2020-2021学年最新河北省廊坊市中考数学模拟试卷及答案解析.pdf

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1、中考中考数学数学模模拟试拟试卷卷一选择题（共 16 小题，满分 42 分）1计算（2）3 的结果是（）A5B6C1D62我县人口约为 530060 人，用科学记数法可表示为（）A5300610 人C5310 人4B5.300610 人D0.5310 人653如图是一个空心圆柱体，其俯视图是（）ABCD4若代数式有意义，则 x 的取值范围是（）Bx1Cx1Dx1 且 x1Ax1 且 x15已知 是钝角，与 互补，与 互余，则 与 的关系式为（）A906计算 12a b（A9a24B+90）（B9a2C+180D）的结果等于（）C36aD36a7关于 x 的一元二次方程 ax+3x20 有两个不相

2、等的实数根，则a 的值可以是（）A0B1C2D38下列平面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）ABCD9如图，以点 O 为位似中心，将ABC 缩小后得到ABC，已知 OB3OB，则ABC与ABC 的面积比为（）A1：3B1：4C1：5D1：910下列调查中，适合采用抽样调查的是（）A对乘坐高铁的乘客进行安检B调意本班学装的身高C为保证某种新研发的战斗机试飞成功，对其零部件进行检查D调查一批英雄牌钢笔的使用寿命11如图，点 C 在AOB 的 OB 边上，用尺规作出了AOBNCB，作图痕迹中，弧 FG 是（）A以点 C 为圆心，OD 为半径的弧B以点 C 为圆心，DM 为半径的弧C以点

3、E 为圆心，OD 为半径的弧D以点 E 为圆心，DM 为半径的弧12“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为 180 元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3 元钱车费，设原来参加游览的同学共 x 人，则所列方程为（）ACBD13魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法作圆内接正多边形，当正多边形的边数不断增加时，其周长就无限接近圆的周长，进而可用来求得较为精确的圆周率祖冲之在刘徽的基础上继续努力，当正多边形的边数增加24576 时，得到了精确到小数点后七位的圆周率，这一成就在当时是领先其他国家一千多年，如图，依

4、据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（）A0.5B1C3D14如图，点 B 在点 A 的方位是（）A南偏东 43B北偏西 47C西偏北 47D东偏南 47215已知一次函数 yax+b 过一，二，四象限，且过（6，0），则关于二次函数 yax+bx+1 的以下说法：图象与 x 轴有两个交点；a0，b0；当 x3 时函数有最小值；若存在一个实数 m，当 xm时，y 随 x 的增大而增大，则 m3其中正确的是（）ABCD16如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1kx+b（k、b 是常数，且k0）与反比例函数y2（c是常数，且 c0）的图象相交于 A（3，2），B（2，3）两点，

5、则不等式 y1y2的解集是（）A3x2C3x0 或 x2二填空题（共 3 小题，满分 10 分）17化简（1）+（）02Bx3 或 x2D0 x2+的长度为18如图，菱形 OABC 的边长为 2，且点 A、B、C 在O 上，则劣弧19如图，正方形AOBO2的顶点 A 的坐标为 A（0，2），O1为正方形 AOBO2的中心；以正方形AOBO2的对角线 AB 为边，在AB 的右侧作正方形 ABO3A1，O2为正方形 ABO3A1的中心；再以正方形 ABO3A1的对角线 A1B为边，在 A1B 的右侧作正方形 A1BB1O4，O3为正方形 A1BB1O4的中心；再以正方形 A1BB1O4的对角线 A

6、1B1为边，在 A1B1的右侧作正方形 A1B1O5A2，O4为正方形 A1B1O5A2的中心：；按照此规律继续下去，则点O2018的坐标为三解答题（共 7 小题，满分 68 分）20已知：（x1）（x+3）ax+bx+c，求代数式 9a3b+c 的值21济南某中学在参加“创文明城，点赞泉城”书画比赛中，杨老师从全校 30 个班中随机抽取了 4 个班（用A，B，C，D 表示），对征集到的作鼎的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图2请根据以上信息，回答下列问题：（l）杨老师采用的调查方式是（填“普查”或“抽样调查”）；（2）请补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中C 班作品数量所对应的圆

