【精选】八年级上册全等三角形易错题(Word版 含答案).pdf

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1、一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1如图，已知ABC 中，ABAC20cm，BC16cm，点 D 为 AB 的中点（1）如果点 P 在线段 BC 上以 6cm/s 的速度由 B 点向 C 点运动，同时点 Q 在线段 CA 上由C 向 A 点运动若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过1 秒后，BPD 与CQP 是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD 与CQP 全等？（2）若点 Q 以中的运动速度从点C 出发，点 P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿AB

2、C 三边运动，求经过多长时间点P 与点 Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？【答案】（1）BPDCQP，理由见解析；VQ7.5（厘米/秒）；（2）点 P、Q在 AB 边上相遇，即经过了【解析】【分析】（1）先求出 t=1时 BP=BQ=6，再求出 PC=10=BD，再根据BC证得BPDCQP；根据 VP VQ，使BPD与CQP全等，所以 CQBD10，再利用点 P 的时间即可得到点 Q 的运动速度；（2）根据 VQVP，只能是点 Q追上点 P，即点 Q比点 P多走 AB+AC的路程，设运动 x秒，即可列出方程【详解】（1）因为 t1（秒），所以 BPCQ6（厘米）AB20，D 为 AB 中点，

3、BD10（厘米）又PCBCBP16610（厘米）PCBDABAC，BC，在BPD 与CQP 中，80秒，点 P 与点 Q 第一次在 AB 边上相遇315x6x220，解方程即可得到结果.2BP CQB C,PC BDBPDCQP（SAS），因为 VPVQ，所以 BPCQ，又因为BC，要使BPD 与CQP 全等，只能 BPCP8，即BPDCPQ，故 CQBD10所以点 P、Q 的运动时间tBP6864（秒），3此时VQCQt10437.5（厘米/秒）（2）因为 VQVP，只能是点 Q 追上点 P，即点 Q 比点 P 多走 AB+AC 的路程设经过 x 秒后 P 与 Q 第一次相遇，依题意得解得

4、x=15x6x220，280(秒)3此时 P 运动了806160（厘米）380秒，点 P 与点 Q 第一次在 AB 边上相遇3又因为ABC 的周长为 56 厘米，160562+48，所以点 P、Q 在 AB 边上相遇，即经过了【点睛】此题考查三角形全等的证明，三角形与动点相结合的解题方法，再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.2如图 1 所示，已知点D在AC上，ADE和ABC都是等腰直角三角形，点M为EC的中点.（1）求证：BMD为等腰直角三角形；（2）将ADE绕点A逆时针旋转45，如图 2 所示，（1）中的“BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由；（3）将ADE绕点A逆

5、时针旋转一定的角度，如图3 所示，（1）中的“BMD为等腰直角三角形”成立吗？请说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）是，证明详见解析；（3）成立，证明详见解析.【解析】【分析】1根据等腰直角三角形的性质得出ACB BAC 45，ADE EBC EDC 90，推出BM DM，BM CM，DM CM，推出BCM MBC，ACM MDC，求出BMD 2BCM 2ACM 2BCA 90即可2延长 ED 交 AC 于 F，求出DM 1FC，DM/FC，DEM NCM，根据 ASA2推出EDMCNM，推出DM BM即可3过点 C 作CF/ED，与 DM 的延长线交于点 F，连接 BF，推出MDEMFC

6、，求出DM FM，DE FC，作AN EC于点 N，证BCFBAD，推出BF BD，DBACBF，求出DBF 90，即可得出答案【详解】1证明：ABC和ADE都是等腰直角三角形，ACB BAC 45，ADE EBC EDC 90点 M 为 EC 的中点，BM 11EC，DM EC，22BM DM，BM CM，DM CM，BCM MBC，DCM MDC，BME BCM MBC 2BCE，同理DME 2ACM，BMD 2BCM 2ACM 2BCA 245 90 BMD是等腰直角三角形2解：如图 2，BDM是等腰直角三角形，理由是：延长 ED 交 AC 于 F，ADE和ABC是等腰直角三角形，BAC

7、 EAD 45，AD ED，ED DF，M为 EC 中点，EM MC，DM 1FC，DM/FC，2BDN BND BAC 45，ED AB，BC AB，ED/BC，DEM NCM，在EDM和CNM中DEM NCMEM CMEMD CMN EDMCNMASA，DM MN，BM DN，BMD是等腰直角三角形3BDM是等腰直角三角形，理由是：过点 C 作CF/ED，与 DM 的延长线交于点 F，连接 BF，可证得MDEMFC，DM FM，DE FC，AD ED FC，作AN EC于点 N，由已知ADE 90，ABC 90，可证得DEN DAN，NABBCM，CF/ED，DEN FCM，BCF BCM

