奥数提高班第一讲 有理数的巧算(含答案).pdf

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1、第一讲第一讲 有理数的巧算有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础 它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性1 1括号的使用括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单例例 1 1 计算下式的值：211555+445789+555789+211445例例 2 2在数 1，2，3，1998 前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非

2、负数是多少？2 2用字母表示数用字母表示数我们先来计算(100+2)(100-2)的值：这是一个对具体数的运算，若用字母 a 代换 100，用字母 b 代换 2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=_于是我们得到了一个重要的计算公式_这个公式叫_公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算1例 3 计算 30012999 的值练习 1计算 1039710 009 的值练习 2 计算：练习 3 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)练习 4 计算：23 3观察算式找规律观察算式找规律例例 4 4 某班 20 名学生的数学期

3、末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88例例 5 5 计算 1+3+5+7+1997+1999 的值2399100例例 6 6 计算 1+5+5+5+5+5的值例例 7 7 计算：3练习一练习一1计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+99+100；(3)19911999-19902000；(4)4726342+472 6352-472 633472 635-472 634472 636；(6

4、)1+4+7+244；2某小组 20 名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，854第一讲第一讲 有理数的巧算答案有理数的巧算答案例 1 计算下式的值：211555+445789+555789+211445分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算解 原式=(211555+211445)+(445789+555789)=211(555+445)+(445+555)789=2111000+1000789

5、=1000(211+789)=1 000 000说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧例 2在数 1，2，3，1998 前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在 1，2，3，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性在1，2，3，1998 中有 19982 个奇数，即有 999 个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于 1现考虑在自然数 n，n+1，n+2，n+3 之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2

6、)+(n+3)=0这启发我们将 1，2，3，1998 每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1所以，所求最小非负数是1说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化例 3 计算 30012999 的值22解 30012999=(3000+1)(3000-1)=3000-1=8 999 999例 4 某班 20 名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，8

7、9，92，95，88分析与解 若直接把 20 个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90 上下，所以可取 90 为基准数，大于 90 的数取“正”，小于 90 的数取“负”，考察这 20 个数与 90的差，这样会大大简化运算所以总分为9020+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)20=89.95例 5 计算 1+3+5+7+1997+1999 的值分析 观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和

8、与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法解 用字母 S 表示所求算式，即S=1+3+5+1997+1999 5再将 S 各项倒过来写为S=1999+1997+1995+3+1 将，两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+2000+2000(500 个 2000)=2000500从而有 S=500 0002399100例 6 计算 1+5+5+5+5+5的值分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5 倍 如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算99100解 设 S=1+5+52+5+5，所以231001015S=5+5+5+5+5 得1014S=5-1，例 7 计算：分析 一般情况下，分数计算是先通分本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法解 由于所以说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用6