2017年全国1卷高考理科数学真题(解析版).pdf

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1、20172017 年高考全国年高考全国 1 1 卷理科数学试题解析卷理科数学试题解析一一 1已知集合 A=x|x1000的最小偶数n，那么在可以分别填入AA1 000 和 n=n+1BA1 000 和 n=n+2CA1 000 和 n=n+1DA1 000 和 n=n+2和两个空白框中，3【答案】D【解析】由题意，因为3 2 1000，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入nnA1000，故填A1000，又要求n为偶数且初始值为 0，所以矩形框内填n n2，故选 D.9已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin(2x+2)，则下面结论正确的是3个612A 把 C1上各点的横坐标伸长

2、到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移单位长度，得到曲线 C2B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C2C 把 C1上各点的横坐标缩短到原来的单位长度，得到曲线 C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的个单位长度，得到曲线 C2【答案】D1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个261倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移212【解析】因为C1,C2函数名不同，所以先将C2利用诱导公式转化成与C1相同的函数名，则22)cos(2x)cos(2x)，则由C1上各点的横坐标缩短到33261原来的倍变为y cos2x，再将曲

3、线向左平移个单位长度得到C2，故选 D.212C2:y sin(2xA、B 两点，直线 l2与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为A16【答案】A11设 x、y、z 为正数，且235，则A2x3y5z【答案】D【解析】令235 k(k 1)，则x log2k，y log3k，z log5kxyzxyz10已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1与 C 交于B14C12D10B5z2x3yC3y5z2xD3y2x100且该数列的前N 项和为2 的整数幂.那么该款软件的激活码是A440【答案】A【解析】由题意得，数列如下：

4、B330C220D1101,1,2,1,2,4,1,2,4,2k1则该数列的前12kk(k1)项和为2k(k1)k1k1S1(12)(122)2k2，2要使k(k 1)100，有k 14，此时k22k1，所以k 2是第k 1组等比数列21,2,2k的部分和，设k2122t12t1，所以k 2314，则t 5，此时k 2 3 29，t5所以对应满足条件的最小整数N29305440，故选 A.2.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量 a a，b b 的夹角为 60，|a a|=2，|b b|=1，则|a a+2b b|=【答案】2 3【解 析】|a a 2b b

5、|a a|4a ab b4|b b|4421cos60 4 12222，所 以5|a a 2b b|12 2 3.秒杀解析：利用如下图形，可以判断出a a2b b的模长是以 2 为边长，一夹角为 60的菱形的对角线的长度，则为2 3.x2y1，14设 x，y 满足约束条件2xy 1，则z 3x2y的最小值为xy0，【答案】5【解析】不等式组表示的可行域如图所示，.111 1333 33z由z 3x2y得y x在y轴上的截距越大，z就越小，22易求得A(1,1),B(,),C(,)，所以，当直线z 3x2y过点A时，z取得最小值，所以z的最小值为3(1)21 5.6x2y215已知双曲线 C：2

6、21（a0，b0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，ab圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点.若MAN=60，则 C 的离心率为.【答案】【解析】2 33如图所示，作AP MN，因为圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点，则MN为双曲线的渐近线ybx上的点，且A(a,0)，|AM|AN|b，a而AP MN，所以PAN 30，点A(a,0)到直线ybx的距离|AP|a|b|1ba22，在RtPAN中，cosPAN由c2 a2b2得c 2b，所以e|PA|22，代入计算得a 3b，即a 3b，|NA|c2b2 3.a33b16如图，圆形纸片的圆心为

7、O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D，E，F 为圆 O 上的点，DBC，ECA，FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得 D，E，F 重合，得到三棱锥.当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为.7【答案】4 15三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。（12 分）17a2ABC 的内角 A，B，C 的对

8、边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为.3sin A（1）求 sin Bsin C;（2）若 6cos Bcos C=1，a=3，求ABC 的周长.1a21a【解析】（1）由题设得acsin B，即csin B.23sin A23sin A1sin A.sinCsin B23sin A2故sin BsinC.3由正弦定理得18.（12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，AB/CD，且BAP CDP 90.8（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，APD 90，求二面角 APBC 的余弦值.【解析】（1）由已知BAPCDP90，得 ABAP，CDPD.由于

9、AB/CD，故 ABPD，从而 AB平面 PAD.又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD.（2）在平面PAD内作PF AD，垂足为F，由（1）可知，AB 平面PAD，故AB PF，可得PF 平面ABCD.以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|AB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz.由（1）及已知可得A(2222,0,0)，P(0,0,)，B(,1,0)，C(,1,0).2222 2222所以PC (,1,)，CB (2,0,0)，PA (,0,)，AB (0,1,0).2222设n (x,y,z)是平面PCB的法向量，则9 22n nPC0,xyz0,即22n

