2004年考研数学一试题及完全解析(Word版).pdf

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1、20042004 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(一一)试卷试卷一、填空题一、填空题(本题共本题共 6 6 小题小题,每小题每小题 4 4 分分,满分满分 2424 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上)(1)(1)曲线曲线y ln x上与直线上与直线x y 1垂直的切线方程为垂直的切线方程为_._.(2)(2)已知已知f(ex)xex,且且f(1)0,则则f(x)=_.=_.(3)(3)设设L为正向圆周为正向圆周x2 y2 2在第一象限中的部分在第一象限中的部分,则曲线积分则曲线积分Lxdy 2ydx的值的值为为_._.d2ydy 4x 2y 0(

2、x 0)的通解为的通解为_._.(4)(4)欧拉方程欧拉方程x2dxdx2210,矩阵矩阵B B满足满足ABAABA*2BABA*E E,其中其中A A*为为的伴随矩阵的伴随矩阵,E E120(5)(5)设矩阵设矩阵A A A A001是单位矩阵是单位矩阵,则则B B=_.=_.(6)(6)设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为的指数分布的指数分布,则则PX DX=_.=_.二、选择题二、选择题(本题共本题共 8 8 小题小题,每小题每小题 4 4 分分,满分满分 3232 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题

3、后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)(7)把把x 0时的无穷小量时的无穷小量0cost dt,0tan tdt,0sint3dt,使排在后面的使排在后面的x2x2x是前一个的高阶无穷小是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是则正确的排列次序是(A)(A),(B)(B),(C)(C),(D)(D),(8)(8)设函数设函数f(x)连续连续,且且f(0)0,则存在则存在 0,使得使得(A)(A)f(x)在在(0,(0,)内单调增加内单调增加(B)(B)f(x)在在(,0)内单调减少内单调减少(C)(C)对任意的对任意的x(0,)有有f(x)f(0)(D)(D)对任意的对任意的x(,0

4、)有有f(x)f(0)1(9)(9)设设an为正项级数为正项级数,下列结论中正确的是下列结论中正确的是n1nan=0,=0,则级数则级数an收敛收敛(A)(A)若若limnn1nan,则级数则级数an发散发散(B)(B)若存在非零常数若存在非零常数,使得使得limnn1n2an 0(C)(C)若级数若级数an收敛收敛,则则limnn1nan(D)(D)若级数若级数an发散发散,则存在非零常数则存在非零常数,使得使得limnn1(10)(10)设设f(x)为连续函数为连续函数,F(t)1dyyf(x)dx,则则F(2)等于等于(A)(A)2 f(2)(B)(B)f(2)(C)(C)f(2)(D)

5、0(D)0(11)(11)设设A A是是 3 3 阶方阵阶方阵,将将A A的第的第 1 1 列与第列与第 2 2 列交换得列交换得B B,再把再把B B的第的第 2 2 列加到第列加到第 3 3列得列得C C,则满足则满足AQAQ C C的可逆矩阵的可逆矩阵Q Q为为010100(A)(A)101010100(C)(C)011tt010101(B)(B)001011100(D)(D)001(12)(12)设设A A,B B为满足为满足ABAB O O的任意两个非零矩阵的任意两个非零矩阵,则必有则必有(A)(A)A A的列向量组线性相关的列向量组线性相关,B B的行向量组线性相关的行向量组线性相

6、关(B)(B)A A的列向量组线性相关的列向量组线性相关,B B的列向量组线性相关的列向量组线性相关(C)(C)A A的行向量组线性相关的行向量组线性相关,B B的行向量组线性相关的行向量组线性相关(D)(D)A A的行向量组线性相关的行向量组线性相关,B B的列向量组线性相关的列向量组线性相关(13)(13)设设随随机机变变量量X服服从从 正正态态分分布布N(0,1),对对给给定定 的的(0 1),数数u满满足足PX u,若若PX x,则则x等于等于2(A)(A)u(B)(B)u2212(C)(C)u1(D)(D)u11n(14)(14)设随机变量设随机变量X1,X2,Xn(n 1)独立同分