7、心角度数（3）请估计全校共征集作品的什数（4）如果全枝征集的作品中有5 件获得一等奖，其中有3 名作者是男生，2 名作者是女生，现要在获得一样等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别相同的概率22某风景区改建中，需测量湖两岸游船码头A、B 间的距离，于是工作人员在岸边A、B 的垂线 AF 上取两点 E、D，使EDAE再过D 点作出 AF 的垂线 OD，并在OD 上找一点 C，使B、E、C 在同一直线上，这时测得 CD 长就是 AB 的距离请说明理由23如图，在平面直角坐标系中，直线yx+2 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，以 AB 为边在

8、第二象限内作正方形 ABCD（1）求点 A、B 的坐标，并求边 AB 的长；（2）求点 C 和点 D 的坐标；（3）在 x 轴上找一点 M，使MDB 的周长最小，请求出 M 点的坐标，并直接写出MDB 的周长最小值24如图 1，在 ABCD 中，DHAB 于点 H，CD 的垂直平分线交 CD 于点 E，交 AB 于点 F，AB6，DH4，BF：FA1：5（1）如图2，作FGAD 于点 G，交DH 于点 M，将DGM 沿 DC 方向平移，得到CGM，连接MB求四边形 BHMM的面积；直线 EF 上有一动点 N，求DNM 周长的最小值（2）如图3，延长CB 交 EF 于点 Q，过点Q 作 QKAB

9、，过CD 边上的动点 P 作 PKEF，并与QK 交于点K，将PKQ 沿直线 PQ 翻折，使点 K 的对应点 K恰好落在直线 AB 上，求线段 CP 的长25绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出如图，线段 EF、折线 ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本 y2（元）与产量 x（kg）之间的函数关系（1）求该产品销售价 y1（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式；（2）直接写出生产成本y2（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？26如图，AB 是O 的直径，连结 AC，过点 C 作

10、直线 lAB，点 P 是直线 l 上的一个动点，直线PA 与O 交于另一点 D，连结 CD，设直线 PB 与直线 AC 交于点 E（1）求BAC 的度数；（2）当点 D 在 AB 上方，且 CDBP 时，求证：PCAC；（3）在点 P 的运动过程中当点 A 在线段 PB 的中垂线上或点 B 在线段 PA 的中垂线上时，求出所有满足条件的ACD 的度数；设O 的半径为 6，点 E 到直线 l 的距离为 3，连结 BD，DE，直接写出BDE 的面积中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一选择题（共 16 小题，满分 42 分）1【分析】原式利用异号两数相乘的法则计算即可得到结果【解答】解：原式236，

11、故选：B【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键2【分析】根据科学记数法的定义及表示方法进行解答即可【解答】解：530060 是 6 位数，10 的指数应是 5，故选：B【点评】本题考查的是科学记数法的定义及表示方法，熟知以上知识是解答此题的关键3【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案【解答】解：该空心圆柱体的俯视图是故选：D【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图4【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+10，根据分式有意义的条件可得x10，再解即可【解答】解：由题意得：x+10，且 x10，解得：x1，且 x1，故选：D【点评】此题主

12、要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式分母不为零5【分析】根据补角和余角的定义关系式，然后消去 即可【解答】解：与 互补，与 互余，+180，+9090故选：A【点评】本题主要考查的是余角和补角的定义，根据余角和补角的定义列出关系式，然后再消去 是解题的关键6【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简得出答案【解答】解：12a b（24）（）12a b（36a故选：D24）（）【点评】此题主要考查了分式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键7【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于a 的不等式，可求得 a 的取值范围，则可求得答案【解答】解：关于

13、x 的一元二次方程 ax+3x20 有两个不相等的实数根，0 且 a0，即 3 4a（2）0 且 a0，解得 a1且 a0，故选：B【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键8【分析】根据中心对称图形，轴对称图形的定义进行判断【解答】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误故选：B【点评】本题考查了中心对称图形，轴对称图形的判断关键是根据图形自身的对称性进行判断9【分析】先求出位似比，根据位似比

14、等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可【解答】解：OB3OB，22以点 O 为位似中心，将ABC 缩小后得到ABC，ABCABC，故选：D，【点评】此题是位似变换，主要考查了位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质10【分析】对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查适合普查的方式一般有以下几种：范围较小；容易掌控；不具有破坏性；可操作性较强【解答】解：A、对乘坐高铁的乘客进行安检，必须普查；B、调意本班学生的身高，必须普查；C、为保证某种新研发的战斗机试飞成功，对其零部件进行检查，必须普查；D、调查一批英雄牌钢笔的使用寿命，适

