2021考研数学二真题及答案.pdf

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1、20212021 考研数学真题及答案解析考研数学真题及答案解析(数二数二)数学（二）数学（二）一、选择题（本题共一、选择题（本题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分分.每小题给出的四个选项中，只每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）(1)当x 0时，(et1)dt时x7的0 x23(A)低阶无穷小.【答案答案】C.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷小.(D)同阶但非等价无穷小.xx63t3【解析解析】因为当x 0时，(e1)dt2x(ex1

2、)2x7，所以(et1)dt是x7高阶无穷小，正0022确答案为 C.ex1,x0(2)函数f(x)=x,在x 0处1,x0(A)连续且取极大值.(C)可导且导数为 0.【答案答案】D.(B)连续且取极小值.(D)可导且导数不为 0.ex1【解析解析】因为lim f(x)=lim1f(0)，故f(x)在x 0处连续；x0 x0 xex111f(x)f(0)ex1x1x f(0)，故，正确答案为 D.因为lim=limlimx0 x0 x02x0 x0 x22(3)有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为 2 cm/s，3cm/s，当底面半径为 10 cm，高为 5 cm 时，圆柱体的体积与

3、表面积随时间变化的速率分别为(A)125cm/s，40cm/s.32(B)125cm/s，40cm/s.32(C)100cm/s，40cm/s.32(D)100cm/s，40cm/s.32【答案】D.【解析】由题意知，drdh 2,3,又V r2h,S 2rh,dtdtdVdrdh dSdrdh则2rhr2,2h2r,dtdtdtdtdtdtdVdS 100,40,选 D.当r 10,h 5时，dtdt(4)设函数f(x)ax blnx(a 0)有两个零点，则(A)(e,).(B)(0,e).1b的取值范围是a1(D)(,).e1(C)(0,).e【答案答案】A.【解析解析】令f(x)ax b

4、lnx 0，f(x)a从而lnbb1，可得e，正确答案为 A.aa2bbbbb，令f(x)0有驻点x，fabln 0，xaaaa(5)设函数f(x)secx在x 0处的 2 次泰勒多项式为1axbx，则(A)a 1,b .121(C)a 0,b .2f(x)f(0)f(0)x1.21(D)a 0,b.2(B)a 1,b 时，【答案】D.【解析】由f(0)2xo(x2)知当f(x)secx2f(0)sec01,f(0)(secxtan x)x00,f(0)(secxtan2xsec3x)x01,12x o(x2).故选 D.2x222(6)设函数fx,y可微，且f(x1,e)x(x1)，f(x,

5、x)2x ln x，则df(1,1)(B)dxdy.xxx2则f(x)secx 1(A)dxdy.【答案答案】C.(C)dy.(D)dy.【解析解析】f1(x 1,e)e f2(x 1,e)(x 1)2x(x 1)f1(x,x2)2xf2(x,x2)4xlnx2x将x0 x1，分别带入式有y0y1f1(1,1)f2(1,1)1，f1(1,1)2f2(1,1)2联立可得f1(1,1)0，f2(1,1)1，df(1,1)f1(1,1)dx f2(1,1)dy dy，故正确答案为 C.(7)设函数fx在区间0,1上连续，则(A)limfxdx 01nk12nn2k11.f2n2nk11f.n2n(B

6、)limnk12nn2k11f.2nnk2f.2nn(C)limnk1(D)limx0k1【答案】B.【解析】由定积分的定义知，将0,1分成n份，取中间点的函数值，则即选 B.(A)2,0.【答案答案】B.102k11f(x)dxlimf,nk12nnn222(8)二次型f(x1,x2,x3)(x1 x2)(x2 x3)(x3 x1)的正惯性指数与负惯性指数依次为(B)1,1.22(C)2,1.22(D)1,2.【解析解析】f(x1,x2,x3)(x1 x2)(x2 x3)(x3 x1)2x22x1x22x2x32x1x32011所以A121，故特征多项式为11011|EA|121(1)(3)

7、11令上式等于零，故特征值为1，3，0，故该二次型的正惯性指数为 1，负惯性指数为 1.故应选 B.(9)设 3 阶矩阵A A 1,2,3，B 1,2,3，若向量组1,2,3可以由向量组1,2线性表出，则(A)Ax 0的解均为Bx 0的解.(B)A x 0的解均为B x 0的解.(C)Bx 0的解均为Ax 0的解.(D)B x 0的解均为A x 0的解.【答案】D.【解析】令A (a1,a2,a3),B (1,2,3),由题a1,a2,a3可由1,2,3线性表示，即存在矩阵P,使得BP A,则当B x0 0时，A x0(BP)x0 p B x0 0.恒成立，即选 D.TTTTTTTTT101(

8、10)已知矩阵A A211若下三角可逆矩阵P P和上三角可逆矩阵Q Q，使PAQPAQ为对角125矩阵，则P P，Q Q可以分别取100101(A)010，013.001001100101(C)210，013.321001【答案答案】C.【解析解析】100100(B)210，010.321001100123(D)010，012.131001101100101100101100(A,A,E E)211010013210013210125001026101000321100(F F,P P),则P P210;321310F F0E E10001113000 000110 0010001010100

