋转”量都可以用“弧度”来解释，甚至要比用“度”方便典例已知相互啮合的两个齿轮，大轮有 48 齿，小轮有

22、 20 齿(1)当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；(2)如果大轮的转速为 180 r/min(转/分)，小轮的半径为 10.5 cm，那么小轮周上一点每 1 s 转过的弧长是多少？解析设大齿轮的半径为 R，小齿轮的半径为 r.根据题意设大齿轮的周长 L48.小齿轮的周长 l20.2R48R48故2r20，即r20.(1)当大轮转动一周时，小轮转动的角度为，r2R，新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第12页新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第12页R4824r22025.(2)大轮的转速 v13 r

23、/s，48故小轮的转速 v2203，481 s 转过的弧长为203210.5151.2(cm)二、角度制与弧度制混用典例把角570化为 2k(02)的形式为()1A36C3k30B41505D46解析5702360150，5化为弧度为46.答案D纠错心得(1)3 不是 2k 的形式，实际上解答本类题时要时刻注意其形式为 2k 的形式，其中 的范围也有限制故 A，C 错(2)同一表达式中角度与弧度不能混用，实际上这是最易出错的位置，在做题时要时刻谨慎以防出错，故 B 错5.25.2三角函数的概念三角函数的概念5.2.15.2.1三角函数的概念三角函数的概念知识点一三角函数的定义如图所示，以单位圆

24、的圆心O 为原点，以射线OA 为 x 轴的非负半轴，建立直角坐标系，点 A 的坐标为(1,0)，点 P 的坐标为(x，y)射线 OA 从 x 轴的非负半轴开始，绕点 O 按逆时针方向旋转角，终止位置为 OP.新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第13页新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第13页2当 6时，点 P 的坐标是什么？当 2或3时，点P 的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？知识梳理(1)利用单位圆定义任意角的三角函数设 是一个任意角，R R，它的终边 OP 与单位圆相交于点 P(x，y)把点

25、P 的纵坐标 y 叫做 的正弦函数(sine function)，记作 sin，即 ysin_；把点 P 的横坐标 x 叫做 的余弦函数(cosine function)，记作 cos，即 xcos；yy把点 P 的纵坐标与横坐标的比值x叫做 的正切，记作 tan，即xtan(x0)称为正切函数(tangent function)我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数(trigonometricfunction)，通常将它们记为：正弦函数 ysin_x，xR R；余弦函数 ycos x，xR R；正切函数 ytan x，x2k(kZ Z)(2)利用角 终边上一点的坐标定义三角函数如图

26、所示，设 是一个任意角，它的终边上任意一点 P(不与原点 O 重合)的坐yxy标为(x，y)，点 P 与原点的距离为 r，则 sin r，cos r，tan x.其中 r x2y2.新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第14页新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第14页知识点二三角函数值在各象限的符号若一个角的终边任意一点为 P(x，y)，则该角的三角函数值在各象限的符号如何？知识梳理记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦知识点三诱 导公式13131313与 终边有什么关系？sin 与 sin.cos

27、 与 cos，tan 与 tan66666666 之间有什么关系？知识梳理终边相同的角的同一三角函数的值相等由此得到一组公式(公式一)：sin(k2)sin_，cos(k2)cos_，tan(k2)tan_，其中 kZ Z.解题方法探究解题方法探究探究一利用三角函数定义求三角函数值例 1教材 P178例 1 拓展探究(1)已知角 的终边经过点 P(4a，3a)(a0)，则 2sin cos _.解析由题意知 x4a，y3a，故 r 4a23a25|a|.y3a3x4a4当 a0 时，r5a，sin r5a5，cos r5a5，则 2sin cos25.当 a0 时，r5a，新教材人教A版高中数

