新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼.pdf

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1、第三章 圆锥曲线的方程3.1椭圆.-1-3.1.1椭圆及其标准方程.-1-3.1.2椭圆的简单几何性质.-7-3.2双曲线.-20-3.2.1双曲线及其标准方程.-20-3.2.2双曲线的简单几何性质.-26-3.3抛物线.-33-3.3.1抛物线及其标准方程.-33-3.3.2抛物线的简单几何性质.-38-3.13.1椭圆椭圆3.1.13.1.1 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程1椭圆的定义把平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距2椭圆的标准方程标准方程焦点a，b，c

2、的关系【例 1】求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为 F1(4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点 P 与两焦点的距离的和等于 10；(2)焦点坐标分别为(0，2)，(0,2)，经过点(4,3 2)；求椭圆的标准方程焦点在 x 轴上x2y2a2b21(ab0)(c,0)与(c,0)c2a2b2焦点在 y 轴上y2x2a2b21(ab0)(0，c)与(0，c)新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第1页新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第1页14

3、.(3)经过两点(2，2)，1，2 解(1)因为椭圆的焦点在 x 轴上，且 c4,2a10，所以 a5，b a2c2x2y225163，所以椭圆的标准方程为2591.y2x2(2)因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以可设它的标准方程为a2b21(ab0)法一：由椭圆的定义知 2a4023 2224023 22212，解得 a6.又 c2，所以 b a2c24 2.y2x2所以椭圆的标准方程为36321.1816法二：因为所求椭圆过点(4,3 2)，所以a2b21.又 c2a2b24，可解得 a236，b232.y2x2所以椭圆的标准方程为36321.x2y2(3)法一：若焦点在 x 轴上，设椭圆的

4、标准方程为a2b21(ab0)由已知42a2b21，条件得114a24b21，a28，解得2b 4.x2y2所以所求椭圆的标准方程为841.y2x2若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为a2b21(ab0)42b2a21，114b24a21，由已知条件得b28，解得2a 4.则 a2b2，与 ab0 矛盾，舍去x2y2综上可知，所求椭圆的标准方程为841.法二：设椭圆的一般方程为 Ax2By21(A0，B0，AB)分别将两点的新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第2页新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程

5、 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第2页4A2B1，14代入椭圆的一般方程，得坐标(2，2)，1，142 A4B1，1A8，解得1B4，x2y2所以所求椭圆的标准方程为841.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在 x 轴上，还是在 y 轴上，还是两个坐标轴都有可能x2y2x2y2(2)设方程：根据上述判断设方程a2b21(ab0)或b2a21(ab0)或整式形式 mx2ny21(m0，n0，mn)(3)找关系：根据已知条件建立关于 a，b，c(或 m，n)的方程组(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求椭圆中的焦点三角形x2y2【

6、例 2】(1)已知椭圆16121 的左焦点是 F1，右焦点是 F2，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1的中点在 y 轴上，那么|PF1|PF2|()A35C53B34D43x2y2(2)已知椭圆431 中，点 P 是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且PF1F2120，则PF1F2的面积为_思路探究(1)借助 PF1的中点在 y 轴上，且 O 为 F1F2的中点，所以PF2x轴，再用定义和勾股定理解决(2)利用椭圆的定义和余弦定理，建立关于|PF1|，|PF2|的方程，通过解方程求解新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第3页新教

7、材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第3页3 3(1)C(2)5(1)依题意知，线段 PF1的中点在 y 轴上，又原点为 F1F2的中点，易得y 轴PF2，所以PF2x 轴，则有|PF1|2|PF2|24c216，又根据椭圆定义知|PF1|PF2|8，所以|PF1|PF2|2，从而|PF1|5，|PF2|3，即|PF1|PF2|53.x2y2(2)由431，可知 a2，b 3，所以 c a2b21，从而|F1F2|2c2.在PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cosPF1F2，即|PF

8、2|2|PF1|242|PF1|.由椭圆定义得|PF1|PF2|2a4.6由联立可得|PF1|.511633 3所以 SPF1F22|PF1|F1F2|sinPF1F225225.椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，则点 M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之和必为 2a.(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|，|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|PF2|，而无需单独求解1本例(2)中，把“PF1F2120”改为