7、布独立同分布,且其方差为且其方差为 0.令令Y Xi,ni12则则(A)(A)Cov(X1,Y)(C)(C)D(X1Y)三、解答题三、解答题(本题共本题共 9 9 小题小题,满分满分 9494 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤步骤)(15)(15)(本题满分本题满分 1212 分分)设设e a b e2,证明证明ln2bln2a (16)(16)(本题满分本题满分 1111 分分)某种飞机在机场降落时某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离为了减少滑行距离,在触地的瞬间在触地的瞬间,飞机尾部张开减速飞机尾部张开减速伞伞,以增大阻力以增大阻力,使飞机迅

8、速减速并停下使飞机迅速减速并停下.现有一质量为现有一质量为 9000kg9000kg 的飞机的飞机,着陆时的水平速度为着陆时的水平速度为 700km/h700km/h 经测试经测试,减速伞打减速伞打开后开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为比例系数为k 6.0106).问从着陆点问从着陆点算起算起,飞机滑行的最长距离是多少飞机滑行的最长距离是多少?(注注:kg:kg 表示千克表示千克,km/h,km/h 表示千米表示千米/小时小时)(17)(17)(本题满分本题满分 1212 分分)计算曲面积分计算曲面积分I 2x3dydz 2y3dzdx3(z

9、21)dxdy,其中其中是曲面是曲面z 1 x2 y2(z 0)2n(B)(B)Cov(X1,Y)2(D)(D)D(X1Y)n 12nn 22n4(ba).e2的上侧的上侧.3(18)(18)(本题满分本题满分 1111 分分)设有方程设有方程xnnx 1 0,其中其中n为正整数为正整数.证明此方程存在惟一正实根证明此方程存在惟一正实根xn,并证明并证明当当1时时,级数级数xn收敛收敛.n1(19)(19)(本题满分本题满分 1212 分分)设设z z(x,y)是由是由x26xy10y22yz z218 0确定的函数确定的函数,求求z z(x,y)的极值点和的极值点和极值极值.(20)(20)

10、(本题满分本题满分 9 9 分分)(1a)x1 x2 xn 0,2x(2a)x 2x 0,2n设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组1nx1nx2(na)xn 0,(n 2),试问试问a取何值时取何值时,该方程组有非零解该方程组有非零解,并求出其通解并求出其通解.(21)(21)(本题满分本题满分 9 9 分分)123的特征方程有一个二重根的特征方程有一个二重根,求求 的值的值,并讨论并讨论是否可相似是否可相似143设矩阵设矩阵A A aA A1a5 对角化对角化.(22)(22)(本题满分本题满分 9 9 分分)设设A,B为随机事件为随机事件,且且P(A),P(B|A),P(A|B),令令1,

11、A发生,1,B发生,Y X 0,A不发生;0,B不发生.141312求求:(1):(1)二维随机变量二维随机变量(X,Y)的概率分布的概率分布.(2).(2)X和和Y的相关系数的相关系数XY.(23)(23)(本题满分本题满分 9 9 分分)设总体设总体X的分布函数为的分布函数为411,x 1,F(x,)xx 1,0,其中未知参数其中未知参数1,X1,X2,Xn为来自总体为来自总体X的简单随机样本的简单随机样本,求求:(1):(1)的矩估计量的矩估计量.(2).(2)的最大似然估计量的最大似然估计量20042004 年数学一试题分析、详解和评注年数学一试题分析、详解和评注一、填空题填空题（本题

12、共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）（1 1）曲线 y=lnx 上与直线x y 1垂直的切线方程为y x 1.【分析分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线 y=lnx 的导数为 1 可确定切点的坐标。【详解详解】由y (ln x)11，得 x=1,可见切点为(1,0)，于是所求的切线方程为xy 0 1(x 1)，即y x 1.【评注评注】本题也可先设切点为(x0,lnx0)，曲线 y=lnx 过此切点的导数为y由此可知所求切线方程为y 0 1(x 1)，即y x 1.本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到本题比较简单，类似例题在一般教科书上

