2021年高考试题数学理(新课标1卷)解析版.pdf

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1、绝密启封并利用完毕前绝密启封并利用完毕前试题类型：试题类型：A A20212021 年一般高等学校招生全国统一考试（新课标年一般高等学校招生全国统一考试（新课标 1 1 卷）卷）数学理数学理注意事项：注意事项：1.1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部份。第卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部份。第卷1 1 至至 3 3 页，第卷页，第卷 3 3 至至 5 5 页。页。2.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3.3.全数答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。全数答案在答题卡上完成，答

2、在本试题上无效。4.4.考试终止后，将本试题和答题卡一并交回。考试终止后，将本试题和答题卡一并交回。第卷第卷一一.选择题：本大题共选择题：本大题共1212 小题，每题小题，每题5 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。题目要求的。（1）设复数 z 知足1+z=i，那么|z|=1 z（A）1（B）2（C）3（D）2【答案】A考点：1.复数的运算；2.复数的模.（2）sin20cos10-con160sin10=（A）【答案】D【解析】1试题分析：原式=sin20cos10+cos20sin10=sin30=，应选 D.23

3、311（B）（C）（D）2222考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式（3）设命题 P：nN，n22n，那么P 为（A）nN,n22n（B）nN,n22n（C）nN,n22n（D）nN,n2=2n【答案】C【解析】试题分析：p:nN,n2 2n，应选 C.考点：特称命题的否定（4）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。已知某同窗每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是不是投中彼此独立，那么该同窗通过测试的概率为（A）0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.312【答案】A【解析】试题分析：依照独立重复实验公式得，该同窗通过测试的概率为C320.620.40.63=

4、0.648，应选 A.考点：独立重复实验；互斥事件和概率公式x2（5）已知 M（x0，y0）是双曲线 C：y21上的一点，F1、F2是 C 上的两个核心，假设MF1MF220，那么 y0的取值范围是（A）（-33，）33（B）（-33，）66（C）（2 32 32 22 2，）（D）（，）3333【答案】A考点：向量数量积；双曲线的标准方程（6）九章算术是我国古代内容极为丰硕的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5

5、尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有（）A.14 斛B.22 斛C.36 斛D.66 斛【答案】B考点：圆锥的体积公式（7）设 D 为ABC 所在平面内一点BC 3CD，那么（）1414（A）AD ABAC(B)AD ABAC3333（C）AD【答案】A【解析】4141ABAC(D)AD ABAC33331114试题分析：由题知AD AC CD AC BC AC(AC AB)=ABAC，应选 A.3333考点：平面向量运算(8)函数f(x)=cos(x)的部份图像如下图，那么f(x)的单调递减区间为(A)（k 4

6、,k+4,）,k (b)（2k 4,2k+4）,k 1313(C)（k 4,k+4）,k(D)（2k 4,2k+4）,k 1313【答案】D【解析】1+42试题分析：由五点作图知，解得=，=，因此f(x)cos(x)，令445+3422kx4 2k,kZ，解得2k 1331x2k，kZ，故单调减区间为（2k，2k），4444kZ，应选 D.考点：三角函数图像与性质（9）执行右面的程序框图，若是输入的 t=0.01，那么输出的 n=（A）5（B）6（C）7（D）8【答案】C【解析】1m试题分析：执行第 1 次，t=0.01,S=1,n=0,m=0.5,S=S-m=0.5,m=0.25,n=1,S

7、=0.5t=0.01,是，循环，22m执行第 2 次，S=S-m=0.25,m=0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是，循环，2m执行第 3 次，S=S-m=0.125,m=0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是，循环，2m执行第 4 次，S=S-m=0.0625,m=0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是，循环，2m执行第 5 次，S=S-m=0.03125,m=0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是，循环，2m执行第 6 次，S=S-m=0.015625,m=0.0078125,n=6,S=0.015625t=0.01,是，循

