电力系统运行的状态估计.pdf

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1、张张 超超Email:Email:第五章第五章-电力系统运行的状态估计电力系统运行的状态估计一、量测系统误差的随机性质一、量测系统误差的随机性质二、最小二乘法估计二、最小二乘法估计三、电力系统运行状态的数学模型三、电力系统运行状态的数学模型四、电力系统最小二乘法估计四、电力系统最小二乘法估计五、五、P-Q分解法的状态估计分解法的状态估计六、电力系统运行状态估计框图六、电力系统运行状态估计框图1提纲提纲总结总结1.1.状态变量与电力系统状态变量状态变量与电力系统状态变量2.2.电力系统状态估计电力系统状态估计3.3.测量误差概念与分类，量测方程式。测量误差概念与分类，量测方程式。4.4.无偏量测

2、的条件与衡量量测准确度的指标。无偏量测的条件与衡量量测准确度的指标。5.5.加权最小二乘法状态估计的表达式加权最小二乘法状态估计的表达式6.6.牛顿牛顿-拉夫逊法求解非线性方程的步骤。拉夫逊法求解非线性方程的步骤。7.7.电力系统运行状态的数学模型电力系统运行状态的数学模型8.8.电力系统最小二乘状态估计的矩阵电力系统最小二乘状态估计的矩阵9.9.牛顿牛顿-拉夫逊法求解非线性方程组的步骤拉夫逊法求解非线性方程组的步骤10.PQ10.PQ分解法状态估计的近似、假定与估计公式分解法状态估计的近似、假定与估计公式11.11.牛顿牛顿-拉夫逊与拉夫逊与PQPQ分解法的特点分解法的特点12.12.估计所

3、得数据为合格数据的两个条件估计所得数据为合格数据的两个条件13.13.状态估计的正常估计功能与检错、识别功能状态估计的正常估计功能与检错、识别功能21.1.状态变量与电力系统状态变量的概念。状态变量与电力系统状态变量的概念。状态变量状态变量电力系统状态变量电力系统状态变量能够完全描述能够完全描述动态系统动态系统时域行为的所含变量个数最少的变量组称时域行为的所含变量个数最少的变量组称为系统的为系统的状态变量状态变量。从了解电力系统运行情况的要求来看，希望有从了解电力系统运行情况的要求来看，希望有足够多足够多的测量信息送的测量信息送到调度中心，但从到调度中心，但从经济性与可能性经济性与可能性来看，

4、只能要求将某些必不可少的信息来看，只能要求将某些必不可少的信息送到调度中心，通常称送到调度中心，通常称能足够表征电力系统特征能足够表征电力系统特征所需所需最小数目的变量最小数目的变量为电为电力系统的状态变量。力系统的状态变量。2xIUIrPI r总结总结3总结总结2.2.电力系统状态估计电力系统状态估计电力系统的信息需通过电力系统的信息需通过远动装置传送远动装置传送到调度中心，由于到调度中心，由于远动装置远动装置及及传送过程传送过程各个环节造成的误差，使这些数据存在各个环节造成的误差，使这些数据存在不同程度的不同程度的误差和不可靠性误差和不可靠性。此外，由于。此外，由于测量装置测量装置在数量上

5、在数量上或种类上的限制，往往不能得到电力系统分析所需的完整、或种类上的限制，往往不能得到电力系统分析所需的完整、足够的数据。为解决上述问题，除了不断足够的数据。为解决上述问题，除了不断改善测量改善测量与与传输系传输系统统外，还可采用外，还可采用数学处理数学处理的方法来提高测量数据的的方法来提高测量数据的可靠性与可靠性与完整性完整性。电力系统状态估计就是为适应这一需要而提出的。电力系统状态估计就是为适应这一需要而提出的。4总结总结2.2.电力系统状态估计电力系统状态估计状态估计分为状态估计分为动态估计动态估计和和静态估计静态估计两种。根据运动方程以两种。根据运动方程以某一时刻某一时刻的测量数据作

6、为初值进行的测量数据作为初值进行下一个时刻下一个时刻状态量的估计，叫做状态量的估计，叫做动态估计动态估计；仅；仅仅根据某时刻仅根据某时刻测量数据测量数据，确定该时刻的状态量的估计，叫做，确定该时刻的状态量的估计，叫做静态估计静态估计。5驱动SCADA状态估计不良数据检测zEMS电网传感器u潮流优化SCADA事故分析经济调度3.3.量测误差概念与分类，量测方程式量测误差概念与分类，量测方程式在测量时，在测量时，测量结果测量结果与与实际值实际值之间的差值叫误差。之间的差值叫误差。测量测量量测误差量测误差远程传输远程传输人为制造人为制造总结总结考虑测量误差后，测量值与真值的关系为：考虑测量误差后，测

