(完整版)曲线积分与曲面积分习题及答案.pdf

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1、第十章第十章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分(A)(A)1计算x ydx，其中L为连接1,0及0,1两点的连直线段。L2计算Lx2 y2ds，其中L为圆周x2 y2 ax。3 计算x2 y2ds，其中L为曲线x acost tsint，y asint tcost，L0 t 2。4计算eLx2y2ds，其中L为圆周x2 y2 a2，直线y x及x轴在第一角限内所围成的扇形的整个边界。44335计算x yds，其中L为内摆线x acos3t，y asin3t0 t L2在第一象限内的一段弧。6 计 算Lz2ds，其 中L为 螺 线x acost，y asint，22x yz at0 t 2。7

2、 计算xydx，其中L为抛物线y2 x上从点A1,1到点B1,1的一段弧。L8计算x3dx 3zy2dy x2ydz，其中L是从点A3,2,1到点B0,0,0的直线L段AB。9计算xdx ydy x y 1dz，其中L是从点1,1,1到点2,3,4的一段直L线。10 计算2a ydx a ydy，其中L为摆线x at sint，y a1costL的一拱(对应于由t从 0 变到2的一段弧)：11计算x ydx y xdy，其中L是：L1）抛物线y2 x上从点1,1到点4,2的一段弧；2）曲线x 2t2t 1，y t21从点1,1到4,2的一段弧。112 把对坐标的曲线积分Px,ydx Qx,yd

3、y化成对弧和的曲经积分，其L中L为：1）在xoy平面内沿直线从点0,0到3,4；2）沿抛物线y x2从点0,0到点4,2；3）沿上半圆周x2 y 2x从点0,0到点1,1。13 计 算eLxsin y my dx excos y mx dy其 中L为x at sint，y a1cost，0 t，且t从大的方向为积分路径的方向。14 确定的值，使曲线积分x4 4xydx 6x1y25y4dy与积分路径无关，并求A0,0，B1,2时的积分值。15 计算积分2xy x2dx x y2dy，其中L是由抛物线y x2和y2 xL所围成区域的正向边界曲线，并验证格林公式的正确性。16利用曲线积分求星形线x

4、 acos3t，y asin3t所围成的图形的面积。17 证明曲线积分3,41,26xy2 y3dx 6x2y 3xy2dx在整个xoy平面内与路径无关，并计算积分值。18利用格林公式计算曲线积分xyL2cosx 2xysin x y2exdx x2sin x 2yexdy，其中L为正向星形线x y a232323a 0。L19利用格林公式，计算曲线积分2x y 4dx 5y 3x 6dy，其中L为三顶点分别为0,0、3,0和3,2的三角形正向边界。20验证下列Px,ydx Qx,ydy在整个xoy平面内是某函数ux,y的全微分，并求这样的一个ux,y，3x2y 8xy2dx x38x2y 1

5、2yeydy。21计算曲面积分x2 y2dx，其中为抛物面z 2 x2 y2在xoy平2面上方的部分。22计算面面积分2xy 2x2 x z ds，其中为平面和三坐标闰面所围立体的整个表面。24求抛物面壳z 12x y20 z 1的质量，壳的度为t z。225求平面z x介于平面x y 1，y 0和x 0之间部分的重心坐标。26当为xoy平面内的一个闭区域时，曲面积分Rx,y,zdxdy与二重积分有什么关系？27计算曲面积分zdxdy xdydz ydzdx其中为柱面x2 y21被平面z 0及z 3所截的在第一卦限部分的前侧。28 计 算2222x dydz y dxdz z dxdy式 中为

6、 球 壳x ay b22z c R2的外表面。29 反 对 坐 标 的 曲 面 积 分 化 成 对 面 积 的 曲 面 积Px,y,zdydz Qx,y,zdzdx Rx,y,zdxdy化成对面积的曲面积分，其中是平面3x 2y 2 3z 6在第一卦限的部分的上侧。30利用高斯公式计算曲面积：1）x2dydz y2dzdx z2dxdy，其中为平面x 0，y 0，z 0，x a，y a，z a所围成的立体的表面和外侧。2）x ydxdy y zxdydz，其中为柱面x2 y21与平面z 0，z 3所围立体的外表面。31计算向理穿过曲面流向指定侧的通量：3221）2x zi x y j xz k