10、nCB0,2x0,可取n n (0,1,2).设m m (x,y,z)是平面PAB的法向量，则 22m mPA0,xz0,即22m mAB0,y0.可取m m (1,0,1).则cos n nm m3，|n n|m m|33.3所以二面角APBC的余弦值为19（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2)（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求P(X 1)及X的数学期望；（2）

11、一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.9510.2610.129.919.9610.139.9610.0210.019.229.9210.049.9810.0510.049.9511611611622xi9.97，s经计算得x(xix)(xi16x2)0.212，16i116i116i1其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i 1,2,16，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值用样本平均数x作为的估计值

12、3,3)之外的数据，用剩下的数据判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(估计和（精确到 0.01）10附：若随机变量Z服从正态分布N(,2)，则P(3 Z 3)0.997 4，0.997 416 0.959 2，0.008 0.09 0.212，由样 9.97，的估计值为（ii）由x 9.97,s 0.212，得的估计值为 3,3)之外，因此需对当天的生产过程进行本数据可以看出有一个零件的尺寸在(检查.3,3)之外的数据9.22，剔除(剩下数据的平均数为因此的估计值为 10.02.1(169.979.22)10.02，15xi1162i 3,3)之外的数据 9.22，剩160.2122169

13、.9721591.134，剔除(1(1591.1349.2221510.022)0.008，15下数据的样本方差为因此的估计值为0.008 0.09.20.（12 分）3x2y2已知椭圆 C：22=1（ab0），四点 P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，2ab3）中恰有三点在椭圆 C 上.2（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点.【解析】（1）由于P3，P4两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过P3，P4两点.又由1113222知，C 不经过点 P1，所以点

14、P2在 C 上.2aba4b11,2a4,b2因此解得2131,b1.224bax2故 C 的方程为 y21.4（2）设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2，4t2如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x=t，由题设知t 0，且|t|2，可得 A，B 的坐标分别为（t，），2114t2（t，）.24t224t22 1，得t 2，不符合题设.则k1k22t2tx2 y21得从而可设 l：y kx m（m 1）.将y kx m代入4(4k21)x28kmx 4m24 0.由题设可知=16(4k2m21)0.4m248km设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=2，x1

15、x2=.4k14k21y1y21而k1k21x1x2kx1m1kx2m1x1x22kx1x2(m1)(x1x2).x1x2由题设k1 k2 1，故(2k 1)x1x2(m 1)(x1 x2)0.4m248km(m1)20.即(2k1)24k14k1m1解得k.2当且仅当m 1时，0，于是 l：y 所以 l 过定点（2，1）.21.（12 分）已知函数f(x)ae2xm1m1xm，即y1(x2)，22(a 2)exx.（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求 a 的取值范围.（1）f(x)的定义域为(,)，f(x)2ae【解析】2x(a 2)ex1(aex1)(2ex1)，（）

16、若a 0，则f(x)0，所以f(x)在(,)单调递减.（）若a 0，则由f(x)0得x lna.当x(,lna)时，f(x)0；当x(lna,)时，f(x)0，所以f(x)在12(,lna)单调递减，在(lna,)单调递增.综上，a的取值范围为(0,1).（二）选考题：共10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）x3cos,在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（为参数），直线 l 的参数方ysin,程为xa4t,.（t为参数）y1t,（1）若 a=1，求 C 与 l 的交点坐标；（2）若 C 上的

17、点到 l 距离的最大值为17，求 a.【解析】（1）曲线C的普通方程为x29 y 12.当a 1时，直线l的普通方程为x4y3 0.21x4y30,x,x3,25由x2解得或2y0y24.y1925从而C与l的交点坐标为(3,0)，(21 24,).25 2523选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.（1）当 a=1 时，求不等式f(x)g(x)的解集；（2）若不等式f(x)g(x)的解集包含1，1，求 a 的取值范围.【解析】（1）当a 1时，不等式f(x)g(x)等价于x x|x1|x1|4 0.当x 1时，式化为x 3x4 0，无解；2当1 x 1时，式化为x x2 0，从而1 x 1；2213当x 1时，式化为x x4 0，从而1x2117.2所以f(x)g(x)的解集为x|1x（2）当x1,1时，g(x)2.117.2所以f(x)g(x)的解集包含1,1，等价于当x1,1时f(x)2.又f(x)在1,1的最小值必为f(1)与f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1 a 1.所以a的取值范围为1,1.14