7、量值与真值的关系为：zhxcv zhxv消除固定误差后，变为消除固定误差后，变为量测方程式量测方程式固定误差固定误差c c（又称系统误差）：（又称系统误差）：由于技术原因造成，比如零由于技术原因造成，比如零点不准、固定偏值等，为常点不准、固定偏值等，为常数，可以消除。数，可以消除。64.4.无偏量测的条件与衡量量测准确度的指标。无偏量测的条件与衡量量测准确度的指标。总结总结0()EzEvEzE hxvEhxEvEv2222()()()()()dvarzE zEzE zEvzp zz无偏量测的条件：无偏量测的条件：二者区别：二者区别：J(z)J(z)只需只需EzEz，varzvarz还需概率密度

8、分布曲线还需概率密度分布曲线p(z)p(z)。故无偏量测的条件为：随机误差的故无偏量测的条件为：随机误差的平均值为零平均值为零。准确度衡量指标准确度衡量指标：误差二乘值：误差二乘值：方差值：方差值：21()()niiJ zzEz越小越精确越小越精确，二乘值与误差符号无关，只与误差大小（，二乘值与误差符号无关，只与误差大小（离散度离散度）有关）有关75.5.加权最小二乘法状态估计加权最小二乘法状态估计进行进行j j 次测量，测量读值为次测量，测量读值为目标：求估计值目标：求估计值，使，使测量读值测量读值与与估计值估计值的二乘值最小。的二乘值最小。最小二乘估计最小二乘估计（设系统只有一个状态变量（

9、设系统只有一个状态变量最简单）最简单）22LSLS11()min()min()()kkjjjjjjJ xJ xzh xzh xjjjzh xv xjh x加权最小二乘法估计加权最小二乘法估计一般最小二乘法的缺点：对各测量值等一般最小二乘法的缺点：对各测量值等分量处理分量处理，没有考虑各测量，没有考虑各测量值值准确度不同准确度不同的问题。如的问题。如例例5 5-1 1 表表5 5-1 P1401 P140加权最小二乘估计：加权最小二乘估计：2LS1v()()minkjjjjzh xJ xR以随机量方差作为权重，令以随机量方差作为权重，令准确度较差准确度较差的测量值的的测量值的权重大权重大一些。一

10、些。说明：通常所说的最小二乘估计都是指说明：通常所说的最小二乘估计都是指加权最小二乘估计加权最小二乘估计。8总结总结总结总结6.6.牛顿牛顿-拉夫逊法求解非线性方程的步骤。拉夫逊法求解非线性方程的步骤。测量次数较多时，各量以矩阵表示。测量次数较多时，各量以矩阵表示。xZHVT-1v()J xxxZHRZH随机向量的方差矩阵随机向量的方差矩阵最小二乘法估计：最小二乘法估计：2112222vkkvvRv12()0TvdJXH RZHXdX 状态变量的估计值状态变量的估计值-1-1-1()TTLSvvXHR HH R Z求估计误差的求估计误差的期望值期望值0EV 111111()()TTTTLSvv

11、vvE XXE H RHH R VH RHH REV9总结总结6.6.牛顿牛顿-拉夫逊法求解非线性方程的步骤。拉夫逊法求解非线性方程的步骤。解：在解：在轴上选一点轴上选一点（根据经验选择，选择合适时，（根据经验选择，选择合适时，收敛过收敛过程会很快程会很快），求），求的值，得到该点的值，得到该点，在该点作，在该点作的切线的切线，并交横坐标于点，并交横坐标于点，再求得点，再求得点在该点作切线在该点作切线，并交横坐标于点，并交横坐标于点，重复上述过程，逐，重复上述过程，逐步逼近步逼近，直到满足，直到满足求解方法：求解方法：牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法设求解的一元变量设求解的一元变量非线性方程式非线性

12、方程式为为。在在平面上做曲线平面上做曲线，求，求点的横坐标点的横坐标的值。的值。()x1()x1iixx()0 x()xx11,()xx()0 x0 xx1x()x1()x2x22,()xx2()x3x0 x10总结总结6.6.牛顿牛顿-拉夫逊法求解非线性方程的步骤。拉夫逊法求解非线性方程的步骤。11 牛顿牛顿-拉夫逊法求解非线性方程拉夫逊法求解非线性方程的步骤：的步骤：i.i.选取初值选取初值，代入代入求求ii.ii.求求iii.iii.求求iv.iv.第一次迭代结果第一次迭代结果v.v.重复重复ii ivii iv，直到获得较满意的，直到获得较满意的()0 x1()x1x11d()()dx

