吉林大学2009级计算机学院《离散数学II》试题(A).pdf

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1、一、简答题（一、简答题（共20小题，每小题2 分，共40分，不必证明，直接给出答案即可）1.1.设设 S=a,b,c,dS=a,b,c,d，定义，定义(S)(S)上的二元运算“”上的二元运算“”，使对于任意，使对于任意 A A、B B(S)(S)，A AB=x|xB=x|x A A 且且 x x BB，问：该运算满足消去律吗？，问：该运算满足消去律吗？(S)(S)上存在幂等元吗？上存在幂等元吗？2.2.所有的所有的 4 4 元群都同构吗？所有的元群都同构吗？所有的 7 7 元群都同构吗？元群都同构吗？3.3.整区中是否存在零因子？整区中所有非零元素的乘法周期都相等吗？整区中是否存在零因子？整区

2、中所有非零元素的乘法周期都相等吗？4.4.设循环群设循环群 G=(a)G=(a)，|G|=24|G|=24，则，则 G G 中是否存在周期为中是否存在周期为 5 5 的元素？是否存在的元素？是否存在 8 8 元子元子群？群？5.5.设设 a a GF(27)GF(27)且且 a a0 0，求，求 6a6a 和和 a a2626。6.6.在在 R R1313求求24-4。7.7.设（设（G G，）是群，请给出满足方程）是群，请给出满足方程 a ab bx xc=1c=1 的解的解 x x，其中：，其中：1 1 是是 G G 的单位的单位元，元，a a、b b、c c G G。8.8.设设 G=e

3、,a,b,c,d,f,g,G=e,a,b,c,d,f,g,（G G，）是群，）是群，e e 是是 G G 的单位元，计算的单位元，计算 a ab bc cd df fg g 等等于多少？于多少？9.9.设循环群设循环群 G=(a)G=(a)，H H 是是 G G 子群，则子群，则 H H 是正规子群吗？是正规子群吗？10.10.写出模写出模 1212 剩余环的一个极大理想。剩余环的一个极大理想。11.11.域域 F F 上的非上的非 0 0 多项式多项式 f(x)f(x)有有 k k（k k 为非负整数）重根，则为非负整数）重根，则 f(x)f(x)一定可约吗？一定可约吗？12.12.给出多项

4、式给出多项式 x x5 5+5x+5x4 4+2x+2x3 3+3x+1+3x+1 的一个有理根。的一个有理根。13.13.在在 R R2 2上给出两个多项式上给出两个多项式 f(x)f(x)和和 g(x)g(x)，满足，满足 f(x)f(x)g(x)g(x)但但 f(x)f(x)g(x)g(x)。14.14.在在 R R0 0上，多项式上，多项式 6x6x5 5+14x+14x4 4+7x+7x3 3+21x+21x2 2-35x+7-35x+7 是否是质式？是否是质式？15.15.求分圆多项式之积：求分圆多项式之积：1 1(x)(x)2 2(x)(x)3 3(x)(x)6 6(x)(x)。

5、16.16.q q 元有限域中的非零元素一定都是多项式元有限域中的非零元素一定都是多项式 x xq-1q-1-1-1 的根吗？的根吗？17.17.设设(L(L，)是一个半序格，与其等价的代数格为是一个半序格，与其等价的代数格为(L,(L,)，设，设S S L L。若（。若（S S，），）是（是（L L，）的半序子格，则，）的半序子格，则(S,(S,)一定是一定是(L,(L,)的代数子格吗？的代数子格吗？18.18.设（设（L L，）是一个半序格，其对应的代数格为（）是一个半序格，其对应的代数格为（L L，），则一定有，则一定有 aab=ab=a第 1 页 共 3 页吗？吗？19.19.有余格一

6、定是有界格吗？有余格一定是有界格吗？20.20.设设 S=a,b,c,dS=a,b,c,d，请给出集合代数（，请给出集合代数（S S），S S）的基底。）的基底。二、计算题（二、计算题（共3 小题，共30分）1 1、（1010 分）分）S S3 3是是 3 3 次对称群，则次对称群，则（1 1）写出）写出 S S3 3所有的偶置换；所有的偶置换；（2 2）写出由对换）写出由对换(2 3)(2 3)生成的子群生成的子群 H H；（3 3）写出）写出 H H 的所有左陪集和右陪集。的所有左陪集和右陪集。2 2、（1010 分）在分）在 R R7 7上，用长除法求上，用长除法求 3x3x2 2+2+

7、2 除除 3x3x4 4+5x+5x3 3+6x+6x2 2-5x+2-5x+2 的商式和余式的商式和余式。（要求（要求有运算过程）有运算过程）3 3、（1010 分）在构造分）在构造 9 9 元有限域元有限域 GF(9)GF(9)的过程中，请回答如下问题：的过程中，请回答如下问题：（1 1）写出）写出 GF(9)GF(9)的所有子域；的所有子域；（2 2）求）求 8 8(x)(x)，并将其写成，并将其写成 R R3 3xx中的质因式乘积；中的质因式乘积；（3 3）写出）写出 GF(9)GF(9)的所有元素。的所有元素。(不写运算表不写运算表)三、证明题（三、证明题（共3 小题，共30分）1

8、1、（8 8 分）设循环群分）设循环群 G=(a)G=(a)，|G|=6|G|=6，（Z Z，+）为整数加法群，令）为整数加法群，令 是是 Z Z 到到 G G 内映射内映射（n n）=a=an n，n n Z Z。（1 1）证明：）证明：是同态映射，且是满射。是同态映射，且是满射。（2 2）设）设 N N 是是 的同态核，求商群的同态核，求商群 Z/NZ/N。2 2、（1010 分）分）设设 A A 是整数集合是整数集合 Z Z 到到 Z Z 上的所有映射的集合，上的所有映射的集合，即即 A=A=|y=|y=(x),x(x),x、y y ZZ，定义定义 A A 上两种二元运算如下：对于任意的

9、上两种二元运算如下：对于任意的、A A，()(x)=)(x)=(x)+(x)+(x)(x)()(x)=)(x)=(x)(x)其中，其中，“+”为整数加法。”为整数加法。证明：证明：（1 1）（A A，）是阿贝尔群；，）是阿贝尔群；（2 2）证明或反驳（）证明或反驳（A A，）是环。，）是环。第 2 页 共 3 页3 3、（1212 分）设分）设G G 是群，是群，G G 存在非平凡子群，设存在非平凡子群，设 H H 是是 G G 中所有非平凡子群的交集且中所有非平凡子群的交集且H H11，1 1 是群是群 G G 的单位元，证明：的单位元，证明：（1 1）H H 是是 G G 的子群；的子群；（2 2）H H 中每个元素的周期都有限；中每个元素的周期都有限；（3 3）H H 是一个循环群，且是一个循环群，且|H|H|为质数。为质数。第 3 页 共 3 页