9、“PF1F290”，求F1PF2的面积x2y2解由椭圆方程431，知a2，c1，由椭圆定义，得|PF1|PF2|2a4，且|F1F2|2，在PF1F2中，PF1F290.|PF2|2|PF1|2|F1F2|2.从而(4|PF1|)2|PF1|24，3则|PF1|2，新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第4页新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第4页13因此 SPF1F22|F1F2|PF1|2.3故所求PF1F2的面积为2.x2y22本例(2)中方程改 为a2b21(

10、ab0)，且“PF1F2120”改 为“F1PF2120”，若PF1F2的面积为 3，求 b 的值1解由F1PF2120，PF1F2的面积为 3，可得2|PF1|PF2|sinF1PF23|PF1|PF2|3，|PF1|PF2|4.根据椭圆的定义可得|PF1|PF2|2a.再利用余4弦定理可得 4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 120(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|4a24，b21，即 b1.探究问题1用定义法求椭圆的方程应注意什么？提示用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是

11、否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量 a，b，c.2利用代入法求轨迹方程的步骤是什么？提示(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为 M(x，y)，已知曲线上动点坐标为P(x1，y1)x1gx，y，(2)求关系式：用点M 的坐标表示出点 P 的坐标，即得关系式y1hx，y.(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可x2y2【例 3】(1)已知 P 是椭圆481 上一动点，O 为坐标原点，则线段 OP中点 Q 的轨迹方程为_(2)如图所示，圆 C：(x1)2y225 及点 A(1,0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直与椭圆有关的轨迹问题新教材 人教A版高中数学选

12、择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第5页新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第5页平分线交 CQ 于点 M，求点 M 的轨迹方程思路探究(1)点 Q 为 OP 的中点点 Q 与点 P 的坐标关系代入法求解(2)由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解y2(1)x 21设 Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q 是线段 OP 的中点知 x02x，y022y，x2y200又481，2x22y2所以481，y2即 x 21.2(2)解由垂直平分线的性质可知|MQ|MA|，|CM|MA|CM|MQ|C

13、Q|，|CM|MA|5.5点 M 的轨迹为椭圆，其中 2a5，焦点为 C(1,0)，A(1,0)，a2，c1，2521b2a2c2414.x2y2所求点 M 的轨迹方程为25211，444x24y2即25211.1与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法，例(2)所用方法为定义法2对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法定义法在我们新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第6页新教材

14、 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第6页后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法3代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点 P(x，y)与另一个已知曲线 C：F(x，y)0 上的动点 Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点 Q 的坐标用点 P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线 C 的方程 F(x，y)0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)3.1.23.1.2椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质第第 1 1 课时课时椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质1椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点

15、在 x 轴上焦点在 y 轴上图形焦点的位置标准方程范围对称性顶点轴长焦点焦距焦点在 x 轴上x2y2a2b21(ab0)axa 且byb焦点在 y 轴上y2x2a2b21(ab0)bxb 且aya对称轴为坐标轴，对称中心为原点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)短轴长|B1B2|2b，长轴长|A1A2|2aF1(c,0)，F2(c,0)|F1F2|2cF1(0，c)，F2(0，c)新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第7页新教材 人教A版高中数学选

16、择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第7页2.离心率c(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比a称为椭圆的离心率(2)性质：离心率e 的范围是(0,1)当 e 越接近于 1 时，椭圆越扁；当e 越接近于 0 时，椭圆就越接近于圆由椭圆方程研究几何性质x2y2x2y2【例 1】(1)椭圆a2b21(ab0)与椭圆a2b2(0 且 1)有()A相同的焦点C相同的离心率B相同的顶点D相同的长、短轴(2)求椭圆 9x216y2144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标(1)C C在两个方程的比较中，端点 a、b 均取值不同，故 A，B，D 都不对，而 a，b，

17、c 虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选 C.x2y2(2)解把已知方程化成标准方程为1691，所以 a4，b3，c 169 7，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a8 和 2b6；c7离心率 ea4；两个焦点坐标分别是(7，0)，(7，0)；四个顶点坐标分别是(4,0)，(4,0)，(0，3)，(0,3)x2y2x2y21本例(1)中把方程“a2b2(0 且 1)”改为“2a b21(0)”，结果会怎样呢？x2y2A A由于 ab，方程221 中，c2(a2)(b2)a2b2.a b x2y2焦点与a2b21(ab0)的焦点完全相同而因长轴长，短轴长发生了变化，所以 BCD 均不