7、，为立体0 x a，0 y a，0 z a，流向外侧；2）x y zi y z xj z x y k，为椭球面x2y2z21，流向外侧。a2b2c2232求向理场 a i cosxyj cos xzk的散度。xy 33利用斯托克斯公式计算曲经积分ydx zdy xdz其中为圆周，x2 y2 z2 a2，x y z 0，若从x轴正向看去，这圆周取逆时针方向。34证明y2dx xydy xzdz 0，其中为圆柱面x2 y2 2y与y z的交线。3235 求 向 量 场a x yi x yz j 3xyk，其 中为 圆 周 z 2x2 y2，z 0。36求向量场z sin yi z xcos yj的

8、旋度。37 计 算y2 z2dx z2 x2dy x2 y2dz，其 中为 用 平 面x y z 3切立方体0 x a，0 y a，0 x a的表面所得切痕，若从ox轴2(B)的下向看去与逆时针方向。1计算yds，其中L为抛物线y2 2px由0,0到x0,y0的一段。L2 计 算Ly2ds，其 中L为 摆 线x at sint，y ar cost一 拱0 t 2。43求半径为a，中心角为 24 的均匀圆弧(线心度1)的重心。4计算zds，其中L为螺线x tcost，y tsint，z t0 t 2。L5计算L1ttx costdsy sint，其中为空间曲线，L222x y zz t上相应于t

9、从 0 变到 2 的这段弧。6设螺旋线弹簧一圈的方程为x acost，y asint，z kt0 t 2，它的线心度为x,y,yz x2 y2 z2，求：1）它关于z轴的转动惯量Iz；2）它的垂心。7设L为曲线x t，y t2，z t3上相应于t从 0 变到 1 的曲线弧，把对坐标的曲线积分Pdx Qdy Rdz化成对弧长的曲线积分。L8计算行)。Lx ydx x ydy，其中x2 y2L为圆周x2 y2 a2(按逆时针方向绕9计算ydx zdy xdz，其中L为曲线x acost，y asint，z bt，L从t 0到t 2的一段。10计算x2 y2dx x2 y2dy，其中L为y 1|x|

10、0 x 2方向为xL增大的方向。11 验证曲线积分值。2,11,02xey y dx x2ey x 2y dy与路径无关并计算积分512证明当路径不过原点时，曲线积分积分值。2,21,1xdx ydy与路径无并，并计算22x yx2y213利用曲线积分求椭圆221的面积。ab14利用格林公式计算曲线积分x2 ydx x sin2ydy，其中L是圆周Ly 2x x2上由点0,0到点1,1的一段弧。15利用曲线积分，求笛卡尔叶形线x3 y3 3axya 0的面积。ydx xdy22x 1 y 2，L的方向为，其中圆周LL2 x2 y216计算曲线积分逆时针方向。17计算曲面积分3zds，其中为抛物

11、面z 2 x2 y2在xoy平面上的部分。18 计算xy yz zxds，其中是锥面z x2 y2被柱面x2 y2 2ax所截得的有限部分。19求面心度为0的均匀半球壳x2 y2 z2 a2z 0对于z轴的转动惯量。20求均匀的曲面z x2 y2被曲面x2 y2 ax所割下部分的重心的坐标。21计算曲面积分I x2y2z2a2fx,y,zds，其中62222x y,z x y。fx,y,z220,z x y22计算xzdxdy xydydz yzdzdx，其中是平面x 0，y 0，z 0，x y z 1所围成的空间区域的整个边界边界曲面的外例。x2y2z211123计算dydz dxdz dx