28、学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第15页新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第15页2sin cos 23a4a2.5a5a525，a0，综上，2sin cos 25，a0.2答案54(2)求3 的正弦、余弦和正切值4解析在直角坐标系中作AOB3，如图AOB 的终边 OB 与单位圆的交点 B.13坐标为，2 243414sin32，cos32，tan3 3.2(3)已知点M是圆x2y21上一点，以射线OM为终边的角的正弦值为2，求 cos 和 tan 的值解析设点 M 的坐标为(x1，y1)由题意可知，sin 22，即

29、 y1.22点 M 在圆 x2y21 上，2222 1，x1y21，即 x 112 22解得 x12或 x12.新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第16页新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第16页22cos 2，tan 1，或 cos 2，tan 1.(4)已知角 的终边在直线 y2x 上，求 sin，cos，tan 的值解析法一：(单位圆)设直线 y2x 与单位圆 x2y21 的交点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)x2y21，由得y2x，5x 15，2 5y15，5x 25，2 5y 2

30、5.5当角 的终边在第一象限时，cos x15，2 5y1sin y15，tan x2.1当角 的终边在第三象限时，52 5cos x25，sin y25，y2tan x2.2法二：(定义法)在直线 y2x 上任取一点 P(t,2t)(t0)，则r t22t2 5|t|.若 t0 时，则 r 5t，从而 sin t5ycos，tan x2.5t5若 t0，则 r 5t，从而 sin 2t2t555，cos 5，5t 5t2t25，5t5ytan x2.1.已知角 的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-

31、第17页新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第17页解法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点 P 的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值解法二：第一步，取点，在角 的终边上任取一点 P(x，y)，(P 与原点不重合)，第二步，计算 r：r|OP|x2y2，yxy第三步，求值：由 sin r，cos r，tan x(x0)求值2当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.探究二三角函数值的符号问题例 2判断下列各式的符号(1)sin 2 005cos 2 006tan 2 007；(2)tan 191

32、cos 191；(3)sin 2cos 3tan 4.解析(1)2 0051 8002055360205，2 0065360206，2 0075360207，它们都是第三象限角，sin 2 0050，cos 2 0060，sin 2 005cos 2 006tan 2 0070.(2)191角是第三象限角，tan 1910，cos 1910.3(3)22，23，40，cos 30.sin 2cos 3tan 40.判断三角函数值正负的两个步骤(1)定象限：确定角 所在的象限新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第18页新教材人教A版高中数学必修第一册

33、第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第18页(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断探究三利用公式一求值例 3求下列各式的值：2515(1)cos3tan(4)；(2)sin 810tan 765cos 360.解析(1)原式cos(8)tan(4)34cos3tan413212.(2)原式sin(902360)tan(452360)cos 360sin 90tan 4511111.利用诱 导公式求解任意角的三角函数的步骤易错点归纳易错点归纳一、单位圆的妙用比较函数值的大小y在单位圆中，由三角函数的定义可知sin y，cos x，tan

34、x.如果 在第一象限，作 PMx 轴于 M 点则|PM|y，|OM|x.过 A 点作 QO 的切线，交 OPATOAATMPy的延长线于 T 点由于MPOM，即OAOMxtan，OA1，tan AT.即此新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第19页新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第19页时，可用线段 MP、OM、AT 的长度来表示 sin、cos、tan 的值典例如果42，那么下列不等式成立的是()Acos sin tan Btan sin cos Csin cos tan Dcos tan sin

35、 解析在坐标系中作AOC4，OC 与单位圆的交点为 C.作AOP，OP 与单位圆的交点为 P.如图作 PMx 轴于 M 点，由 OP 和 OC 相比较可知MPOM.过 A 点作切线 AT，则 ATMP.又 sin MP，cos OM，tan AT.tan sin cos.故选 A.答案A二、利用三角函数的定义运算出错新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第20页新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第20页典例已知角 的终边上一点 P(4t，3t)(t0)，求 的各三角函数值解析因为点 P 的坐标是(4t，

