2021年高考数学真题一题多解 - 全国甲卷(理科)(解析版).pdf

《2021年高考数学真题一题多解 - 全国甲卷(理科)(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年高考数学真题一题多解 - 全国甲卷(理科)(解析版).pdf（7页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、20212021 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（甲年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（甲卷）卷）一题多解及数学思维研究一题多解及数学思维研究一、选择题一、选择题1.（2021 全国新高考卷9）若0,cos,tan2，则tan（）2 sin2C.A.1515B.5553D.153答案：A【知识点】【知识点】三角函数化简、二倍角公式三角函数化简、二倍角公式【分析】由二倍角公式可得tan2同角三角函数的基本关系即可求解.【解法一】sin22sincos1sin，再结合已知可求得，利用4cos212sin2cos2sinsin22sincoscostan2，cos212sin22sint

2、an22sin110,，cos 0，sin，解得，22412sin2sincos1sin2故选：A.15sin15.，tan4cos15【解法二】不妨设tan y(y 0)，则sin y,cos于是：11 y22tan22y，1 y21y21(1 y)2y(2yy21)y21y21y21 4y，又y 0，15，即：15y tan1515【思维方式】【思维方式】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，本题两种方法正向思维和逆向思维，由条件到结论和由结论到条件。体现了函数与方程的数学思想和数学抽象及逻辑推理的数学核心素养。2.10.将 4个 1 和 2个 0随机排成一行，（2021 全国新高考卷 1

3、0）则 2 个 0不相邻的概率为（）A.13B.25C.23D.45答案：C【知识点】【知识点】古典概型古典概型【分析】采用插空法，4 个 1产生 5 个空，分 2个 0相邻和 2 个 0 不相邻进行求解.【解法一】将 4 个 1和 2个 0随机排成一行，可利用插空法，4个 1产生 5个空，12若 2个 0 相邻，则有C5 5种排法，若 2个 0 不相邻，则有C510种排法，所以 2 个 0不相邻的概率为故选：C.102.51036A6215），【解法二】4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，共有4215种，（另解：C6A4A22 个 0 不相邻，先将 4 个 1 全排列，再用插空法将2

4、个 0 放入共有C5210种，102故 2 个 0 不相邻的概率为故选：C153【思维方式】【思维方式】本题考查了古典概型概率公式的应用，体现了函数与方程的数学思想和数学抽象及逻辑推理的数学核心素养。3.（2021 全国新高考卷 12）12.设函数fx的定义域为 R R，fx1为奇函数，fx2为 9（）2D.2偶函数，当x 1,2时，f(x)ax b若f0 f3 6，则f A.94B.32C.7452答案：D【知识点】【知识点】函数性质的综合应用函数性质的综合应用【分 析】通 过fx1是 奇 函 数 和fx2是 偶 函 数 条 件，可 以 确 定 出 函 数 解 析 式fx 2x22，进而利用

5、定义或周期性结论，即可得到答案【解法一】因为fx1是奇函数，所以fx1 fx1；因为fx2是偶函数，所以fx2 fx2令x 1，由得：f0 f2 4ab，由得：f3 f1 ab，因为f0 f3 6，所以4abab 6a 2，令x 0，由得：f1 f1 f10b 2，所以fx 2x 22思路一：从定义入手 9 551 f f 2 f 2 f22221 3f f1 f22 5 f f2 12 f2 31 f21 2=2 52 3f2 9 f所以 f2【解法二】因为 3522fx1是奇函数，所以fx1 fx1；因为fx2是偶函数，所以fx2 fx2令x 1，由得：f0 f2 4ab，由得：f3 f1

6、 ab，因为f0 f3 6，所以4abab 6a 2，令x 0，由得：f1 f1 f10b 2，所以fx 2x 22思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数fx的周期T所以f4 9 1 f f22 3522故选：D【思维方式】【思维方式】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果体现了函数与方程的数学思想，数学抽象及逻辑推理的数学核心素养。二、填空题22xy4.（2021 全国新高考卷 15）已知F1,F2为椭圆 C：1的两个焦点，P，Q 为 C 上关164PFQF于坐标原点对称的两点，且PQ F12的面积为_1F2，则四边形答案：8【知识点

7、】【知识点】椭圆的定义和性质椭圆的定义和性质【分析】根据已知可得PF1 PF2，设|PF1|m,|PF2|n，利用勾股定理结合m n 8，求出mn，四边形PFQFmn，即可求解.12面积等于【解法一】【详解】因为P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|F1F2|，所以四边形PFQF12为矩形，设|PF1|m,|PF2|n，则m n 8,m2 n2 48，所以64 (m n)m 2mn n 48 2mn，222mn8，即四边形PFQF12面积等于8.故答案为：8.【解法二】因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|F1F2|，所以四边形PFQF12为矩形，S 2SPF1F2 2b2