12、dy，其中为椭球面2221。xyzabc24 计 算y zdydz z xdxdy x ydxdy，式 中为 圆 锥 面x2 y2 z0 z h的外表面。25设ux,y,z，vx,y,z是两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数的函数，uv、依次表示ux,y,z，vx,y,z沿外法线方向的方向导数。证nnu vvds，其中是空间闭区域的整个边明：uv vudxdydz unn界曲面，这个公式叫做格林第二公式。26利用斯托克斯公式计算曲线积分x2 yzdx y2 xzdy z2 xydz其中L是螺旋线x acost，y asint，z ht，从A0,0,0到Ba,0,h的一段。227设u ux,y

13、,z是有两阶连续偏导数，求证：rotgradu 0。(C)xaa x1求曲线的弧长y aarcsin，z ln从O0,0到Ax0,y0,z0。a4a x2计算1xds，其中为悬链线。y achLy2aL3求均匀的弧x etcost，y etsint，z et t 0的重心坐标。74 计算y2LR x22其中e是沿x2 y2 R2dx 4x 2yln x R2 x2dy，由点AR,0逆时针方向到B R,0的半圆周。fx5设在,内有连续的导函数，求1 y2fxyx22A，其中是从点 dx y f xy 1dyL3,到点B1,2的直线段。2L3yy6计算径。2,1,y2yyyy1cosdx sinc

14、osdy，沿着不与oy轴相交的路2xxxxx7已知曲线积分x xysin xdxLfxdy与路径无关，fx是可微函数，x且f 0，求fx。2xi y j8 设在平面上有F 构成内场，求将单位质点从点1,1移到2,4223 2x y场力所作的功。9已知曲线积分I y3dx 3x x3dy，其中L为x2 y2 R2R 0逆L时针方向曲线：1）当R为何值时，使I 0？2）当R为何值时，使I取的最大值？并求最大值。10计算I x1 x2z dydz y1 x2z dzdx z 1 x2z dxdy其中为曲面z x2 y20 z 1的下侧。11计算|xyz|ds，其中的方程为|x|y|z|1。12计算曲

15、面积分I 21 xdydz，其中是曲线y x0 x 1绕x轴旋转一周所得曲面的外侧。813计算x 2xydx x2 2x y2dy，其中L为由点A4,0到点O0,0的L上半圆周x2 y2 4x14证明且求2,31,03y xdx y 3xdy与路径无关，其中不经过直线x y 0，L3Lx y3y xdx y 3xdy的值。x y315求圆锥z x2 y20 z h的侧面关于oz轴的转动惯量。y16选择a，b值使2 2xy ax2x2 2xy by2dyx2 y22为某个函数ux,y的全微分，并求原函数ux,y。ex17计算曲面积分x2 y2dxdy，其中为曲面z x2 y2，平面z 1，z 2

16、所围立体外面的外侧。18证明1）uv uv vu 2uv；2）xx 2第十章第十章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分(A)(A)1解：两点间直线段的方程为：y 1 x，0 x 1故ds 1 y2dx 11dx 2dx2所以x ydx x 1 x2dx 2。L01911x acosa222解：L的参数方程为，0 2y 1asin21111则x yacosa asin|a|21 cos22222221|a|21 2cos21|a|cos222221 a ads x2 y2dsin cos|a|222所以Lx2 y2ds 2012a cosd22212a cosdcosd2022212 2sina

17、2sin2202 2a23解：ds x2 y2dt 故x yds Latcostatsint2dt atdt2022a2cost tsintsint tcostatdt22242 a320t tdt a33tt 23224 2a1 20 x2y24解：如图eLx2y2ds L1eds L2ex2y2ds L3ex2y2dsx xL1：，0 x a，ds 102dx dxy 0 x x2L2：a，ds 112dx 2dx，0 x 2y xx acostL3：，0 x，4y asintdx x2 y2dt asint2acost2dt adt10eLx2y2ds e dx 0ax2a20e2x2d

18、x 4eaadt0a ex|0e2x2a20 aea ea2a2445解：x y acos4t sin4tds x2 y2dt 4343433acos2tsint3asin22t cost29a2sin2tcos2tdt 3asintcostdt474333ds 3a2cos4t sin4t sintcostdtx yL0112 3a cos6t sin6t 4a36606解：ds x2 y2 z2dt 737 asint2acost2 a2dt 2adt 2 a202adtL2z2a2t2ds 220 x yacost2asint2t2dt1282at3|02a3。337解：L1xydx y