8、 FCM NABDEN NABDAN BAD，BCFBAD，BF BD，DBACBF，DBF DBAABF CBF ABF ABC 90，DBF是等腰直角三角形，点 M 是 DF 的中点，则BMD是等腰直角三角形，【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，在本题中需要作辅助线来证明，难度较大3已知 OP 平分AOB，DCE 的顶点 C 在射线 OP 上，射线 CD 交射线 OA 于点 F，射线CE 交射线 OB 于点 G（1）如图 1，若 CDOA，CEOB，请直接写出线段 CF 与 CG 的数量关系；（2）如图 2，若AOB=120，DC

9、E=AOC，试判断线段 CF 与 CG 的数量关系，并说明理由【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【解析】【分析】(1)结论 CF=CG，由角平分线性质定理即可判断(2)结论：CF=CG，作 CMOA 于 M，CNOB 于 N，证明CMFCNG，利用全等三角形的性质即可解决问题【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：OP 平分AOB，CFOA，CGOB，CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG.理由如下：如图，过点 C 作 CMOA，CNOB，OP 平分AOB，CMOA，CNOB，AOB=120，CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），AOC=B

10、OC=60（角平分线的性质），DCE=AOC，AOC=BOC=DCE=60，MCO=90-60=30，NCO=90-60=30，MCN=30+30=60，MCN=DCE，MCF=MCN-DCN，NCG=DCE-DCN，MCF=NCG，在MCF 和NCG 中，CMF CNGCM CNMCF NCGMCFNCG（ASA），CF=CG（全等三角形对应边相等）；【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等4（1）如图（1），已知：在 ABC 中，BAC90，AB=AC，直线 m 经过点 A，BD直线 m,CE直线 m,垂

11、足分别为点 D、E.证明:DE=BD+CE.（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在 ABC 中，AB=AC，D、A、E 三点都在直线 m上,并且有 BDA=AEC=BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论 DE=BD+CE 是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.（3）拓展与应用：如图（3），D、E 是 D、A、E 三点所在直线 m 上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点 F 为 BAC 平分线上的一点,且 ABF 和 ACF 均为等边三角形，连接BD、CE,若 BDA=AEC=BAC，试判断 DEF 的形状.【答案】（1）见解析（2）成立（3）DEF 为等边三角形【解析】

12、解：（1）证明：BD直线 m，CE直线 m，BDA CEA=900 BAC900，BAD+CAE=900 BAD+ABD=900，CAE=ABD又 AB=AC，ADB CEA（AAS）AE=BD，AD=CE DE=AE+AD=BD+CE（2）成立证明如下：BDA=BAC=，DBA+BAD=BAD+CAE=1800 DBA=CAE BDA=AEC=，AB=AC，ADB CEA（AAS）AE=BD，AD=CE DE=AE+AD=BD+CE（3）DEF 为等边三角形理由如下：由（2）知，ADB CEA，BD=AE，DBA=CAE，ABF 和 ACF 均为等边三角形，ABF=CAF=600 DBA+A

13、BF=CAE+CAF DBF=FAE BF=AF，DBF EAF（AAS）DF=EF，BFD=AFE DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=600 DEF 为等边三角形（1）因为 DE=DA+AE，故由 AAS 证 ADB CEA，得出 DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE（2）成立，仍然通过证明 ADB CEA，得出 BD=AE，AD=CE，所以 DE=DA+AE=EC+BD（3）由 ADB CEA 得 BD=AE，DBA=CAE，由 ABF 和 ACF 均等边三角形，得 ABF=CAF=600，FB=FA，所以 DBA+ABF=CAE+CAF，即 DBF=FAE，所以 DBF

14、 EAF，所以 FD=FE，BFD=AFE，再根据 DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=600得到 DEF 是等边三角形5在ABC中，AB AC，点D在BC边上，且ADB 60,E是射线DA上一动点(不与点D重合，且DA DB)，在射线DB上截取DF DE，连接EF1当点E在线段AD上时，若点E与点A重合时，请说明线段BF DC；如图 2，若点E不与点A重合，请说明BF DC AE；2当点E在线段DA的延长线上DE DB时，用等式表示线段AE,BF,CD之间的数量关系(直接写出结果，不需要证明)【答案】（1）证明见解析；证明见解析；（2）BFAE-CD【解析】【分析】（1）根据等边对等角，

