2011年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案_.pdf

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1、数学竞赛之窗 年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案第一试（选择题：本题满分每小题分）一、分，（）（）已知，则，好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有（）（）组（）组（）组（）组如图，菱形 中，则 ，（）（）槡（）槡（）槡（）槡已知，的值为（）（）（）（）（）已知 的两条高线的长分别为和，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（）（）（）（）（）个（）个（）个（）个（）（）（）方程的解的个数为槡）（则的值为（，）（）（）（）（），今有长度分 别为，现，的线段各一条，线段组”由这一组线段恰从中选出若干条线段组成“（下转第 页）檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪

2、檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪（上接第 即页）分析如图，过点作 交，注上述三种证法都是通过引平行线，借助三角形中点的性质，沟通、转化，使问题迎刃而解分析如图，连结 的延长线于点由为知的中点，由分析，得 故 即 图 由 由分析，（）由、得得角形相似的性质，别开生面，直截了当分析如图，过点作交，的延长线于点由为知的中点，由分析，注该证法灵活运用三角形面积比及三继续 探究，还有其它的证法，如用梅涅劳斯定理等，限于篇幅，此不赘述（责审韩乐琴）故 网址：电子信箱：（上接第 页）（二、填空题：本题满分每小题分）分，在已知，中，则槡，二次函数与 的图像的顶点为，（三、本题满分已知，分），为正整数，

3、设（若，）（，）（，为坐标原点），且 （求图像经过，），三点的二次函数的解析式第二试（）（一、本题满分题目和解答与（卷第一题分）相同（二、本题满分 如图，已知为锐角分）内一 点，过分别垂足分别为，的垂线，与轴正方轴正方向从左至右依次交于，两点，向交于点，若 和 均为等腰直角三角，形（则为坐标原点）如图，已知是的直径，弦过与 交于点，点作圆的切线与 的延长线交于点，如果 ，能使 是完全平方数的正整数的值为，为 的平分线，的延长线交 于点 如果 求证：，是 的平分线（三、本题满分题目和解答 与（卷第三题分）相同参考答案及解答第一试第二试（）一、选择题（）（）（）解由，（）可得（），）（）即（，（）

4、（）即 ，则 ，为 的中点，槡（一、本题满分已知 三个不同的实数，分），满足方程，和 方程和 有一个相同的实根，求，也有一个相同的实根，的值（二、本题 满分如分）图，在四边形已知 中，对 角 线 ，且求证：交于点，为 的中点）；（）（三、本题满分 已知，分），为正整数，设（若，）（，）（，为坐标原点），且 （即所以 ，（）解设所求的 第三条高线的 的面积为，长为，则三边长分别为，于是由三边关系，显然得，烄 解得烅，烆即第三条高线的长的的最 大整数值为，最大值为（）解当时，（），方程为（）槡即（），槡槡）（）证明：；（）求图像经过，三点的二次函数的解析式第二试（）（一、本题满分题目和解答与（卷第

5、一题分）相同（二、本题满分如分）图，在四边形已知 中，对 角 线 ，且求证：交于点，解得均满足，槡槡当时，（），方程为（）槡 网址：电子信箱：数学竞赛之窗即（槡槡），解得满足，槡综上，原方程有个解（）解显然用这些线段去拼接成正方形，至少要条当用条线段去拼接成正方形时，有条边每边都用条线段连接，而另一条边只用条线段，其长度恰当用好等于其它条边 中每两条线段的长度之和条线段去拼 接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等又，正方形的边长不大于 由于；各有一种组成边长为、的正方形，组成边长为的正方形，有种方法方法；故满足条件的“线段组”的组数为（）解过作垂足为的垂线，槡，又 ，从而是等腰直角三

6、角形，槡，槡（），即，代入，得，解得 二、填空题 解延长使连线段则到，作 于点，则为的中点，故 图（）（槡槡）（槡（槡槡）槡在 中，故 （），解当时，若它是完全平方数，则必为偶数若，则 ；若，则 ；若，则 ；若，则 所以，当时，都不是完全平方数（，当时，若它是完全 ）则平方数，为一奇数的平方）（，设（为自然数）则（解由已知等式得，于是，由于和一奇一偶，所以，于是故，解设，则 ，连，网址：电子信箱：为的直径，为的切线，又为 的斜边 的中点，槡在由勾股定理得 中，），二、证明（由已知得从而，四点共圆，为直径，为该圆的圆心作知为于点，的中点，从而 （）作则 于点，又 ，即 设由相交弦定理得，即 ，又

7、所以故，所以 ，），三、解（因为 ，即 ，由得 （）（又）（）（）又，又 ，从而 ，在由勾股定理得 中，即（，），联立，解得，第二试（）（）（）（一、解依次将题设中所给的四个方程编号为，设是方程和方程的一个相同的实根，则，）从而有，即（），由 知，是关于的，两式相减，可解得一元二次方程）（设是方程和方程的一个相同的实根，则的两个不相等的正整数根，）从而（，解得又为正整数，故或当时，方程为没有整数，两式相减，可解得又方程的两根之积等于，于是也是方程的根，则 解当时，方程为两根为，综合知：，设图像经过，三点的二次函数的解析式为）（），将点（的坐标代入得（，），解得（电子信箱：又，）两式相减，得（若

8、，则方程无实根，所以，故于是，又解得，网址：数学竞赛之窗所以，图像经 过，三点的二次函数的解析）（）式为（第二试（），二、证明由已知得 从而，四点共圆，为直径设为则为四边形的中点，的外接圆的圆心作则为于点，的中点，从而 作则 于点，又 ，设图像经过，三点的二次函数的解析式为）（），将点（的坐标代入得（，），解得（所以，图像经 过，三点的二次函数的解析式为（）（）第二试（）二、证 明如 图，作 于点，于点，于点，于点设，若，如 图，作分 别 交，于点，则，又 ，三、解因为 ，所以即 ，由得 （）（）（又（）（）（）（）（，（）（）若，则（）若，同理可证（），）从而有，即，又 ，（），故，是关于的一元二次方程）（的两个不相等的正整数根，）从而（，又 ，（）又因 为是所 以 的 平 分 线，解得又为正整数，故或，当方程为没有整数解时，（）显然，即，是 的平分线当时，方程为两根为，综合知：，网址：电子信箱：