9、，则Q Q013.故应选 C.01Q Q0011301二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分.请将答案写在答题纸指定位置请将答案写在答题纸指定位置上上.）(11)【答案答案】【解析解析】x3xdx2.1.ln3x 3xdx220 x3xdx 3xd(x2)0221x23ln301.ln3.x2ett1d2y(12)设函数y y(x)由参数方程确定,则2t0t2dxy4(t1)et2【答案答案】.3dy4tet2td2y(4et4tet2)(2et1)(4tet2t)2et【解析解析】由，得，dx2et1dx2(2et1)3d

10、2y将t 0带入得dx2t02.3(13)设函数zz(x,y)由方程(x 1)z ylnz arctan(2xy)1确定,则【答案答案】1.zx(0,2).z1z2yy0，xzx14x2y2z将x 0,y 2带入原方程得z 1，再将x 0,y 2,z 1带入得1.xt1x(14)已知函数f(t)dxsindy,则f.1xy2【解析解析】方程两边对x求导得z(x1)【答案答案】22cosudu3ucos2cos.222t【解析解析】交换积分次序有f(t)x1yydx，从而tttxtf(t)dy2sindxycoscos ydyy11yytttycosdyycos ydy11ytcosut2tdu

11、y cosydy1tu3dy2sint4f(t)2ttcosucos t1 2costdutt cos t,故3 2t3tu3t2 t22f2cosudu3ux12cos2cos.222.(15)微分方程y y 0的通解y【答案答案】yC1eex33C2cos2xC3sin2x,C1,C2,C3R.13i，故方程通解为22【解析解析】由特征方程1 0得11,2,3 3yC1eexx1233C2cos2xC3sin2x,C1,C2,C3R.xx12x12x12x11x中x项的系数为_.3(16)多项式f(x)211【答案答案】-5.【解析解析】xf(x)12xx112x2x311xxx 121x

12、x312121x1x11x1x12x1x 2x1212x 2211113331211所以展开式中含x项的有x,4x，即x项的系数为-5.三、解答题（本题共三、解答题（本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤.）(17)(本题满分 10 分)1xet2dt10.求极限limxx0sin xe11【答案】.2x2t1xet2dtx e dtsin1100【解析】limlimxxx0ex1sinx0(e1)sin xx2x13223t又因为e dt(1t

13、o(t)dt xx o(x)，故003111(xx3o(x3)(1xx3o(x3)xx2o(x2)3!3!2原式=limx0 x2512xo(x2)1=lim2.x0 x22(18)(本题满分 12 分)已知f(x)x x1x【答案】凹区间(,1)，0,，凸区间(1,0).斜渐近线是y x1，y x1.x2,x02xx221x【解析】因为f(x)，故x 0，f(x)，f(x)2321x1xx,x01x22xx2x 0，f(x)f(x)，321x1x所以，求f(x)的凹凸性及渐近线.xf(x)f(x)(,1)+凹1(1,0)-00,+凹拐点凸拐点凹区间(,1)，0,，凸区间(1,0).,x 1是

14、垂直渐近线.1xx xx xlim1,lim(1)1.x(1x)xx(1x)x xx xlim 1,lim(1)1.斜渐近线是y x1，y x1.x(1x)xx(1x)x1limx x12xxC,L为曲线y f(x)(4 x 9)，L的弧长为s，L绕x轴6x旋转一周所形成的曲面的面积为A,求s和A.425【答案】.91f(x)1132【解析】x1，f(x)x x2，33xf(x)满足dx曲线的弧长s(19)(本题满分 12 分)f(x)941y2dx9421x122.dx244x39曲面的侧面积A294(20)(本题满分 12 分)(1)求y(x)；31121y 1ydx2(xx2)x2dx4

15、3x425.9函数y y(x)的微分方程xy6y 6，满足y(3)10，(2)P为曲线y y(x)上的一点，曲线y y(x)在点P的法线在y轴上的截距为Iy，为使Iy最6小，求P的坐标.114x6【答案】(1)yx1.(2)P1,时，Iy有最小值.63366dxdx666616【解析】(1)yy,yex()exdxCx6C1Cxxxxxx61将y3 10代入，C，yx1.335(2)设Px,y，则过P点的切线方程为Y y 2xX x，法线方程为Yy 1Xx，52xx61令X 0，YIy14，偶函数，为此仅考虑0,32x25令Iy2x50，x 1.x1111x0,1，Iy 0，Iy Iy1；x1

16、,，Iy 0，Iy Iy166114P1,时，Iy有最小值.63(21)(本题满分 12 分)曲线(x y)x y(x 0,y 0)与x轴围成的区域为D,求【答案】【解析】22222xydxdy.D148xydxdydD40cos20r3sincosdr401cos22sincosd440 1cos22dcos216401cos32481.48(22)(本小题满分 12 分)210设矩阵A=120仅有两个不同的特征值.若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可1ab逆矩阵P，使P AP为对角矩阵.12100(b)(3)(1)0【解析】由EA121ab当b 3时，由A相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则7110(3EA)110知，a 1，1a010 此时，12 3所对应特征向量为11,20，01 31131所对应的特征向量为3，则P AP3111当b 1时，由A相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则110(EA)110，知a 1，1a010 此时，121所对应特征向量为11,20，01 111，则P AP113 3所对应的特征向量为3.13 8