19、 yydy 2y dy 2y51151221411458解：直线段AB的方程为xyz，化成参数方程为321x 3t，y 2t，z t，t从 1 变到 0故x3dx 3xy2dy x2ydzL013t33t2t301223t2t dt2 87t3dt 8749解：直线的参数方程为x 1t，y 1 2t，z 13t(0 t 1)Lxdx ydy x y 1dz111t 21 2t31t 1 2t 1dt01614tdt 130110解：2a ydx 9 ydyL202a a1costa1costa a1costasintdt20 a2 a21cos2t costsint dt a220111cos

20、2t sin2t dt22201dt a222111解：1)原式21y2 y 2y y y2dy214131342y3 y2 ydy y y yh2 23231102)原式02tt 1 t214t 1 t21 2t2t 1 2t dt 10t35t29t 2 dt59591311010 t4t2t 2dt t4t2t2 2t4324321201112解：1）L的方向余弦cos34，cos5543P x,y dx Q x,y dy P x,y Q x,y dsLL5522）ds 12xdx，cosdx12dx1 4xcos sin112x221 4x1 4xPx,y 2xQx,yds21 4x故

21、Px,ydx Qx,ydy L3）ds 2dx1 x1dx，cos2x x2ds2x x2cos sin12x x21 x12故Px,ydx Qx,ydy LL2x x Px,y1 xQx,yds213解：因为PQ excos y myx故原积分与路径无关，于是原式OBBAa00dx 0aeacos y ma dy easin2a 2ma2。14解：P x4 4xy，Q 6x1y25y4，由4xy1 61x2y2，解得 3PQ，得yx故当 3时，所给积分与路径无关x0,01,24 4xy3dx 6x2y25y4dyx 4x0 dx 61 y25y4dy 00142795取AC CB计算，其中A

22、0,0，C1,0，B1,215解：原式10L1L22x3 x2 x x42x dx1001 2y3 y42y y2 y2dy2x52x3 x2dx 2y5 4y4 2y2dy 011301yQP1又dxdy 12x dx dy12x dx xy0y230DDQPxydxdy LPdx QdyDPQ 1，1可得面积yx16解取P y，Q x，13A1dxdy D1xdy ydx2L设A1为在第 I 象限部分的面积，由图形的对称性所求面积A 4A1 41xdy ydx232 2 ba20acos t 3asin20tcost asin2t 3acos2tsintdt23sin2tcos2tdt a

23、28DLL注：还可利用dxdy xdy ydx17解：P 6xy2 y3，Q 6x2y 3xy2PQ12xy 3y2，12xy 3y2yxQP，所以积分与路径无关xy因为取路径1,23,23,4原式24x 8dx 54y 9y2dy 236123418解：PQ x2cosx 2xsin x 2yex 2xsin x x2cos y 2yex，yxQP原式xydxdy 0。D19解：PQ 1 3，yxQP原式xydxdy 31dxdy 4dxdyDDDdx032x304dy 8xdx 1203320解：1）QP 2x，故2xydx x2dy是某个ux,y的全微分。xy14ux,yx,40,02x

24、ydx x dy 0dxxdy x2y002xyx,yQP2）3x216x，ux,y3x2y 8xy2dx x38x2y 12yeydy0,0 xy0dxx38x2y 12yeydy00 xy x3y 4x2y212yeyey122221解：Dxy：x2 y2 2，dx 1 zx zydxdy 1 4x2 4y2dxdy故原式Dxyx20202 y21 4x2 4y2dxdy2020r2udd20rcos9rsin1 4rcos222 4rsinrdr2r21 4r2rdr 2149301222r1 4r drh202u 1 4udu 22解：原式Dxy|x|y|x2 y21 zx zydxd

