数字信号处理第三版课后习题答案.pdf

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1、数字信号处理课后答案1.2 教材第一章习题解答1.用单位脉冲序列以“)及其加权和表示题1 图所示的序列。解：x(n)=3(+4)+23 (n+2)-5(+1)+28(r i)+5(-1)+23 (n 一 2)+4 5(一 3)+0.5 5(九 一4)+2方(-6)2/7+5,-4 /?-12.给定信号：x(n)=6,0 n()=%2(“)令：输入为以-0)，输出为入)=2(-%),因为y(n-n0)=x2(n-n0)=y(n)故系统是时不变系统。又因为Tax(/1)+bx2n-(ajcn)+bx2(n)2丰 aTx(/?)+bTx2()因此系统是非线性系统。y(”)=x(m)m=0令：输入为X

2、(-0)，输出为y()=x(m-o),因为，”=0，f)y(-0)=y()“1=0故该系统是时变系统。又因为Tax(/?)+hx2(n)=(ax(m)+hx2(m)=aTx(n)+hTx2(n)m=0故系统是线性系统。6.给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。1 N-(1)y(n)=-x(n-k);N A”+劭(3)y(n)=工 x伙)；k=n-nQ(5)=解：(1)只要N N 1,该系统就是因果系统，因为输出只与n 时刻的和n时刻以前的输入有关。如果|x()14M,则 伙 ,因此系统是稳定系统。+。(3)如果|y(n)|x()|(n)+-1)+3 n-2)所以12

3、=2x(n)+x(n-1)+x(n-2)将 x(n)的表达式代入上式，得到y()=-23 n+2)-8n+1)-0.5 (/?)+2J(n-1)+8n-2)+4.5 t (n-3)+2b(-4)+Sn-5)8.设线性时不变系统的单位取样响应()和输入x()分别有以下三种情况，分别求出输出?()。(1)h(n)=凡()，%()=4()；(2)h(n)=2R4(n),x(n)=8(n)-S(n-T);(3)h(n)=0.5u(n),xn=/?5(n)解：00(1)y(n)=x(n)h(n)=Z RKM&S-m)1=一8先确定求和域，由&(m)和&(-血)确定对于m 的非零区间如下：0 m 3,n-

4、4 m n根据非零区间，将 n 分成四种情况求解:0,y(n)=0(2)0 n 3,y(n)=+lm=034n7,y(n)=Z 1 =S-nm=n-4 7 ,y(n)=0最后结果为0,n 7),()=n+1,0n38-n,4 n 7y(n)的波形如题8 解 图(一)所示。(2)y(n)=2()*瞬()-3(-2)=2-()一 2凡(-2)=26()+6(-1)一 6(一 4)一 6(-5)y(n)的波形如题8 解 图(二)所示.(3)y(n)=x(n)h(n)QO00=Z R5(fn)0.5-u(n-m)=0.5n g /?5(m)0.5-mH(n-m)m=-o o m=-30y(n)对于m

5、的非零区间为04m4,m n o 0,y()=0n1 _ n C-M-l(2)0 n 4,y(n)=0.5 0.5-r a=r。与=一(1 0.5-i)0.5“=2 0.5 41 _ f)勺-5 54，y()=0.5Z-5F=J 0.5 =31x0.5/n=0 1 0.5最后写成统一表达式：y(n)=(2-0.5n)R5(n)+31 x 0.5H w(n-5)11.设系统由下面差分方程描述:y()=-y(-1)+()+-x(n-1)；设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。解：令：x(n)=8 r i)h(n)=g h n-1)+3()+；5(K-1)n=O,/(O)=-/z(-l)+

6、b(0)+1(-1)=12 2 =1,A(l)=l/(0)+6(1)+-5(0)=12 2 =2,(2)=L(1)=，2 2 =3,力(3)=；m 2)=(；)2归纳起来，结果为()=(；)-(一 i)+s()12.有一连续信号x (f)=c os(2九 +0),式中，f =2GHz,(p =3(1)求出以f)的周期。(2)用采样间隔T =0.02s对“进行采样，试写出采样信号兀的表达式。(3)画出对应兀的时域离散信号(序列)x()的波形，并求出x()的周期。-第二章-教材第二章习题解答1.设X(J)和义)分别是x(n)和y的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：(1)(2)x(-/l)；(3

