2020-2021学年天津市部分区高二下学期期中数学试题(解析版).pdf

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1、2020-20212020-2021 学年天津市部分区高二下学期期中数学试题学年天津市部分区高二下学期期中数学试题一、单选题一、单选题1 1 现有高一年级的学生现有高一年级的学生3名，名，高二年级的学生高二年级的学生5名，名，高三年级的学生高三年级的学生4名，名，从中任选从中任选1人人参加某项活动参加某项活动,不同的选法种数为不同的选法种数为A A12【答案】A【详解】解：因为高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，从中任选1人参加某项活动，则由分类加法计数原理可知不同选法种数为3+5+4=12 种，选 A2 2函数函数y ax（a 0且且a 1）的导数为（）的导数为（）A

2、 Ay axlnaC Cy ax【答案】A【分析】根据基本初等函数的导数公式直接判断结果.【详解】因为y ax（a 0且a 1），所以y axlna，故选：A.3 3在在2x 1的展开式中，的展开式中，x2的系数是（的系数是（）A A240240【答案】C【分析】写出展开式的通项，令x的指数部分为2，求解出r的值，则x2的系数可求.r2x【详解】展开式的通项为C66rr1126rC6x6r，rr6B B60C C5D D4B By exlnaxD Dy a logaeB B120120C C6060D D15154 60，令6r 2，所以r 4，所以x2的系数为1264C64故选：C.4 4将

3、将4 4 封不同的信投入封不同的信投入 3 3 个不同的信箱，且个不同的信箱，且4 4 封信全部投完，则不同的投法有（封信全部投完，则不同的投法有（）A A8181 种种【答案】A【分析】利用分步乘法计数原理进行分析，即可求得信的投法总数.【详解】由题意可知，每封信都有3种投法，第 1 页 共 10 页B B6464 种种C C2424 种种D D4 4 种种根据分步乘法计数原理可知，不同的投法有：3333 34 81种，故选：A.5 5曲线曲线y 2xln x在点在点1,2处的切线方程为（处的切线方程为（）A Ax y 3 0C Cx y 1 0【答案】D【分析】求出函数的导数，可得曲线在(

4、1,2)处的切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线的方程【详解】解：y 2x lnx的导数为y 21，xB Bx y 3 0D Dx y 1 0可得曲线y 2x lnx在点(1,2)处的切线斜率为k 1，即有曲线y 2x lnx在点(1,2)处的切线方程为y 2 x1，即为x y 1 0故选：D6 6在在 1 1，2 2，3 3，4 4，5 5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有数的共有A A3636 个个【答案】B【详解】解：由题意知本题是一个分类计数问题，各位数字之和为奇数的有两类：31两个偶数一个奇数：有

5、C3A3=18 个；B B2424 个个C C1818 个个D D6 6 个个三个都是奇数：有A3=6 个根据分类计数原理知共有18+6=24 个故选 Bx7 7已知已知x0,，函数，函数fx e cos x的递增区间为（的递增区间为（）3A A0,23B B0,4C C0,4 3,D D4【答案】C【分析】先求解出f x，然后根据f x的正负分析出fx在0,上的单调性，由此可知fx的递增区间.xx【详解】因为fxe cosx，所以f xcosxsinxe，第 2 页 共 10 页令f x 0，解得x 4，当x0,时，f x 0，当x,时，f x 0，44所以fx在0,上单调递增，在,上单调递

6、减，44所以fx在0,上的单调递增区间为0,，4故选：C.1 8 8在在x3的展开式中，的展开式中，x的指数是整数的项共有（的指数是整数的项共有（）x A A3 3 项项【答案】C【分析】先写出展开式的通项，然后分析x的指数部分，对r取合适的值使x的指数为整数，由此完成求解.1412 r1 rr12rr3【详解】因为x3展开式通项为Tr1C12xx1C12x3，x 12B B4 4 项项C C5 5 项项D D6 6 项项12r4若12r为整数且0 r 12,rN，3经计算可知r 0,3,6,9,12满足条件，所以共有5项，故选：C.9 9在某种信息传输过程中，用在某种信息传输过程中，用 4

7、4 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有不同排列表示不同信息，若所用数字只有 0 0 和和 1 1，则与信息，则与信息 01100110至多有两个对应位置至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为上的数字相同的信息个数为A A1010【答案】B【详解】由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C42 6个；1第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同有C4 4个；B B1111C C1212D D15150第三类：与信息0