25、y 4xyx2 y21 4x2 y2dxdyDxyI这里DxyI为Dxy在第一象限部分20 4dr sincos1 4r rdr 401422011sin2d741 4r2rdr02r0141 4r d r 214r2t13215t4 2t21t2dt 2125 5 142023解：z 6 2x 2y，ds 1 2dxdy 3dxdy15原式Dxy2xy2x33 x002x62x2y 3dxdy3dx63x2x22xy2ydy27424解：Mzds12xy21x2y2dxdy2Dxy20d20122r1r27dr6 3121525解：平面zx这部分的面积22S1zxzydxdy2dxdyDD2

26、dx011 x0dy22因而x12xdsS210 xdxdx1 x012dy312yydsS2101 x01y 2dy3z12zdsS21xds31 1 1故重心坐标为,3 3 326 解：因为曲面积分有向曲面，所以R x,y,z dxdyR x,y,0 dxdyDxy当积分曲面取在的上侧时为正号，取在下侧时为负号27，解：DxyAB，面积为 0，zdxdy0Dyz0,y,z|x0,0y1,0z3，16Dzx x,0,z|0 x 1,y 0,0 z 3原式Dyz301 y2dydz 1 x2dzdxDzxdz101 y dy dz023101 x2dx113y 21 yh2 arcsin y。

27、220228解：根据轮换对称，只要计算z2dxdyDxy：x ay b R222注意到：z e R2x ay b，再利用极坐标可得22z2dxdy c R2x a2y b2dxdy Dxyc R2x ay bD2xy2dxdy 4eR2x ay bdxdy22Dxy 4e20dR0R2r2rdr1 8eR2 r233283R e30R于是原式R3a bc329解：原式PcosQcos Rcosds，这里cos，cos，cos 是的法向理n的方向余弦而是平面3x 2y 2 3z 6在第一卦限部分的上侧cos 0，取n 3,2,2 3。cos332 22 2 3 22 323，cos，cos555

28、322 3R Q Rdx。故原式5551730解：1）PQR 2x 2y 2zxyzPQR原式xyzdxdydz 2x y zdxdydz 2dxdyx y zdz 2000aaaa0a2dxax ay dy02a2a3a34 2a x dx 3a022a20P y zx，Q 0，R x yPQR y zxyz20139drdrxsin zdz 。002故原式y,zdxdydz 31解：Pdydz Qdzdx RdxdyPQRxyzdxdydz2 x 2xzdxdydz dxdy2 x2 2xzdz2aaa000a2 a2a ax a xdx a 260 2）ds x y zdydz y z

29、xdzdx z x ydxdya223S4111dxdydz 3bc 4abc。332解：P exy，Q cosxy，R cosxz2QPR xsinxy，yexy，2xzsin xz2yxz PQR yexy xsinxy 2xzsinxz2故divxyz1833 解：取为平面x y z 0，被所围成的部分的上侧，的面积为a2，的单位法向量为 111 n cos,cos,cos,3331原式13yy13111 ds dsz333z3xx33 2ds 3a。1 134证：平面y z的单位法向理n cos,cos,cos0,22由斯托克斯公式得cosxy2cosyxycos1ds z2xz左边y

30、 zds1y zdxdy 02Dxy35解：闭曲线是xoy平面上的圆周x2 y2 4(逆时针方向)，它的参数方程为x 2cos，y 2sin，z 00 2，故环流量为Rdx Qdy Rdz x zdx x3 yz dy 3xy2dz202cos2sin8cos2cosd320 4sincosd1620cosd 01212.ijk i j。36解：rotxyzz sin yz xcos y01937解：证平面x y z 3a合科立方体内的部分为，它在oxy平面上2 111 3的射影为Dxy，面积为a2，取平面的上侧，单位法向量，于是由,4333斯托克斯公式得113yz2 x2131ds 4x y

31、 zdxz322x y原式3xy2 z2 6a139ds 6adxdy 6aa2 a3。423Dxy(B)12x t2p，则1解：L的参数方程y t 1 1222ds x2 y2dt t1 dt t p dtpp2所以yds Ly00121 12tt p2dt t p2pp 33y0201 22y p03p32 p32解：ds x2 y2dt a21cost a2sin2tdt2t t a 21cost1 211 2sin2 2asin22所以y ds L220a21cost2asin2tdt2 8a320sin42ttt tsindt 8a31cos2sindt02222t2t1 16a3c

