同济大学第六版高等数学课后答案全集.docx

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1、 1. 设 A=(-, -5)(5, +), B=-10, 3), 写出 AB, AB, AB 及 A(AB)的表达解 AB=(-, 3)(5, +),CCCCCCCCCCC(因为 xA 或 xB) yf(A)或 yf(B) yf(A)f(B),f(A)f(B),f(AB)f(A)f(B).4. 设映射 f : XY, 若存在一个映射 g: YX, 使 go f =I , f og =I , 其中 I 、XXYI 分别是 X、Y 上的恒等映射, 即对于每一个 xX, 有 I x=x; 对于每一个 yY, 有YX-1Y证明 因为对于任意的 yY, 有 x=g(y)X, 且 f(x)=fg(y)=

2、I y=y, 即 Y 中任意元y素都是 X 中某元素的像, 所以 f 为 X 到 Y 的满射.又因为对于任意的 x x , 必有 f(x )f(x ), 否则若 f(x )=f(x )g f(x )=gf(x )12121212word 文档 可自由复制编辑 x =x .12对于映射 g: YX, 因为对每个 yY, 有 g(y)=xX, 且满足 f(x)=fg(y)=I y=y,y(1)f (f(A)A;-1-1证明 (1)因为 xA f(x)=yf(A) f (y)=xf (f(A),-1-1f (f(A)A.-1-1另一方面, 对于任意的 xf (f(A)存在 yf(A), 使 f (y

3、)=xf(x)=y . 因为-1-1-1-1122解 由 x0 且 1-x 0 得函数的定义域 D=-1, 0)(0, 1.21;2(6) y=tan(x+1);解 由 x+1 (k=0, 1, 2, )得函数的定义域为 xk + - (k=0, 1, 2, 1).word 文档 可自由复制编辑 解 由|x-3|1 得函数的定义域 D=2, 4.1yxx(9) y=ln(x+1);解 由 x+10 得函数的定义域 D=(-1, +).1x2x2- , ( )= 3 -1.x4 x3 g x x x3(4)f(x)=1, g(x)=sec x-tan x .228. 设j( )=x 3j( )

4、j( ) j( ) j( 2) 并作出函数 j( ), - , - , y= xp0|x|3p2解 j( )=|sin |= , j( )=|sin |=, j(- )=|sin(- )|=.j(-2)=04 29. 试证下列函数在指定区间内的单调性:xy121212xxx -xy - y = 1 - 2 =12121212word 文档 可自由复制编辑 1212x1x12112212210. 设 f(x)为定义在(-l, l)内的奇函数, 若 f(x)在(0, l)内单调增加, 证明 f(x)在(-l, 0)内也单调增加.12121212因为 f(x)在(0, l)内单调增加且为奇函数, 所

5、以f(-x )f(-x ), -f(x )f(x ),212121这就证明了对于x , x (-l, 0), 有 f(x )0);解 由 0x+a1 且 0x-a1 得: 当0 时, 无解. 因此18. 设 f (x)= 0 |x|=1, g(x)=e 错误！未指定书签。, 求 fg(x)和 gf(x), 并xxxx|x|1|x|=1, 即 g f (x)= 1 |x|=1.1g f (x)=e = ef (x) 0e-1e -119. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角 j=40(图 1-37). 当过水断面 ABCD0word 文档 可自由复制编辑 hAB DC=h BC BC h S +

6、( +2cot 40 )=o0L= 0 +h .sin 40ohS0h确定, 定义域为0h S cot 40 .o020. 收敛音机每台售价为 90 元, 成本为 60 元. 厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过 100 台以上的, 每多订购 1 台, 售价就降低 1 分, 但最低价为每台 75 元.0090p=91-0.01x 100x0, 要使|x -0|e , 只要 . 取ennnn1N = ,e则nN, 有|x -0|e .n当 e =0.001 时, N = =1000.word 文档 可自由复制编辑 1(1) lim =0;1111分析 要使| -0 |= , 即 n.22

