高考试题(数学理)天津卷 解析版.pdf

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1、20XX20XX 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科数学理科数学第第 I I 卷卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合A 1,2,3,4,B y|y 3x 2，x A,则AB=（）（A）1（B）4（C）1,3（D）1,4【答案】D【解析】试题分析：B 1,4,7,10,AB 1,4.选 D考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏.x y

2、 2 0,（2）设变量 x，y 满足约束条件2x 3y 6 0,则目标函数z 2x 5y的最小值为（）3x 2y 9 0.（A）4【答案】B（B）6（C）10（D）17考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.（3）在 ABC 中，若AB=13,BC=3，C 120,则 AC=（）（A）1【答案】A【解析】试题分析：由余弦定理得13 9 AC23AC AC 1,选 A.（B）2（C）3（D）

3、4考点：余弦定理【名师点睛】1.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解2利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（）（A）2（B）4（C）6（D）8【答案】B【解析】试题分析：依次循环：S 8,n 2;S 2,n 3;S 4,n 4结束循环，输出S 4，选 B.考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循

4、环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.（5）设an是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q0”是“对任意的正整数 n，a2n1+a2n0）（6）已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相4b交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为 2b，则双曲线的方程为（）x23y2x24y2x2y2x2y2=1（B）=1（C）2=1（D）=1（A）444b41243【答案】D考点：双曲线渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程关注点：(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条

5、坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为AxBy1(AB0)若已知渐近线方程为mxny0，则双曲线方程可设为m xn y(0)（7）已知ABC是边长为 1 的等边三角形，点D,E分别是边AB,BC的中点，连接DE并延长到点F，使得222222DE 2EF，则AF BC的值为（）（A）58（B）18（C）14（D）118【答案】B【解析】试题分析：设BA a，BC b，DE 1133AC(ba)，DF DE(ba)，22241353532531AF AD DF a(ba)

6、a b，AF BC abb ，故选 B.244444848考点：向量数量积【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简.平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言“坐标语言”，实质是“形”化为“数”向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来x2(4a3)x3a,x 0,（8）已知函数f（x）=（a0,且a1）在 R R 上单调递减，且关于x的方程|f(x)|2 xloga(x1)1,x 0恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是

7、（）（A）（0，【答案】C【解析】试题分析：由f(x)在R上递减可知22312（B），（C），33433312（D），）4333434a 013 a，由方程|f(x)|2 x恰好有两个不相等的43a 1,0 a 13实数解，可知3a 2,11231 2，a，又a 时，抛物线y x2(4a3)x3a与直线y 2 x相a3341 23 334切，也符合题意，实数a的去范围是,，故选 C.考点：函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以

8、解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解第卷第卷注意事项：注意事项：1 1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2 2、本卷共、本卷共 1212 小题，共计小题，共计 110110 分分.二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分.（9）已知a,bR R，i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则【答案】2【解析】a的值为_.b1b aa 2a试题分析：(1i)(1bi)1b(1b)i a，则，所以，2，故答案为 21b

9、 0b 1b考点：复数相等【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a a bi bi)(c c di di)(acac bdbd)(adad bcbc)i i,(a a,b b,c c.d d R R)，a a bi bi(acac bdbd)(bcbc adad)i i,(a a,b b,c c.d d R R)，.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数a a bi bi(a a,b bR R)的实22c c di dic c d d部为a a、虚部为b b、模为a a2b b2、共轭为a a bi bi.28（

10、10）(x)的展开式中x的系数为_.(用数字作答)21x【答案】56考点：二项式定理【名师点睛】1.求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项2有理项是字母指数为整数的项解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_m.3【答案】2【解析】试题分析：由三视图知四棱锥高为3，底面平行四边

11、形的底为2，高为 1，因此体积为V 答案为 21(21)3 2故3考点：三视图【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图2三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据（12）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为_.【答案】2 33【解析】试题分析：设CE x，则由相交弦定理得DE CE AE BE，DE 因为AB是直径，则BC 3212 2 2，AD 922，又BD DE，所以AC AE 1，xxDA

12、E，则4，在圆中BCEx2BCEC，即ADAE2 32 2x，解得x 34192x考点：相交弦定理【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形比例式等积式”在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握2应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等（13）已知f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a满足f(2则a的取值范围是_.【答案】(,)

13、a1)f(2)，1 32 2考点：利用函数性质解不等式【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效(2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化x 2pt2(14)设抛物线，（t为参数，p0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.y 2pt设C（7p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且ACE的面积为3 2，则p的值为_.2