13、均可找到.（2 2）已知f(e)xe，且 f(1)=0,则 f(x)=xxxx011，得x01，x01(ln x)2.2【分析分析】先求出f(x)的表达式，再积分即可。x【详解详解】令e t，则x lnt，于是有lntln x.，即f(x)txln x112dx(ln x)2C.利用初始条件 f(1)=0,得 C=0，积分得f(x)故所求函数为 f(x)=(ln x).x22f(t)【评注评注】本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。完全类似的例题见数学复习指南完全类似的例题见数学复习指南P89P89 第第 8 8 题题,P90,P90 第第 1111题题.（3 3）设L为正向圆周x

14、 y 2在第一象限中的部分，则曲线积分22Lxdy 2ydx的值为3.2【分析分析】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。【详解详解】正向圆周x y 2在第一象限中的部分，可表示为22x 2cos,y 2sin,:0 2.5于是xd y 2yd xL20 2 co s2 co s 2 2s i n2s i nd=202sin2d3.2【评注评注】本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.完全类似例题见数学题型集粹与练习题集完全类似例题见数学题型集粹与练习题集P143P143 例例 10.1110.11，考研数学大串

15、讲考研数学大串讲P122P122 例例 5 5、例、例 7.7.c1c2d2ydyy 4x 2y 0(x 0)（4 4）欧拉方程x的通解为.xx2dxdx22【分析分析】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换x e化为常系数线性齐次微分方程即可。【详解详解】令x e，则ttdydydtdy1 dy et，dxdtdxdtx dtd2y1 dy1 d2ydt1d2ydy 222，22dtdxxdtx dtdxxdt代入原方程，整理得d2ydy3 2y 0，2dtdt解此方程，得通解为y c1et c2e2tc1c2.xx2t【评注评注】本题属基础题型，也可直接套用公式，令x e，则欧拉方程d2yd

16、ybx cy f(x)，ax2dxdx2d2ydydyb cy f(et).可化为a2dtdtdt完全类似的例题见数学复习指南完全类似的例题见数学复习指南P171P171 例例 6.19,6.19,数学题型集粹与练习题集数学题型集粹与练习题集P342P342 第六题第六题.，考研数考研数学大串讲学大串讲P75P75 例例 12.12.210*（5 5）设矩阵A 120，矩阵 B 满足ABA 2BA E，其中A为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，001则B 1.9*【分析分析】可先用公式A A AE进行化简【详解详解】已知等式两边同时右乘A，得6ABA*A 2BA*A A，而A 3，于是有3AB

17、 6B A，即(3A6E)B A，再两边取行列式，有3A6E B A 3，1.9*而3A6E 27，故所求行列式为B【评注评注】先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵A，一般均应先利用公式A*A AA*AE进行化简。完全类似例题见数学最后冲刺完全类似例题见数学最后冲刺P107P107 例例 2 2，P118P118例例 9 9（6 6）设随机变量 X 服从参数为的指数分布，则PX DX=1.e【分析分析】已知连续型随机变量X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。【详解详解】由题设，知DX PX 12，于是DX=PX 1exdxx11=e1.e【评注评注】本题应记

18、住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算。完全类似例题见数学一临考演习完全类似例题见数学一临考演习P35P35 第第 5 5 题题.二、选择题二、选择题（本题共 8 小题，每小题4 分，满分32 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7 7）把x 0时的无穷小量的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A),.(B),.(C),.(D),.B【分析分析】先两两进行比较，再排出次序即可.x0cost dt,tan tdt,sint3dt，使排在后面的是前一个002x2x【详解详解】lim limx0 x00 x2xtantdtcost

19、2dtx2 limx0t a n x2x 0，可排除(C),(D)选项，c o s x20又lim limx0 x00 xsint dt3sin x limx03210tan tdt2 x2xtan x=1xlim，可见是比低阶的无穷小量，故应选(B).4x0 x27【评注评注】本题是无穷小量的比较问题，也可先将,分别与x进行比较，再确定相互的高低次序.完全类似例题见数学一临考演习完全类似例题见数学一临考演习P28P28 第第 9 9 题题.（8 8）设函数 f(x)连续，且f(0)0,则存在 0，使得(A)f(x)在（0，)内单调增加.（B）f(x)在(,0)内单调减少.(C)对 任 意 的