8、110没有位置上的数字相同有C41个，由分类计数原理与信息0110至多有两个数字对应位置相同的共有64111个，故选 B1010已知函数已知函数fx的定义域为的定义域为R R，f11，f x为为fx导函数，且对任意导函数，且对任意xR R，第 3 页 共 10 页均有均有f x1，则，则f2x 3 2x 5的解集为（的解集为（）A A2,C C,2【答案】A【分析】令fx 2x3，求出f2x3的解析式，得到关于x的不等式，求出x的取值范围即可.【详解】令fx 2x3，则f x 2 1，且f11，所以fx在R单调递增，所以f2x3 4x9 2x5，即2x 4，解得x 2.故选：A.【点睛】本题考

9、查了构造函数，函数的单调性问题，考查导数的应用，属于基础题二、填空题二、填空题1111已知函数已知函数fxlog2x，f x为其导函数，则为其导函数，则f _ln21B B,1D D,【答案】1【分析】先求解出f x，将x 1 1 代入f x即可求解出f 的值.ln2ln21 1 1f 11【详解】因为f x，所以ln2，ln2xln2ln2故答案为：1.13571212计算：计算：C8C8C8C8_【答案】128【分析】直接利用组合数的性质和公式求解即可135713【详解】解：C8C8C8C8 2(C8C8)2(8 2(88!)3!5!876)32 2(856)128故答案为：128第 4

10、页 共 10 页1313函数函数fx xlnx的极小值为的极小值为_._.1【答案】e【分析】求出f(x)ln x 1，令导数为 0，解出方程，从而可以看出fx,f x随x的变化情况，继而可求极小值.1【详解】解：依题意，得f(x)ln x 1，x(0,).令f(x)0，解得x.e11所以当x0,时，f(x)0；当x,时，f(x)0.ee11所以当x 时，函数f(x)有极小值.ee1故答案为:.e【点睛】本题考查了极值的求法.求函数极值时，一般先求出函数的定义域，接着求出导数，令导数为 0 解方程，探究函数、导数随自变量的变化.注意，导数为 0 的点不一定是极值点.极值点的不仅要满足导数为0，

11、还要满足左右两侧函数单调性相反.14141x1x展开式中展开式中x4的系数的系数_（请用数字作答）（请用数字作答）【答案】90【分析】先求解出1 x展开式中x4,x3的系数，然后根据乘法运算求解出10101x1x10展开式中x4的系数.10rrrr110rx1C10 xr，【详解】因为1 x展开式的通项为C104 210，当r 4时，x4的系数为1C1043 120，当r 3时，x3的系数为1C103所以1x1x展开式中x4的系数为：1210112090，故答案为：90.1515若函数若函数fx lnx mx恰有恰有 3 3 个零点，则个零点，则 m m 的取值范围是的取值范围是_._.1【答

12、案】0,e10【分析】令fx lnx mx 0，问题转化为函数y lnx与y mx的图象有 3 个交点的问题，在同一坐标系下作出两个函数的图象，结合图象，利用导数研究即可得解.【详解】令fx lnx mx 0，得到函数y lnx与y mx，它们在同一平面直角坐标系内的图象如下：第 5 页 共 10 页当x 1时，y ln x，y 1，设两个函数的图象相切，此时切点设为(x0,y0)，x 1x m01则有y0 mx0，解得m，结合图象得，欲使函数有3 个零点，ey lnx001则需满足：m0，.e1故答案为：0,.e【点睛】本题主要考查函数的零点、导数的几何意义、分类讨论思想及数形结合思想.属于

13、常考题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.三、解答题三、解答题1616从从3名男同学中选出名男同学中选出2人，人，5名女同学中选出名女同学中选出3人人（此题结果用数字作答）（此题结果用数字作答）（1 1）共有多少种不同的选法；）共有多少种不同的选法；（2 2）若将选出的）若将选出的5人排成一排人排成一排共有多少种不同的排法；共有

14、多少种不同的排法；若选出的若选出的2名男同学必须相邻，共有多少种不同的排法名男同学必须相邻，共有多少种不同的排法【答案】（1）30；（2）3600；1440【分析】（1）先分析属于分步问题，然后根据组合数进行计算；（2）在（1）的基础上乘以所选5人的全排列即可得到结果；在（1）的基础上，采用捆绑法将2名男同学看成一个人，和3名女生进行排列，注意男生内部排序.第 6 页 共 10 页23【详解】解：（1）从3名男同学中选出2人，5名女同学中选出3人，共C3C5 30种选法235（2）这5人全排列，共C3C5A5 3600种排法；男同学必须相邻共A22种排法，5人排列共A44种排法2324所以共有

15、C3C5A2A41440种排法1321717已知已知a,bR R，函数，函数fx x ax bx1在在x 1处取得极值为处取得极值为2（1 1）求）求 a a，b b 的值；的值；（2 2）求）求fx的单调区间及极值的单调区间及极值21【答案】（1）a ，b 2；（2）递增区间是,与1,322491极大值为f，极小值为f1 23272，递减区间是,1，3【分析】（1）由已知条件可得f 132ab 0，f11 a b 1，从而可求出 a，b 的值；（2）令f(x)0，求出方程的根，然后列出f(x),f(x)的变化情况表，从而可求出函数的极值和单调区间322【详解】解：（1）fx x ax bxc