8、tan 24tan8.4【思维方式】【思维方式】判断四边形PFQF为矩形，利用椭圆的定义及勾股定理求解即可本题主要考查椭12圆的性质，椭圆的定义，考查方程思想与运算求解能力，体现了数学抽象及逻辑推理的数学核心素养。5.（2021 全国新高考卷19）已知直三棱柱ABC A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB BC 2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点BF A1B1（1）证明：BF DE；（2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小?答案：（1）见解析；（2）B1D 12【知识点】【知识点】垂直的证明、二面角的求法垂直的证明、二面角的求法【分

9、析】通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案【解法一】因为三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，所以BB1底面ABC，所以BB1 AB因为A1B1/AB，BF A1B1，所以BF AB，又BB1 BF B，所以AB 平面BCC1B1所以BA,BC,BB1两两垂直以B为坐标原点，分别以BA,BC,BB1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所以B0,0,0,A2,0,0,C0,2,0,B10,0,2,A12,0,2,C10,2,2，E1,1,0,F0,2,1由题设Da,0,2（0 a 2）

10、（1）因为BF 0,2,1,DE 1a,1,2，所以BFDE 01a2112 0，所以BF DE（2）设平面DFE的法向量为m x,y,z，因为EF 1,1,1,DE 1a,1,2，所以mEF 0mDE 0，即x y z 01a x y2z 0令z 2a，则m 3,1a,2 a因为平面BCC1B1的法向量为BA2,0,0，设平面BCC1B1与平面DEF的二面角的平面角为，则cos当a mBAm BA622a 2a14232a 2a142127时，2a22a4取最小值为，22此时cos 取最大值3632722所以sin此时B1D min63，13312【解法二】（1）取BC中点M,连接B1M,E

11、M,先证明四边形DB1ME为梯形，再证明BE B1M,本问题即可解决.【思维方式】【思维方式】本题考查空间中线与线的垂直关系，二面角的求法，熟练掌握利用空间向量证明线线垂直和求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，数学抽象及直观想象的数学核心素养。xa6.（2021 全国新高考卷21）已知a 0且a 1，函数f(x)x(x 0)a（1）当a 2时，求fx的单调区间；（2）若曲线y fx与直线y 1有且仅有两个交点，求a的取值范围答案：（1）0,2 2,上单调递增；上单调递减；（2）1,ee,.ln2ln2【知识点】【知识点】导数研究函数的性质导数研究函数的性质【分析

12、】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；（2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线y fx与直线y 1有且仅有两个交点等价转化为方程alnxlna有两个不同的实数根，即曲线y gx与直线y 有两个交点，利用导函数研xalnalna1，ae究gx的单调性，并结合gx的正负，零点和极限值分析gx的图象，进而得到0 发现这正好是0 ga ge，然后根据gx的图象和单调性得到a的取值范围.xx22x2x x22xln2x22 xln2,【解法一】（1）当a 2时，fxx,f x2xx242 令f x0得x 222,当0 x 时，f x 0,当x 时，f x 0

13、,ln2ln2ln22 2,0,f x函数 在上单调递增；上单调递减；ln2ln2ln xxaln xlna,设函数gx,（2）fxx1 ax xa xlna aln x xaxa则gx1ln x,令gx0，得x e,2x在0,e内gx 0,gx单调递增；在e,上gx 0,gx单调递减；1gxmax ge,e又g10，当x趋近于时，gx趋近于 0，所以曲线y fx与直线y 1有且仅有两个交点，即曲线y gx与直线y 的充分必要条件是0 a有两个交点lnalna1,这即是0 ga ge,ae所以a的取值范围是1,e e,.【解法二】令g(x)f(x)1(x 0)，xa1(a xlna)g(x)a

14、x1）0 a 1时，g(x)至多一个零点，故舍去；2）a 1时，g(x)0 x a,g(x)在(0,a)上单调递增，在(a,)上单调递减.lnalnalna又limg(x)1 0，lim g(x)1 0，x0 xg(x)max g(a)0，lna则(a)a alnaa alna，lnalna两边取以e为底的对数得lna lnalna lna lnlna 1lna 1，lnalna令lna t，得t lnt 1，即t 1 lnt.又t 1 lnt（证明略）当且仅当t 1取等号，故式的解为t 1，即lna 1.a的取值范围是(1，e)(e，)【思维方式】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.，体现了数学抽象及逻辑推理的数学核心素养。1a1