2021年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ)(含答案解析).pdf

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1、2021 年全国统一高考数学试卷（新高考）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5 分）设集合 Ax|2x4，B2，3，4，5，则 AB（）A2?B2，3?C3，4?D2，3，42（5 分）已知 z2i，则 z（+i）（）A62i?B42i?C6+2i?D4+2i3（5 分）已知圆锥的底面半径为A2?B2?C4?D4）单调递增的区间是（），2），其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）4（5 分）下列区间中，函数 f（x）7sin（xA（0，）?B（，）?C（，）?D（5（5 分）已知 F1，F2 是椭圆 C：

2、的最大值为（）A13?B12?C9?D66（5 分）若 tan2，则+1 的两个焦点，点M 在 C 上，则|MF1|MF2|（）A?B?C?D7（5 分）若过点（a，b）可以作曲线 yex 的两条切线，则（）Aeba?Beab?C0aeb?D0bea8（5 分）有 6 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则（）A甲与丙相互独立?B甲与丁相互独立?C乙与丙相互独立?D丙与丁相互

3、独立二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得 0 分。9（5 分）有一组样本数据 x1，x2，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，yn，其中 yixi+c（i1，2，n），c 为非零常数，则（）A两组样本数据的样本平均数相同?B两组样本数据的样本中位数相同?C两组样本数据的样本标准差相同?D两组样本数据的样本极差相同10（5 分）已知 O 为坐标原点，点P1（cos，sin），P2（cos，sin），P3（cos（+），sin（+），A（1，0），则（）第1 1页（共2222页

4、）A|C|?B|?D11（5 分）已知点P 在圆（x5）2+（y5）216 上，点A（4，0），B（0，2），则（）A点 P 到直线 AB 的距离小于 10?B点 P 到直线 AB 的距离大于 2?C当PBA 最小时，|PB|3D当PBA 最大时，|PB|3?+，其中 0，12（5 分）在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABAA11，点 P 满足1，0，1，则（）A当 1 时，AB1P 的周长为定值?B当 1 时，三棱锥 PA1BC 的体积为定值?C当 时，有且仅有一个点 P，使得 A1PBP?D当 时，有且仅有一个点 P，使得 A1B平面 AB1P三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5

5、分，共 20 分。13（5 分）已知函数 f（x）x3（a2x2x）是偶函数，则 a14（5 分）已知 O 为坐标原点，抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，P 为 C 上一点，PF 与 x 轴垂直，Q 为 x 轴上一点，且 PQOP若|FQ|6，则 C 的准线方程为15（5 分）函数 f（x）|2x1|2lnx 的最小值为16（5 分）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折规格为 20dm12dm 的长方形纸，对折 1 次共可以得到 10dm12dm，20dm6dm 两种规格的图形，它们的面积之和 S1240dm2，对折 2 次共可以得到 5dm12dm

6、，10dm6dm，20dm3dm 三种规格的图形，它们的面积之和S2180dm2，以此类推则对折4 次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折 n 次，那么Skdm2四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）已知数列an满足 a11，an+1（1）记 bna2n，写出 b1，b2，并求数列bn的通项公式；（2）求an的前 20 项和18（12 分）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题

7、回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分第2 2页（共2222页）已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关（1）若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由19（12 分）记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 b2ac，点 D 在边 AC上，BDsinABCasinC（1）证明：BDb；

8、（2）若 AD2DC，求 cosABC20（12 分）如图，在三棱锥ABCD 中，平面ABD平面 BCD，ABAD，O 为 BD 的中点（1）证明：OACD；（2）若OCD 是边长为 1 的等边三角形，点 E 在棱 AD 上，DE2EA，且二面角 EBCD的大小为 45，求三棱锥 ABCD 的体积21（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1（足|MF1|MF2|2记 M 的轨迹为 C（1）求 C 的方程；（2）设点 T 在直线 x上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A，B 两点和 P，Q 两点，且|TA|TB|TP|TQ|，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和22（12