20、x(0,)有f(x)f(0).(D)对 任 意 的x(,0)有f(x)f(0).nC【分析分析】函数 f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可。【详解详解】由导数的定义，知f(0)l i mx0f(x)f(0)0，x根据保号性，知存在 0，当x(,0)(0,)时，有f(x)f(0)0 x即当x(,0)时，f(x)f(0).故应选(C).【评注评注】题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论。完全类似例题见数学一临考演习完全类似例题见数学一临考演习P28P28 第第 1010 题题.（9 9）设an1n

21、n为正项级数，下列结论中正确的是(A)若lim nan=0，则级数an1n收敛.（B）若存在非零常数，使得limnan，则级数nan1n发散.(C)若级数an1n收敛，则limn an 0.n2(D)若级数an1n发散,则存在非零常数，使得limnan.Bn【分析分析】对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.11【详解详解】取an，则lim nan=0，但an发散，排除(A)，(D)；nnlnnnlnnn1n1又取an1n n，则级数an1n收敛，但limn an，排除(C),故应选(B).n28【评注评注】本题也可用比较判别法的极限形式，an1nan l i

22、 m 0，而级数发散，因此级数an也发散，故应选(B).l i mnn1n1nn1n完全类似的例题见数学复习指南完全类似的例题见数学复习指南P213P213 例例 8.13.8.13.（1010）设 f(x)为连续函数，F(t)t1dyf(x)dx，则F(2)等于yt(A)2f(2).(B)f(2).(C)f(2).(D)0.B【分析分析】先求导，再代入t=2 求F(2)即可。关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量 t.【详解详解】交换积分次序，得F(t)t1dyf(x)dx=f(x)dydx f(x)(x 1)dxy111ttxt于是，F(t)f(t)(t 1)，从而有F(2

23、)f(2)，故应选(B).【评注评注】在应用变限的积分对变量x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量x:b(x)a(x)f(t)dt fb(x)b(x)fa(x)a(x)否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x 换到积分号外或积分线上。完全类似例题见数学最后冲刺完全类似例题见数学最后冲刺P184P184 例例 1212，先交换积分次序再求导，先交换积分次序再求导.（1111）设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B,再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C,则满足 AQ=C的可逆矩阵 Q 为010(A)100.(B)101010101.(

24、C)001010100.(D)011011100.001D【分析分析】本题考查初等矩阵的的概念与性质，对A 作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而 Q 即为此两个初等矩阵的乘积。【详解详解】由题设，有010100A 100 B，B 011 C，001001010100于是，A 100011 001001011 C.A100001可见，应选(D).【评注评注】涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系。完全类似例题见数学题型集粹与练习题集完全类似例题见数学题型集粹与练习题集P196P196 例例 2.22.2（1212）设 A,B 为满足 AB=O

25、 的任意两个非零矩阵，则必有9(A)A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关.(B)A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关.(C)A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关.(D)A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关.A【分析分析】A,B 的行列向量组是否线性相关，可从 A,B 是否行（或列）满秩或 Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论.【详解详解 1 1】设 A 为mn矩阵，B 为ns矩阵，则由 AB=O 知，r(A)r(B)n.又 A,B 为非零矩阵，必有r(A)0,r(B)0.可见 r(A)n,r(B)e 时，(t)0,所以(t)单调减少，从而()(e

26、)，即lne2222，eeln11故ln b ln a 224(b a).2e2【证法证法 2 2】设(x)ln x 4x，则e2ln x42，xe1ln x(x)2,2x(x)2所以当 xe 时，(x)0,故(x)单调减少，从而当e x e时，(x)(e)22244 0，e2e2即当e x e时，(x)单调增加.因此当e x e时，(b)(a)，2442b ln a a，e2e2422故ln b ln a 2(b a).e即ln b 2【评注评注】本题也可设辅助函数为(x)ln x ln a 2242(x a),e a x e或2e(x)ln2b ln2x 4(b x),e x b e2，再