7、)x(n)y(n);(4)x(2n)o解：0 0(1)FTx(n-%)=Z x(n-n0)e-7，v/,=-0 0令 =o，=+o，贝!FTx(n-n0)=名 x(n)ejw(n+,=ejwuX(ejw)M=-0 08-JW n X(2)ETx*()=x*(n)e=士 ()*叮=X*(*)n=-o o?j=-o o(3)FTx(-n)=x(-n)e-jwn“二-令=-，则o o JwnFTx(n)=X(e7)n=-o o(4)FTx(n)*y(n)=X(eJ)Y(ejw)证明：o ox(n)*y(n)=x(m)y(n-m),=-0 0FTx(n)*y(n)x(m)y(n-=-c m=o o令

8、k=n-m,则FTx()*y()=Z Z x(m)y(k)eJwkeJ&=SO 7W=O O=y(k)e-f xme-iwnAr=-oo/n=co=X(ejw)Y(ejw)2.已一 乙知 fljwl w(X(e)=0,wo|w|上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数,利用该性质解此题。1.x(n)=A cos(w0n+*)=,AejnQ,leJ)|=H(e-JW),O(w)=一 伙 w)y()=1 A|(*+ej pej w()nej 0(w=A J(*)|c o s(w0n +/+(%)4.设 x()=l,n =O,l0,其它将

9、x()以 4 为周期进行周期延拓，形成周期序列x(n),画出x(n)和又)的波形，求出又)的离散傅里叶级数艮伙)和傅里叶变换。解:画出x(n)和以)的波形如题4 解图所示。3 _ .2勺,|_.7t_._.n_.又伏)=0丹凤)=(*=/5=1+/0M=0 n=0-j k j k-j fi 71-j=e 4(e 4+e 4)=2 c o s(左)44宜外以4 为周期，或者1 ,/r,i-j k 广J%,J,s i n -r tk加=斗号=1丁 十,=。1 e e；中)s in%N 以 4 为周期2万“2/rX(eJH)=FT x(n)=Z X(k)S(w-k)4七 4=X(k)S(w-k)L

10、k=-x)Z=c o s(1 3(w-k)A：=-o o 4 25.设如图所示的序列x()的 F T 用X(*)表示，不直接求出X(/),完成下列运算:(1)X(/);(2)j X(ej w)d w;-n(5)一万解.JuT 7(1)X(/)=X()=6n=-3K(2)j X(eJv)d w=x(0)2 4=4%-71，2 7(5)j|x(ey M)|dw =2乃 ()二2 8)_%n=-36.试求如下序列的傅里叶变换：(2)工2()=(6(+1)+3()+3 5(-1)；(3)x3(n)=aw(n),O a 1解：(2)X 1 1X2(ej w)=2 工2()0一=上*+1 +晨-初“=-2

11、 21=1 +(”+e 川)=1 +c o s w(3)X3(?w)=a u(n)e-Jwn=5 =i/i=-o o M=O 1 a e7.设：(1)x()是实偶函数，(2)x()是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，x()的傅里叶变换性质。解：令 X(*)=x()e/J=-oO(1)x(n)是实、偶函数，X(，)=x(n)ej wnn=-两边取共朝，得到X*(/w)=名 x(n)ej wn=x()e-j(T)=X(e-j w)n=oo”=-oo因此 X()=X*(e w)上式说明x(n)是实序列，X(e多具有共辗对称性质。00 0X(e /u)=Z xne j wn=x(n)co s v

12、v/?+J s i n wnn=-n=o o由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么00Z 九()s i n wn=0“=-o o0 0因此X(e，)=Z x(n)c o swnn=c o该式说明X(*)是实函数，且是W 的偶函数。总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换X(*)是实、偶函数。(2)x(n)是实、奇函数。上面已推出，由于x(n)是实序列，X(*)具有共趣对称性质，即X(ej w)=X*(e-j w)00 00X(*)=Z x(n)ej wn=Z X(M)C O S vvn +js i n wnn=-x)“=-o o00由于x(n)是奇函数，上式中x()co