13、 xxxx11()()x xxxx 211xxxxiixxx三、电力系统运行状态的数学模型三、电力系统运行状态的数学模型121.1.输电线路方程输电线路方程（型等值电路）型等值电路）用一组以用一组以节点电压节点电压、电流电流、注入功率注入功率等为状态变量的非线等为状态变量的非线性方程，描述电力系统稳态运行状态。性方程，描述电力系统稳态运行状态。联立并将下二式代入联立并将下二式代入j(j)()ijicijIUYGB UU(cosjsin)(cosjsin)iiiiiijjjjjjUUUUUUjjijijijijiji ijijiPQSPQU IIU功率方程：功率方程：KCLKCL：三、电力系统运

14、行状态的数学模型三、电力系统运行状态的数学模型13虚、实部分离虚、实部分离，并应用，并应用，得极坐标形式的功率方程，得极坐标形式的功率方程2iiiUUU222cos()sincossinsin()cossincosijiicijjjiicijjjIU GBYUGBU GBYUGBijij22cossin()sincosijiijijijijijCiijijijijPGUGUUBUUQBY UGUUBUU 其中：其中：另外有另外有以节点电压以节点电压、为状态变量，故有为状态变量，故有四个状态变量四个状态变量。状。状态向量为态向量为iUjUTT1234,iijjx x x xUUX三、电力系统运行

15、状态的数学模型三、电力系统运行状态的数学模型电流只是单纯运行参数，只需考虑其测量值电流只是单纯运行参数，只需考虑其测量值14d(X)(X)dXijffx其中：其中：则都是则都是标量标量，在运用牛顿，在运用牛顿-拉夫逊法拉夫逊法求状态估计值时，需要求得这些标量对求状态估计值时，需要求得这些标量对状态向量状态向量X X的导数。的导数。如果如果实值函数实值函数f f(X)(X)是以是以n*mn*m矩阵矩阵X X的的nmnm个元素个元素为为自变元的函数自变元的函数，则定义则定义f f(X)(X)对对X X的导数为如下的的导数为如下的n*mn*m矩阵矩阵，即，即上述标量对个状态变量的偏导如下：上述标量对

16、个状态变量的偏导如下：可求得可求得、对各状态变量的对各状态变量的偏导数偏导数。P(157)iUjUijPijQ2ijI三、电力系统运行状态的数学模型三、电力系统运行状态的数学模型ijPijQ2ijIijx1,0(ij)0,01,0(ij)jiiijiiijiiiUUUUUU15节点节点i i 的的电压方程电压方程11(j)nniijjijijjjjIY UGB U111212122212nnnnnnYYYYYYYYYY2.2.复杂电网方程复杂电网方程 节点导纳矩阵节点导纳矩阵对角元对角元Y Yiiii称为称为自导纳自导纳，数值上等于该，数值上等于该节点直接连接节点直接连接的所的所有支路导纳的总

17、和有支路导纳的总和；非对角元非对角元Y Yijij称为互导纳，数值上等于连接节点称为互导纳，数值上等于连接节点i i ，j j 支路导纳支路导纳的负值的负值。I=YU对于对于n个节点的网络，有（个节点的网络，有（n-1）个独立节点，）个独立节点，即有（即有（n-1）个节点电压方程。）个节点电压方程。三、电力系统运行状态的数学模型三、电力系统运行状态的数学模型16三、电力系统运行状态的数学模型三、电力系统运行状态的数学模型取节点取节点n n为为参考节点参考节点，节点电压为状态变量，节点电压为状态变量，共（，共（2n2n-2 2）个。）个。为了为了使量测量的维数使量测量的维数大于大于状态变量的维数

18、状态变量的维数，还必须写出各节点，还必须写出各节点注入电流与注入功率的方程式。注入电流与注入功率的方程式。式中：式中：-节点节点i i上的上的发电机电流发电机电流-节点节点i i上的上的负载电流负载电流-节点节点i i流向电力系统的电流流向电力系统的电流设流入节点的功率为正，流出为负设流入节点的功率为正，流出为负令令112211,nnUUUiigilIIIigIilIiIijijYGjB1711j(j)(j)(cosjsin)niiiiiiijijjjjnijijijijijjPQU IUGB UUU GB功率方程：功率方程：11(cossin)(sincos)niijijijijijjnii