18、对，只有 A 正确2本例(2)中，把方程改为“16x29y2144”，结果又会怎样呢？新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第8页新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第8页y2x2解把方程 16x 9y 144 化为标准形式得1691.22知椭圆的焦点在 y 轴上，这里 a216，b29，c21697，所以椭圆 16x29y2144 的长轴长为 2a248，短轴长为 2b236，c7离心率：ea4，焦点坐标：(0，7)，顶点坐标：(0，4)，(0,4)，(3,0)，(3

19、,0)由标准方程研究性质时的两点注意(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准 a 与 b，正确利用 a2b2c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是2a,2b,2c.由几何性质求椭圆的方【例 2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：6(1)椭圆过点(3,0)，离心率 e3；(2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 8；x2y2(3)经过点 M(1,2)，且与椭圆1261 有相同的离心率思路探究(1)焦点位置不确定，分两种情况求解(2

20、)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a 与 b 的关系，再用待定系数法求解x2y2x2y2y2法二：设与椭圆1261 有相同离心率的椭圆方程为126k1(k10)或12x26k2(k20)解(1)若焦点在 x 轴上，则 a3，程新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第9页新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第9页c6ea3，c 6，b2a2c2963.x2y2椭圆的方程为931.若焦点在 y 轴上，则 b3，ceab21a2

21、961a23，解得 a227.y2x2椭圆的方程为2791.x2y2y2x2所求椭圆的方程为 1 或 1.93279x2y2(2)设椭圆方程为a2b21(ab0)如图所示，A1FA2为等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，cb4，a2b2c232，x2y2故所求椭圆的方程为32161.22b1b1(3)法一：由题意知 e21a22，所以a22，即a22b2，设所求椭圆的方程x2y2y2x2为2b2b21 或2b2b21.将点 M(1,2)代入椭圆方程得14412921 或1，解得 b 或 b 3.22222bb2bb2x2y2y2x2故所求椭圆的方

22、程为991 或631.2x2y2y2x2法二：设所求椭圆方程为126k1(k10)或126k2(k20)，将点 M 的坐标新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第10页新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第10页144131x2y23y2x21代入可得126k1或126k2，解得 k14，k22，故1264或1262，x2y2y2x2即所求椭圆的标准方程为991 或631.2利用椭圆的几何性质求标准方程的思路(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法

23、，其步骤是：确定焦点位置；设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时c常用的关系式有 b2a2c2，ea等(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个x2y2x2y2提醒：与椭圆a2b21(ab0)有相同离心率的椭圆方程为a2b2k1(k10，y2x2焦点在 x 轴上)或a2b2k2(k20，焦点在 y 轴上)探究问题1椭圆的离心率是如何影响椭圆的扁圆程度的？c提示离心率 e，假设 a 固定，当 e0 时，c0，因 a2c

24、2b2，则 ba，a所以离心率越小，椭圆就越圆，否则就越扁b2已知a的值能求出离心率吗？c提示可以eaa2b2a2b21a.求椭圆的离心率3已知 F 是椭圆的左焦点，A，B 分别是其在 x 轴正半轴和 y 轴正半轴上的新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第11页新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第11页顶点，P 是椭圆上的一点，且 PFx 轴，OPAB，怎样求椭圆的离心率？x2y2提示如图，设椭圆的方程为a2b21(ab0)，P(c，m)OPAB，PFOBOA，cm

25、ab，又 P(c，m)在椭圆上，c2m2a2b21.2c2将代入，得a21，12即 e22，e2.x2y2【例 3】设椭圆a2b21(ab0)的两焦点为 F1，F2，若在椭圆上存在一点 P，使PF1PF20，求椭圆的离心率 e 的取值范围思路探究由条件PF1PF20，知 PF1PF2，所以点 P 在以 F1F2为直径的圆上，也在椭圆上，利用圆与椭圆有公共点的条件建立不等式求解解由题意知 PF1PF2，所以点 P 在以 F1F2为直径的圆上，即在圆 x2y2c2上x2y2又点 P 在椭圆上，所以圆 x y c 与椭圆a2b21 有公共点222连接 OP(图略)，则易知 0bca，所以 b2c2a

26、2，即 a2c2c2a2.a222 2所以2c a2，所以2e1.所以 e，1.21本例中，把条件改为“点P 与短轴端点重合，且PF1F2为等边三角形”，新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第12页新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第12页求椭圆的离心率解当PF1F2为等边三角形时，即|PF1|PF2|F1F2|，又|PF1|a，ac12c，故离心率 ea2.2本例中，把条件改为“点 P 与短轴端点重合，且PF1F2为等腰直角三角形”，求椭圆的离心率解当PF1F2为

