2004考研数学三真题及答案解析.pdf

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1、2004 年考研数学（三）真题解析一、填空题填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）sin x(1)若lim(cos xb)5，则a=1，b=4.xx0ea【分析分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解详解】因为limsin xxx0ea(cos xb)5，且lim sin x(cosxb)0，所以x0 x0lim(exa)0，得a=1.极限化为limsin xa(cos xb)limx(cos xb)1b5，得b=4.x0 xx0ex因此，a=1，b=4.【评注评注】一般地，已知limf(x)A，g(x)(1)若g(x)0，则f(x)0；(2)若f

2、(x)0，且A 0，则g(x)0.(2)设函数f(u,v)由关系式fxg(y),y=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)0，2f则uvg(v)g(v)2.【分析分析】令u=xg(y)，v=y，可得到f(u,v)的表达式，再求偏导数即可.【详解详解】令u=xg(y)，v=y，则f(u,v)=ug(v)，g(v)2fg(v)f1所以，.2ug(v)uvg(v)11x2xe,x222，则1(3)设f(x)f(x1)dx11,x2212.【分析分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x 1=t，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解详解】令x 1=t，1f(x1)dx1f(t)

3、dt1f(x)dt22121212122111xexdx1(1)dx0().222【评注评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.(4)二次型f(x1,x2,x3)(x1 x2)2(x2 x3)2(x3 x1)2的秩为 2.【分析分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩,亦即标准型中平方项的项数,于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一详解一】因为f(x1,x2,x3)(x1 x2)2(x2 x3)2(x3 x1)2 2x1 2x2 2x3 2x1x2 2x1x3 2x2x3211A121,112112112A033033,033000222于是二次型的矩阵为由初等变换得

4、从而r(A)2,即二次型的秩为 2.【详解二详解二】因为f(x1,x2,x3)(x1 x2)2(x2 x3)2(x3 x1)2 2x1 2x2 2x3 2x1x2 2x1x3 2x2x3 2(x1 2y1其中2222113x2x3)2(x2 x3)222232y2,2y1 x111x2x3,22y2 x2 x3.所以二次型的秩为2.(5)设随机变量X服从参数为的指数分布,则PX DX 1.e【分析分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解详解】由于DX 1,X的分布函数为2x0,x0.1ex,F(x)0,故PX DX 1 PX DX 1PX 1 F()111.e【评注评注】本题是

5、对重要分布,即指数分布的考查,属基本题型.(6)设总体X服从正态分布N(1,2),总体Y服从正态分布N(2,2),X1,X2,Xn1和Y1,Y2,Yn2分别是来自总体X和Y的简单随机样本,则22n2n1(XiX)(YjY)i1j1En1n222.【分析分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.1n11n222【详解详解】因为E(XiX),E(YjY)22,n11i1n21j1故应填2.【评注评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(

6、7)函数f(x)|x|sin(x2)在下列哪个区间内有界.2x(x1)(x2)(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).(A)(1,0).A【分析分析】如f(x)在(a,b)内连续，且极限lim f(x)与lim f(x)存在，则函数f(x)xaxb在(a,b)内有界.【详解详解】当x 0,1,2 时，f(x)连续，而limf(x)x1sin 3sin 2，lim f(x)，184x0 x0lim f(x)sin 2，lim f(x)，lim f(x)，x1x24所以，函数f(x)在(1,0)内有界，故选(A).【评注评注】一般地，如函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在闭

7、区间a,b上有界；如函数f(x)在开区间(a,b)内连续，且极限lim f(x)与lim f(x)存在，则函数f(x)xaxb在开区间(a,b)内有界.(8)设f(x)在(,+)内有定义，且lim f(x)a，x1f(),x0，则g(x)x0,x0(A)x=0 必是g(x)的第一类间断点.点.(C)x=0 必是g(x)的连续点.(D)g(x)在点x=0 处的连续性与a的取值有关.D【分析分析】考查极限lim g(x)是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元ux0(B)x=0 必是g(x)的第二类间断1，x可将极限lim g(x)转化为lim f(x).x0 x11【详解详解】因为lim

8、 g(x)lim f()lim f(u)=a(令u)，又g(0)=0，所以，x0 x0uxx当a=0 时，lim g(x)g(0)，即g(x)在点x=0 处连续，当a 0 时，x0 x0lim g(x)g(0)，即x=0 是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x=0 处的连续性与a的取值有关，故选(D).【评注评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.(9)设f(x)=|x(1 x)|，则(A)x=0 是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点.(B)x=0 不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.(C)x=0 是f(x)的极值点，且