19、jijijijijjPUU GBQUU GB虚、实部分离虚、实部分离再增加电流方程，由再增加电流方程，由节点电压方程节点电压方程得得22211(cossin)(sincos)nnijijjijjjijjijjjjIU GBU GB三、电力系统运行状态的数学模型三、电力系统运行状态的数学模型18以节点电压为状态变量：以节点电压为状态变量：T0ijijjKIIUUI ZK3.3.变压器方程变压器方程在电力系统中不但不同电压等级间的网络要用变压器实现联系，在电力系统中不但不同电压等级间的网络要用变压器实现联系，而且常改变变压器的变比来改善无功功率的分配。而且常改变变压器的变比来改善无功功率的分配。(

20、)iTijTjijTUYIUKKYIUU YK 整理可得：整理可得：三、电力系统运行状态的数学模型三、电力系统运行状态的数学模型19在电力把绕组的漏抗归算带二次侧。在电力把绕组的漏抗归算带二次侧。2TTK ZZ(1)()(1)()TTiiijTTjjijK YYIUUUKKYYIKUUUKK 功率方程功率方程TT2TT(1)jj(1)jjijiijjijUUk UIBBkkkUUUIBBkk3.3.变压器方程变压器方程型等值电路型等值电路221sin11cosijTijijijTiTijijPB UUkQB UB UUkk 电流方程电流方程222221111sinsincoscosiTiiTj

21、jTiiTjjIB UB UB UB Ukkkk三、电力系统运行状态的数学模型三、电力系统运行状态的数学模型20四、电力系统最小二乘法估计四、电力系统最小二乘法估计21状态变量状态变量：变电站母线电压（：变电站母线电压（幅值与相角幅值与相角）（）（2n-2）个。）个。以下设状态变量为以下设状态变量为 n 个。个。测量数据为测量数据为 m 个，即个，即电力系统中，电力系统中，Z 的元素包括状态变量的的元素包括状态变量的本身测量本身测量读值读值和和运行变量运行变量的测量读值的测量读值。为为的非线性函数，故电力系统的量测方程式为的非线性函数，故电力系统的量测方程式为TXZZZZhZ=(X)+VXZZ

22、ZT12,nx xxXT12.mzzzZ0.0.概述概述ZZX四、电力系统最小二乘法估计四、电力系统最小二乘法估计mn母线电压母线电压功率、电流功率、电流V是随机误差矩阵，其维数与是随机误差矩阵，其维数与Z相同。相同。22目标：求估计值目标：求估计值，使，使测量读值测量读值与与估计值估计值的二乘值最小。的二乘值最小。即应使即应使可转化为可转化为令令注意注意：i.ii.相角一般不能直接测量，相角一般不能直接测量，维数高于维数高于。XZXd()0dx xJ XXZZ()h Xmn1.1.电力系统最小二乘估计的矩阵形式电力系统最小二乘估计的矩阵形式-1()()()TvJ XZh XRZh X-1d(

23、)0dTvx xhRZh XXddhHX四、电力系统最小二乘法估计四、电力系统最小二乘法估计23H得到电力系统得到电力系统最小二乘估计最小二乘估计的矩阵形式的矩阵形式111122221212.dd.nnmmmnhhhxxxhhhhxxxHXhhhxxx-1()()0TvH XRZh X雅可比（雅可比（Jacobi）矩阵）矩阵 n 个非线性方程，求解即可得状态变量的估计值个非线性方程，求解即可得状态变量的估计值四、电力系统最小二乘法估计四、电力系统最小二乘法估计24雅可比矩阵雅可比矩阵的重要性在于它的重要性在于它体现了一个体现了一个可微方程可微方程与给出与给出点的点的最优线性逼近最优线性逼近.因

24、此因此,雅可比矩阵类似于雅可比矩阵类似于多元函数的多元函数的导数导数状态估计的状态估计的数学描述数学描述四、电力系统最小二乘法估计四、电力系统最小二乘法估计量测量量测量2ijijiiiPQPQIz待求的待求的状态量状态量iiUx(,)(,)(,)(,)()ijijijijijijiijijiijijiiPUQUPUQUI Uh(x)量测方程量测方程25牛拉法求解非线性牛拉法求解非线性 方程组方程组根据将多元函数展开成根据将多元函数展开成泰勒级数泰勒级数的法则，将的法则，将在在点展开，并取一阶点展开，并取一阶线性项，得线性项，得代入非线性方程组代入非线性方程组 P1521(X)(X)(X)iii