36、3t)且 t0，所以 r|PO|4t23t25|t|.当 t0 时，是第四象限角，r|PO|5t，y3t3x4t4y3t3sin r5t5，cos r5t5，tan x4t4；当 t0 时，是第二象限角，r|PO|5t，y3t3x4t4y3t3sin r5，cos r5，tan x4t4.5t5t纠错心得对涉及的参数未讨论符号，去根号时没有加绝对值而致错因为t0，所以分 t0 和 t0 两种情况讨论5.2.25.2.2同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系知识点同角三角函数基本关系式如图，设点 P(x，y)是角 的终边与单位圆的交点过 P 作 x 轴的垂线，交 x轴于 M，则OMP 是直

37、角三角形，而且 OP1.由勾股定理有 OM2MP21.由此想到 sin、cos、tan 之间有什么关系？知识梳理(1)平方关系：sin2cos21；sin(2)商数关系：cos tan_(2k，kZ Z)(3)文字叙述：同一个角 的正弦、余弦的平方和等于 1，商等于角 的正切解题方法探究解题方法探究探究一利用基本关系式求值例 1教材 P183例 6 拓展探究新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第21页新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第21页(1)已知 tan 2，求 sin，cos 的值解析法一：t

38、an 20，为第二或第四象限角，且 sin 2 cos，又 sin2cos21，由消去 sin，得(2cos)2cos21，1即 cos25；52 5当 为第二象限角时，cos 5，代入得 sin 5；52 5当 为第四象限角时，cos 5，代入得 sin 5.法二：tan 20，为第二或第四象限角sin 由 tan cos，sin2两边分别平方，得 tan cos2，2又 sin2cos21，222sin cos sin 1tan2121，cos cos2cos2即 cos21.1tan2当 为第二象限角时，cos 0，cos 11tan215，122552 5sin tan cos(2)5

39、5.新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第22页新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第22页8(2)已知 cos 17，求 sin，tan 的值8解析cos 170，tan 0，sin 1cos 28215117 17，1517sin 15tan cos 88.17当 是第三象限角时，sin 0，sin 1cos sin 15tan cos 8.2sin 3cos(3)已知 tan 3，求：；4sin 9cos sin23sin cos 1.2tan 3233解析原式1.4tan 9439sin23si

40、n cos tan23tan 原式11sin2cos21tan232331011.132由某角的一个三角函数值求它的其余各三角函数值的依据及种类(1)依据：cos 1sin2或 sin 1cos2，要根据角 所在的象限，sin 恰当选定根号前面的正负号，而在使用 tan cos 时，不存在符号的选取问题(2)分类：如果已知三角函数的值，且角的象限已被指定时，则只有一组解；如果已知三角函数的值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值21582117 17，新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第23页新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数

41、 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第23页确定角可能在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解；(3)sin cos 与 sin cos 相互转化方法：(sin cos)212sin cos.探究二三角函数式的化简例 2化简下列各式(1)1cos 1cos 1cos，2，；1cos sin x(2)1cos xtan xsin x.tan xsin x1cos 2sin21cos 2sin2解析(1)原式1cos 1cos 2|sin|sin|sin|.22，原式sin.sin x1cos xsin xcos xsin xsin xcos xsin x(2)原式sin x1cos xsin

42、x1cos xsin x1cos xsin x1cos xsin x|sin x|1cos x|sin x|2k，2k2k，2kkZ Z，1，x22332k，2k2k，2k2kZ Z.1，x2 21三角函数式化简的本质及关注点(1)本质：三角函数式化简的本质是一种不指定答案的恒等变换，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则(2)关注点：不仅要熟悉和灵活运用同角三角函数的基本关系式，还要熟悉并灵活应用这些公式的等价变形，如 sin21cos2，cos21sin2，1sin2cos2，新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第24页新教材人教A版高中数学必修