9、(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.(D)x=0 不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点.C【分析分析】由于f(x)在x=0 处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f(x)在x=0 的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解详解】设 0 0，而f(0)=0，所以x=0 是f(x)的极小值点.显然，x=0 是f(x)的不可导点.当x(,0)时，f(x)=x(1 x)，f(x)2 0，当x(0,)时，f(x)=x(1 x)，f(x)2 0，所以(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.故选(C).【评注评注】对于极值情况，也可考查f(x)在x=0 的某空心邻域

10、内的一阶导数的符号来判断.(10)设有下列命题：(1)若n1(u2n1u2n)收敛，则un收敛.n1(2)若n1un收敛，则un1000收敛.n1un1(3)若lim1，则un发散.nunn1(4)若n1(unvn)收敛，则un，vn都收敛.n1n1则以上命题中正确的是(A)(1)(2).B(B)(2)(3).(C)(3)(4).(D)(1)(4).【分析分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4 个命题的正确性.【详解详解】(1)是错误的，如令un(1)，显然，nn1un分散，而(u2n1u2n)收敛.n1(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.un1(3)是正确

11、的，因为由lim1可得到un不趋向于零(n)，所以un发散.nunn111(4)是错误的，如令un,vn，显然，un，vn都发散，而nnn1n1n1(unvn)收敛.故选(B).【评注评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(11)设f(x)在a,b上连续，且f(a)0,f(b)0，则下列结论中错误的是(A)至少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)f(a).(B)至少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)f(b).(C)至少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)0.(D)至少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)=0.D【分析分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确

12、的选项，由排除法可选出错误选项.【详解详解】首先，由已知f(x)在a,b上连续，且f(a)0,f(b)0，则由介值定理，至少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)0；另外，f(a)limx0(a,b)使得xaf(x)f(a)0，由极限的保号性，至少存在一点x af(x0)f(a)0，即f(x0)f(a).同理，至少存在一点x0(a,b)x0a使得f(x0)f(b).所以，(A)(B)(C)都正确，故选(D).【评注评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(12)设n阶矩阵A与B等价,则必有(A)当|A|a(a 0)时,|B|a.(B)当|A|a(a 0)时,|B|a.(C)当

13、|A|0时,|B|0.(D)当|A|0时,|B|0.D【分析分析】利用矩阵A与B等价的充要条件:r(A)r(B)立即可得.【详解详解】因为当|A|0时,r(A)n,又A与B等价,故r(B)n,即|B|0,故选(D).【评注评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查,属基本题型.(13)设n阶矩阵A的伴随矩阵A*0,若1,2,3,4是非齐次线性方程组Ax b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax 0的基础解系(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量.B【分析分析】要确定基础解系含向量的个数,实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详

14、解详解】因为基础解系含向量的个数=n r(A),而且r(A)n,n,r(A*)1,r(A)n1,0,r(A)n1.根据已知条件A*0,于是r(A)等于n或n 1.又Ax b有互不相等的解,即解不惟一,故r(A)n 1.从而基础解系仅含一个解向量,即选(B).【评注评注】本题是对矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14)设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的(0,1),数u满足PXu,若P|X|x ,则x等于(A)u.2(B)u12.(C)u1.2(D)u1.C【分析分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解详解】由P|X|

15、x ,以及标准正态分布密度曲线的对称性可得PXx1.故正确答案为(C).2【评注评注】本题是对标准正态分布的性质,严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题三、解答题(本题共本题共 9 9 小题，满分小题，满分 9494 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.).)(15)(本题满分 8 分)1cos2x求lim(2).2x0sin xx0【分析分析】先通分化为“”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可.01cos2xx2sin2xcos2x【详解详解】lim(2)lim2x0sin xx0 xx2sin2x1112x2sin22x2xsin

16、4x(4x)1cos4x4422=lim.limlimlim4322x0 x0 x0 x06x3x4x6x0【评注评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“”型极限，应充分利用等价无0穷小替换来简化计算.(16)(本题满分 8 分)求(D2222x2y2y)d，其中D是由圆x y 4和(x 1)y 1所围成的平面区域(如图).【分析分析】首先，将积分区域D 分为大圆D1(x,y)|x2 y24减去小圆D2(x,y)|(x 1)2 y21，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解详解】令D1(x,y)|x2 y24,D2(x,y)|(x 1)2 y21，由对称性，yd 0.DDx2y2dx2y2d