15、合抽样调查；故选：D【点评】本题考查的是普查和抽样调查的选择调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查11【分析】根据作一个角等于已知角的步骤即可得【解答】解：作图痕迹中，弧FG 是以点 E 为圆心，DM 为半径的弧，故选：D【点评】本题主要考查作图尺规作图，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤12【分析】设原来参加游览的同学共 x 人，面包车的租

16、价为 180 元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了 3 元钱车费，可列方程【解答】解：设原来参加游览的同学共x 人，由题意得故选：D【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键以钱数差价做为等量关系列方程13【分析】连接 OC、OD，根据正六边形的性质得到COD60，得到COD 是等边三角形，得到 OCCD，根据题意计算即可【解答】解：连接 OC、OD，六边形 ABCDEF 是正六边形，COD60，又 OCOD，3COD 是等边三角形，OCCD，正六边形的周长：圆的直径6CD：2CD3，故选：C【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键14【

17、分析】根据余角的定义，方向角的表示方法，可得答案【解答】解：由余角的定义，得，CAB904347，点 B 在点 A 的北偏西 47，故选：B【点评】本题考查了方向角，利用余角的定义得出方向角是解题关键15【分析】根据题意可以判断a、b 的正负，从而可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题【解答】解：一次函数yax+b 过一，二，四象限，且过（6，0），a0，b0，06a+b，故正确，b6a，yax+bx+1 中 a0，b0，b 4a136a 4a4a（9a1）0，图象与 x 轴有两个交点，故正确，在 yax+bx+1 中，当 x2222时，取得最大值，故错误，当 x3 时，y 随 x

18、 的增大而减小，当 x3 时，y 随 x 的增大而增大，若存在一个实数 m，当 xm 时，y 随 x 的增大而增大，则 m3，故正确，故选：C【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答16【分析】一次函数 y1kx+b 落在与反比例函数 y2图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求【解答】解：一次函数 y1kx+b（k、b 是常数，且 k0）与反比例函数 y2（c 是常数，且 c0）的图象相交于 A（3，2），B（2，3）两点，不等式 y1y2的解集是3x0 或 x2故选：C【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解

19、题的关键二填空题（共 3 小题，满分 10 分）17【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质、算术平方根的性质分别化简得出答案【解答】解：原式1+4331故答案为：1【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键18【分析】连接 OB，根据菱形性质求出 OBOCBC，求出BOC 是等边三角形，求出COB60，根据弧长公式求出即可【解答】解：连接 OB，四边形 OABC 是菱形，OCBCABOA2，OCOBBC，OBC 是等边三角形，COB60，劣弧的长为，故答案为：【点评】本题考查了弧长公式，菱形的性质，等边三角形的性质和判定，能求出COB 的度数是解此题的关键19【分析】由题

20、意Q1（1，1），O2（2，2），O3（，4，2），O4（，6，4），O5（10，4），O6（14，8）观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为 221009，下标为偶数的点在直线 yx+1 上，点 O2018的纵坐标为1010，可得 21009x+1，同侧 x210102，可得点 O2018的坐标为（22，21009）【解答】解：由题意Q1（1，1），O2（2，2），O3（，4，2），O4（，6，4），O5（10，4），O6（14，8）观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为2下标为偶数的点在直线 yx+1 上，点 O2018的纵坐标为 2210091009，x+1，1010 x22，1010点 O20

21、18的坐标为（2故答案为（210102，2）1009）2，21009【点评】本题考查规律型：点的坐标，一次函数的应用，解题的关键是学会探究规律的方法，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型三解答题（共 7 小题，满分 68 分）20【分析】先根据多项式乘多项式法则计算等式左边，根据题意得出a、b、c 的值，再代入计算可得【解答】解：（x1）（x+3）x+3xx3x+2x3，a1、b2、c3，则原式913239630【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键21【分析】（1）杨老师从全校 30 个班中随机抽取了 4 个班，属于抽样调查（2）由题意得：所调查的4 个班征