15、求到B C，再由含有 60角的等腰三角形是等边三角形得到ADF是等边三角形，之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到AFBADC 120，推出ABFACD，根据全等三角形的性质即可得出结论；过点 A 做 AGEF 交 BC 于点 G，由DEF 为等边三角形得到 DADG，再推出 AEGF，根据线段的和差即可整理出结论；（2）根据题意画出图形，作出AG，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，再由线段的和差和等量代换即可得到结论【详解】（1）证明：AB ACB CDF DE,ADB 60，且 E 与 A 重合，ADF是等边三角形ADF AFD60AFBADC 120在ABF和ACD中AFB A

16、DCB CAB ACABFACDBF DC如图 2，过点 A 做 AGEF 交 BC 于点 G，ADB60DEDFDEF 为等边三角形AGEFDAGDEF60，AGDEFD60DAGAGDDADGDADEDGDF，即 AEGF由易证AGBADCBGCDBFBGGFCDAE（2）如图 3，和（1）中相同，过点A 做 AGEF 交 BC 于点 G，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，BF CD BF BG GF AE故BF AECD【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键6综合实践如图，ACB 90,AC BC,AD

17、CE,BE CE，垂足分别为点D、E，AD 2.5cm,DE 1.7cm（1）求BE的长；（2）将CE所在直线旋转到ABC的外部，如图，猜想AD、DE、BE之间的数量关系，直接写出结论，不需证明；（3）如图，将图中的条件改为：在ABC中，AC BC,D、C、E三点在同一直线上，并且BEC ADC BCA，其中为任意钝角猜想AD、DE、BE之间的数量关系，并证明你的结论【答案】(1)0.8cm;(2)DE=AD+BE;(3)DE=AD+BE，证明见解析【解析】【分析】(1)本小题只要先证明ACD CBE，得到ADCE，CD BE，再根据AD 2.5cm,DE 1.7cm，CD CE DE，易求出

18、 BE的值；(2)先证明ACD CBE，得到ADCE，CD BE，由图ED=EC+CD，等量代换易得到AD、DE、BE之间的关系；（）本题先证明EBCDCA，然后运用“AAS”定理判定BEC CDA，从而得到BE CD,EC AD，再结合图中线段ED的特点易找到AD、DE、BE之间的数量关系【详解】解：(1)AD CD,BE CEADC E 90ACD DAC 90ACB 90ACD BCE 90ACDBCEADC E 90在ACD与CBE中，ACD BCEAC BCACD CBEAD CE,CD BE又AD 2.5cm,DE 1.7cm，CDCEDE ADDE 2.51.70.8(cm)BE

19、 0.8cm(2)AD CD,BE CEADC E 90ACD DAC 90ACB 90ACD BCE 90ACDBCEADC E 90在ACD与CBE中，ACD BCEAC BCACD CBEAD CE,CD BE又ED EC CDED ADBE(3)BEC ADC BCA BCEACD180aBCEBCE 180aACDBCEADC E a在ACD与CBE中，ACD BCEAC BCACD CBEAD CE,CD BE又ED EC CDED ADBE【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定，确定一种判定定理，根据已知条件找到判定全等所需要的边相等或角相等的条件是解决这类题的关键7如图（1

20、），AB=4cm，ACAB，BDAB，AC=BD=3cm，点 P 在线段 AB 上以 1cm/s 的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动，他们的运动时间为t(s).（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当 t=1 时，ACP 与BPQ 是否全等，请说明理由（2）判断此时线段 PC 和线段 PQ 的关系，并说明理由。（3）如图（2），将图（1）中的“ACAB，BDAB”改为“CAB=DBA=60”，其他条件不变，设点 Q 的运动速度为 x cm/s，是否存在实数 x，使得ACP 与BPQ 全等？若存在，求出相应的 x、t 的值；若不存

21、在，请说明理由。【答案】（1）ACPBPQ，理由见解析；（2）PC=PQ 且 PCPQ，理由见解析；t 2t 1（3）存在；或3x 1x 2【解析】【分析】（1）利用 SAS 证得ACPBPQ；（2）由（1）得出 PC=PQ，ACP=BPQ，进一步得出APC+BPQ=APC+ACP=90得出结论即可；（3）分两种情况：AC=BP，AP=BQ，AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可【详解】解：（1）如图（1），ACPBPQ，理由如下：当 t=1 时，AP=BQ=1，BP=AC=3，又A=B=90，在ACP 和BPQ 中，AP BQA B，AC BPACPBPQ（SAS）（2）PC=PQ