17、x2y2dD1D22022r dr0322cos2r dr0dd2.163216(32)39922(xyy)dD所以，16(32).9【评注评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算.(17)(本题满分 8 分)设f(x),g(x)在a,b上连续，且满足a证明：xf(t)dtaxg(t)dt，x a,b)，abf(t)dtag(t)dt.babxf(x)dxaxg(x)dx.aF(t)dt，将积分不等式转化为函数不等式即aF(t)dt，xxb【分析分析】令F(x)=f(x)g(x)，G(x)可.【详解详解】令

18、F(x)=f(x)g(x)，G(x)由题设G(x)0，x a,b，G(a)=G(b)=0，G(x)F(x).从而abxF(x)dxabxdG(x)xG(x)aG(x)dx G(x)dx，aabbb由于G(x)0，x a,b，故有G(x)dx 0，ab即axF(x)dx 0.abb因此xf(x)dxaxg(x)dx.b【评注评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法.(18)(本题满分 9 分)设某商品的需求函数为Q=100 5P，其中价格 P (0,20)，Q 为需求量.(I)求需求量对价格的弹性Ed(Ed 0)；dRQ(1Ed)(其中R为收益)，并用弹性Ed说

19、明价格在何范围内dP变化时，降低价格反而使收益增加.(II)推导【分析分析】由于Ed 0，所以EdP dQP dQ；由 Q=PQ 及Ed可推导Q dPQ dPdRQ(1Ed).dP【详解详解】(I)EdP dQP.Q dP20P(II)由 R=PQ，得dRdQP dQQPQ(1)Q(1Ed).dPdPQ dP又由EdP1，得 P=10.20PdR 0，dP当 10 P 1，于是故当 10 P 0 时，需求量对价格的弹性公式为EdP dQP dQ.Q dPQ dP利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：dR (1 Ed)Qdp，dRdR1(1 Ed)Q，(1)p，dpdQEdER1E

20、d(收益对价格的弹性).Ep(19)(本题满分 9 分)设级数x4x6x8(x)242462468的和函数为S(x).求：(I)S(x)所满足的一阶微分方程；(II)S(x)的表达式.【分析分析】对S(x)进行求导，可得到S(x)所满足的一阶微分方程，解方程可得S(x)的表达式.x4x6x8【详解详解】(I)S(x)，242462468易见S(0)=0，x3x5x7S(x)224246x2x4x6x()224246x2 x S(x).2因此S(x)是初值问题x3y xy,y(0)0的解.2x3(II)方程y xy 的通解为2x3xdxxdxyeedxC2 x22x21Ce2，由初始条件 y(0

21、)=0，得 C=1.故y x22x2e21，因此和函数S(x)x22x2e21.【评注评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002 年考过类似的题.(20)(本题满分 13 分)设1(1,2,0)T,2(1,2,3)T,3(1,b2,2b)T,(1,3,3)T,试讨论当a,b为何值时,()不能由1,2,3线性表示;()可由1,2,3唯一地线性表示,并求出表示式;()可由1,2,3线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式.【分析分析】将可否由1,2,3线性表示的问题转化为线性方程组k11 k22 k33 是否有解的问题即易求解.【详解详解】设有数k1,k2,k3,使得k11 k22 k33

22、.(*)记A (1,2,3).对矩阵(A,)施以初等行变换,有111111110ab1.(A,)2a2b2303aa2b300ab0()当a 0时,有1111.(A,)00b10001可知r(A)r(A,).故方程组(*)无解,不能由1,2,3线性表示.()当a 0,且a b时,有1111(A,)0ab100ab011001a1 010a0001r(A)r(A,)3,方程组(*)有唯一解：k1111,k2,k3 0aa此时可由1,2,3唯一地线性表示,其表示式为11 (1)12aa()当a b 0时,对矩阵(A,)施以初等行变换,有1111(A,)0ab100ab011001a1，011a00

23、00r(A)r(A,)2,方程组(*)有无穷多解，其全部解为k1111,k2c,k3 c，其中c为任意常数aa其表示式为可由1,2,3线性表示,但表示式不唯一,11 (1)1(c)2 c3aa【评注】本题属于常规题型,曾考过两次(1991,2000).(21)(本题满分 13 分)设n阶矩阵1bAbbb1b.b1()求A的特征值和特征向量;()求可逆矩阵P,使得P1AP为对角矩阵.【分析分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题,通常可由求解特征方程|E A|0和齐次线性方程组(E A)x 0来解决.【详解详解】()1当b 0时，1bbb1 b|EA|bb11(n1)b(1b)n1,得A的