16、，f x 3x 2ax b12由f 132ab 0，f11 a b 1 121得a ，b 2222（2）f x3x x23x2x1，令f(x)0，得x 或x 13函数fx的单调区间如下表：xfx2,3232,1311,00fx极大值2，递减区间是,13极小值2所以函数fx的递增区间是,与1,32491极大值为f，极小值为f1 2327第 7 页 共 10 页1818在在 100100 件产品中，有件产品中，有 9797 件合格品，件合格品，3 3 件次品从这件次品从这 100100 件产品中任意抽出件产品中任意抽出 5 5 件件（此（此题结果用式子作答即可）题结果用式子作答即可）（1 1）抽出

17、的）抽出的 5 5 件中恰好有件中恰好有 2 2 件是次品的抽法有多少种；件是次品的抽法有多少种；（2 2）抽出的）抽出的 5 5 件中至少有件中至少有 2 2 件是次品的抽法有多少种；件是次品的抽法有多少种；（3 3）抽出的）抽出的 5 5 件中至多有件中至多有 2 2 件是次品的抽法有多少种？件是次品的抽法有多少种？51423【答案】（1）C3C97种；（2）C3C97C3C97种；（3）C97 C3C97 C3C97种232332【分析】（1）抽出的 5 件中恰好有 2 件是次品，则 3 件合格品，从而可得答案；（2）抽出的 5 件中至少有 2 件是次品包含 2 件次品 3 件合格品和

18、3 件次品 2 件合格品，再利用分类计数原理可求得结果；（3）抽出的 5 件中至多有 2 件是次品包含 5 件全是合格品，1 件次品 4 件合格品和 2件次品 3 件合格品，再利用分类计数原理可求得结果【详解】解：（1）抽出的产品中恰好有 2 件是次品的抽法共有C3C97种抽法（2）抽出的产品中至少有2 件是次品的抽法共有C3C97C3C97种抽法（3）抽出的产品中至多有2 件是次品的抽法共有C97 C3C97 C3C97种抽法21919已知函数已知函数fx ax x ln xaR R514232323321（1 1）当）当a 1时，求时，求fx在区间在区间,e上的最值；上的最值；e1（2 2

19、）若）若fx在区间在区间,e上单调递增，求上单调递增，求a的取值范围的取值范围e2 13e e【答案】（1）最大值为fee e1，最小值为fln2；（2）a2422【分析】（1）求出函数的定义域，对函数求导，令f函数fx，fx0求出方程的根，然后列出1x随x在区间,e上的变化情况，从而可求出函数的最值；e11（2）由fx在,e上为单调递增函数，可得fx0在,e上恒成立，得ee2a 1111，令gx2，然后利用二次函数的性质求出其最大值即可2xxxx【详解】解：fx定义域为0,，2（1）当a 1时，fx x xlnx，第 8 页 共 10 页f x 2x1fx12x1x1xx10，解得x 1，或

20、x 21x随x在区间,e上的变化如下表：e函数fx，fxfx1e1 1,e 2121,e2e0fx 13fln2，24111f 21，fee2e1，eee 132所以fx的最大值为fee e1，最小值为fln22411（2）若fx在,e上为单调递增函数，则fx0在,e上恒成立ee2ax 1111 0，x 0，2a 2，xxx211 11 1令gx2，配方gx，xxx24121所以gx在,e上的最大值为ge e，eee2e所以2ae e，即a22x22020已知函数已知函数fxeax x1aR R，且曲线，且曲线y fx在在x 1处的切线与处的切线与x轴平轴平行行（1 1）求）求a的值；的值；（

21、2 2）求）求fx的单调区间；的单调区间；（3 3）证明：当）证明：当0,时，时，fsin fcos22【答案】（1）a 1；（2）fx在区间,2，1,上单调递减，在区间2,1上单调递增；（3）证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，结合题意得到关于a的方程，解出即可；x（2）由（1）知f x ex2x1，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；第 9 页 共 10 页（3）由（2）知fx在0,1单调递增，即可求出函数的最值，即可得证x2【详解】解：（1）fxeax x12ax1由条件知，f 1 0，故a32a 0解得a 1x2x（2）由（1）知fxex x2 ex2x1故当x,2 1,时，f x 0；当x2,1时，f x 0从而fx在区间,2，1,上单调递减，在区间2,1上单调递增（3）由（2）知fx在0,1单调递增，故fx在0,1的最大值为f1 e，最小值为f01从而对任意x1,x20,1，有fx1 fx2e12而当0,时，cos,sin0,12从而fcos fsin2第 10 页 共 10 页