8、环，2m执行第 7 次，S=S-m=0.0078125,m=0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否，输出 n=7，应选 C.2考点：程序框图52（10）(x x y)的展开式中，x y的系数为25（A）10（B）20（C）30（D）60【答案】C【解析】试题分析：在(x2 x y)5的 5 个因式中，2 个取因式中x2剩余的 3 个因式中 1 个取x，其余因式取y,故x5y2的系数为C5C3C2=30，应选 C.考点：排列组合；二项式定理（11）圆柱被一个平面截去一部份后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如下图。假设该几何体的表面

9、积为16+20，那么 r=212（A）1（B）2（C）4（D）8【答案】B考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式12.设函数f(x)=ex(2x1)axa,其中a1，假设存在唯一的整数 x0，使得f(x0)0，那么a的取值范围是（）A.-2，1）B.-2，4）C.2，4）D.2，1）【答案】D【解析】试题分析：设g(x)=ex(2x1)，y axa，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在直线y axa的下方.111因为g(x)ex(2x1)，因此当x 时，g(x)0，当x 时，g(x)0，因此当x 时，222g(x)max=-2e，12333333当x 0时，g(0)=

10、-1，g(1)3e 0，直线y axa恒过（1,0）斜率且a，故a g(0)1，且g(1)3e1 aa，解得3a1，应选 D.2e考点：导数的综合应用第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部份。第（13）题第（21）题为必考题，每一个试题考生都必需作答。第（22）题第（24）题未选考题，考生依照要求作答。二、填空题：本大题共 3 小题，每题 5 分（13）假设函数 f(x)=xln（x+a x2）为偶函数，那么 a=【答案】1考点：函数的奇偶性x2y21的三个极点，且圆心在 x 轴上，那么该圆的标准方程为。（14）一个圆通过椭圆164325【答案】(x)2 y224【解析】3试题分析：设圆心为（

11、a，0），那么半径为4|a|，那么(4|a|)2|a|222，解得a ，故圆的2325方程为(x)2 y2.学优高考网24考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程x1 0y（15）假设 x,y 知足约束条件x y 0，则的最大值为 .xx y4 0【答案】3【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部份所示，由斜率的意义知，斜率，由图可知，点 A（1,3）与原点连线的斜率最大，故y是可行域内一点与原点连线的xy的最大值为 3.x考点：线性计划解法（16）在平面四边形 ABCD 中，A=B=C=75，BC=2，那么 AB 的取值范围是【答案】（6 2，6+2）【解析】试题分析：如下图，延长 BA，CD 交

12、于 E，平移 AD，当 A 与 D 重合与 E 点时，AB 最长，在BCE 中，B=C=75，E=30，BC=2，由正弦定理可得2BEBCBE，即，sin30osin75osinEsinC解得BE=6+2，平移 AD，当 D 与 C 重合时，AB 最短，现在与 AB 交于 F，在BCF 中，B=BFC=75，FCB=30，由正弦定理知，BFBCBF2，即，解得oosinFCBsinBFCsin30sin75BF=6 2，因此 AB 的取值范围为（6 2，6+2）.考点：正余弦定理；数形结合思想三.解答题：解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤。（17）（本小题总分值 12 分）2 an=4Sn

13、3.Sn为数列an的前 n 项和.已知an0，an（）求an的通项公式：（）设=11,求数列的前 n 项和11【答案】（）2n1（）64n6【解析】试题分析：（）先用数列第 n 项与前 n 项和的关系求出数列an的递推公式，能够判定数列an是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列an的通项公式；（）依照（）数列bn的通项公式，再用拆项消去法求其前 n 项和.学优高考网试题解析：（）当n 1时，a12 2a1 4S13 4a1+3，因为an 0，因此a1=3，22 anan当n 2时，an1an1=4Sn34Sn13=4an，即(anan1)(anan1)2(anan1)，因为an 0，因