9、 分）已知函数 f（x）x（1lnx）（1）讨论 f（x）的单调性；（2）设 a，b 为两个不相等的正数，且blnaalnbab，证明：2+e12021 年全国统一高考数学试卷（新高考）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5 分）设集合 Ax|2x4，B2，3，4，5，则 AB（）A2?B2，3?C3，4?D2，3，4【考点】交集及其运算菁优网版权所有【分析】直接利用交集运算得答案【解答】解：Ax|2x4，B2，3，4，5，ABx|2x42，3，4，52，3故选：B【点评】本题考查交集及其运算，是

10、基础题第3 3页（共2222页），0），F2（，0），点 M 满2（5 分）已知 z2i，则 z（+i）（）A62i?B42i?C6+2i?D4+2i【考点】复数的运算菁优网版权所有【分析】把 z2i 代入 z（+i），再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z2i，z（+i）（2i）（2+i+i）（2i）（2+2i）4+4i2i2i26+2i故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3（5 分）已知圆锥的底面半径为A2?B2?C4?D4，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）菁优网版权所有【分析】设母线长为

11、l，利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可【解答】解：由题意，设母线长为l，因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，则有，解得，所以该圆锥的母线长为故选：B【点评】本题考查了旋转体的理解和应用，解题的关键是掌握圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题4（5 分）下列区间中，函数 f（x）7sin（x）单调递增的区间是（）A（0，）?B（，）?C（，）?D（，2）【考点】正弦函数的单调性菁优网版权所有【分析】本题需要借助正

12、弦函数单调增区间的相关知识点求解【解答】解：令则当 k0 时，x，kZ，kZ（0，），故选：A【点评】本题考查正弦函数单调性，是简单题第4 4页（共2222页）5（5 分）已知 F1，F2 是椭圆 C：+1 的两个焦点，点M 在 C 上，则|MF1|MF2|的最大值为（）A13?B12?C9?D6【考点】基本不等式及其应用；椭圆的性质菁优网版权所有【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可【解答】解：F1，F2 是椭圆 C：+1 的两个焦点，点M 在 C 上，|MF1|+|MF2|6，所以|MF1|MF2|9，当且仅当|MF1|MF2|3 时，取等号，所以|MF1|MF2|的最大值为

13、 9故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题6（5 分）若 tan2，则（）A?B?C?D【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；同角三角函数间的基本关系；二倍角的三角函数菁优网版权所有【分析】由题意化简所给的三角函数式，然后利用齐次式的特征即可求得三角函数式的值【解答】解：由题意可得：故选：C【点评】本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，属于中等题7（5 分）若过点（a，b）可以作曲线 yex 的两条切线，则（）Aeba?Beab?C0aeb?D0bea【考点】函数与方程的综合运用；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【分析】画出函数

14、的图象，判断（a，b）与函数的图象的位置关系，即可得到选项【解答】解：函数 yex 是增函数，yex0 恒成立，函数的图象如图，y0，即取得坐标在 x 轴上方，如果（a，b）在 x 轴下方，连线的斜率小于0，不成立第5 5页（共2222页）点（a，b）在 x 轴或下方时，只有一条切线如果（a，b）在曲线上，只有一条切线；（a，b）在曲线上侧，没有切线；由图象可知（a，b）在图象的下方，并且在x 轴上方时，有两条切线，可知0bea故选：D【点评】本题考查曲线与方程的应用，函数的单调性以及切线的关系，考查数形结合思想，是中档题8（5 分）有 6 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中

15、有放回的随机取两次，每次取 1 个球甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则（）A甲与丙相互独立?B甲与丁相互独立?C乙与丙相互独立?D丙与丁相互独立【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式菁优网版权所有【分析】分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可【解答】解：由题意可知，两点数和为8 的所有可能为：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），两点数和为 7 的所有可能为（1，6），（2，5），（3，4），（4，3

16、），（5，2），（6，1），P（甲），P（乙），P（丙）A：P（甲丙）0P（甲）P（丙），B：P（甲丁）P（甲）P（丁），P（丁），C：P（乙丙）P（乙）P（丙），D：P（丙丁）0P（丙）P（丁），故选：B【点评】本题考查相互独立事件的应用，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于中档题二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得 0 分。9（5 分）有一组样本数据 x1，x2，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，yn，其中 yixi+c（i1，2，n），c 为非零常数，则（）

