2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(新高考Ⅱ)-解析版.pdf

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1、20212021 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（新高考年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（新高考）一、单项选择题（本大题共8 8 小题，共 40.040.0 分）1.复数13i在复平面内对应的点所在的象限为()2iA.第一象限【答案】A【解析】【分析】B.第二象限C.第三象限D.第四象限本题考查了复数的除法以及代数表示及其几何意义，属于基础题利用复数的除法可化简13i，从而可求对应的点的位置【解答】1 12i解：，所以该复数对应的点为(2,2)，该点在第一象限，故选 A2.设集合=1,2,3,4,5,6,=1,3,6,=2,3,4，则()=()A.3【答案】B【解析】【分析】本题

2、考查了集合交集与补集的混合运算，属于基础题先根据补集的定义求出U=1,5,6，再由交集的定义可求 (U)【解答】解：由题设可得U=1,5,6，故 (U)=1,6故选 BB.1,6C.5,6D.1,33.抛物线2=2(0)的焦点到直线=+1的距离为2，则=()第 1 页，共 22 页A.1【答案】B【解析】【分析】B.2C.22D.4本题考查了抛物线的基础知识和点到直线的距离公式，题目较易首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p的值【解答】解：抛物线的焦点坐标为(2,0)，|0+1|1+12其到直线 +1=0的距离为=解得=2(=6舍去)故选 B=2，4.北斗三号全球卫星导航系统

3、是我国航天事业的重要成果 在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离).将地球看作是一个球心为O，半径 r为6400km的球，其上点 A 的纬度是指 OA 与赤道平面所成角的度数 地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为=22(1 cos)(单位：km2)，则 S占地球表面积的百分比约为()A.26%【答案】C【解析】【分析】B.34%C.42%D.50%本题重在考查学生对数学知识的理解运用能力和直观想象能力，属于中档题由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式

4、整理计算即可求得最终结果第 2 页，共 22 页【解答】解：如图所示，由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为：22(1cos)421cos216400640036000=2 0.42=42故选 C5.正四棱台的上 下底面的边长分别为 2，4，侧棱长为 2，则其体积为()A.20123【答案】D【解析】【分析】B.282C.3562D.283本题考查了棱台的结构特征与体积的求法，考查了数形结合思想由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解【解答】解：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图所示，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为 2，2所以该棱

5、台的高=22(222)=2，下底面面积1=16，上底面面积2=4，所以该棱台的体积=3(1212)=3 2 (16464)=故选 D1128326.某物理量的测量结果服从正态分布(10,2)，下列结论中不正确的是()第 3 页，共 22 页A.越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B.越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【答案】D【解析】【分析】本题考查了正态分布的相关知识，属于中档题由正态分布密度曲线的特征

6、逐项判断即可得解【解答】解：对于 A，2为数据的方差，所以越小，数据在=10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故 A正确；对于 B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B 正确；对于 C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故 C 正确；对于 D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故 D 错误故选 D7.已知=log52，=log8

7、3，=2，则下列判断正确的是()A.【答案】C【解析】【分析】本题考查了对数的单调性与大小比较，合理转化是关键利用对数函数的单调性可比较a、b 与 c 的大小关系，由此可得出结论1B.C.D.第 4 页，共 22 页【解答】解：=log52 log55=2=log822 log83=，即 故选 C18.已知函数()的定义域为，(+2)为偶函数，(2+1)为奇函数，则()A.(2)=0【答案】B【解析】【分析】本题是对函数奇偶性和周期性的综合考查推导出函数()是以 4为周期的周期函数，由已知条件得出(1)=0，结合已知条件可得出结论【解答】解：因为函数(+2)为偶函数，则(2+)=(2 )，可得

8、(+3)=(1)，(1)=(+1)，因为函数(2+1)为奇函数，则(1 2)=(2+1)，所以，所以，(+3)=(+1)，即(+4)=(+2)=()，故函数()是以 4为周期的周期函数，因为函数()=(2+1)为奇函数，则(0)=(1)=0，故(1)=(1)=0，其它三个选项未知故选 B1B.(1)=0C.(2)=0D.(4)=0二、多项选择题（本大题共4 4 小题，共 20.020.0 分）9.下列统计量中，能度量样本1,2,的离散程度的是()A.样本1,2,的标准差C.样本1,2,的极差B.样本1,2,的中位数D.样本1,2,的平均数第 5 页，共 22 页【答案】AC【解析】【分析】本题

9、考查了离散程度与集中趋势的相关知识，属于基础题判断所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项【解答】解：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选 AC10.如图，在正方体中，O为底面的中心，P 为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足 的是()A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】本题考查了空间中两直线的位置关系以及垂直的判定，考查了数形结合思想和直观想象能力第 6 页，共 22 页根据线面垂