25、ihhHXiX2.2.牛顿牛顿-拉夫逊法的矩阵形式拉夫逊法的矩阵形式(X)h四、电力系统最小二乘法估计四、电力系统最小二乘法估计-1()()0TvH XRZh X1-1-11-1-11()()TTivviTTiivviXH R HH RZh XXXH R HH RZh X(n 1)maxiinixx26当当是一个对称阵时，是一个对称阵时，一定也是对称阵。一定也是对称阵。节省计算机内存储器容量节省计算机内存储器容量是未知矩阵，是未知矩阵，A是方阵，是方阵，B是一个向量矩阵。对于每次迭代，是一个向量矩阵。对于每次迭代，A、B都是都是常量矩阵，常量矩阵，X是常量矩阵。（是常量矩阵。（P165）3.平

26、方根因子分解法平方根因子分解法四、电力系统最小二乘法估计四、电力系统最小二乘法估计-1-1-1-1()()()()()()()()TTiviiiviTiviTiviH XR H XXH XRZh XAH XR H XXXBH XRZh X 11 11221121 1222221 1223.nnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb27-1TvH R HX4.4.最小二乘法的状态估计程序框图最小二乘法的状态估计程序框图四、电力系统最小二乘法估计四、电力系统最小二乘法估计28牛拉法求解非线性方程组牛拉法求解非线性方程组的的步骤：步骤：i.选取初值选取初值；ii.

27、将原方程组线性化，得到以将原方程组线性化，得到以为变量的为变量的线性方程组线性方程组iii.求求；iv.第一次迭代结果第一次迭代结果v.重复重复ii iv，直到获得较满意的，直到获得较满意的。1X211XXX1X1X牛顿牛顿-拉夫逊法的矩阵形式拉夫逊法的矩阵形式-1-1-111()-()TTvvXH R HH RZ h XX()0h X 牛拉法求解非线性方程牛拉法求解非线性方程的步骤：的步骤：i.选取初值选取初值，求，求；ii.求求；iii.求求；iv.第一次迭代结果第一次迭代结果v.重复重复ii iv，直到获得，直到获得较满意的较满意的。()0 x1()x1x11d()()dx xxxx11

28、()()x xxxx 211xxxx线性方程组的计算机解法之一线性方程组的计算机解法之一平方根因子分解法（略）平方根因子分解法（略）四、电力系统最小二乘法估计四、电力系统最小二乘法估计29几个有意义的矩阵几个有意义的矩阵四、电力系统最小二乘法估计四、电力系统最小二乘法估计 量测雅克比矩阵量测雅克比矩阵一一个可微方程与给出点的个可微方程与给出点的最优线性逼近最优线性逼近 信息矩阵信息矩阵(Gain Matrix)对称性对称性节省计算机节省计算机内部存储器容量内部存储器容量 状态估计误差方差阵状态估计误差方差阵估计误差估计误差与与数学期望数学期望的的离散度离散度 量测估计误差量测估计误差 量测估计

29、误差方差阵量测估计误差方差阵()()kxxh xHx1TH R H11TTExxxxH R H()()()()zzzh xH xxH x xx11TTTEzzzzH H R HH301TH R H四、电力系统最小二乘法估计四、电力系统最小二乘法估计 测量值：测量值：I=1.05A=1.05p.u.U=9.8V=0.98p.u.P=9.6W=0.96p.u.状态量状态量x为电流为电流I 量测方程：量测方程：Z1=h1(x)+v1=x+v1 Z2=h2(x)+v2=Rx+v2 Z3=h3(x)+v3=Rx2+v331四、电力系统最小二乘法估计四、电力系统最小二乘法估计 雅克比矩阵雅克比矩阵 信息矩

30、阵信息矩阵 迭代方程迭代方程()Th xHx31()2221.05-x2.03-0.08x-2x241 120.98-x240.96-xkxxxx()()1()11()(1)()()()kkkTTkkkkzzh xxH R HH Rzxxx112xH224TxH H32四、电力系统最小二乘法估计四、电力系统最小二乘法估计3()22.03-0.08x-2x24kxx迭代次数X(k)x(k)1 11 1-0.008330.008332 20.9916670.9916674.23E4.23E-05053 30.9917090.991709-3.4E3.4E-070733四、电力系统最小二乘法估计四、