17、第6 6页（共2222页）A两组样本数据的样本平均数相同?B两组样本数据的样本中位数相同?C两组样本数据的样本标准差相同?D两组样本数据的样本极差相同【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差菁优网版权所有【分析】利用平均数、中位数、标准差、极差的定义直接判断即可【解答】解：对于 A，两组数据的平均数的差为c，故 A 错误；对于 B，两组样本数据的样本中位数的差是c，故 B 错误；对于 C，标准差 D（yi）D（xi+c）D（xi），两组样本数据的样本标准差相同，故C 正确；对于 D，yixi+c（i1，2，n），c 为非零常数，x 的极差为 xmaxxmin，y 的极差为（xmax+c

18、）（xmin+c）xmaxxmin，两组样本数据的样本极差相同，故D 正确故选：CD【点评】本题考查命题真假的判断，考查平均数、中位数、标准差、极差的定义等基础知识，是基础题10（5 分）已知 O 为坐标原点，点P1（cos，sin），P2（cos，sin），P3（cos（+），sin（+），A（1，0），则（）A|C|?B|?D【考点】平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【分析】由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标，然后逐一验证四个选项得答案【解答】解：P1（cos，sin），P2（cos，sin），P3（cos（+），sin（+），A（1，0），（cos，sin），（cos，sin）

19、，（1，0），|，故 A 正确；|，故 B 错误；，则|（cos（+），sin（+），则|1cos（+）+0sin（+）cos（+），第7 7页（共2222页）coscossinsincos（+），故 C 正确；1cos+0sincos，coscos（+）sinsin（+）cos+（+）cos（+2），故 D 错误故选：AC【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数基本关系式及两角和的三角函数，考查运算求解能力，是中档题11（5 分）已知点P 在圆（x5）2+（y5）216 上，点A（4，0），B（0，2），则（）A点 P 到直线 AB 的距离小于 10?B点 P 到直线 A

20、B 的距离大于 2?C当PBA 最小时，|PB|3D当PBA 最大时，|PB|3?【考点】直线与圆的位置关系菁优网版权所有【分析】求出过AB 的直线方程，再求出圆心到直线AB 的距离，得到圆上的点P 到直线 AB的距离范围，判断A 与 B；画出图形，由图可知，当过B 的直线与圆相切时，满足PBA 最小或最大，求出圆心与B 点间的距离，再由勾股定理求得|PB|判断 C 与 D【解答】解：A（4，0），B（0，2），过 A、B 的直线方程为，即 x+2y40，圆（x5）2+（y5）216 的圆心坐标为（5，5），圆心到直线 x+2y40 的距离 d点 P 到直线 AB 的距离的范围为，4，5，1，

21、10，点 P 到直线 AB 的距离小于 10，但不一定大于 2，故 A 正确，B 错误；如图，当过 B 的直线与圆相切时，满足PBA 最小或最大（P 点位于 P1 时PBA 最小，位于 P2 时PBA 最大），此时|BC|PB|故选：ACD第8 8页（共2222页），故 CD 正确【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查转化思想与数形结合思想，是中档题12（5 分）在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABAA11，点 P 满足1，0，1，则（）A当 1 时，AB1P 的周长为定值?B当 1 时，三棱锥 PA1BC 的体积为定值?C当 时，有且仅有一个点 P，使得 A1PBP?D当 时，有且仅有

22、一个点 P，使得 A1B平面 AB1P【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【分析】判断当 1 时，点 P 在线段 CC1 上，分别计算点 P 为两个特殊点时的周长，即可判断选项 A；当 1 时，点 P 在线段 B1C1 上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断选项 B；当时，取线段BC，B1C1 的中点分别为 M，M1，连结M1M，则点 P在线段 M1M 上，分别取点 P 在 M1，M 处，得到均满足 A1PBP，即可判断选项 C；当 时，取 CC1 的中点 D1，BB1 的中点 D，则点 P 在线的 DD1 上，证明当点 P 在点 D1 处时，A1B平面 AB1D1，利用过