10、直的判定定理可得BC的正误，平移直线 MN构造所考虑的线线角后可判断AD 的正误【解答】解：设正方体的棱长为 2，对于 A，如图(1)所示，连接 AC，易知/，且 MN、AC、OP 在同一平面内，由图可知直线 OP 与 AC相交且不垂直，故 不成立，故 A 错误对于 B，如图(2)所示，取 NT的中点为 Q，连接 PQ，OQ，则 ，由正方体 可得 平面 NADT，而 平面 NADT，故 ，而 =，故 平面 SNTM，又 平面 SNTM，所以 ，而=，所以 平面 OPQ，而 平面 OPQ，故 ，故 B正确对于 C，如图(3)，连接 BD，则/，由 B 的判断可得 ，故 ，故 C 正确第 7 页，

11、共 22 页对于 D，如图(4)，取的中点 G，连接 PG，OG，则/，=2，=3，=5，则2=2+2，根据三角形的性质可知PO与 PG不垂直，故,不垂直，故 D 错误故选 BC11.已知直线:+2=0与圆:2+2=2，点(,)，则下列说法正确的是()A.若点 A 在圆 C 上，则直线 l与圆 C相切B.若点 A在圆 C内，则直线 l与圆 C 相离C.若点 A在圆 C外，则直线 l与圆 C 相离D.若点 A 在直线 l上，则直线 l与圆 C相切【答案】ABD【解析】【分析】第 8 页，共 22 页本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题转化点与圆、点与直线的位置关系为2+2,2的大小关系，结合

12、点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解【解答】解：圆心(0,0)到直线 l的距离=22+2，若点(,)在圆 C上，则2+2=2，所以，则直线 l与圆 C 相切，故 A 正确；22+2若点(,)在圆 C内，则2+2|，则直线 l与圆 C 相离，故 B 正确；22+2若点(,)在圆 C外，则2+2 2，所以=0,0)的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程2222为【答案】=3【解析】【分析】本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，属于基础题由双曲线离心率公式可得22=3，再由渐近线方程即可得解【解答】第 10 页，共 22 页解：因为双曲线2222=1(0,0)的离心率

13、为 2，所以=2=2，2所以22222=3，所以该双曲线的渐近线方程为=3故答案为：=314.写出一个同时具有下列性质的函数():_(12)=(1)(2)；当 (0,)时，()0；()是奇函数【答案】()=4(答案不唯一，()=2()均满足)【解析】【分析】本题是开放性问题，合理分析所给条件找出合适的函数是关键，属于中档题根据幂函数的性质可得所求的()【解答】44解：取()=4，则(12)=(12)4=12=(1)(2)，满足，()=43，0时有()0，满足，()=43的定义域为 R，又()=43=()，故()是奇函数，满足故答案为：()=4(答案不唯一，()=2()均满足)|=|，|=1，|

14、15.已知向量|=2，=0 =_【答案】2【解析】9第 11 页，共 22 页【分析】本题考查了向量数量积的运算，合理转化是关键，属于中档题由已知可得+=0，展开化简后可得结果【解答】22解：由已知可得+=+2 +=9+2 +222+=0，9 +=2因此，故答案为：2916.已知函数=|1|,1 0，函数的图象在点1,1和点2,2的两条切线互相垂直，且分别交y轴于 M，N 两点，则|取值范围是_【答案】0,1【解析】【分析】本题考查学生利用导数研究函数的能力，考查了直线的方程和斜率以及两点距离问题，属于拔高题结合导数的几何意义可得1+2=0，结合直线斜率及两点间距离公式可得|=1+21|1|，

15、|=1+22|2|，化简即可得解【解答】解：由题意，=|1|=1 ,0，则 1,0|=,成立的 n的最小值【答案】解：(1)由等差数列的性质可得：5=53，则3=53,3=0，设等差数列的公差为 d，从而有24=(3)(3+)=2，4=1+2+3+4=(32)+(3)+3+(3+)=2，从而2=2，由于公差不为零，故：=2，数列的通项公式为：=3+(3)=26().(2)由数列的通项公式可得1=26=4，则=(4)+(1)2 2=25，则不等式 即25 26，整理可得(1)(6)0，解得 6，又 n为正整数，故 n的最小值为 7【解析】本题考查等差数列基本量的求解，是等差数列中的一类基本问题，

16、解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用(1)由题意首先求得3的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前 n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值18.在 中，角 A、B、C所对的边长分别为 a、b、c，=+1，=+2第 13 页，共 22 页(1)若2sin=3sin，求 的面积；(2)是否存在正整数 a，使得 为钝角三角形若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由(1)因为2sin=3sin，【答案】解：根据正弦定理可知2=2(+2)=3，则=4，故=5，=6，2+222137，8cos=8 0，所以 C 为锐角，则sin=1

17、cos2=13781574因此，=sin=4 5 221=(2)显然 ，若 为钝角三角形，则 C 为钝角，2+222由余弦定理可得cos=2+(+1)2(+2)22(+1)=2232(+1)0，则223 0，即(+1)(3)0，解得1 3，则0 +2，可得 1，故=2【解析】本题考查了正余弦定理与同角三角函数的基本关系，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题(1)由正弦定理可得出2=3，结合已知条件求出 a 的值，进一步可求得b、c 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin，再利用三角形的面积公式可求得结果；(2)分析可知，角 C为钝角，由cos 0)(2,0)22322(1)求