22、且 PCPQ，理由如下：由（1）可知ACPBPQPC=PQ，ACP=BPQ，APC+BPQ=APC+ACP=90CPQ=90，PCPQ（3）如图（2），分两种情况讨论：当 AC=BP，AP=BQ 时，ACPBPQ，则3 4t，t xtt 1解得，x 1当 AC=BQ，AP=BP 时，ACPBQP，则，3 xtt 4tt 2解得3x 2t 2t 1综上所述，存在或3使得ACP 与BPQ 全等x 1x 2【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，能熟练进行全等的分析判断以及运用分类讨论思想是解题关键8如图，在边长为 4 的等边 ABC 中，点 D 从点 A 开始在射线 AB 上运动，

23、速度为 1 个单位/秒，点 F 同时从 C 出发，以相同的速度沿射线 BC 方向运动，过点 D 作 DEAC，连结DF 交射线 AC 于点 G(1)当 DFAB 时，求 t 的值；(2)当点 D 在线段 AB 上运动时，是否始终有 DG=GF?若成立，请说明理由。(3)聪明的斯扬同学通过测量发现，当点 D 在线段 AB 上时，EG 的长始终等于 AC 的一半，他想当点 D 运动到图 2 的情况时，EG 的长是否发生变化?若改变，说明理由；若不变，求出 EG 的长。【答案】（1）【解析】【分析】（1）设 AD=x，则 BD=4-x，BF=4+x当 DFAB 时，通过解直角BDF求得 x 的值，易

24、得 t的值；（2）如图 1，过点 D 作 DHBC 交 AC 于点 H，构建全等三角形：DHGFCG，结合全等三角形的对应边相等的性质和图中相关线段间的和差关系求得DG=GF；（3）过 F 作 FHAC，可证ADECFH，得DE=FH，AC=EH，再证GDEGFH，可得EG=GH，即可解题【详解】解：（1）设 AD=x，则 BD=4-x，BF=4+x当 DFAB时，B=60，DFB=30，BF=2BD，即 4+x=2（4-x），4；（2）见详解；（3）不变.3解得 x=故 t=4，34；3（2）如图 1，过点 D 作 DHBC交 AC于点 H，则DHG=FCGABC是等边三角形，ADH是等边三

25、角形，AD=DH又 AD=CF，DH=FC在DHG与FCG中，DGHFGCDHGFCG，DHFCDHGFCG（AAS），DG=GF；（3）如图 2，过 F作 FHAC，在ADE和CFH中，AEDFHC90AFCH，ADCFADECFH（AAS），DE=FH，AE=CH，AC=EH，在GDE和GFH中，DEGFHGDGEFGHGDEGFH（AAS），DEFHEG=GH，11EH=AC22【点睛】EG=本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证GDEGFH是解题的关键9如图，ABC是等边三角形，点D在边AC上（“点 D 不与A,C重合），点E是射

26、线BC上的一个动点（点E不与点B,C重合），连接DE，以DE为边作作等边三角形DEF，连接CF.（1）如图 1，当DE的延长线与AB的延长线相交，且C,F在直线DE的同侧时，过点D作DG/AB，DG交BC于点G，求证：CF EG；（2）如图 2，当DE反向延长线与AB的反向延长线相交，且C,F在直线DE的同侧时，求证：CD CECF；（3）如图 3，当DE反向延长线与线段AB相交，且C,F在直线DE的异侧时，猜想CD、CE、CF之间的等量关系，并说明理由.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）CF=CD+CE，理由见详解.【解析】【分析】(1)由ABC是等边三角形，DG/AB，得C

27、DG=A=60，ACB=60，CDG是等边三角形，易证 GDE CDF(SAS)，即可得到结论；(2)过点 D作 DGAB交 BC于点 G，易证 GDE CDF(SAS)，即可得到结论；(3)过点 D作 DGAB交 BC于点 G，易证 GDE CDF(SAS)，即可得到结论.【详解】（1）ABC是等边三角形，DG/AB，CDG=A=60，ACB=60，CDG是等边三角形，DG=DC.DEF是等边三角形，DE=DF，EDF=60，CDG-GDF=EDF-GDF，即：GDE=CDF，在 GDE和 CDF中，DE DFGDE CDF，DG DC GDE CDF(SAS)，CF EG；（2）过点 D作