27、用单调性进行证明即可。2e完全类似的例题见数学复习指南完全类似的例题见数学复习指南P347P347 例例 13.3113.31 及及 P344P344 的的 解题提示解题提示,考研数学大串讲考研数学大串讲P65P65 例例 13.13.（1616）（本题满分（本题满分 1111分）分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为 9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k 6.0106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注注

28、kg 表示千克，km/h 表示千米/小时.【分析分析】本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可。【详解详解 1 1】由题设，飞机的质量m=9000kg，着陆时的水平速度v0 700km/h.从飞机接触跑道开始记时，设 t 时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为 v(t).根据牛顿第二定律，得dv kv.dtdvdv dxdv v，又dtdxdtdxm由以上两式得dx 积分得x(t)mdv，kmmv C.由于v(0)v0,x(0)0，故得C v0，从而kk12x(t)m(v0 v(t).k当v(t)0时，x(t)mv090007001.05(km).6k6.010dv kv,d

29、t所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.【详解详解 2 2】根据牛顿第二定律，得m所以dvk dt.vmktm两端积分得通解v Cektm，代入初始条件vt0 v0解得C v0，故v(t)v0e.k飞机滑行的最长距离为x 0mvtv(t)dt 0emkk0mv01.05(km).kkktttkv0mtdxmm或 由，知x(t)v0edt v0e(e1)，故 最 长 距 离 为 当t 时，0dtmx(t)kv01.05(km).md2xdx【详解详解 3 3】根据牛顿第二定律，得m2 k,dtdtd2xk dx 0，2m dtdt其特征方程为故x C1C2e2kk 0，解之得1 0,2，mmk

30、tm.kCt 2emt0mkdx 0,v由xt0t0dtt0 v0，tmv0mv0,于是x(t)(1em).得C1 C2kkk当t 时，x(t)mv01.05(km).k所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.【评注评注】本题求飞机滑行的最长距离，可理解为t 或v(t)0的极限值，这种条件应引起注意.13完全类似的例题见数学最后冲刺完全类似的例题见数学最后冲刺P98-99P98-99 例例 10-11.10-11.（1717）（本题满分（本题满分 1212 分）分）计算曲面积分I 3322x dydz 2y dzdx 3(z 1)dxdy,其中是曲面z 1 x2 y2(z 0)的上侧.【分析分

31、析】先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可.【详解详解】取1为 xoy 平面上被圆x2 y21所围部分的下侧，记为由与1围成的空间闭区域，则I 12x dydz 2y dzdx 3(z3321)dxdy3322x dydz 2y dzdx 3(z 1)dxdy.1由高斯公式知1 2y2x d yd z33d z d x 3(z21)d xd y 6(x2 y2 z)d xd yd z=620ddr011r20(z r2)rdz32=12 r(1 r)r(1 r)dr 2.011222而2x dydz 2y dzdx 3(z13321)d

32、xdy x2y213dxdy 3，故I 23.【评注评注】本题选择1时应注意其侧与围成封闭曲面后同为外侧（或内侧），再就是在1上直接投影积分时，应注意符号(1取下侧，与 z 轴正向相反，所以取负号).完全类似的例题见数学复习指南完全类似的例题见数学复习指南P325P325 例例 12.2112.21，数学题型集粹与练习题集数学题型集粹与练习题集P148P148 例例 10.1710.17（2 2）,数数学一临考演习学一临考演习P38P38 第第 1919 题题.（1818）（本题满分（本题满分 1111分）分）n设有方程x nx 1 0，其中 n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根xn，并证明

33、当1时，级数x收敛.nn1【分析分析】利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性。而正项级数的敛散性可用比较法判定。【证证】记fn(x)xn nx 1.由fn(0)1 0，fn(1)n 0，及连续函数的介值定理知，方程xn nx 1 0存在正实数根xn(0,1).nn1当 x0 时，fn(x)nx n 0，可见fn(x)在0,)上单调增加,故方程x nx 1 0存在惟一正14实数根xn.由x nx 1 0与xn 0知n1 xn11().，故当1时，0 xn0 xnnnnn1而正项级数收敛，所以当1时，级数xn收敛.nn1n1【评注评注】本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新