22、集到的作品数为：6410（件）；继而可补全条形统计图；（3）先求出抽取的 4 个班每班平均征集的数量，再乘以班级总数可得；（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名学生性别相同的情况，再利用概率公式即可求得答案24（件），C 班作品的件数为：244622【解答】解：（1）杨老师从全校 30 个班中随机抽取了 4 个班，属于抽样调查故答案为：抽样调查（2）所调查的 4 个班征集到的作品数为：6C 班有 24（4+6+4）10 件，补全条形图如图所示，24 件，扇形统计图中 C 班作品数量所对应的圆心角度数360故答案为：150；（3）平均每个班6 件，150；估计全校共

23、征集作品 630180 件（4）画树状图得：共有 20 种等可能的结果，两名学生性别相同的有8 种情况，恰好选取的两名学生性别相同的概率为【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小同时考查了概率公式22【分析】已知等边及垂直，在直角三角形中，可考虑AAS 证明三角形全等，从而推出线段相等【解答】证明：ABAD，CDADACDE90又EDAE，AEBCEDABECED（AAS）所以 ABCD【点评】本题考查全等三角形的应用在实际生活中，对于难以实地

24、测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解23【分析】（1）对于直线解析式，分别令x0 与 y0 求出对应 y 与 x 的值，确定出 A 与 B 的坐标，得到 OA 与 OB 的长，利用勾股定理求出AB 的长即可；（2）过D 作 DE 垂直于 x 轴，过C 作 CF 垂直于 y 轴，根据四边形ABCD 的正方形，得到四条边相等，四个角为直角，利用同角的余角相等得到三个角相等，利用AAS 得到三角形 EDA，三角形AOB 以及三角形BFC 全等，利用全等三角形的对应边相等得到 DEOABF4，AEOBCF2，进而求出 OE 与 OF 的长，即可确

25、定出 D 与 C 的坐标；（3）找出 B 关于 y 轴的对称点 B，连接 DB，交 x 轴于点 M，此时 BM+MDDM+MBDB最小，即BDM 周长最小，设直线 DB解析式为 ykx+b，把 D 与 B坐标代入求出 k 与 b 的值，确定出直线DB解析式，令 y0 求出 x 的值，确定出此时 M 的坐标即可【解答】解：（1）对于直线 yx+2，令 x0，得到 y2；令 y0，得到 x4，A（4，0），B（0，2），即 OA4，OB2，则 AB2；（2）过 D 作 DEx 轴，过 C 作 CFy 轴，四边形 ABCD 为正方形，ABBCAD，ABCBADBFCDEAAOB90，FBC+ABO9

26、0，ABO+BAO90，DAE+BAO90，FBCOABEDA，DEAAOBBFC（AAS），AEOBCF2，DEOAFB4，即 OEOA+AE4+26，OFOB+BF2+46，则 D（6，4），C（2，6）；（3）如图所示，连接 BD，找出 B 关于 y 轴的对称点 B，连接 DB，交 x 轴于点 M，此时 BM+MDDM+MBDB最小，即BDM 周长最小，B（0，2），B（0，2），设直线 DB解析式为 ykx+b，把 D（6，4），B（0，2）代入得：解得：k1，b2，直线 DB解析式为 yx2，令 y0，得到 x2，则 M 坐标为（2，0），此时MDB 的周长为 2+6，【点评】本题属

27、于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，对称性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键24【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质以及平移的性质进行解答即可；连接 CM 交直线 EF 于点 N，连接 DN，利用勾股定理解答即可；（2）分点 P 在线段 CE 上和点 P 在线段 ED 上两种情况进行解答【解答】解：（1）在 ABCD 中，AB6，直线 EF 垂直平分 CD，DEFH3，又 BF：FA1：5，AH2，RtAHDRtMHF，即，HM1.5，根据平移的性质，MMCD6，连接 BM

28、，如图 1，四边形 BHMM的面积连接 CM 交直线 EF 于点 N，连接 DN，如图 2，；直线 EF 垂直平分 CD，CNDN，MH1.5，DM2.5，在 RtCDM 中，MC DC+DM，MC 6+（2.5），即 MC6.5，MN+DNMN+CNMC，DNM 周长的最小值为 9（2）BFCE，QF2，PKPK6，222222过点 K作 EFEF，分别交 CD 于点 E，交 QK 于点 F，如图 3，当点 P 在线段 CE 上时，在 RtPKE中，PE PK EK，222RtPEKRtKFQ，即解得：PEPEEE，如图 4，同理可得，当点 P 在线段 DE 上时，综上所述，CP 的长为或【