13、 s所是奇函数，那么Z x(n)c o s wn=0n=-o o8因此X(e%=j Z x()s i n wnn=-)=l +co s w =l +-e+-e-j w=FT he()=he(n)e-j wn2 2 n=o o,/7=-12/()=l,n =00,n 0=0h n)=00,其它n()=力(江-6”=n=-co +e-j w=2e-/2 co s-212.设系统的单位取样响应()=/”(),04)=Z ()/”=a e7m l=.H=oo=o 1 -a ei+2ej 2wY(ej w)=(e)n x(w)=j%泡1 3.已知&Q)=2 co s(2%/o f),式中=1 0 0 H

14、 z,以采样频率工=4 0 0”z对X.进行采样，得到采样信号入和时域离散信号x()，试完成下面各题：(1)写出几的傅里叶变换表示式X g Q);(2)写出x“)和x()的表达式；(3)分别求出L的傅里叶变换和x()序列的傅里叶变换。解：(1)X 4阳=力=2 co s(。跳-出力=(/叩+q)通 力上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数b函数，它的傅里叶变换可以表不成：Xa(/Q)=2 万 瞬(Q Q()+b(Q +Qo)(2)xa(t)=x(z W-T)=2 co s(Q T)b(f T)”=-oo n=-x(n)=2 co s(Q0n T),-o o n -r t=2 co s(

15、w0nK nn=oo =-o o “=c o=ej wn+f 上 一 加 =2万 f 及(./_ 2M+J(w+w0-2k兀)n=x)太=-oo式中%=Q0T =05 兀r a d上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。1 4.求以下序列的Z变换及收敛域：(2)-2,(-1)；(3)2-(-);(6)2T1 0)解：(2)ZT 2-(“)=2,(才=2-二=-3 0 7 1=0 *Z 乙(3)ZT 2一%(-1)=名-2-u(-n-l)zn=-2 z=2 z n=-oo n=-l n=-2z 1 1 I 1一 _ 2 z _ _ 2-

16、?7 W 5(6)9Z T 2u(n)-u(n-1 0)=2 f Z-M=016.已知:求出对应X(z)的各种可能的序列的表达式。解：有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况：三种收敛域对应三种不同的原序列。(1)当收敛域目 Q,因为c 内无极点，x(n)=0；-l,C内有极点0,但 z=0是一个n 阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有 =0.5,名2 =2 ,那么x(n)=-R e s尸(z),0.5 -R e s尸(z),2(5 z-7)z(z-0.5)(z-2)(Z-0.5)LL(5 z-7)z(z-0.5)(z-2)(z-2)L+2 Q 2 M(f T)(2)当

17、收敛域0.5|z|0 ,C内有极点0.5；x()=R e 5F(Z),0.5=0,C内有极点0.5,0,但 0 是一个n 阶极点，改成求c 外极点留数，c 外极点只有一个，即2,x()=一 R e s F(z),2 =2 E 2 (一 -1)最后得到 x(n)=3 a)“()-2 0 2“(-1)(3)当收敛域2 0,C内有极点0.5,2；x()=R e,vF(z),0.5 +R e.vF(z),2 =妇；)+2 E 2 n 0,由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。或者这样分析，C 内有极点0.5,2,0,但 0 是一个n 阶极点，改成求 c 外极点留数，c 外无极点，所以x(n

18、)=0。最后得到%()=田；)+2 0 2”卜()1 7.已知x()=a Z(),0 a a1-QZj 1(2)ZT x()=-z 7X(z)=J，,z ad z(i-a z)(3)ZTa-nu(-n)=Y a-nz-n=Y anzn=i=o=o 1 -Z母 已 知X(z)=mJ分别求:(1)收敛域。5忖 2对应的原序列x();(2)收敛域忖2对应的原序列x()。解：x()=J 山 X(z)z-dzE(z)=X(z)/i-3/-3zz=-2-5 z-+2Z-2-2(z-0.5)(z-2)(1)当收敛域0.5忖 2时，n0,c内有极点0.5,x(n)=ResF(z),0.5=0.5=2一 ，0,

19、C内有极点0.5,0，但 0 是一个n 阶极点，改求c 外极点留数,c 外极点只有 2,尤(“)=ResF(z),2=2,最后得到x(n)=2u(n)+2u(-n-1)=2-同(2(当收敛域|z|2时，n 0,c内有极点0.5,2,x(n)=Re sF(z),0.5+Re sF(z),2-3*70.5+.-(z-2)2(z-0.5)(z-2)z=2=0.5 2 0,c内有极点0.5,2,0,但极点0 是一个n 阶极点，改成求c 外极点留数，可是C外没有极点，因此x()=0,最后得到x()=(0.5 2 )a()25.已知网络的输入和单位脉冲响应分别为x(n)=()=b a 1.0b 0,i -