27、等腰直角三角形时，F1PF290，这时|F1F2|2|PF1|，即 2c 2a，c2离心率 ea2.3把本例中条件“使PF1PF20”改为“使F1PF2为钝角”，求离心率的取值范围解由题意，知 cb，c2b2.c21又 b a c，c a c，即 2c a.e a22，2222222222 2e2.故椭圆的离心率的取值范围为，1.2求椭圆离心率及范围的两种方法c(1)直接法：若已知a，c 可直接利用 ea求解若已知a，b 或 b，c 可借助于ca2b2c2求出 c 或 a，再代入公式 ea求解(2)方程法：若 a，c 的值不可求，则可根据条件建立 a，b，c 的齐次关系式，借助于 a2b2c2

28、，转化为关于 a，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂，得到关于 e 的方程或不等式，即可求得 e 的值或范围新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第13页新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第13页第第 2 2 课时课时椭圆的标准方程及性质的应用椭圆的标准方程及性质的应用1点与椭圆的位置关系x2y2点 P(x0，y0)与椭圆a2b21(ab0)的位置关系：x2y200点 P 在椭圆上a2b21；x2y200点 P 在椭圆内部a2b21.2

29、直线与椭圆的位置关系x2y2直线 ykxm 与椭圆221(ab0)的位置关系：abykxm，联立x2y21，a2b2位置关系相交位置关系相切相离直线与椭圆的位置关系消去 y 得一个关于 x 的一元二次方程解的个数两解解的个数一解无解 的取值0 的取值00直线与椭圆相交；0直线与椭圆相切；0)，把点 A 的坐16160标代入，得 b21590)，把 A 点的坐标代入，得 b 9.故所求双曲线的标准方程为16x291.(2)法一：焦点相同，x2y2设所求双曲线的标准方程为a2b21(a0，b0)，c216420，即 a2b220.184双曲线经过点(3 2，2)，a2b21.x2y2由得 a 12

30、，b 8，双曲线的标准方程为1281.22x2y2法二：设所求双曲线的方程为1(416)164双曲线过点(3 2，2)，1841，164解得 4 或 14(舍去)x2y2双曲线的标准方程为1281.(3)设双曲线的方程为 Ax2By21，AB0.点 P，Q 在双曲线上，新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第21页新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第21页2259A16B1，2569A25B1，1A16，解得1B9.y2x2双曲线的标准方程为9161.1求双曲线标准方

31、程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式(2)定量：是指确定 a2，b2的数值，常由条件列方程组求解2双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的 a，b，c，再写出双曲线的标准方程x2y2y2x2(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程a2b21 或a2b21(a，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2ny21 的形式，注意标明条件 mn0.探究问题1双曲线的定义中为什么要加条件“常数 2a 小于|F1F2|”？提示把常

32、数记为 2a，只有当 2a|F1F2|时，其轨迹是双曲线；当 2a|F1F2|时，其轨迹是分别以 F1，F2为端点的两条射线；当 2a|F1F2|时，其轨迹不存在 若常数为零，其余条件不变，则动点的轨迹是线段 F1F2的垂直平分线2双曲线定义中为什么“距离的差”要加“绝对值”？提示距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支若 F1，F2分别表示双曲线的左、右焦点，且点 P 满足|PF1|PF2|2a，则点 P 在右支上；若点 P 满足|PF2|PF1|2a，则点 P 在左支上x2y2【例 2】(1)ABC 中，A(5,0)，B(5,0)，点 C 在双曲线1691 上，则双曲线定义的应用新教材 人

33、教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第22页新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第22页sin Asin Bsin C()3344A5BCD555x2y2(2)已知 F1，F2分别是双曲线9161 的左、右焦点，若 P 是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32.试求F1PF2的面积思路探究(1)结合三角形中正弦定理及双曲线的定义解题，但要注意|CA|CB|2a.(2)结合焦点三角形中余弦定理和双曲线的定义，以及三角形面积公式解题|BC|AC|AB|10(1)D在ABC 中，