24、特征值为11(n1)b，2 n1 b对11(n1)b，bb(n1)11(n1)bb(n1)bb1(n1)11EAbb(n1)b11(n1)111nn1111111n1 111n1 11n1111n11 1000000001000111n1001n0n01010nn00110000000解得1(1,1,1,1)T，所以A的属于1的全部特征向量为k1 k(1,1,1,1)T对21b，(k为任意不为零的常数)bbb111bbb0002EAbbb000得基础解系为2(1,1,0,0)T，3(1,0,1,0)T，,n(1,0,0,1)T故A的属于2的全部特征向量为k22 k33 knn2(k2,k3,k

25、n是不全为零的常数)当b 0时，10001 0|EA|(1)n,001特征值为1n1，任意非零列向量均为特征向量()1当b 0时，A有n个线性无关的特征向量，令P (1,2,n)，则1(n1)b1bP1AP1b2当b 0时，A E，对任意可逆矩阵P,均有P1AP E【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算,齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题,属于有一点综合性的试题.另外,本题的解题思路是容易的,只要注意矩阵中含有一个未知参数,从而一般要讨论其不同取值情况.(22)(本题满分 13 分)设A，B为两个随机事件,且P(A)111,P(B|A),P(A|B),令432

26、A发生，1,X0，A不发生，B发生，1,Y0，B不发生.求()二维随机变量(X,Y)的概率分布;()X与Y的相关系数XY;()Z X2 Y2的概率分布.【分析分析】本题的关键是求出(X,Y)的概率分布，于是只要将二维随机变量(X,Y)的各取值对转化为随机事件A和B表示即可【详解】【详解】()因为P(AB)P(A)P(B|A)则有1，于是12P(B)P(AB)1，P(A|B)6PX 1,Y 1 P(AB)1，121，6PX 1,Y 0 P(AB)P(A)P(AB)PX 0,Y 1 P(AB)P(B)P(AB)1，122，3PX 0,Y 0 P(A B)1 P(A B)1P(A)P(B)P(AB)

27、(或PX 0,Y 0 11112)，126123即(X,Y)的概率分布为：YX01012316112112()方法一：因为EX P(A)111，EY P(B)，E(XY)，4612EX2 P(A)11，EY2 P(B)，46DX EX2(EX)235，DY EY2(EY)2，16161，241151515Cov(X,Y)E(XY)EXEY 所以X与Y的相关系数XYCov(X,Y)DXDY方法二：X,Y 的概率分布分别为XP则EX 01YP013414561611351，DY=,E(XY)=,EY，DX 461636121，从而24故Cov(X,Y)E(XY)EX EY XYCov(X,Y)DX

28、DY15.15()Z的可能取值为：0，1，2 PZ 0 PX 0,Y 0 2，31，4PZ 1 PX 1,Y 0 PX 0,Y 1 PZ 2 PX 1,Y 1 即Z的概率分布为：ZP1，120122314112【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型(23)(本题满分 13 分)设随机变量X的分布函数为,x，F(x,)1x0，x，其中参数 0,1.设X1,X2,Xn为来自总体X的简单随机样本,()当 1时,求未知参数的矩估计量;()当 1时,求未知参数的最大似然估计量;()当 2时,求未知参数的最大似然估计量.【分析】【分析

29、】本题是一个常规题型,只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数,从而先由分布函数求导得密度函数.【详解】【详解】当 1时,X的概率密度为,x1，f(x,)x10，x1，()由于EX令xf(x;)dx1xx1dx,1X,解得1X,X 1X.X 1所以,参数的矩估计量为()对于总体X的样本值x1,x2,xn,似然函数为L()i1nn,xi1(i1,2,n),f(xi;)(x1x2xn)10,其他.当xi1(i 1,2,n)时,L()0,取对数得ln L()nln(1)ln xi,i1n对求导数，得ndln L()nln xi，di1令ndln L()nln xi0，解得d

30、i1nln xi1n，i于是的最大似然估计量为nln xi1ni()当 2时,X的概率密度为22f(x,)x3,x，0，x，对于总体X的样本值x1,x2,xn,似然函数为L()i1n2n2n,xi(i1,2,n),f(xi;)(x1x2xn)30,其他.当xi(i 1,2,n)时,越大，L()越大,即的最大似然估计值为 minx1,x2,xn,minX1,X2,Xn于是的最大似然估计量为2005 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）（1 1）极限lim xsinx2x=2x1.（2 2）微分方程xy