23、定点 A 与定直线 A1B 垂直的平面有且只有一个，即可判断选项 D【解答】解：对于 A，当 1 时，+，即，所以，+，其中 0，故点 P 在线段 CC1 上，此时AB1P 的周长为 AB1+B1P+AP，当点 P 为 CC1 的中点时，AB1P 的周长为当点 P 在点 C1 处时，AB1P 的周长为故周长不为定值，故选项A 错误；，第9 9页（共2222页）对于 B，当 1 时，即，所以，故点 P 在线段 B1C1 上，因为 B1C1平面 A1BC，所以直线 B1C1 上的点到平面 A1BC 的距离相等，又A1BC 的面积为定值，所以三棱锥 PA1BC 的体积为定值，故选项B 正确；对于 C

24、，当 时，取线段 BC，B1C1 的中点分别为 M，M1，连结 M1M，因为，即，所以，则点 P 在线段 M1M 上，当点 P 在 M1 处时，A1M1B1C1，A1M1B1B，又 B1C1B1BB1，所以 A1M1平面 BB1C1C，又 BM1 平面 BB1C1C，所以 A1M1BM1，即 A1PBP，同理，当点 P 在 M 处，A1PBP，故选项 C 错误；第1010页（共2222页）对于 D，当 时，取 CC1 的中点 D1，BB1 的中点 D，因为，即，所以，则点 P 在线的 DD1 上，当点 P 在点 D1 处时，取 AC 的中点 E，连结 A1E，BE，因为 BE平面 ACC1A1

25、，又 AD1 平面 ACC1A1，所以 AD1BE，在正方形 ACC1A1 中，AD1A1E，又 BEA1EE，BE，A1E 平面 A1BE，故 AD1平面 A1BE，又 A1B 平面 A1BE，所以 A1BAD1，在正方体形 ABB1A1 中，A1BAB1，又 AD1AB1A，AD1，AB1 平面 AB1D1，所以 A1B平面 AB1D1，因为过定点 A 与定直线 A1B 垂直的平面有且只有一个，故有且仅有一个点 P，使得 A1B平面 AB1P，故选项 D 正确故选：BD【点评】本题考查了动点轨迹，线面平行与线面垂直的判定，锥体的体积问题等，综合性强，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于难

26、题三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13（5 分）已知函数 f（x）x3（a2x2x）是偶函数，则 a1【考点】函数奇偶性的性质与判断菁优网版权所有【分析】利用奇函数的定义即可求解a 的值【解答】解：函数 f（x）x3（a2x2x）是偶函数，yx3 为 R 上的奇函数，第1111页（共2222页）故 ya2x2x 也为 R 上的奇函数，所以 y|x0a2020a10，所以 a1故答案为：1【点评】本题主要考查利用函数奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题14（5 分）已知 O 为坐标原点，抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，P 为 C 上一点，PF 与 x 轴

27、垂直，Q 为 x 轴上一点，且 PQOP若|FQ|6，则 C 的准线方程为x【考点】抛物线的性质菁优网版权所有【分析】求出点 P 的坐标，推出 PQ 方程，然后求解 Q 的坐标，利用|FQ|6，求解 p，然后求解准线方程【解答】解：由题意，不妨设P 在第一象限，则 P（，p），kOP2，PQOP所以 kPQ，所以 PQ 的方程为：yp（x），y0 时，x|FQ|6，所以，解得 p3，所以抛物线的准线方程为：x故答案为：x【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题15（5 分）函数 f（x）|2x1|2lnx 的最小值为1【考点】函数的最值及其几何意义菁优网版权所

28、有【分析】求出函数定义域，对 x 分段去绝对值，当 0 x时，直接利用单调性求最值；当 x时，利用导数求最值，进一步得到f（x）的最小值【解答】解：函数 f（x）|2x1|2lnx 的定义域为（0，+）当 0 x时，f（x）|2x1|2lnx2x+12lnx，此时函数 f（x）在（0，上为减函数，所以 f（x）f（）2+12ln2ln2；当 x时，f（x）|2x1|2lnx2x12lnx，则 f（x），当 x（，1）时，f（x）0，f（x）单调递减，当 x（1，+）时，f（x）0，f（x）单调递增，第1212页（共2222页）当 x1 时 f（x）取得最小值为 f（1）2112ln112ln2