32、oscos3cos52325t 2563a201523 解：取坐标系如图，设重心坐标为Gx,y，由扇形的对称性可知y 0，20 xds1又x 24adsLL44acosadaasinsin|44244解：ds x2 y2 z22t2dt所以zds Lt00cost tsintsint tcost21dt1t 2t2dt 2t233t0201 22t0332 2 25解x2 y2 z2 etcost etsint etds x2 y2 z2dt 2 2t2 2e2tetcost etsint2e sint etcost et 22dt3e2tdt 3et所以1Lx2 y2 z22ds 102e2

33、t223et33tte dt e202L031e226解：M x,y,zds20a2cos2t a2sin2t k2t2a2sin2t a2cos2t k2dt1）Izx2 y2x,y,zds L20 x2 y2x2 y2 z2ds2a2 k2dt a2a2 k23a2 42k203112xx,y,zds acost a2 k2t2a2 k2dt2）x MLM02a2a2 k2t26ak223a 42k2211y M1yx,y,z ds LM20asint a2 k2t2a2 k2dt6ak223a 42k2z 1MLzx,y,zds 1M20kt a2 k2t2a2 k2dt3k a2 22

34、kh23a2 42k27解：由x t，y t2，z t3得dx dt，dy 2tdt 2xdt，dz 3t2dt 3ydtds 1 4x29y2dt故cosdx122ds1 4x 9ydy2x22ds1 4x 9ydz3y22ds1 4x 9yP 2xQ 3yRLcoscos故Pdx Qdy Rdz L1 4x 9y22ds8解：圆周的参数方程为x acost，y asint0 t 2故Lx ydx x ydyx2 y212a12aacost asint asintacost asintacostdt0220a2dt 220L9解：ydx zdy xdz 20asintasintbtacost

35、acostbdta2sin2t abtcost abcost dt a210解：如图C OAOB，OA：y x，AB：y z x22故原式x2 x2dxx22 x2dx0112x22 xd2 x2124311解：由于P 2xey y，Q x2y x 2y又PQ 2xey1，故曲线积分与路径无关，yx2110取折线1,02,02,1，则原式2xdx4ey22y dy 4e。12解：由于P xx2 y23 2，Q yx2 y23 2，又PQ 3xy x2 yh2yx5 2故当路径不过原点时，该曲线积分与路径无关，取折线1,12,12,2，得原式21xdxx213 221ydy4 y23 22413

36、解：取参数方程x acost，y sint0 t 2112面积A xdy ydx ab cos2t sin2t dt ab2L2014解：L不是闭曲线，要用格林公式，先得补添路径，使其封闭，如图LABBOPP xydxdy，D因为PP 011 0 xyABBO故L 0，所以1171 1sin2y dy x2dx sin20064原式LABBO15解：作代换y tx，得曲线的参数方程3at23at3a1 2t33at 2t3x，y，由于dx dt，dy dt3322331t1t1t1t23从而xdy ydx 9a2t21t32dt，故面积t23a2132dt a321t0219a2S xdy y

37、dx 2L21t03216解：由于x y 0时，被积函数无意义，故L所包围的区域不满足格林公式的条件，作一小圆挖去原点0,0，作逆时针方向的圆周l：x rcos，y rsin，0 2使l全部补L所包围，在L和l为边界的区域D内，根据格要公式，有QPydx xdyydx xdydxdy xyL2x2 y2l2x2 y2D1Px2 y2Q，故上式为零yx2 y22x22222r sinr cosydx xdyydx xdyd2L2 x2 y2l2 x2 yh202r 12d。0222 zydxdy 1 4x2 4y2dxdy17解：Dxy：x2 y2 2，ds 1 zx原式Dxy223 2 x y