7、n2n111Nen2n23n+1 3= ;2n+1 21114n , 只须 .n证明 因为e0, $ = , 当 nN 时, 有|Nn+a222a2a2n2-1|=nn(+ + ) nn n2 a2 n2a证明 因为e0, $, 当nN 时, 有|-1| , 所以nn11+lgn1证明 因为e0, $ =1+lg , 当nN 时, 有|0.99 9-1|0, $NN , 当 nN 时, 有u a| - |en|u |-|a|u -a|0, $NN , 当 nN 时, 有|y |N 时, 有Mnnne|x y -0|=|x y |M |y |0,2ke1122取 N=max2K -1, 2K ,

8、 只要 nN, 就有|x -a|e .12nnx3|(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|,所以要使|(3x-1)-8|e , 只须|x-3|0, $ = , 当 x- 时, 有0 | 3| d|(3x-1)-8|e ,x3x2word 文档 可自由复制编辑 所以要使|(5x+2)-12|e , 只须|x-2 |0, $, 当 0|x-2|d 时, 有5|(5x+2)-12|0, $, 当 0|x-(-2)|0, $ = , 当 - - 时, 有0 |x ( )| de12word 文档 可自由复制编辑 1+ x 13= ;21+ x 13332x 233e2x 23123e2x 23

9、3所以 lim2x=0 .xx+-0 =xxx1-0 0, $ X = , 当 xX 时, 有ex所以 limxx+3. 当 x2 时, y=x 4. 问 d 等于多少, 使当|x-2|d 时, |y-4|0.001？2解 由于当 x2 时, |x-2|0, 故可设|x-2|1, 即 1x3.要使25取 d=0.0002, 则当 0|x-2|d 时, 就有|x -4|X 时, |y-1|0.01?word 文档 可自由复制编辑 4X-3= 397 , 故 = 397 .xx2 +3|f(x)-0|=|x|-0|=|x|=|x-0|,所以要使|f(x)-0|e, 只须|x|0, $d=e, 使当

10、 0|x-0|d, 时有|f(x)-0|=|x|-0|0,x-x+e11$X 0, 使当 xX 时, 有|f(x)-A|X 时, 有|f(x)-A|0, $d0, 使当 0|x-x |d 时,00有|f(x)-A|e .因此当 x -dxx 和 x xx +d 时都有0000|f(x)-A|0,00d 0 使当 x d xx 时 有| f(x) A0 使当 x xx +d 时 有| f(x) A|e.2002取 d=mind , d , 则当 0|x-x |d 时, 有 x -d xx 及 x xx +d , 从而有120010002| f(x)-A|0 及 M0, 使当|x|X 时, |f(

11、x)|0, 当|x|X 时, 有|f(x)-A|e =1. 所以|f(x)|=|f(x)-A+A|f(x)-A|+|A|0 及 M0, 使当|x|X 时, |f(x)|M, 其中 M=1+|A|.习题 1-41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.解 不一定.2例如, 当 x0 时, a(x)=2x, b(x)=3x 都是无穷小, 但 limx0x -92(1) y=x+3x -92证明 (1)当 x3 时| y|=x+3x -92=|x-3|d =e ,x+3word 文档 可自由复制编辑 2| y|=|x|sin |x-0|M, 只须 -2M , 即xx | x|1d 时 有x所

12、以当 x0 时, 函数 y=x114444. 求下列极限并说明理由:;xx2x01x=2+ , 而当 x 时 是无穷小, 所以limxxx1- x22x0f(x)Af(x)f(x)+ f(x)-e0, $d0, 使xx0 当 0|x-x |d时,0有恒|f(x)-A|0, $X0, 使当|x|X 时,有恒|f(x)|M.xx+x-解f(x)Ae 0 d 0 使 , $ ,f(x) , $ ,M 0 d 0 使f(x)-M 0 d 0 使 , $ ,M 0 d 0 使xx 当 0|x-x | ,d时00000有恒|f(x)-A| , $ , , $ ,M 0 d 0 使 , $ ,M 0 d 0