29、ln4lne1，函数 f（x）|2x1|2lnx 的最小值为 1故答案为：1【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，利用导数求最值的应用，考查运算求解能力，是中档题16（5 分）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折规格为 20dm12dm 的长方形纸，对折 1 次共可以得到 10dm12dm，20dm6dm 两种规格的图形，它们的面积之和 S1240dm2，对折 2 次共可以得到 5dm12dm，10dm6dm，20dm3dm 三种规格的图形，它们的面积之和S2180dm2，以此类推则对折4 次共可以得到不同规格图形的种数为5；如果对折 n 次，那么dm2【考

30、点】数列的求和菁优网版权所有Sk【分析】依题意，对折k 次共有 k+1 种规格，且面积为，则，然后再转化求解即可【解答】解：易知有共 5 种规格；，由题可知，对折 k 次共有 k+1 种规格，且面积为，故，则，记，则，第1313页（共2222页）故答案为：5；【点评】本题考查数列的求和，考查数学知识在生活中的具体运用，考查运算求解能力及应用意识，属于中档题四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）已知数列an满足 a11，an+1（1）记 bna2n，写出 b1，b2，并求数列bn的通项公式；（2）求an的前 20 项和【考点】数列的求

31、和；数列递推式菁优网版权所有【分析】（1）由数列an的通项公式可求得 a2，a4，从而可得求得 b1，b2，由 bnbn13 可得数列bn是等差数列，从而可求得数列bn的通项公式；（2）由数列an的通项公式可得数列an的奇数项和偶数项分别为等差数列，求解即可【解答】解：（1）因为 a11，an+1，所以 a2a1+12，a3a2+24，a4a3+15，所以 b1a22，b2a45，bnbn1a2na2n2a2na2n1+a2n1a2n21+23，n2，所以数列bn是以 b12 为首项，以 3 为公差的等差数列，所以 bn2+3（n1）3n1（2）由（1）可得 a2n3n1，nN*，则 a2n1

32、a2n2+23（n1）1+23n2，n2，当 n1 时，a11 也适合上式，所以 a2n13n2，nN*，所以数列an的奇数项和偶数项分别为等差数列，则an的前 20 项和为 a1+a2+.+a20（a1+a3+a19）+（a2+a4+a20）10+3+102+3300【点评】本题主要考查数列的递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题18（12 分）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A，B 两类问题每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束A 类问题

33、中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正确回答 B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关（1）若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【分析】（1）由已知可得，X 的所有可能取值为 0，20，100，分别求出对应的概率即可求第1414页（共2222页）解分布列；（2）由（1）可得 E（X

34、），若小明先回答 B 类问题，记 Y 为小明的累计得分，Y 的所有可能取值为 0，80，100，分别求出对应的概率，从而可得E（Y），比较E（X）与E（Y）的大小，即可得出结论【解答】解：（1）由已知可得，X 的所有可能取值为 0，20，100，则 P（X0）10.80.2，P（X20）0.8（10.6）0.32P（X100）0.80.60.48，所以 X 的分布列为：X0200 20 100P20 100P 0.2100P0.2100P 0.2 0.2 0.32 0.480.32 0.48（2）0.32 0.48（2）0.320.48由（1）可知小明 由（1）可知小明先回答 A 类问题 先回

35、答 A 类问题累计得分的期望 累计得分的期望为 E（X）0 为 E（X）00.2+20 0.2+200.32+100 0.48 0.32+100 0.4854.4，54.4，P 0.2 0.320.2 0.32 0.480.48（2）由（1）可知小明先回答 A类问题累计得分的期望为 E（X）0 0.2+20 0.32+1000.4854.4，0.32 0.48（2）0.48（2）由（1）由（1）可知小明 可知小明先回答先回答 A 类问题 A 类问题累计得累计得分的期望 分的期望为（E X）为 E（X）0 0 0.2+20 0.2+20 0.32+100 0.480.32+100 0.48 54