34、颖，但难度并不大，只要基本概念清楚，应该可以轻松求证。完全类似例题见完全类似例题见 数学题型集粹与练习题集数学题型集粹与练习题集 P91P91 例例 6.15(6.15(有关根的存在性与惟一性证明有关根的存在性与惟一性证明),),收敛性证明用比收敛性证明用比较法很简单较法很简单.（1919）（本题满分（本题满分 1212 分）分）设 z=z(x,y)是由x26xy 10y22yz z218 0确定的函数，求z z(x,y)的极值点和极值.【分析分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【详解详解】

35、因为x26xy 10y22yz z218 0，所以2x 6y 2yzz 2z 0，xx6x 20y 2z 2yzz 2z 0.yyz 0,x令得z 0y故x 3y 0,3x 10y z 0,x 3y,z y.将上式代入x26xy 10y22yz z218 0，可得x 9,y 3,或z 3x 9,y 3,z 3.2zz22z由于2 2y2 2()2z2 0，xxxz2zz z2z622y22z 0,xxyy xxy15zz2zz22z20222y22()2z2 0，yyyyy2z所以A x2故AC B 212z，B(9,3,3)6xy12z，C 2(9,3,3)2y(9,3,3)5，311 0，

36、又A 0，从而点(9,3)是 z(x,y)的极小值点，极小值为 z(9,3)=3.366类似地，由2zA x2可知AC B 212z，B(9,3,3)6xy12z，C 2(9,3,3)2y5，(9,3,3)311 0，又A 0，从而点(-9,-3)是 z(x,y)的极大值点，极大值为366z(-9,-3)=-3.【评注评注】本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意x,y,z满足原方程。完全类似的例题见数学复习指南完全类似的例题见数学复习指南P277P277 例例 10.31.10.31.（2020）（本题满分（本题满分 9 9 分）分）设有齐次线性方程组(1 a)x1

37、 x2 xn 0,2x (2 a)x 2x 0,12nnx1 nx2(n a)xn 0,(n 2)试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.【分析分析】本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于 n，进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数a 的可能取值进行讨论即可。【详解详解 1 1】对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有111 1 a1 a11122aa002 a22 B.A nnnn ana00a当 a=0 时，r(A)=1n，故方程组有非零解，其同解方程组为x

38、1 x2 xn 0,由此得基础解系为1(1,1,0,0)T,2(1,0,1,0)T,n1(1,0,0,1)T,于是方程组的通解为x k11 kn1n1,其中k1,kn1为任意常数.当a 0时，对矩阵 B 作初等行变换，有16n(n 1)1 a111 a 0002 2100 2100.B n001 n001可知a n(n 1)时，r(A)n 1 n，故方程组也有非零解，其同解方程组为2 2x1 x2 0,3x x 0,13 nx1 xn 0,由此得基础解系为(1,2,n)T，于是方程组的通解为x k，其中 k 为任意常数.【详解详解 2 2】方程组的系数行列式为1 a11122 a22n(n1)

39、n1A (a)a.2nnnn a当A 0，即 a=0 或a n(n 1)时，方程组有非零解.2当 a=0 时，对系数矩阵 A 作初等行变换，有1111111122220000，A nnnn00000故方程组的同解方程组为x1 x2 xn 0,由此得基础解系为1(1,1,0,0)T,2(1,0,1,0)T,n1(1,0,0,1)T,于是方程组的通解为x k11 kn1n1,其中k1,kn1为任意常数.当a n(n 1)时，对系数矩阵 A 作初等行变换，有217111 1 a1 a11122aa002 a22A nnn anna00a1 a111 000021002100，n001n001故方程组

40、的同解方程组为 2x1 x2 0,3x x 0,13 nx1 xn 0,由此得基础解系为(1,2,n)T，于是方程组的通解为x k，其中 k 为任意常数.【评注评注】矩阵 A 的行列式A也可这样计算：111 1 a111112222222 a22，矩阵=aE+A nnnnnnnn ann(n 1)n(n 1)值为0,0,，从而 A 的特征值为 a,a,a,故行列式A (a 22类似例题见数学题型集粹与练习题集类似例题见数学题型集粹与练习题集P228P228 例例 4.44.4 和和 P234P234 例例 4.12.4.12.（2121）（本题满分（本题满分 9 9 分）分）1222的特征 n