13、 使 , $ ,M 0 d 0 使当 0x-x M.当 0x-x M.当 0x-x d时,有恒 f(x) , $ ,当 0x -xd时,当 0x -xd时,当 0x -xd时,当 0x -xd时,-0000有恒|f(x)-A|M.e 0 X 0 使 , $ ,e 0 X 0 使 , $ ,e 0 X 0 使 , $ ,e 0 X 0 使 , $ ,x 当|x|X 时, 有恒 当|x|X 时, 有恒 当|x|X 时, 有恒 当|x|X 时, 有恒|f(x)-A|M. f(x)M. f(x)X 时, 有恒 当 xX 时, 有恒 当 xX 时, 有恒 当 xX 时, 有恒|f(x)-A|M. f(x

14、)M. f(x)-M.e 0 X 0 使 e 0 X 0 使 e 0 X 0 使 e 0 X 0 使x- 当 x-X 时, 有恒 当x-X时, 有恒 当x-X时, 有恒 当 x-X 时, 有恒|f(x)-A|M. f(x)M. f(x)0, 在(-, +)内总能找到这样的 x, 使得|y(x)|M. 例如y(2kp)=2kp cos2kp=2kp (k=0, 1, 2, ),当 k 充分大时, 就有| y(2kp)|M.当 x+ 时, 函数 y=xcos x 不是无穷大.这是因为M0, 找不到这样一个时刻 N, 使对一切大于 N 的 x, 都有|y(x)|M.例如y(2kp + )=(2kp

15、+ ) cos(2kp + )=0(k=0, 1, 2, ),对任何大的 N, 当 k 充分大时, 总有 x=2kp + N , 但|y(x)|=00, 在(0, 1中总可以找到点 x , 使 y(x )M. 例如当kkx =ky(x )=2k +pkk+yxxM0, 对所有的d0, 总可以找到这样的点x ,d 但 ( ) 例如可kkk(k=0, 1, 2, ),当 k 充分大时, x d, 但 y(x )=2kpsin2kp=00. 因为f(x)在x 连续, 所以 lim f (x)= f (x )0, 由极限的局000xx0oo部保号性定理, 存在 x 的某一去心邻域U(x ) , 使当

16、xU(x ) 时 f(x)0, 从而当000xU(x )时, f(x)0. 这就是说, 则存在 x 的某一邻域 U(x ), 当 xU(x )时, f(x)0.00005. 试分别举出具有以下性质的函数 f(x)的例子:1(1)x=0, 1, 2, , , n, , 是 f(x)的所有间断点, 且它们都是无穷间np1在点 x=0, 1, 2, , , n, , 处是间断的nx解 函数 f (x)=在 R 上处处不连续, 但|f(x)|=1 在 R 上处处连续.解 函数 f (x)=在 R 上处处有定义, 它只在 x=0 处连续.1. 求函数 ( )=的连续区间, 并求极限 lim f (x)

17、, lim f (x) 及x0x-3word 文档 可自由复制编辑 x3 +3x2 -x-3=, 函数在(-, +)内除点 x=2 和 x=-3x2 +x-6f x f= , lim f (x)= limx20x =f x , g x , x =f x , g x0证明 已知 lim f (x)= f (x ) , lim g(x)=g(x ).00xxxx0012f x g xf x g x000002000001001= lim f (x)+ lim g(x)+| lim f (x)- lim g(x)|20000x00000所以j(x)在点 x 也连续.003. 求下列极限:2word 文档 可自由复制编辑 (2) lim (sin 2x) ;3x(3) lim ln(2 cos 2x) ;xx+1-1xx05x-4 - xx-1x1sin x-sina