36、.4，54.4，（2）由（1）可知小明先回答 A 类问题累计得分的期望为 E（X）00.2+200.32+1000.4854.4，若小明先回答 B 类问题，记 Y 为小明的累计得分，则 Y 的所有可能取值为 0，80，100，P（Y0）10.60.4，P（Y80）0.6（10.8）0.12，P（Y100）0.60.80.48，则 Y 的期望为 E（Y）00.4+800.12+1000.4857.6，因为 E（Y）E（X），所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B 类问题【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题19（12 分）记ABC 的内角 A，B

37、，C 的对边分别为 a，b，c已知 b2ac，点 D 在边 AC上，BDsinABCasinC（1）证明：BDb；（2）若 AD2DC，求 cosABC第1515页（共2222页）【考点】正弦定理；余弦定理菁优网版权所有【分析】（1）利用正弦定理求解；（2）要能找到隐含条件：BDA 和BDC 互补，从而列出等式关系求解【解答】解：（1）证明：由正弦定理知，b2RsinABC，c2RsinACB，b2ac，b2RsinABCa2RsinACB，即 bsinABCasinC，BDsinABCasinCBDb；（2）由（1）知 BDb，AD2DC，AD，DC，在 ABD 中，由 余 弦 定 理 知，

38、cos BDA，在 CBD 中，由 余弦定 理 知，cos BDC，BDA+BDC，cosBDA+cosBDC0，即得 11b23c2+6a2，b2ac，3c211ac+6a20，c3a 或 c，0，在ABC 中，由余弦定理知，cosABC当 c3a 时，cosABC1（舍）；第1616页（共2222页），当 c时，cosABC；综上所述，cosABC【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的内容，是一道好题20（12 分）如图，在三棱锥ABCD 中，平面ABD平面 BCD，ABAD，O 为 BD 的中点（1）证明：OACD；（2）若OCD 是边长为 1 的等边三角形，点 E 在棱 AD 上，DE2

39、EA，且二面角 EBCD的大小为 45，求三棱锥 ABCD 的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直；二面角的平面角及求法菁优网版权所有【分析】（1）利用等腰三角形中线就是高，得到AOBD，然后利用面面垂直的性质，得到AO平面 BCD，再利用线面垂直的性质，即可证明AOCD；（2）方法一：建立合适的空间直角坐标系，设 A（0，0，t），利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求出t 的值，然后利用锥体的体积公式求解即可方法二：利用几何法求出二面角EBCD 的平面角，然后利用锥体的体积公式求解即可【解答】解：（1）证明：因为 ABAD，O 为 BD 的中点，所以 AOBD，又

40、平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，AO 平面 BCD，所以 AO平面 BCD，又 CD 平面 BCD，所以 AOCD；（2）方法一：取 OD 的中点 F，因为OCD 为正三角形，所以 CFOD，过 O 作 OMCF 与 BC 交于点 M，则 OMOD，所以 OM，OD，OA 两两垂直，以点 O 为坐标原点，分别以 OM，OD，OA 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则 B（0，1，0），设 A（0，0，t），则，D（0，1，0），因为 OA平面 BCD，故平面 BCD 的一个法向量为设平面 BCE 的法向量为又，第1717页（共2222页）所以由，得，

41、令 x，则 y1，故因为二面角 EBCD 的大小为 45，所以解得 t1，所以 OA1，又，所以，故方法二：过 E 作 EFBD，交 BD 于点 F，过 F 作 FGBC 于点 G，连结 EG，由题意可知，EFAO，又 AO平面 BCD，所以 EF平面 BCD，又 BC 平面 BCD，所以 EFBC，又 BCFG，FGEFF所以 BC平面 EFG，又 EF 平面 EFG，所以 BCEG，则EGF 为二面角 EBCD 的平面角，即EGF45，又 CDDOOBOC1，所以BOC120，则OCBOBC30，故BCD90，所以 FGCD，因为则，所以，则，所以 EFGF，则所以第1818页（共2222