38、1 4x22 4yh2dxdy2 320d202 r1 4r rdr 1111618解：Dxy：x2 y2 2ax，z x2 y2x2y2dxdy 2dxdyds 1 z z dxdy 12x y2x2 y22x2y原式2xy x yx2 y2dxdyDxy22d22acos0r2sincos r2sincosrd2421644sincossincos2acosd224152a4。19解：半球壳的方程为z a2 x2 y2Dxy：x2 y2 ah222ds 1 zx zyds aa x y222dxdyIzx y0ds 022a x2 y2222Dxya x ydxdy a020da0r2a2

39、 r2rdr 40a4。32 a20解：质量为M 0ds 20dxdy 20 2x2y2ax2a204从而垂心的坐标为1x M82a420 xdxdy 2ax2y2ax8x ax x dx 0a2a2a0 xdxaxx2axx2dy2a2a2 a a2t x dt2 282 aa2t dt 0a221y M20dx0aaxx2 axx22ydy 0acos01z M420zdxdy 2ax2y2axd228a216a3r dr cosd0392 a16a即重心坐标为,0,。9221 解：由于曲面z x2 y2得x2 y2 z2 a2分成上下两部分，记成S上，2222x y z aS下，又由2z

40、 x yh225解得：z a2，x2 y2a2，所以I x2 y2ds 0dsS上S下Dxyx202 y2aaa x yar3a r22222dxdyd20dr 2a440sind2a4685 2zox平面上的部分分别为1，3，2，22 解：证z在xoy，在x y z 1yoz，面上的部分为4。xzdxdy xydydz yzdzdx xzdxdy x0dxdy 011Dxyxzdxdy xydydz yzdzdx xydydz 0 ydydz 022Dyzxzdxdy xydydz yzdzdx yzdzdx 0 zdzdx 032Dzx故原式xzdxdy xydydz yzdzdx4 3x

41、zdxdy 3x1 x ydxdy 3dx4Dxy011x01 x ydy 18(另解：可求得xzdxdy 11，由对称性可得原式也可用高斯公式)248x2y2x2y223解：Dxy：221，z c 122由轮换对称，只要计算积分abab1dxdy再利用广义极坐标可得z1dxdy 2Dxy1c 1xya2b222dxdy 1c 1xya2b222dxdyDxy262cDxy12ab2rdxdy ddr00222cxy1 r122ab14ab 1 r2c10 4abcbcacab422 b c a2c2 a2b2。于是原式 4bcabca24解：证1，2分别为锥面的底面和侧面而cos，cos，c

42、os 为锥面外法线的方向余弦Dxy：x2 y2 h2，则y zdydz z xdxdy x ydxdy1Dxyx ydxdy 20dr2cossindr 00h又对2上的任一点x,y,z有coscoscosxy r故ds在各坐标平面上射影分别为xxyycosds dxdy，cosdx cosds dxdy，cosds cosds dxdyz2zz于是y zdydz z xdxdyx ydxdy2y zcosz xcosx ycosdsS2yx y z z x x y dxdy2zDxy 2x ydxdy 0Dxy故原式 00 025证：由格林第一公式得uvdxdydz uu vu vu vvd

43、x dxdydznx xy yz z同理27vudxdydz uu vu vu vudx dxdydznx xy yz z两式相减得：v vuv vu dxdydz uvds。nn26解：设c BA，其中BA为从B到A的直线段，则c为封闭曲线，由斯托克斯公式得dydzx2x yzdzdxy2y xzdxdy，其中是以c为边界且z2z xycPdx Qdy Rdz 与c构成右手系的任曲面。h0LCBAcABABh3z ak0 dz 32uuui j k27证：gradu xyzirotgraduxuxjyuyk 2u2u 2u2u i jzzyyzzxxzuz 2u2u yxxyk 0(C)a2

44、a41解：ds 12a xh24 a2 x23a2 2x2dx dx，|x0|022 a2 x2于是当x0 0时，有S x003a2 x2aa x0dx ln x0|z0|x0|224a x02 a x28当x0 0时，有3a22x2aa x0S dx ln x0|z0|x0|x02 a2 x24a x00故当|x0|a时，有S|Z0|x0|xx2解：ds 1sin2dx chdx，于是aaLxdsh11ads dx 2xxaya2ch21 sh2aaxcha1xarctanshaaa3解：ds e2tcost sinte2tsint cost e2tdt 3etdt22质量为M 03etdt