14、此anan1=2，因此数列an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，因此an=2n1；（）由（）知，bn=1111()，(2n1)(2n3)2 2n12n3因此数列bn前 n 项和为b1b211111bn=()()23557(1111.)=2n12n364n6考点：数列前 n 项和与第 n 项的关系；等差数列概念与通项公式；拆项消去法（18）如图，四边形 ABCD 为菱形，ABC=120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE=2DF，AEEC。（1）证明：平面 AEC平面 AFC（2）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值【答案】（）观点析（

15、）33EG2 FG2 EF2，EGFG，ACFG=G，EG平面 AFC，EG面 AEC，平面 AFC平面 AEC.6 分（）如图，以 G 为坐标原点，别离以GB,GC的方向为x轴，y 轴正方向，|GB|为单位长度，成立空间直角坐标系 G-xyz，由（）可得A（0，3，0），E(1,0,2)，F（1,0，2）.10 分22），C（0，23，0），AE=（1，3，2），CF=（-1，-3，故cos AE,CF AECF3.3|AE|CF|3.12 分3因此直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值为考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力（19）某公司为确信下一年度投

16、入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的阻碍，对近 8 年的年宣传费 x1 和年销售量 y1（i=1,2，8）数据作了初步处置，取得下面的散点图及一些统计量的值。xyw(x x)ii1n2(w w)ii1n2(x x)(y y)(w w)(yiinnii y)i1i146.656.36.8289.81.61469108.81表中 w1=x1,，w=8wi1ni（）依照散点图判定，y=a+bx 与 y=c+dx哪个适宜作为年销售量y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判定即可，没必要说明理由）（）依照（）的判定结果及表中数据，

17、成立 y 关于 x 的回归方程；（）已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.依照（）的结果回答以下问题：（i）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？附：关于一组数据(u1,v1),(u2,v2)，(un,vn),其回归线v u的斜率和截距的最小二乘估量别离为：=(u u)(v v)iii1n(u u)ii1n，=vu2【答案】（）y c dx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型（）y 100.668 x（）46.24y关于x的回归方程为y 100.668 x.6 分考点：非线性拟合；线性回

18、归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识（20）（本小题总分值 12 分）x2在直角坐标系 xoy 中，曲线 C：y=与直线y kxa(a0)交与 M,N 两点，4（）当 k=0 时，别离求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；（）y 轴上是不是存在点 P，使适当 k 变更时，总有OPM=OPN？说明理由。【答案】（）ax y a 0或ax y a 0（）存在【解析】试题分析：（）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a代入曲线 C 的方程整理成关于x的一元二次方程，设出 M,N 的坐标和 P 点坐标，利用设而不求思想，将直线 PM，

19、PN 的斜率之和用a表示出来，利用直线 PM，PN 的斜率为 0,即可求出a,b关系，从而找出适合条件的 P 点坐标.试题解析：（）由题设可得M(2 a,a)，N(2 2,a)，或M(2 2,a)，N(2 a,a).x21y x，故y 在x=2 2a处的到数值为a，C 在(2 2a,a)处的切线方程为42y a a(x2 a)，即ax y a 0.x2故y 在x=-2 2a处的到数值为-a，C 在(2 2a,a)处的切线方程为4y a a(x 2 a)，即ax y a 0.故所求切线方程为ax y a 0或ax y a 0.5 分（）存在符合题意的点，证明如下：设 P（0，b）为复合题意得点，

20、M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线 PM，PN 的斜率别离为k1,k2.将y kxa代入 C 得方程整理得x24kx4a 0.x1 x2 4k,x1x2 4a.k1k2y1by2b2kx1x2(ab)(x1 x2)k(ab)=.x1x2x1x2a当b a时，有k1k2=0，那么直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，故OPM=OPN，因此P(0,a)符合题意.12 分考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探讨新问题；运算求解能力（21）（本小题总分值 12 分）已知函数 f（x）=x3ax1,g(x)ln x4()当 a 为何值时，x 轴为曲线y f(x)的切线；（）用min