18、椭圆 C 的方程；N 是椭圆 C上的两点，(2)设 M，直线 MN与曲线2+2=2(0)相切 证明：M，N，F 三点共线的充要条件是|=3【答案】(1)解：由题意，椭圆半焦距=2且=，所以=3，3又2=2 2=1，所以椭圆方程为236+2=1；(2)证明：由(1)得，曲线为2+2=1(0)，当直线 MN的斜率不存在时，直线:=1，不满足 M，N，F三点共线；当直线 MN的斜率存在时，设(1,1),(2,2)，必要性：若 M，N，F三点共线，可设直线:=(2)即 2=0，由直线 MN与曲线2+2=1(0)相切可得|2|2+1=1，解得=1，第 16 页，共 22 页联立=2可得42 62+3=0

19、，0，22+=1332,12所以1+2=2=4，3所以|=1+1 1+22 41 2=3，所以必要性成立；充分性：设直线:=+,0 相切可得2+1=1，所以2=2+1，联立=+232可得 1+322+6+32 3=0，=1232 2+1=+=1242 0，所以1+2=,2=1+32，1+321所以|=1+2 1+22 41 2=1+224=1+21+32=3，26323 4 1+321+3262323化简得3 2 12=0，所以=1，=1或=2=1,=2所以所以直线:=2或=+2，所以直线 MN过点 2,0，M，N，F三点共线，充分性成立；所以 M，N，F 三点共线的充要条件是|=3【解析】本

20、题考查了直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重1由离心率公式可得=3，进而可得2，即可得解；第 17 页，共 22 页(2)必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证|=3；充分性：设直线:=+,(1时，1；(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义【答案】(1)()=0 0.4+1 0.3+2 0.2+3 0.1=1(2)设()=33+22+(1 1)+0，因为3+2+1+0=1，故()=33+22(2+0+3)+0，若()1，则1+22+33 1，故2+23 0()=332+22 (2+0+3)，因为(0)=(2+0+3)0，(

21、1)=2+23 0 0，故()有两个不同零点1,2，且1 0 0；(1,2)时，()(2)=(1)=0，故 1为0+1+22+33=的一个最小正实根，若2 1，因为(1)=0且在(0,2)上为减函数，故 1 为0+1+22+33=的一个最小正实根，综上，若()1，则=1若()1，则1+22+33 1，故2+23 0此时(0)=(2+0+3)0，故()有两个不同零点3,4，且3 0 4 0；(3,4)时，()0；故()在(,3)，(4,+)上为增函数，在(3,4)上为减函数，而(1)=0，故(4)0，故()在(0,4)存在一个零点 p，且 1所以 p 为0+1+22+33=的一个最小正实根，此时

22、 1时，1(3)意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代后必然临近灭绝，若繁殖后代的平均数超过 1，则若干代后还有继续繁殖的可能【解析】本题是对离散型随机变量和导数的综合考查，属于拔高题(1)利用公式计算可得()(2)利用导数讨论函数的单调性，结合(1)=0及极值点的范围可得()的最小正零点(3)利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明第 19 页，共 22 页22.已知函数()=(1)2+(1)讨论()的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：()有一个零点1222 2；0 2,2【答案】解：(1)由函数的解析式可得：()=(2)，当 0时，若 (,0)，则()0,()

23、单调递增；11当0 0,()单调递增，若 (ln(2),0)，则()0,()单调递增；1当=2时，()0,()在 R 上单调递增；1当 2时，若 (,0)，则()0,()单调递增，若 (0,ln(2)，则()0,()单调递增；(2)若选择条件：1222由于 ，故1 2 1,(0)=1 0，又()=(1)2ln(2)1 ln(2)2+2=2ln(2)ln(2)2=ln(2)2 ln(2)，由于1 2 2，故ln(2)2 ln(2)0，结合函数的单调性可知函数在区间(0,+)上没有零点综上可得，()有一个零点若选择条件：1由于0 2，故0 2 1，则(0)=1 2 1 4,4 0，而函数在区间(0

24、,+)上单调递增，故函数在区间(0,+)上有一个零点当 0时，构造函数()=1，则()=1，当 (,0)时，()0,()单调递增，注意到(0)=0，故()0恒成立，从而有：+1，此时：()=(1)2+(1)(+1)2+=(1 )2+(1)，当 时，(1 )2+(1)0，1取0=+1，则(0)0，1即：(0)0，而函数在区间(0,+)上单调递增，故函数在区间(0,+)上有一个零点(ln(2)=2ln(2)1 ln(2)2+111第 21 页，共 22 页 2ln(2)1 ln(2)2+2=2ln(2)ln(2)2=ln(2)2 ln(2)，由于0 2，0 2 1，故ln(2)2 ln(2)0，结合函数的单调性可知函数在区间(,0)上没有零点综上可得，()有一个零点【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及零点问题，属于拔高题(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论1第 22 页，共 22 页