20、n-l j-w+l w+1/_ +!“1-a b a -b 八 /、八-：-=-,0,C内有极点a力ZJ+1 i/i+l/+1 _ rn+ly(/i)=Re 5F(Z),+Re sF(zb=-+-=-a-b b-a a-b因为系统是因果系统，0,y()=0,最后得到y()二优”一；”()a-b28.若序列()是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式:%(*)1 -a cos w1 +/-2cos W,同 1求序列()及其傅里叶变换()O解:/2、1 -cosw 1-0.5Q(+e J)HReJ)=-；-=-；-：-：1 +a2-2Q COS W 1 +a*_ a(eJW+ejn)口 /、1一0.5

21、。仁 +一)1 0 5(*+二 川)H R=-=-1 +Q-Q(Z+Z)(l-az)(1-az)求上式IZT,得到序列()的共辄对称序列4 oHK(z)zn-dzF(z)=HR(z)Zn 0.5az-+z 0.5。-Z-a(z-a)(z-a)因为()是因果序列，4()必定是双边序列，收敛域取：a|z|a o“21时，C 内有极点a,T X儿=RD es尸E(V、i _0.5az+Z-0.5Q N_1Z)M=-77Tz(z-a)-a(z-a)(z-a)n=0时，c 内有极点a,0,F(z)=HK(Z)zn-所以=-anz=a 2 0.5QZ +z 0.5。_j-j-z-a(z-a)(z-a)he

22、(ri)=Res/+ResF(z),O=1又因为he(n)=he(-n)所以l,n=Oheri)=00.5an0he(nn=0 l,=0h(n)-24(),0=()=()0,n0 0,n0i i)H(e%=a e f =1n=0-ae-jw3.2教材第三章习题解答1.计 算以下诸序列的N 点DFT,在变换区间0。N-1内，序列定义为(2)x(n)=3(n);(4)x(n)=Rm(/i),0 m N;24(6)x(n)=cos(-mri),0mRN(n);(10)xri)=nRN(n)o解：N-N-(2)X(k)=2 ()阳 =l，k=N 1n=0 n=0(4)N-x(k)=Z w：；=n=Qi

23、-C 1-阅_/3(吁1)Nsin(呸血:)，攵=O,L,N-1sin(工机)NN+-e N2.=o_2j-(m-k)N-j(m+k)N1-e N i-e Nj(tn-k)j(m+k)1-e N 1-e N一,k=支 且 氏=N-mN0,上w m或k手N m0 k N-l/、CN-l,/o/T T 、.1N-1 1 2乃 2乃 2nlJ I jm n-jm n-1 kn(6)=2cos mn Wn=(e N+e N)e N”=0 1 N)n=0 2(8)解法1直接计算Xg伙)=x(“)阅”=3上如一/川 沙*n=0 Z J n=0解法2由DFT的共辗对称性求解因为七()=()=cos(w0n)

24、+/sinO o”)“()xs(n)-sin(won)7?.v(n)-IITIA7(n)所以DFTjxs(fi)=DFTjhnx7(n)j=X70(k)即*8伏)=-j X“(k)=-j x7(k)-X；(N _ 幻 12)I-/*(1-/”/,jl%弋(N-k)1-e *-e N12 7结果与解法1所得结果相同。此题验证了共匏对称性。(10)解法1N-1X(k)=Z 以 Z=0,l,-,N-ln=0上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。因为x()=RN()所以 x()一 x(n -1)八 RN()+N3()=RN()等式两边进行D F T 得到X g-X(k)W；+N=N/k)

25、故 X(k)=N,-)”,%=i,2.,N-l1-%当人=0时，可直接计算得出X(0)T I/0 1 N(N-1)X (0)=Z*阅=Z=n=0 n=0 这样，X(k)可写成如下形式：N(N-1),n-,k =0X=解法2Z=0 时，Y g V N(N-l)x伏)=z =-n=0 2上7 0时,X =0+叱；+2W；*+3W +(N-W X 出=0+W/+2W；*+3阅，+(N 2)阅N T*+(%_ 1)N-l N-x (k)-Cx =X第(N 1)=Z 心 一 1 (N-1)=Nn=l=0所以，-NX(k)=J k M1一附即X(k)=N(N 1)2-N，攵 二0，人=1,2，N 12.已