31、电力系统最小二乘法估计 状态的估计值状态的估计值x=0.9917 量测的估计值：量测的估计值：电流电流I=x=0.9917p.u.=0.9917A 电压电压U=Rx=0.9917p.u.=9.917V 有功有功P=Rx2=0.9835p.u.=9.835W 量测容余度增加，估计误差将减小量测容余度增加，估计误差将减小真值真值量测值量测值误差误差估计值估计值误差误差估计值估计值误差误差1.05 0.05 1.015 0.015 0.9917 -0.008334最小二乘法状态估计程序框图最小二乘法状态估计程序框图（图（图5 5-1212）例：例：图图5-13，5-14，表，表5-45-7T1331

32、1311j0.12691.05 j7.5YYYyk T111310T1111.05 1 1j0.13331.05 j7.51.05j7.5YkYyyYkk 33133103403203432TT340320234322111111 1.05 1j0.000561.05 j7.51.05j7.511j0.000443.05j8.370.44j2.150.124j0.6742YyyyyyyYkYyykkzz四、电力系统最小二乘法估计四、电力系统最小二乘法估计35表表5-5，由式，由式5-20b 44424242422442424242422(cossin)111.54(0.0707 1 0.362

33、1 0)7.89(sincos)111.54 111.54(0.0707 00.3621 1)4505PU GBUPU U GB 23232332322323232322cossin2 111.54(0.0855)111.54(0.0855)1 09.54(sincos)111.54 111.54(00.4487 1)5582PU GU GU BUPU U GB 输电线路输电线路四、电力系统最小二乘法估计四、电力系统最小二乘法估计36结论结论：i.估计值精确度高于测量值；估计值精确度高于测量值；ii.节点节点1与节点与节点3间只有电抗，间只有电抗，没有电阻，应没有有功损耗，没有电阻，应没有有功

34、损耗，即即，而二者的测，而二者的测量值相差却较大，估计值大量值相差却较大，估计值大小相等；小相等；iii.计算工作量主要为计算工作量主要为 Jacobi矩阵的计算，可通过近似算矩阵的计算，可通过近似算法予以改进（法予以改进（P-Q分解）。分解）。1331PP 四、电力系统最小二乘法估计四、电力系统最小二乘法估计378.8.电力系统最小二乘状态估计的矩阵电力系统最小二乘状态估计的矩阵目标：求估计值目标：求估计值，使，使测量读值测量读值与与估计值估计值的二乘值最小。的二乘值最小。可转化为可转化为-1()()()TvJ XZh XRZh X-1d()0dTvx xhRZh XX-1()()0TvH

35、XRZh X n 个非线性方程，求解即可得状态变量的估计值个非线性方程，求解即可得状态变量的估计值111122221212.dd.nnmmmnhhhxxxhhhhxxxHXhhhxxx雅可比矩阵雅可比矩阵的重要性在于它的重要性在于它体现了一个体现了一个可微方程可微方程与给出与给出点的点的最优线性逼近最优线性逼近.因此因此,雅可比矩阵类似于多雅可比矩阵类似于多元函数的元函数的导数导数总结总结38第五章主要内容：第五章主要内容：9.9.牛顿牛顿-拉夫逊法求解非线性方程组的步骤。拉夫逊法求解非线性方程组的步骤。牛拉法求解非线性方程组牛拉法求解非线性方程组的的步骤：步骤：i.选取初值选取初值；ii.将

36、原方程组线性化，得到以将原方程组线性化，得到以为变量的为变量的线性方程组线性方程组iii.求求；iv.第一次迭代结果第一次迭代结果v.重复重复ii iv，直到获得较满意的，直到获得较满意的。1X211XXX1X1X-1-1-111()-()TTvvXH R HH RZ h XX()0h X 牛拉法求解非线性方程牛拉法求解非线性方程的步骤：的步骤：i.选取初值选取初值，求，求；ii.求求；iii.求求；iv.第一次迭代结果第一次迭代结果v.重复重复ii iv，直到获得，直到获得较满意的较满意的。()0 x1()x1x11d()()dx xxxx11()()x xxxx 211xxxx39 测量值

37、：测量值：I=1.05A=1.05p.u.U=9.8V=0.98p.u.P=9.6W=0.96p.u.状态量状态量x为电流为电流I 量测方程：量测方程：Z1=h1(x)+v1=x+v1 Z2=h2(x)+v2=Rx+v2 Z3=h3(x)+v3=Rx2+v340总结总结 雅克比矩阵雅克比矩阵 信息矩阵信息矩阵 迭代方程迭代方程()Th xHx31()2221.05-x2.03-0.08x-2x241 120.98-x240.96-xkxxxx()()1()11()(1)()()()kkkTTkkkkzzh xxH R HH Rzxxx112xH224TxH H41总结总结3()22.03-0.