31、 y 0满足初始条件y(1)2的特解为_.（3 3）设二元函数zxexy(x1)ln(1y)，则dz(1,0)_.（4 4）设行向量组(2,1,1,1)，(2,1,a,a)，(3,2,1,a)，(4,3,2,1)线性相关，且a 1，则 a=_.（5 5）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为X,再从1,2,X中任取一个数，记为Y,则PY 2=_.（6 6）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为XY0100.4b1a0.1，b=.已知随机事件X 0与X Y 1相互独立，则 a=二、选择题二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把

32、所选项前的字母填在题后的括号内）（7 7）当 a 取下列哪个值时，函数f(x)2x39x212x a恰好有两个不同的零点.(A)2.（8 8）设(B)4.(C)6.(D)8.I122cosx y d,I2Dcos(xD2y2)d,I3cos(xD2y2)2d,其中D(x,y)x2 y21，则(A)I3 I2 I1.(C)I2 I1 I3.（B）I1 I2 I3.(D)I3 I1 I2.（9 9）设an 0,n 1,2,若an发散，(1)n1an收敛，则下列结论正确的n1n1是(A)an1n12n1收敛，a2n发散.n1（B）an12n收敛，a2n1发散.n1(C)(a2n1a2n)收敛.(D)

33、(an12n1a2n)收敛.（1010）设f(x)xsin x cos x,下列命题中正确的是(A)f(0)是极大值，f()是极小值.2（B）f(0)是极小值，f()是极大值.2（C）f(0)是极大值，f()也是极大值.(D)f(0)是极小值，f()也是极小值.22（1111）以下四个命题中，正确的是(A)若f(x)在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界.（B）若f(x)在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界.（C）若f(x)在（0，1）内有界，则 f(x)在（0，1）内有界.(D)若f(x)在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.（1212）设矩阵 A=(a

34、ij)33满足A*AT，其中A*是 A 的伴随矩阵，AT为 A 的转置矩阵.若a11,a12,a13为三个相等的正数，则a11为(A)3.3(B)3.(C)1.3(D)3.（1313）设1,2是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1,2，则1，A(12)线性无关的充分必要条件是(A)10.(B)20.(C)1 0.(D)2 0.（1414）设一批零件的长度服从正态分布N(,2)，其中,2均未知.现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值x 20(cm)，样本标准差s 1(cm)，则的置信度为 0.90 的置信区间是(A)(20(C)(20 11t0.05(16),20 t0.05

35、(16).44(B)(20 11t0.1(16),20 t0.1(16).441111t0.05(15),20 t0.05(15).(D)(20 t0.1(15),20 t0.1(15).4444三三、解答题（本题共、解答题（本题共 9 9 小题，满分小题，满分 9494 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤步骤.）（1515）（本题满分）（本题满分 8 8 分）分）求lim(x01x1).1exx（1616）（本题满分）（本题满分 8 8 分）分）22yx2g2g设 f(u)具有二阶连续导数，且g(x,y)f()yf()，求xy.22xyxy（171

36、7）（本题满分）（本题满分 9 9 分）分）计算二重积分x2y21d，其中D(x,y)0 x 1,0 y 1.D（1818）（本题满分）（本题满分 9 9 分）分）求幂级数(n111)x2n在区间(-1,1)内的和函数 S(x).2n1（1919）（本题满分）（本题满分 8 8 分）分）设 f(x),g(x)在0，1上的导数连续，且 f(0)=0,f(x)0,g(x)0.证明：对任何a0,1,有a0g(x)f(x)dxf(x)g(x)dxf(a)g(1).01（2020）（本题满分）（本题满分 1313 分）分）已知齐次线性方程组x12x23x30,（i）2x13x25x30,xxax0,23

37、1和x1bx2cx30,（ii）22x1b x2(c1)x30,同解，求 a,b,c 的值.（2121）（本题满分）（本题满分 1313 分）分）A设DTC矩阵.TC为正定矩阵，其中A,B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为mnBE(I)计算P DP，其中PmoA1C；En（II）利用(I)的结果判断矩阵BCTA1C是否为正定矩阵，并证明你的结论.（2222）（本题满分）（本题满分 1313 分）分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为1,0 x1,0y2x,f(x,y)其他.0,求：（I）(X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y)；（II）Z 2 X Y的概率密度fZ(z).(III)PY 11X.22（2323）（本题满分）（本题满分 1313 分）分）设X1,X2,Xn(n 2)为来自总体 N(0,2)的简单随机样本，X为样本均值，记Yi Xi X,i 1,2,n.求：（I）Yi的方差DYi,i 1,2,n；（II）Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).（III）若c(Y1 Yn)2是2的无偏估计量，求常数c.