45、 3于是垂心坐标为012cost sint2tx0etcost 3etdt e2tcostdt em5010t2sint cost2tty0e cost 3e dt e2tsintdt em500251 5z0010tt1t2te e3e dt e dt m24解：但CBACBA，CCBAABAB0dx 0，又RRQP2y2y4PdxQdy dxdyCBAxyR2 x2R2 x2DDdxdy 4dxdy 4D2R2 2R2原式 2R2291 y2fxyx5解：P，Q 2y2fxy1yyPy 2yfxy y2f xyx 1 y2fxyy2fxy xy3f xy122yyyQ1y2fxy xy3f

46、 xy1222y fxy1 xy f xyy xyy2故当y 0时，PQ，因此只要路径不过x轴，点A到点B的曲线积分yx22与路径无关，取路径A3,C1,B1,2，有33原式13149 2 f x3dx 21y2fy1dy23y2232213121 2 dx fx dx f y dy dy2223323333y231133fydy 2fydy 22y322 423y2yyyy6解：x 0时，有P 12cos，Q sincosxxxxxP2yyy2y 2cos2sinyxxxxQyyy2yyy2yyy2y 2cos2cos3sin2cos3sinxxxxxxxxxxx改右半平面 x,y x 0，

47、由于是单连通区域，且在其上QP，故在上的是某函数ux,y的全微分，且可取xyux,yx1yy2ysin y ycos ydy1cosdx 2xx30 xx yx ysin y|yysinyysin x 1x12,于是原式x 1 ysinyx11,7解：P x xysin x，Q fx2Py xsin x，Qxf x fxxxh2即f x1fx x2xsin x解此一阶线性微分方程得1fx exdxx2sin xe1xdxdx C xsin x xcosxe由f2 0得e 1，故所求函数为fx xsin x xcosx 18解：所求的功W 2,4xdx ydy1,1x2 y23 2，P xx2

48、y23 2，P3Q3xyy 2xy2x2 y23 2，y 2x2 y23 2当x2 y2 0时，此积分与路径无关故W 2x1x2 y23 2dx 4y14 y22 3dy4121 x211114 y2122 59解：由格林公式各I 33x23y2dxdy D20dR033x2xdx31Q yx2 y23 2 R2R4R22 624 3R 121）当R 0（舍去），R 2时，I 02）由IR 6R 6R3 0，得R 0（舍去），r 1 618R2，I|R1 12 0IR3故当R 1时，I取最大值，I1210解：补上1：x2 y21，z 1，上侧由高斯公式I 3dxdydz x1 x2z dydz

49、 y 1 x2z dzdx z 1 x2z dxdy11 31211 x2dxdy3x2y2120dxx2cos2d01411解：由对称性可知原式 8xyzds，1：x y z 1122 zydxdy而xyzds xy1 xy1 zx1D3dx011x0y2y3xy1 x ydy 31 xx xdx023011x1x1x3x33331 x1 xdx 31 xdx 00261203故原式 8331201512解：取1：x 1，y2 z21方向与x轴同上，则I 121 xdydz 21 xdydz 2dxdydz 4dydz11 220drdr2dx4 4r r3dr 30r011113解：利用格

50、林公式原式32y 2xydx x2 2x ydy y 2xydx x2 2x y2dyLOAOAD2x 212xdxdy0 dxdy 4D14解：P 3y xP6x yy 3xQ6x yQ，3434yx yyx yx yx y当x y 0时，有2,31,0PQ，积分与路径无关yx3y xdx y 3xdy2 xdx 3y 6dy1x302 y3x y3233111dy 8dy2300 x1y 2y 2111 1126 4 2522542515解：Izx2 y2ds SDxyx2 y22dxdy20dh02r3dr 24h216解：Px,yy2 2xy ax2x2 y22，Qx,y x2 2xy