26、知下列 X(A),求x()=mETX(%);(1)X(k)=-e-j0,k=N-m；0,其 它 女(2)X(k)jeJ0,k=m/?-,%-N-m20,其 它 女解:(1)1 M J,1 N n j,nn N n j 网x(n)=IDFTX(k)=V VV/1=ejOe N e-jOe NN a%N12 21 y(/n zi+W-mn+e-j(,W-(N-n,)nN L 2 2 _1 j(旦)nn+8)-j(-tn n+)27r=e N-e N=sin(rrm+9),=O,1,N-12j J N3.长度为N=10的两个有限长序列1,0?:4 fl,0n4x1()=5 x1(n)0,5 H9 -

27、1,5 H ()=x()()分别如题3 解 图(a)、(b)、(c)所不。14.两个有限长序列x()和y()的零值区间为：x(n)=0,n 0,8wy(n)=0,/?0,20 n对每个序列作20点 DFT,即X(k)=DFTx(ri),k=0,1,19Y(k)=DFTy(n),k=0,1,-,19如果/=X(Qy(-0,1，,19f(n)=IDFTF(k),k=0,1,-,19试问在哪些点上/()=x()*y()，为什么？解：如前所示，记/()=x()*y()，而/()=/。下 尸 伏)=x()8 y()。力长度为27,/()长度为20。已推出二者的关系为/()=力 5+2 0加)/?2 0(

28、/)只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足/()=力 5)所以/()=力(/)=x()*y(”)，7 /?1 915.用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率/4 5 0 H z,信号最高频率为IkH Z,试确定以下各参数：(1)最小记录时间/m in；(2)最大取样间隔心x；(3)最少采样点数”讪；(4)在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N 值。解：(1)已知 b =5 0 H ZT ；=0.0 2 si F 5 0(2)T=一=5 =5-=0.5msfmin 23 2 x l 03(3)N m in=002s 4 0m，n T 0.5 x 1 0-3(4)频带宽度不变就

29、意味着采样间隔T 不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍(F 变为原来的1/2)Nmin=色=8 00.5侬18.我们希望利用/?()长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段(本题设每段长度为M=100个采样点)，但相邻两段必须重叠V 个点，然后计算各段与/?()的 L 点(本题取L=128)循环卷积，得到输出序列y,“()，m 表示第m 段计算输出。最后，从以中取出B个，使每段取出的B个采样点连接得到滤波输出)，(“)0(1)求 V；(2)求 B；(3)确定取出的B 个采样

30、应为中的哪些采样点。解：为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列券,()的序列标号为0,1,2,.”127 先以/?()与各段输入的线性卷积力,()考虑，丸中，第 0 点到48点(共 49个点)不正确，不能作为滤波输出，第 49点到第99点(共51个点)为正确的滤波输出序列y(n)的一段，即B=51。所以，为了去除前面49个不正确点,取出51个正确的点连续得到不间断又无多余点的y()，必须重叠100-51=49个点，即V=49。下面说明，对 128点的循环卷积八，上述结果也是正确的。我们知道了,”()=加(+1 2 8厂)用2 8()因为力,“()长度为N+M-l=50+100-l=149所以从n

31、=20至！j 127区域，、.()=%,()，当然，第 49点到第99点二者亦相等，所以，所取出的第5 1点为从第49到 99点的以()。综上所述，总结所得结论V=49,B=5 1选取得,()中第4999点作为滤波输出。5.2 教材第五章习题解答1.设系统用下面的差分方程描述：3 1 1义九)-y(n-l)+-y(n-2)=x(n)+-X(H-1),4 o 5试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。解：3 1 1y()-y(-i)+-y(-2)=x(n)+-x(r t-i)4 8 3将上式进行Z 变换3 1 1r(z)-r a)z-|+-r(z)z-2=x(z)+-xu)z-4 o 3H(z)