34、sin A2R，sin B2R，sin C2R2R(其中 R 为ABC外接圆的半径)|BC|AC|2Rsin Asin B|BC|AC|sin C.10102R又|BC|AC|8，sin Asin B84sin C105.(2)解因为 P 是双曲线左支上的点，所以|PF2|PF1|6，两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，所以|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.在F1PF2中，由余弦定理，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2得 cosF1PF22|PF|PF|121001002|PF|0，所以F1PF290，1|PF2|11所以 SF PF

35、2|PF1|PF2|23216.121变条件，变设问若本例(2)中双曲线的标准方程不变，且其上一点 P 到焦点 F1的距离为 10.求点 P 到 F2的距离x2y2解由双曲线的标准方程9161，得 a3，b4，c5.新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第23页新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第23页由双曲线定义得|PF1|PF2|2a6，|10|PF2|6，解得|PF2|4 或|PF2|16.2变条件若本例(2)条件“|PF1|PF2|32”改成“|PF1|PF2

36、|25”其他条件不变，求F1PF2的面积解由|PF1|PF2|25，|PF2|PF1|6，可知|PF2|10，|PF1|4，1SF PF244 68 6.123变条件本例(2)中，将条件“|PF1|PF2|32”改为“F1PF260”，其他条件不变，求F1PF2的面积x2y2解由9161，得 a3，b4，c5.由定义和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，|PF1|PF2|64，1SF PF2|PF1|PF2|sin F1PF21213264216 3.求双曲线中的焦点PF1F2

37、面积的方法(1)根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；通过配方，整体的思想求出|PF1|PF2|的值；1利用公式 SPF F2|PF1|PF2|sinF1PF2求得面积121(2)利用公式 SPF F2|F1F2|yP|求得面积12与双曲线有关的轨迹问题新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第24页新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第24页【例 3】如图所示，在ABC 中，已知|AB|4 2

38、，且三个内角 A，B，C 满足 2sin Asin C2sin B，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程建立平面直由已知条件得判断轨迹思路探究角坐标系到边长的关系的形状 写出轨迹方程解以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则 A(2 2，0)，B(2 2，0)|BC|AC|AB|由正弦定理，得sin A2R，sin B2R，sin C2R(R 为ABC 的外接圆半径)2sin Asin C2sin B，2|BC|AB|2|AC|，|AB|即|AC|BC|22 2a)，a 2，c2 2，b2c2a26.x2y2即所求轨迹方程为261(x

39、 2)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第25页新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第25页验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支3.2.23.2.2 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质1双曲线的几何性质标准方程x2y2a2b21(a0，b0)y2x2

40、a2b21(a0，b0)图形范围对称性顶点性质离心率渐近线2双曲线的中心和等轴双曲线(1)双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心(2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率 e 2.3直线与双曲线的位置关系x2y2将 ykxm 与a2b21 联立消去 y 得一元方程(b2a2k2)x22a2kmxa2(m2b2)0.的取值位置关系交点个数byax轴长xa 或 xaya 或 ya对称轴：坐标轴，对称中心：原点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)实轴长2a，虚轴长2bcea1aybx新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解

41、题方法规律提炼-第26页新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第26页bka时bka且 0bka且 0bka且 0只有一个交点相交有两个交点相切相离只有一个交点没有公共点根据双曲线方程研究几何性质【例 1】求双曲线 9y24x236 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程x2y2解双曲线的方程化为标准形式是941，a29，b24，a3，b2，c 13.又双曲线的焦点在 x 轴上，顶点坐标为(3,0)，(3,0)，焦点坐标为(13，0)，(13，0)，实轴长 2a6，虚轴长 2b4，c132离心率 ea3，渐近线方程

42、为 y3x.1把本例双曲线方程“9y24x236”改为“9y24x236”，它的性质如何？y2x2解把方程 9y 4x 36 化为标准方程为491，这里 a24，b29，c22213.焦点在 y 轴上所以顶点坐标为(0,2)，(0，2)，焦点坐标为(0，13)，(0，13)，实轴长 2a4，c13a2虚轴长 2b6，离心率 ea2，渐近线方程为 ybx3x.2把本例中方程“9y24x236”改为“4x29y24”，它的性质又如何？新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第27页新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线

43、的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第27页y22解方程 4x 9y 4 可化为标准方程4x 1，焦点在 y 轴上，这里 a292244139，b21，c2919.22所以顶点坐标为0，3，0，3.1313，0，.焦点坐标为0，3 3 4实轴长 2a3，虚轴长 2b2.c13离心率 ea2.a2渐近线方程为 y xb3x.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式；(2)由标准方程确定焦点位置，确定 a，b 的值；(3)由 c2a2b2求出 c 值，从而写出双曲线的几何性质提醒：求性质时一定要注意焦点的位置由几何性质求双曲线的【例 2】求适合下列条件的双曲线的标准