38、08x-2x24kxx迭代次数X(k)x(k)1 11 1-0.008330.008332 20.9916670.9916674.23E4.23E-05053 30.9917090.991709-3.4E3.4E-070742总结总结 状态的估计值状态的估计值x=0.9917 量测的估计值：量测的估计值：电流电流I=x=0.9917p.u.=0.9917A 电压电压U=Rx=0.9917p.u.=9.917V 有功有功P=Rx2=0.9835p.u.=9.835W 量测容余度增加，估计误差将减小量测容余度增加，估计误差将减小真值真值量测值量测值误差误差估计值估计值误差误差估计值估计值误差误差1

39、.05 0.05 1.015 0.015 0.9917 -0.008343总结总结图图5 5-13 13 电力系统接线图及线路参数电力系统接线图及线路参数44总结总结图图5 5-10 10 变压器等值电路变压器等值电路45总结总结对角元对角元Y Yiiii称为称为自导纳自导纳，数值上等于该，数值上等于该节点直接连接节点直接连接的所的所有支路导纳的总和有支路导纳的总和；非对角元非对角元Y Yijij称为互导纳，数值上等于连接节点称为互导纳，数值上等于连接节点i i ，j j 支路导纳支路导纳的负值的负值。111212122212nnnnnnYYYYYYYYYY 节点导纳矩阵节点导纳矩阵12;ii

40、iiinYyyy()iiijYyij 最小二乘法状态估计程序框图最小二乘法状态估计程序框图T13311311j0.12691.05 j7.5YYYyk T111310T1111.05 1 1j0.13331.05 j7.51.05j7.5YkYyyYkk 33133103403203432TT340320234322111111 1.05 1j0.000561.05 j7.51.05j7.511j0.000443.05j8.370.44j2.150.124j0.6742YyyyyyyYkYyykkzz46总结总结47总结总结0.133300.1296000.15630.81030.08550.

41、44870.07070.36210.12960.08550.44870.12400.67420.03840.105400.07070.36210.03840.10540.10924668jjjjjjjjjjjjY14111422213*16*12132133kkUUhvPUhvZXHVPhvUQ给出给出导纳阵导纳阵：状态变量初值：状态变量初值：1020304010203040111.54(kV)0UUUU1331PP 表表5-5，由式，由式5-20b 44424242422442424242422(cossin)111.54(0.0707 1 0.3621 0)7.89(sincos)111.

42、54 111.54(0.0707 00.3621 1)4505PU GBUPU U GB 23232332322323232322cossin2 111.54(0.0855)111.54(0.0855)1 09.54(sincos)111.54 111.54(00.4487 1)5582PU GU GU BUPU U GB 输电线路输电线路总结总结48节点网络节点网络权重权重总结总结491-1-11-1-11()()TTivviTTiivviXH R HH RZh XXXH R HH RZh X(n 1)maxiinixx-1()()0TvH XRZh X2112222vkkvvRv电力系统电

43、力系统最小二乘法估计最小二乘法估计结论结论：i.估计值精确度高于测量值；估计值精确度高于测量值；ii.节点节点1与节点与节点3间只有电抗，间只有电抗，没有电阻，应没有电阻，应没有有功损耗没有有功损耗，即即，而二者的测，而二者的测量值量值相差却较大相差却较大，估计值大，估计值大小相等；小相等；iii.计算工作量主要为计算工作量主要为 Jacobi矩阵的计算，可通过近似算矩阵的计算，可通过近似算法予以改进（法予以改进（P-Q分解）。分解）。1331PP 50总结总结输电线运行方式方程组电力系统运行方式方程组变压器运行方式方程组五、五、P P-Q Q分解法的状态估计分解法的状态估计51在牛顿在牛顿-

44、拉夫逊算法中，拉夫逊算法中，J 阵元素不断变化，每次迭代均需重阵元素不断变化，每次迭代均需重新求解新求解H，速度慢，占较大内存。，速度慢，占较大内存。量测雅克比矩阵量测雅克比矩阵信息矩阵信息矩阵五、五、P P-Q Q分解法的状态估计分解法的状态估计1-1-11-1-11()()TTivviTTiivviXH R HH RZh XXXH R HH RZh X迭代迭代i次次()()kxxh xHx1TVH RH解决：解决：将将P-Q分解法的一些特点应用于电力系统状态估计分解法的一些特点应用于电力系统状态估计的最小二乘法估计，称为的最小二乘法估计，称为P-Q分解法状态估计分解法状态估计521.1.P