32、=：l-z+-z24 8(1)按照系统函数”，根据M asson公式，画出直接型结构如题1解 图(一)所示。(2)将“的分母进行因式分解,1”(z)=3 _按照上式可以有两种级联型结构：1+卜(a)H(z)=一；画出级联型结构如题1 解 图(二)(a)所示1l+-z-1(b)H(z)=一j一一2一(1-y)(1-尸 T)画出级联型结构如题1解 图(二)(b)所示(3)将“进行部分分式展开1 +*“一;-;-(1-尸)(1一 户z 一，I 、一 1(Z-卧十 z-2 2-41H，=4 8101Z27-z3 一z10”(z)=，Z71Z410_ _+1 1 1 1 T-Z-1-72 4 273根据

33、上式画出并联型结构如题1解 图(三)所示。2.设数字滤波器的差分方程为y()=(+b)y(n-1)-aby(n-2)+x(n-2)+(a+b)x(n-1)+abx(h)，试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。解：将差分方程进行Z 变换，得到y(z)=(a+b)Y(z)z-abY(z)z-2+X(z)z-2+(a+b)X(z)z-l+abX(z),y(z)ab+(a+b)z+z2H=-=-：-z yX(z)-(a+b)z+abz 2(1)按照M assion公式直接画出直接型结构如题2 解图(一)所示。(2)将“的分子和分母进行因式分解：飞一广修也按照上式可以有两种级联型结构：(a)z+a

34、-azH2(Z)z-+bl-bz画出级联型结构如题2 解 图(二)(a)所示。(b)(z)=z+ai-bz“2(z)z+bl-az,画出级联型结构如题2 解 图(二)(b)所示。3.设系统的系统函数为(z)=里+ZML4牛工，(1-0.5/)(1+0.9/+0.18 )试画出各种可能的级联型结构。解:由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构。（2）=”|（2）式2）(1)4(1+Z),=-1-0-.-5-Z-131-1.414L +Z-22 U l-0.9 z-+0.8 1z-2画出级联型结构如题3 解 图（a）所示(2)J 71 l-0.5 z-14(l +z-1)2 1-

35、0.9 k+0.8 1 1画出级联型结构如题3 解 图（b）所示。4.图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应，并求其总系统函数。图d解:(d)h(n)=hy(n)*A,(n)+h3(n)*h4(n)+h5(n)%()*/J?()+%()*%()*44()+人5()(Z)=M(Z)”2(Z)+M(Z)3(Z)4(Z)+5(Z)5.写出图中流图的系统函数及差分方程。图d解：(d)(z)=rsine z-1l-rcos0 zl-rcos0z+r2 sin2 z2+r2 cos2_ rsinOzT-l-2rcos/9*z-,+r2z-2y()=2r cos Oy(

36、n-1)-/y (-2)+r sin，x(n-1)6.写出图中流图的系统函数。图f解:2+-2-*2 2+-Z-H(力=-I 1 T 3-2,1 -1 3 一21 Z +-Z 1 Z +-Z4 8 4 88.已知FIR滤波器的单位脉冲响应为力()=6()-6(-1)+次-4),试用频率采样结构实现该滤波器。设采样点数N=5,要求画出频率采样网络结构，写出滤波器参数的计算公式。解:已知频率采样结构的公式为1 N-1总式中，N=5/V-14H(k)=DFTh(n)=2()卬：=Z 及()一/-1)+b(-4)叱 对=0=0-j 7rk-j-rck=l-e 5+e 5,A=0,l,2,3,4它的频率

37、采样结构如题8 解图所示。6.2教材第六章习题解答1.设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率(=6 /,通带最大衰减4 =3 d B,阻带截止频率X=12k Hz，阻带最小衰减4 =3 d B。求出滤波器归一化传输函数/(p)以及实际的心。(1)求阶数N。怆%10%-110o l f l i-12=Q.=2 x l 2 x l 0 2*。/,2-x6 xl 03将勺，和乙值代入N的计算公式得N=$00562=4.151g 2所以取N=5 (实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4,指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。)(2)求归一化系统函数/(p),由阶数N=5 直接查