28、 DGAB交 BC于点 G，如图 2，ABC是等边三角形，DG/AB，CDG=A=60，ACB=60，CDG是等边三角形，DG=DC.DEF是等边三角形，DE=DF，EDF=60，CDG-CDE=EDF-CDE，即：GDE=CDF，在 GDE和 CDF中，DE DFGDE CDF，DG DC GDE CDF(SAS)，CF GE，CDCG CEGE CECF（3）CF=CD+CE，理由如下：过点 D作 DGAB交 BC于点 G，如图 3，ABC是等边三角形，DG/AB，CDG=A=60，ACB=60，CDG是等边三角形，DG=DC=GC.DEF是等边三角形，DE=DF，EDF=60，CDG+C

29、DE=EDF+CDE，即：GDE=CDF，在 GDE和 CDF中，DE DFGDE CDF，DG DC GDE CDF(SAS)，CF GE=GC+CE=CD+CE.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.10如图，A（0，4）是直角坐标系 y 轴上一点，动点 P 从原点 O 出发，沿 x 轴正半轴运动，速度为每秒 1 个单位长度，以 P 为直角顶点在第一象限内作等腰RtAPB设 P 点的运动时间为 t 秒（1）若 ABx 轴，如图 1，求 t 的值；（2）设点 A 关于 x 轴的对称点为 A，连接 AB，在点 P 运动的过程

30、中，OAB 的度数是否会发生变化，若不变，请求出OAB 的度数，若改变，请说明理由（3）如图 2，当 t3 时，坐标平面内有一点M（不与 A 重合）使得以 M、P、B 为顶点的三角形和ABP 全等，请直接写出点 M 的坐标【答案】（1）4；（2）OAB 的度数不变，OAB45，理由见解析；（3）点 M 的坐标为（6，4），（4，7），（10，1）【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，可证明AOP 为等腰直角三角形，从而求得答案；（2）根据对称的性质得：PAPAPB，由PAB+PBA90，结合三角形内角和定理即可求得OAB45；（3）分类讨论：分别讨论当ABPMBP、A

31、BPMPB、ABPMPB 时，点 M 的坐标的情况；过点 M 作 x 轴的垂线、过点 B 作 y 轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求得点M 的坐标即可.【详解】（1）ABx 轴，APB 为等腰直角三角形，PABPBAAPO45，AOP 为等腰直角三角形，OAOP4t414（秒），故 t 的值为 4（2）如图 2，OAB 的度数不变，OAB45，点 A 关于 x 轴的对称点为 A，PAPA，又 APPB，PAPAPB，PAAPAA，PBAPAB，又PAB+PBA90，PAA+PAA+PAB+PBA180PABPBA18090=90，AAB45，即OAB45；（3）当 t

32、3 时，M、P、B 为顶点的三角形和ABP 全等，如图 3，若ABPMBP，则 APPM，过点 M 作 MDOP 于点 D，AOPPDM，APODPM，AOPMDP（AAS），OADM4，OPPD3，M 的坐标为：（6，-4）如图 4，若ABPMPB，则AB PM，过点 M 作 MEx 轴于点E，过点B作BGx 轴于点G，过点B作BFy轴于点F，APB 为等腰直角三角形，则MPB 也为等腰直角三角形，BAPMPB=45，PA PB139023，1 2RtAOP RtPGBBG OP3，PG AO 4BGx 轴，BFy轴四边形BGOF为矩形，OP BG3，则AF OAOF 431BF OG OP

33、PG 347在RtABF和RtPME中BAF45+1，MPE45+2，BAFMPEAB PMRtABF RtPMEME BF 7，PE AF 1M 的坐标为：（4，7），如图 5，若ABPMPB，则AB PM，过点 M 作 MEx 轴于点D，过点B作BGx 轴于点E，过点B作BFy轴于点F，APB 为等腰直角三角形，则MPB 也为等腰直角三角形，BAPMPB=45，PA PB139023，1 2RtAOP RtPEBBE OP3，PE AO 4BEx 轴，BFy轴四边形BEOF为矩形，OP BG 3，则AF OAOF 431BF OE OPPE 347在RtABF和RtPMD中BFy轴4 24ABF 2PMDABF PMDAB PMRtABF RtPMDMD AF 1，PD BF 7M 的坐标为：（10，1）综合以上可得点 M 的坐标为：（6，4），（4，7），（10，1）【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，第(3)小题要注意分类讨论，作此类型的题要结合图形，构建适当的辅助线，寻找相等的量才能得出结论