14、【答案】6【解析】p7p3,0)，CF p 3p，又CF 2 AF，则AF p，22223EFCFEFCF 2，由抛物线的定义得AB p，所以xA p，则|yA|2p，由CF/AB得，即2EAAFEAAB1所以SCEF 2SCEA6 2，SACF SAECSCFE9 2，所以3p2p 9 2，p 62试题分析：抛物线的普通方程为y2 2px，F(考点：抛物线定义【名师点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理2若P(x0，y0)为抛物线y2px(p0)上一点，由定义易得|PF|x0；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，22py1)，B(x2，y2)，则弦长为|

15、AB|x1x2p，x1x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分.（15）已知函数 f(x)=4tanxsin(2 x)cos(x3)-3.()求f(x)的定义域与最小正周期；（）讨论 f(x)在区间【答案】（）x x ,上的单调性.4 4 上单调递k,kZ，.（）在区间,上单调递增,在区间，212 4412减.【解析】试题分析：（）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：f(x)=2sin2x上单调性3，再根据正弦函

16、数性质求定义域、周期根据（1）的结论，研究三角函数在区间,4 4试题解析：解：fx的定义域为x x k,kZ.2fx 4tan xcosxcosx3 4sin xcosx333132=4sin xcosxsin x 3 2sin xcos x2 3sin x322=sin2x31-cos2x3 sin2x3cos2x=2sin2x所以,fx的最小正周期T 3.2.2解：令z 2x3,函数y 2sin z的单调递增区间是由22k,2k,kZ.222k 2x322k,得12k x 5k,k Z.12设A5 ,B x k x k,kZ，易知AB,.1212 44 412所以,当x ,时,fx在区间,

17、上单调递增,在区间，上单调递减.4 412 4412考点：三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.对于三角函数来说，常常是先化为 yAsin(x)k 的形式，再利用三角函数的性质求解三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是

18、一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式(16)（本小题满分 13 分）某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3 的人数分别为 3,3,4,.现从这10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会.（I）设A为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（II）设X为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（）1（）详见解析3试题解析：解：()由已知，有112C3C4C41PA,2C103所以，事件A发生的概率为1.3()随机变量X的所有可能取值为0,1,2.2C32C32C4PX 02C1

19、01111C3C3C3C4PX 12C1011C3C4PX 22C104，157，154.15所以，随机变量X分布列为X0124P15474121.随机变量X的数学期望EX 0151515考点：概率，概率分布与数学期望【名师点睛】求均值、方差的方法7154151已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；2已知随机变量的均值、方差，求的线性函数ab的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；3如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解(17)（本小题满分 13 分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边

20、形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.（I）求证：EG平面ADF；（II）求二面角O-EF-C的正弦值；（III）设H为线段AF上的点，且AH=2HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.3【答案】（）详见解析（）37（）321A1,1,0,B(1,1,0),C(1,1,0),D(11，,0),E(1,1,2),F(0,0,2),G(1,0,0).n1 AD 0（I）证明：依题意，AD(2,0,0),AF 1,1,2.设n1x,y,z为平面ADF的法向量，则，n1 AF 0即2x 0.不妨设z 1，可得n10,2,1，又EG 0,1,2，可得EGn1

21、0，又因为直线x y2z 0EG 平面ADF，所以EG/平面ADF.（II）解：易证，OA1,1,0为平面OEF的一个法向量.依题意，EF 1,1,0,CF 1,1,2.设x y 0n2EF 0，即.不妨设x 1，可得n21,1,1.n2x,y,z为平面CEF的法向量，则x y2z 0n2CF 0因此有cos OA,n2OAn2OA n2 63，于是sin OA,n2，所以，二面角O EF C的正弦值为333.3（III）解：由AH 222 22 4HF，得AH AF.因为AF 1,1,2，所以AH AF,，进而有35555 5BH n273 3 4 2 8 4.所以，直线BH和平面CEF H

22、,，从而BH,，因此cos BH,n2215 5 55 5 5BH n2所成角的正弦值为7.21考点：利用空间向量解决立体几何问题【名师点睛】1.利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算2利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题(1)a a0，b b0，a ab ba ab b0；(2)|a a|a a；(3)cosa a，b b2a ab b.|a a|b b|(18)已知an是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的nN,bn是an和an1的等差中项.()设cnbn1bn,nN，求证：cn是等差数列；22*()设a1 d,Tn1k12nn

23、bn,nN，求证：2*112.2dk1Tkn【答案】（）详见解析（）详见解析【解析】222试题分析：（）先根据等比中项定义得：bn anan1，从而cnbn1bn an1an2anan1 2dan1，因此根据等差数列定义可证：cn1cn 2dan2an1 2d2（）对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简Tnn1k12nn2bn2b12b2b32b42b22n1b22n 2d2nn1，再利用裂项相消法求和11n11n 1111 1，易得结论.2222dk1kk 12dk1kk 12dn1k1Tk考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和【名师点睛】分组转化法求和的常见类型(1)若a