38、表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数4(P)为H)p5+3.236 1/+5.236 1/?3+5.236 1/？2+3.236 1/?+1(p2+0.6 18 p +l)(p2+1.6 18 p +l)(p +l)当然，也可以按(6.12)式计算出极点:,=/吗黎,攵=0,2,3,4按(6.11)式 写 出 表 达 式1乩(P)=4L I(p-0)k=0代入pk值并进行分母展开得到与查表相同的结果。(3)去归一化(即LP-LP频率变换)，由归一化系统函数也(p)得到实际滤波器系统函数从。由于本题中%,=388,即Q,=Q=2万x 6 x l()3加d/s,因此H“G)=H.3 p=_

39、E V _55+3.2 3 6 1。4+5.2 3 6 1 Q2CS3+5.2 3 6 1。3 c s 2 +3.2 3 6 1。入+Q5对分母因式形式，则有H“(s)=H.(p)s_Q,=_ 过_(52+0.6 1 8 0 Q(.s f l?,)(s +1.6 1 8 0 Q(.s Q )($+如上结果中，Q 的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。2.设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率4=3攵 生，通带最在衰减速4=0.2,阻带截止频率,=1 2攵出，阻带最小衰减6=50dB 0求出归一化传输函数 (p)和实际的“(s)。解：(

40、1)确定滤波器技术指标：ap=0.2dB 9=2ifp=6 x l 03rad/s4 =50d8,C,=2)fs=24)x 103 rad/s(2)求阶数N 和e：Arch*-Af)Arc/z(1456.65)Arc/z(4)为了满足指标要求，取 N=4。=J10%1=0.2171(2)求归一化系统函数4(p)N42恒 口5-p)1.7386J(p-p)k=k=其中，极点P k由(6.2.38)式求出如下：Pk=-ch()sin(&；,)+讪记)cos(k=1,2,3,4=Arsh(-)=-Arsh)0.5580N 4 0.2171TT T TPi=-丽(0.5580)sin(生)+jch(0

41、.5580)cos(-)=-0.4438+jl.07158 837c 37rp2=-c/z(0.5580)sin()+jc/i(0.5580)cos(一)=-1.0715+；0.44388 857r 5 万p3=-c/i(0.5580)sin()+Jc/i(0.5580)cos()=-1.0715-J0.44388 877r 77rp4=-(0.5580)8()+；c/z(0.5580)cos()=-0.4438-JI.07158 8(3)将乩(p)去归一化，求得实际滤波器系统函数从H.G）=H“（P）1.7 3 6 8口（s Q,p*）1.7 3 6 8口（s ）其中4=。/,“*=6万、1

42、 0%,女=1,2,3,4,因为。4 =，*,P3 =p*2，所以.=S*23=S*2。将两对共朝极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因子的形式，其系数全为实数。H.G）=7.2 6 8 7 x l O1 6 2 2 Re s Js +卜 丁）6 2 2 Re 5 2 s +b 2）7.2 6 8 7 x l O1 6(52+1.6 7 3 1X1045+4.7 7 9 1 x 1 08)(52+4.0 3 9 4 x l 045 +4.7 7 9 0 x l O8)4.已知模拟滤波器的传输函数乩为：(1)(s +a y+6 乩(s)=式中，a,b为常数，设H“(s)因果稳定，试采用(S+Q)脉

43、冲响应不变法，分别将其转换成数字滤波器”。该题所给乩正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以，求解该题具有代表性，解该题的过程，就是导出这两种典型形式的乩的脉冲响应不变法转换公式，设采样周期为T。“(5)的极点为:M =-a+jb,s2=-a-jb将4（S）部分分式展开（用待定系数法）:乩（S）=s +a(s +a)2 +b2A +A-1-4(s -$2)+4 (s S)(A +4)s 4$2-(s+a)2+b2(s+a)2+b2比较分子各项系数可知:A、B应满足方程:4+A2 =1-4 s2 -=Q解之得,1 ,14=小 儿=72 2所以0.5l _e-+7 Wz-i0.5!s-(-a

44、+jb)s-(-a-jb)4-eS Jz-(z)=k=0.5 0.5按照题目要求，上面的“表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中，一般用无复数乘法器的二阶基本结构实现。由于两个极点共朝对称，所以将“的两项通分并化简整理，可得1-zc os3 T)-2 e-aT cos(bT)z+e-2aTz2用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即可,且对应结构图中无复数乘法器，便于工程实际中实现。(2)”“(s)的极点为:乩G)=b(S+Q)2 +=-a4-j b 9 s2=-a-j b将H“(s)部分分式展开：1 .1 ./(s)=亡J+-L-Js-(,-a-j b)s-(-a +j b