41、nnn(n 1)n1)a.211 123设矩阵A 143的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论 A 是否可相似对角化.1a5【分析分析】先求出 A 的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定 A 是否可相似对角化即可.【详解详解】A 的特征多项式为1E A 23311 4 a 2(2)1 41 a0355181=(2)1103(2)(28183a).4 a15当 2是特征方程的二重根，则有2216183a 0,解得 a=-2.1 23 当 a=-2 时，A 的特征值为 2,2,6,矩阵 2E-A=1 23的秩为 1，故 2对应的线性无关的特征123向量有两个，从而 A 可相

42、似对角化。2若 2不是特征方程的二重根，则8183a为完全平方，从而 18+3a=16，解得a .233232当a 时，A 的特征值为 2，4，4，矩阵4E-A=103秩为 2，故 4对应的线性无关的特32113征向量只有一个，从而A 不可相似对角化。【评注评注】n 阶矩阵 A 可对角化的充要条件是：对于 A 的任意ki重特征根i，恒有n r(iE A)ki.而单根一定只有一个线性无关的特征向量。原题见考研数学大串讲原题见考研数学大串讲P224P224 例例 20.20.，完全类似的例题还可参见数学复习指南，完全类似的例题还可参见数学复习指南P462P462 例例 5.125.12 及及 解题

43、解题提示提示.(22)(22)（本题满分（本题满分 9 9 分）分）设 A,B 为随机事件，且P(A)111,P(B A),P(AB)，令432,1,A发 生1,B发生,X Y 0,0,A不 发 生;B不 发 生.求：（I）二维随机变量(X,Y)的概率分布；（II）X 和 Y 的相关系数XY.【分析分析】先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数。【详解详解】（I）由于P(AB)P(A)P(B A)1，12P(B)P(AB)1,P(AB)61，121

44、，6所以，PX 1,Y 1 P(AB)PX 1,Y 0 P(AB)P(A)P(AB)19PX 0,Y 1 P(AB)P(B)P(AB)PX 0,Y 0 P(AB)1 P(A B)1,12231112）（或PX 0,Y 01，126123=1 P(A)P(B)P(AB)故(X,Y)的概率分布为YX01231160112112(II)X,Y 的概率分布分别为X01Y013151P446611351则EX,EY，DX，DY=,E(XY)=,461636121故Cov(X,Y)E(XY)EX EY，从而24PXYCov(X,Y)DX DY15.15【评注评注】本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合

45、性较强。通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意。原题见考研数学大串讲原题见考研数学大串讲P274P274 例例 3.3.（2323）（本题满分（本题满分 9 9 分）分）设总体 X 的分布函数为11,x 1,F(x,)xx 1,0,其中未知参数1,X1,X2,Xn为来自总体 X 的简单随机样本，求：（I）的矩估计量；（II）的最大似然估计量.【分析分析】先由分布函数求出概率密度，再根据求矩估计量和最大似然估计量的标准方法进行讨论即可。【详解详解】X 的概率密度为20 x 1,f(x,)x1x 1.0,（I）由于EX xf

46、(x;)dx x1xdx 11，令1 X，解得X.X 1X，所以参数的矩估计量为X 1（II）似然函数为n,x 1(i 1,2,n),L()f(xi;)(x x x)1i12ni10,其他n当xi1(i 1,2,n)时，L()0，取对数得lnL()nln(1)ln xi，i1n两边对求导，得nd lnL()nln xi，di1令d lnL()0，可得dnln xi1n，i故的最大似然估计量为nln Xi1n.i【评注】本题是基础题型，难度不大，但计算量比较大，实际做题时应特别注意计算的准确性。完全类似的例题见数学复习指南完全类似的例题见数学复习指南P596P596 例例 6.9,6.9,数学题型集粹与练习题集数学题型集粹与练习题集P364P364 第十三题，第十三题，数学一数学一临考演习临考演习P26P26 第第 2323 题题.21