42、页）【点评】本题考查了面面垂直和线面垂直的性质，在求解有关空间角问题的时候，一般要建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题，属于中档题21（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1（足|MF1|MF2|2记 M 的轨迹为 C（1）求 C 的方程；（2）设点 T 在直线 x上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A，B 两点和 P，Q 两点，且|TA|TB|TP|TQ|，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和【考点】直线与双曲线的综合菁优网版权所有【分析】（1）M 的轨迹 C 是双曲线的右支，根据题意建立关于 a，b，c 的方程组，解出即可求得 C 的方程；（2）

43、（法一）设出直线 AB 的参数方程，与双曲线方程联立，由参数的几何意义可求得|TA|TB|，同理求得|TP|TQ|，再根据|TA|TB|TP|TQ|，即可得出答案（法二）设直线 AB 方程，将其与 CD 的方程联立，求出两根之和及两根之积，再表示出|AT|及|BT|，同理设出直线 PQ 的方程，表示出|PT|及|QT|，根据|TA|TB|TP|TQ|，代入化简后可得出结论【解答】解：（1）由双曲线的定义可知，M 的轨迹 C 是双曲线的右支，设 C 的方程为，0），F2（，0），点 M 满，根据题意，解得，C 的方程为；第1919页（共2222页）（2）（法一）设，直线 AB 的参数方程为，将其

44、代入 C 的方程并整理可得，（16cos2sin2）t2+（16cos2msin）t（m2+12）0，由参数的几何意义可知，|TA|t1，|TB|t2，则，设直 线 PQ 的参数 方程为，|TP|1，|TQ|2，同理可得，依题意，则 cos2cos2，又，故coscos，则cos+cos0，即直线AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和为 0（法二）设，AB，直线 AB 的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），设将直线方程代入C的方程化简并整理可得，由韦达定理有，又由同理可得，可得，设直线 PQ 的方程为，设，同理可得，又|AT|BT|PT|QT|，则，化简可得第2020页（共2222页），

45、又 k1k2，则 k1k2，即 k1+k20，即直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和为 0【点评】本题考查双曲线的定义及其标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查直线参数方程的运用，考查运算求解能力，属于中档题22（12 分）已知函数 f（x）x（1lnx）（1）讨论 f（x）的单调性；（2）设 a，b 为两个不相等的正数，且blnaalnbab，证明：2+e【考点】利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【分析】（1）首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号即可确定函数的单调性，（2）利用同构关系将原问题转化为极值点偏移的问题，构造对称差函数分别证明左右两侧的不等式即可【解答】（1

46、）解：由函数的解析式可得f（x）1 lnx 1 lnx，x（0，1），f（x）0，f（x）单调递增，x（1，+），f（x）0，f（x）单调递减，则 f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+）单调递减（2）证明：由 blna alnba b，得，即，由（1）f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+）单调递减，所以 f（x）maxf（1）1，且 f（e）0，令，则 x1，x2 为 f（x）k 的两根，其中 k（0，1）不妨令 x1（0，1），x2（1，e），则 2 x11，先证 2x1+x2，即证 x22 x1，即证 f（x2）f（x1）f（2x1），令 h（x）f（x）f（2 x），则 h（x）

47、f（x）+f（2 x）lnx ln（2 x）lnx（2 x）在（0，1）单调递减，所以 h（x）h（1）0，故函数 h（x）在（0，1）单调递增，h（x1）h（1）0f（x1）f（2x1），2x1+x2，得证同理，要证 x1+x2e，即证 1x2ex1，根据（1）中 f（x）单调性，即证 f（x2）f（x1）f（ex1），令（x）f（x）f（e x），x（0，1），则（x）lnx（e x），令（x0）0，x（0，x0），（x）0，（x）单调递增，x（x0，1），（x）0，（x）单调递减，又 x0，f（x）0，且 f（e）0，故 x0，（0）0，（1）f（1）f（e 1）0，（x）0 恒成立，x1+x2e 得证，第2121页（共2222页）则 2+e【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究极值点偏移问题，等价转化的数学思想，同构的数学思想等知识，属于难题第2222页（共2222页）