45、)0.5；-0.5 j 一 1一*“-2+z T通分并化简整理得-ST)l-2e-a r c o s(b T)z+e-2 a rz25.已知模拟滤波器的传输函数为：(1)“($)=S+5+1(2)Ha(s)=-1一 试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其2 s2+3 5 +1转换为数字滤波器，设 T=2s。解：(1)用脉冲响应不变法 H“G)=T7TS+5 +1方法1 直接按脉冲响应不变法设计公式，4的极点为：*=_ -。.6 一 .V35 +J 2，“=-0.5 -j 2HG)=-+-3”(-0.5 +%)s(一0.5 一/半-4 4,9+j.)T,(-0.5-卢)7 T1-e 2 z 1

46、-e 2 z代入T=2s(z)=2 7 3 ze si n V33 *l-2zV co s V 3+e-2z-2方法2 直接套用4 题所得公式，为了套用公式，先对4的分母配方,将名化成4 题中的标准形式:=(:2+4为一常数,由于52+5 +1 =(5 +-)2+-=(5 +-)2+2 4 2所以乩V3/2S+5 +1 1 7(+-)2+2GT对比可知,a与当,套用公式得2也 ze-a T si n(f e T)/3 ze si n 垂)3 l-2 z-e_|c o sy/3 +e-2z2，、1 1 -1H(5)9 十 2 s2+3 s+1 s+0.5 s+1_ 1 -1H 一 1七33 l-

47、e rz-T=21 -1=-1-1-e z 1-e z或通分合并两项得H(zJ)=l-(e-+e-2)z-+e_-3z-2(2)用双线性变换法H(z)=H(s)5 =-,T =2T l+z-11+z-1 l+zl()2(1 一 二)2 +(1 -/)(1 +/)+(1 +Z-I )2l+2z+z23 +z-2(z)=/s)s=2 1-zJ,T =2T l+Z-_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2()2+31 +11 +z-1 1 +z-1_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(2(1-Z-,)2+3(1-Z-2)+(1+Z

48、-1)2l +2 z-+z 26-2z7.假设某模拟滤波器/是一个低通滤波器,又知=/(5)数字滤波器”的通带中心位于下面的哪种情况？并说明原因。(1)w=0(低通)；(2)W=7 V(高通)；(3)除0或万外的某一频率(带通)。解：按题意可写出 =(S)Z +1s-z-1故即|Q|=c o g原模拟低通滤波器以。=0为通带中心，由上式可知，Q=0时，对应于 乃，故答案为(2)o9.设计低通数字滤波器，要求通带内频率低于0.2万皿/时，容许幅度误差在IdB之内；频率在0.3 到乃之间的阻带衰减大于10dB；试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计，用脉冲响应不变法进行转换，采样间隔T=lmso解：本

49、题要求用巴特沃斯型模拟滤波器设计，所以，由巴特沃斯滤波器的单调下降特性，数字滤波器指标描述如下：wp=Q.27rrad,ap=IdBwx=0.31”以,=lOdB采用脉冲响应不变法转换，所以，相应模拟低通巴特沃斯滤波器指标为：吗，T叱T%0.2万x 1000=200万(rad/s),ap-IdBQ0.3万x 1000=300万(rad/s),4=1018(1)求滤波器阶数N及归一化系统函数”(p)：筌6取 N=5,查 表 6.1的模拟滤波器系统函数的归一化低通原型为:H(p)=F _-U(P-PIk=0%=-0.3090+j0.9511=p*4p,=-0.8090+70.5818=P?二 一1

50、将4(P)部分分式展开:吟4含其中，系数为:4=0.138 2 +7 0.42 5 3,4 -0.8 0 9 1-jl.i l35,4 =1.8 9 47,&=一0.8 0 9 1+J1.1135,A4=-0.138 2-；0.42 5 3(2)去归一化求得相应的模拟滤波器系统函数4 。我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富裕量，所以按(6.2.18)式求3dB截止频率Q,。I_1_Q,=。,(10 以-1)*=30 0万(10 1)-面=7 5 6.5 6 6(m d/s)H“G)=H p)p =*=工 丫-O c k=0 s-Q m k=0 一“其中纥=Q,A,s*=Q,Pk。(3)用脉冲