29、点评】此题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形的性质和平移的性质解答，注意（2）分两种情况分析25【分析】（1）根据线段 EF 经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（2）显然，当 0 x50 时，y270；当 130 x180 时，y254；当 50 x130 时，设 y2与 x 之间的函数关系式为 y2mx+n，利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（3）利用：总利润每千克利润产量，根据x 的取值范围列出有关 x 的二次函数，求得最值比较可得【解答】解：（1）设 y1与 x 之间的函数关系式为 y1kx+b，经过点（0，168）与（180，60），解得：，产品销售价

30、 y1（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式为y1x+168（0 x180）；（2）由题意，可得当 0 x50 时，y270；当 130 x180 时，y254；当 50 x130 时，设 y2与 x 之间的函数关系式为 y2mx+n，直线 y2mx+n 经过点（50，70）与（130，54），解得，当 50 x130 时，y2x+80综上所述，生产成本 y2（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式为 y2；（3）设产量为 xkg 时，获得的利润为 W 元，当 0 x50 时，Wx（x+16870）（x当 x50 时，W 的值最大，最大值为 3400；当 50 x130 时，Wx（x+168

31、）（x+80）（x110）2+4840，当 x110 时，W 的值最大，最大值为 4840；当 130 x180 时，Wx（x+16854）（x95）2+5415，当 x130 时，W 的值最大，最大值为 4680因此当该产品产量为 110kg 时，获得的利润最大，最大值为4840 元【点评】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型26【分析】（1）只要证明ABC 是等腰直角三角形即可；（2）只要证明 CBCP，CBCA 即可；、（3）分四种情形分别画出图形一一求解即可；分两种情形如图 6 中，作 EKPC 于 K只要证明四边形ADBC

32、 是正方形即可解决问题；如图7 中，连接 OC，作 BGCP 于 G，EKPC 于 K由AOQADB，可得 SABD，再根据 SBDESPBD计算即可解决问题；，可得 SPBDSABPSABD）+2，【解答】解：（1）如图 1 中，连接 BC，BCCA，AB 是直径，ACB90，BACCBA45（2）解：如图 1 中，设 PB 交 CD 于 K，CDBCDP45，CBCA，CD 平分BDP，又CDBP，DKBDKP90，DKDK，DKBDKP，BKKP，即 CD 是 PB 的中垂线，CPCBCA（3）（）如图 2，当 B 在 PA 的中垂线上，且 P 在右时，ACD15；理由：连接 BD、OC

33、作 BGPC 于 G则四边形 OBGC 是正方形，BGOCOBCG，BABA，PB2BG，BPG30，ABPC，ABP30，BD 垂直平分 AP，ABDABP15，ACD15（）如图 3，当 B 在 PA 的中垂线上，且 P 在左，ACD105；理由：作 BGCP 于 G同法可证BPG30，可得APBBAPAPC15，ABD75，ACD+ABD180，ACD105；（）如图 4，A 在 PB 的中垂线上，且 P 在右时ACD60；理由：作 AHPC 于 H，连接 BC同法可证APH30，可得DAC75，DABC45，ACD60；（）如图 5，A 在 PB 的中垂线上，且 P 在左时ACD120

34、理由：作 AHPC 于 H同法可证：APH30，可得ADC45，DAC604515，ACD120如图 6 中，作 EKPC 于 KEKCK3，EC3AC6，AEEC，ABPC，BAEPCE，AEBPEC，ABECPE，PCABCD，PCD 是等腰直角三角形，可得四边形ADBC 是正方形，SBDES正方形 ADBC36如图 7 中，连接 OC，作 BGCP 于 G，EKPC 于 K由题意 CKEK3，PK1，PG2，由AOQPCQ，可得 QCPQ 2，由AOQADB，可得 SABDSPBDSABPSABDSBDESPBD，综上所，满足条件的BDE 的面积为 36 或【点评】本题考查圆综合题、等腰直角三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、切线的性质、线段的垂直平分线的性质和判定、直角三角形中 30 度角的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题