24、nbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前 n 项和bn，n为奇数，(2)通项公式为ancn，n为偶数的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和（19）（本小题满分 14 分）x2y2113e设椭圆2，其中O为原1（a 3）的右焦点为F，右顶点为A，已知a3|OF|OA|FA|点，e为椭圆的离心率.（）求椭圆的方程；（）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF HF，且MOA MAO，求直线的l斜率的取值范围.66x2y21（）(,)【答案】（）4344【解析】试题分析：（）求椭圆标准

25、方程，只需确定量，由113c113c，得再利用|OF|OA|FA|caa(ac)，a2c2 b2 3，可解得c21，a2 4（）先化简条件：MOA MAO|MA|MO|，即 M 再 OA中垂线上，xM1再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B；利用两直线方程组求H，最后根据BF HF，列等量关系解出直线斜率.取值范围试题解析：（1）解：设F(c,0)，由113c113c222，即，可得a c 3c，又|OF|OA|FA|caa(ac)2x2y21.a c b 3，所以c 1，因此a 4，所以椭圆的方程为432222（2）（）解：设直线l的斜率为k（k 0），则直线l的方程为y k(x2).设B

26、(xB,yB)，由方程组x2y21，消去y，整理得(4k23)x216k2x16k212 0.3 4y k(x2)194k220k29y x设M(xM,yM)，由方程组.在MAO中，k12k消去y，解得xM212(k 1)y k(x2)20k29MOA MAO|MA|MO|，即(xM2)y x y，化简得xM1，即1，解得212(k 1)22M2M2Mk 66或k.4466,).44所以，直线l的斜率的取值范围为(,考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数

27、的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围（20）（本小题满分 14 分）设函数f(x)(x1)3axb,xR，其中a,bR(I)求f(x)的单调区间；(II)若f(x)存在极值点x0，且f(x1)f(x0)，其中x1 x0，求证：x12x03；（）设a 0，函数g(x)|f(x)|，求证：g(x)在区间1,1上的最大值不小于.【答案】（）详见解析（）详见解析（）详见解析【解析】试题分析：（）先求函数的导数：f(x)

28、3(x1)a，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：当a 0时，有f(x)0恒成立，所以f(x)的单调增区间为(,).当a 0时，存在三个单调区间（）由题意得214(x01)2af(x1)f(x0)及单调性可得结论（）实质研究函数g(x)最，计算可得f(32x0)f(x0)再由3|f(3a3a|,|f()|33的大小即可，分三种情况研究当a 3时，大值：主要比较f(1),f(1)，133a3a2 3a3a3a2 3a，当 a 3时，1，当 0 21 011 21433333333a3a时，011 2.433320 a 试题解析：（）解：由f(x)(x1)axb，可得f(x)3(x1)a.下面

29、分两种情况讨论：（1）当a 0时，有f(x)3(x1)a 0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(,).2（2）当a 0时，令f(x)0，解得x 13a3a，或x 1.33当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)f(x)(,13a3a3a3a3a3a(1(1)1,1)1,)3333330极大值单调递减0极小值单调递增单调递增所以f(x)的单调递减区间为(13a3a3a3a,1)，单调递增区间为(,1)，(1,).33332（）证明：因为f(x)存在极值点，所以由（）知a 0，且x01，由题意，得f(x0)3(x01)a 0，即(x01)2a，332aax0b.338a3(1

30、x0)2ax03a b又f(32x0)(22x0)a(22x0)b 32aa x0b f(x0)，且32x0 x0，由题意及（）知，存在唯一实数满足f(x1)f(x0)，且x1 x0，33进而f(x0)(x01)ax0b 因此x132x0，所以x12x03；x,y表示x,y两数的最大值.下面分三种情况同理：（）证明：设g(x)在区间0,2上的最大值为M，max（1）当a 3时，13a3a，由（）知，f(x)在区间0,2上单调递减，所以f(x)在区间0,2 0 2133上的取值范围为 f(2),f(0)，因此M max|f(2)|,|f(0)|max|12a b|,|1b|max|a 1(a b

31、)|,|a 1(a b)|a1(ab),ab 0，所以M a 1|a b|2.a1(ab),ab 0（2）当32 3a3a3a2 3a a 3时，1 011 21，由（）和（）知，433332 3a3a2 3a3a)f(1)，f(2)f(1)f(1)，33333a3a),f(1)，因此33f(0)f(1所以f(x)在区间0,2上的取值范围为 f(1M max|f(13a3a2a2a)|,|f(1)|max|3a a b|,|3a a b|3399M max|f(0)|,|f(2)|max|1b|,|12a b|max|1a(a b)|,|1a(a b)|1a|ab|1.41.4综上所述，当a 0时，g(x)在区间0,2上的最大值不小于考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；(2)求导函数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f(x)0 或f(x)0 的解集(4)由f(x)0(f(x)0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间 若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间2由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题，要注意“”是否可以取到