43、第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第24页sin sin tan cos，cos tan.2对三角函数式化简的原则(1)使三角函数式的次数尽量低(2)使式中的项数尽量少(3)使三角函数的种类尽量少(4)使式中的分母尽量不含有三角函数(5)使式中尽量不含有根号和绝对值符号(6)能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示探究三三角恒等式的证明例 3求证：2(1sin)(1cos)(1sin cos)2.证明法一：左边2(1sin cos sin cos)1(sin2cos2)2sin 2cos 2sin cos(12sin sin2)2cos(1sin)cos2(1si

44、n)22cos(1sin)cos2(1sin cos)2右边原式成立sin 1x，法二：令 1sin x，cos y，则cos y.由 sin2cos21，消去 得(x1)2y21，即 x2y22x，左边2x(1y)2x2xyx2y22xy(xy)2右边原式成立证明三角恒等式的常用方法证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第25页新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第25页(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简

45、的原则(2)证明左右两边等于同一个式子(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于 1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立易错点归纳易错点归纳一、同角关系式与方程思想的“联袂”在同角三角函数关系中，sin2cos21 可变换成(sin cos)22sin cos 1，其中 sin cos 与 sin cos 很容易与一元二次方程中根与系数的关系产生联系若以 sin，cos 为两根构造一元二次方程，则可利用上述关系解决相关问题典例已知方程 8x26kx2k10 的两个实根是 sin 和 cos.(1)求 k 的值；1(2)求 tan tan 的值解析(1)已知方程有两个实

46、根 sin，cos，应满足如下条件：sin cos 34k，2k1sin cos 8.sin2cos21，36k2322k10，由平方关系可建立关于 k 的等式即(sin cos)22sin cos 1，9k22k1将代入，得1，164即 9k28k200，10解得 k9或 k2.将 k 值代入 0 验证k2 不满足式，故舍去，新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第26页新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第26页10k9.(2)切化弦，再通分1sin cos 1tan tan cos sin sin

47、cos，把(1)求得的 k 值代入2k111由(1)知 sin cos 872，1172tan tan sin cos 11.二、忽略角的取值范围，造成增解或丢解1典例已知 sin cos 5，且 0，求 sin cos.1解析sin cos 5，1(sin cos)225，12解得 sin cos 25.49(sin cos)212sin cos 25.0，且 sin cos 0，sin 0，cos 0，sin cos 0，7sin cos 5.7纠错心得此题易错为忽略“0”的条件，错解为 sin cos 5.当题目中已知角的范围时，或涉及到开方时，都要结合角度范围确定三角函数值的符号5.3

48、5.3诱诱 导公式导公式(1)(1)知识点一诱 导公式(二)新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第27页新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第27页如图，作 P1关于原点的对称点 P2，以 OP2为终边的角 与角 有什么关系？角，的三角函数值之间有什么关系？知识梳理公式二sin()sin_，cos()cos_，tan()tan_.知识点二诱 导公式(三)如图，作 P1关于 x 轴的对称点 P3，那么 P1与 P3点的坐标有什么关系？知识梳理公式三sin()sin_，cos()cos_，tan()tan_

49、.知识点三诱 导公式(四)如图，作 P1关于 y 轴的对称点 P4，那么 OP1与 OP4所表示的角有什么关系？函数值有什么关系？新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第28页新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第28页知识梳理公式四sin()sin_，cos()cos_，tan()tan_.公式一四都叫做诱 导公式，它们分别反映了 2k(kZ Z)，的三角函数值与 的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：2k(kZ Z)，的三角函数值等于 的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号简记

50、为“函数名不变，符号看象限”解题方法探究解题方法探究探究一给角求值例 1求下列各三角函数的值：16(1)sin(945)；(2)cos(3)；41921(3)sin3cos(6)tan4.解析(1)法一：sin(945)sin 945sin(2252360)sin 225sin(18045)2sin 452.法二：sin(945)sin(1353360)sin 1352sin(18045)sin 452.16164(2)法一：cos(3)cos3cos(34)新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 知识点考点易错点解题方法提炼汇总-第29页新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数