45、QPQ分解法估计公式分解法估计公式量测值：有功功率、无功功率（含电压幅值）量测值：有功功率、无功功率（含电压幅值）状态向量状态向量XU11122122(,)PPHHUHUHHQQU(,)(,)arPUZZQUZUJacobi矩阵矩阵五、五、P P-Q Q分解法的状态估计分解法的状态估计53除除以外，其余各项量均为零，较为简单，以外，其余各项量均为零，较为简单，不再作讨论。不再作讨论。五、五、P P-Q Q分解法的状态估计分解法的状态估计1,0(ij)0,01,0(ij)jiiijiiijiiiUUUUUU测量值包括节点测量值包括节点电压幅值电压幅值1iiUU54近似：有功主要与频率（相角）有关

46、，无功主要与电压大小有关近似：有功主要与频率（相角）有关，无功主要与电压大小有关故故12210,0PQHHU五、五、P P-Q Q分解法的状态估计分解法的状态估计电力系统中发电机发出的总的电力系统中发电机发出的总的有功功率有功功率和负载消耗的总和负载消耗的总的的有功功率有功功率是平衡的，系统频率可以保持在额定值。因此，是平衡的，系统频率可以保持在额定值。因此，改变发电机输出的有功功率可以调整电网频率。改变发电机输出的有功功率可以调整电网频率。系统频率系统频率的的变化直接反映了变化直接反映了有功功率有功功率的平衡状况。的平衡状况。电网中的电网中的无功功率无功功率会造成线路上的会造成线路上的电流增

47、大电流增大，因为电线，因为电线有电阻，线路长了，就会在线路上有电阻，线路长了，就会在线路上造成压降造成压降，电流越大，造，电流越大，造成的成的压降就越大压降就越大，这样整个电网的，这样整个电网的电压就会下降电压就会下降。55五、五、P P-Q Q分解法的状态估计分解法的状态估计近似处理：近似处理：一般来讲，线路两端电压的相角差是不大的（一般来讲，线路两端电压的相角差是不大的（）001020cos1ij由于相角变化不大，所以有功功率变化不大，进而线路由于相角变化不大，所以有功功率变化不大，进而线路呈感性或呈感性或容性容性。0ijQ由输电线路的功率方程：由输电线路的功率方程：ijsin()ijij

48、GBij物理意义：与系统各结点无功功率相对物理意义：与系统各结点无功功率相对应的应的等值对地导纳等值对地导纳，必定远远小于该结，必定远远小于该结点点自导纳的虚部自导纳的虚部。0iQ由电网结点的功率方程：由电网结点的功率方程：22iiiiiiiiiiiiQBUQU BQU BUi56简化后的雅可比矩阵（简化后的雅可比矩阵（P161）：）：五、五、P P-Q Q分解法的状态估计分解法的状态估计211222()iiiiiiiijijijicjijiijU BB UU BUU BPQHHU BYU BUU BUU BUU B给定一个给定一个参考电压参考电压，进一步假定：，进一步假定：0U0ijUUU一

49、个节点电压作一个节点电压作参考点参考点:雅可比矩阵变成了雅可比矩阵变成了常数阵常数阵00U57式中，式中，、为常数矩阵，为常数矩阵，为参考电压，故为参考电压，故为常数阵。为常数阵。2H五、五、P P-Q Q分解法的状态估计分解法的状态估计1H再经一些近似，可得再经一些近似，可得21101220200(,)00HU HHUHU H0UH牛顿牛顿-拉夫逊法求拉夫逊法求的线性方程组为变系数（的线性方程组为变系数（J 阵）阵）-11-1()()TTivviXH R HH RZh XX21011102-()()-()TaaaiTviTrrriU H RZh XH RZh XU HRZh X4110112

50、102200TTaviTirU H RHH RH XUU HRH58五、五、P P-Q Q分解法的状态估计分解法的状态估计牛拉法求牛拉法求的线性方程组为变系数（的线性方程组为变系数（J 阵）阵）PQ 分解法则通过对两组常系数线性方程组的求解分别得到分解法则通过对两组常系数线性方程组的求解分别得到和和。2-1-101112-1-10222-(,)-(,)TTaiaaaiiTTrirrriiU H R HH RZhUU H R HUH RZhUX第第 i 次迭代结果次迭代结果U-11-1()()TTivviXH R HH RZh X11iiiiiiUUU迭代结束条件迭代结束条件iivU59图图5-