21、m,n表示 m,n 中的最小值，设函数h(x)min f(x),g(x)(x 0)，讨论 h（x）零点的个数33535；（）当a 或a 时，h(x)由一个零点；当a 或a 时，h(x)有两个4444453零点；当 a 时，h(x)有三个零点.44【答案】（）a【解析】试题分析：（）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的a值；（）依照对数函数的图像与性质将x分为x 1,x 1,0 x 1研究h(x)的零点个数，假设零点不容易求解，那么对a再分类讨论.13x ax 000试题解析：（）设曲线y f(x)与x轴相切于点(x0,0)，则f(x0)0，f(x0)0，即，43x2a

22、 0013,a.243因此，当a 时，x轴是曲线y f(x)的切线.5 分4解得x0（）当x(1,)时，g(x)ln x 0，从而h(x)minf(x),g(x)g(x)0，h(x)在（1，+）无零点.55，则f(1)a 0，h(1)minf(1),g(1)g(1)0,故x=1 是h(x)的零点；4455若a ，则f(1)a 0，h(1)minf(1),g(1)f(1)0,故x=1 不是h(x)的零点.44当x=1 时，假设a 当x(0,1)时，g(x)ln x 0，因此只需考虑f(x)在（0,1）的零点个数.2()假设a 3或a 0，则f(x)3x a在（0,1）无零点，故f(x)在（0,1

23、）单调，而f(0)15，f(1)a，44因此当a 3时，f(x)在（0，1）有一个零点；当a 0 时，f(x)在（0，1）无零点.()假设3 a 0，那么f(x)在（0，aaa）单调递减，在（，1）单调递增，故当x=时，333a1a2a.学优高考网f(x)取的最小值，最小值为f()=3343若f(3a)0，即a0，f(x)在（0,1）无零点.343a)=0，即a ，则f(x)在（0,1）有唯一零点；34若f(若f(31553a)0，即3 a ，由于f(0)，f(1)a，因此当 a 时，f(x)3444445时，f(x)在（0,1）有一个零点.10 分4353553综上，当a 或a 时，h(x)

24、由一个零点；当a 或a 时，h(x)有两个零点；当 a 444444时，h(x)有三个零点.12 分在（0,1）有两个零点；当3 a 考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的明白得；分段函数的零点；分类整合思想请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。若是多做，那么按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。（22）（此题总分值 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于 E（I）假设 D 为 AC 的中点，证明：DE 是O 的切线；（）若OA 3CE，求ACB 的

25、大小.【答案】（）观点析（）60考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理（23）（本小题总分值 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线C1:x=2，圆C2：x1y 21,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴成立极坐标系。（I）求C1，C2的极坐标方程；（II）假设直线C3的极坐标方程为224R，设C2与C3的交点为M,N,求12C2MN的面积【答案】（）cos 2,22cos4sin4 0（）【解析】试题分析：（）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得C1，C2的极坐标方程；（）将将=4代入22cos4sin4 0即可求出|MN|，利用三角形面积公式

26、即可求出C2MN的面积.试题解析：（）因为x cos,y sin，C1的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为22cos4sin4 0.5 分（）将=4223 2 4 0，解得=2 2，=2，2cos4sin4 0代入，得12|MN|=12=2，因为C2的半径为 1，那么C2MN的面积1121sin45o=.22考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系（24）（本小题总分值 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数()=|x+1|-2|x-a|，a0.（）当 a=1 时，求不等式 f(x)1 的解集；（）假设 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围【答案】（）x|【解析】试题分析：（）利用零点分析法将不等式 f(x)1 化为一元一次不等式组来解；（）将f(x)化为分段函数，求出f(x)与x轴围成三角形的极点坐标，即可求出三角形的面积，依照题意列出关于a的不等式，即可解出a的取值范围.学优高考网2（2，+）x 2（）3考含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法