44、方程：5(1)焦点在 x 轴上，虚轴长为 8，离心率为3；(2)两顶点间的距离是 6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分；x2y2(3)与双曲线9161 有共同的渐近线，且过点(3，2 3)思路探究由几何性质求双曲线方程，多是根据题设信息寻找 a，b，c，e之间的关系，并通过构造方程获得问题的解(解出 a，b 或 a2，b2的值)x2y2c解(1)设所求双曲线的标准方程为a2b21(a0，b0)，则 2b8，ea标准方程新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第28页新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识

45、点考点汇总及解题方法规律提炼-第28页55x2y222223，从而 b4，c3a，代入 c a b，得 a 9，故双曲线的标准方程为9161.(2)由两顶点间的距离是 6 得 2a6，即 a3.由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得 2c4a12，即 c6，于是有 b2c2a2623227.x2y2y2由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为9271 或9x2271.x2y2(3)法一：当焦点在 x 轴上时，设双曲线的方程为a2b21.b4a3，由题意，得322 32a2b21，9解得 a24，b24，4x2y2所以双曲线的方程为 1.94y2x2当焦点在 y 轴上时，设双曲线的方

46、程为a2b21.a4b3，由题意，得2 3232a2b21，9解得 a 4，b 4(舍去)224x2y2综上所得，双曲线的方程为941.x2y2法二：设所求双曲线方程为916(0)，1将点(3,2 3)代入得 4，x2y214x2y2所以双曲线方程为9164，即941.1由几何性质求双曲线标准方程的解题思路新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第29页新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第29页由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法当双曲线的焦点不明确时

47、，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为 mx2ny21(mn0)2常见双曲线方程的设法nx2y2(1)渐近线为 ymx 的双曲线方程可设为m2n2(0，m0，n0)；如果两条渐近线的方程为 AxBy0，那么双曲线的方程可设为 A2x2B2y2m(m0，A0，B0)x2y2y2x2(2)与双曲线a2b21 或a2b21(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可设为x2y2y2x2a2b2 或a2b2(0)x2y2x2y2(3)与双曲线a2b21(a0，b0)离心率相等的双曲线系方程可设为a2b2y2x2(0)或a2b2(0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置x2y

48、2x2y2(4)与椭圆a2b21(ab0)共焦点的双曲线系方程可设为2a b21(b2a2)探究问题1双曲线的离心率的范围怎样？对双曲线的形状有什么影响？c提示在双曲线方程中，因为 ac，所以离心率 ea(1，)，它的大小决定了双曲线的开口大小，e 越大，开口就越大2双曲线的离心率与其渐近线斜率有什么关系？c提示eaa2b2a2b21a 求双曲线的离心率当焦点在 x 轴上时，渐近线斜率为 k，则 e1k2，当焦点在 y 轴上时，渐近线斜率为 k，则 e11k2.【例 3】(1)已知双曲线的一条渐近线方程为 y2x，则其离心率为_新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程

49、知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第30页新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼-第30页x2y2(2)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线a2b21(a0，b0)的右焦点 F(c,0)3到一条渐近线的距离为2c，求其离心率的值cb思路探究(1)利用离心率a与a的关系，注意要分类讨论焦点的位置(2)利用条件建立齐次方程求解5bc(1)5或2当焦点在 x 轴上时，a2，这时离心率 ea 122 5.ab1c当焦点在 y 轴上时，b2，即a2，这时离心率 ea51212 2.b(2)解因为双曲线的右焦点 F(c,0)到渐近线 yay0

50、的距离为ax，即 bx|bc|bc3121222232b，所以bc，因此a c b c c c，a2442c，所以离心a2b2cc率 ea2.求双曲线离心率的方法c(1)若可求得 a，c，则直接利用 ea得解(2)若已知 a，b，可直接利用 eb21a 得解(3)若得到的是关于 a，c 的齐次方程 pc2qacra20(p，q，r 为常数，且 p0)，则转化为关于 e 的方程 pe2qer0 求解探究问题1直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切吗？提示可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线和双曲线相交且只有一个交点x2y22过点(0,2)和双曲线1691 只有一个公共点