2021-2022学年人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理难点解析试题(含答案解析).pdf

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1、人教版八年级数学下册第十七章人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理难点解析勾股定理难点解析考试时间：90 分钟；命题人：数学教研组考生注意：考生注意：1、本卷分第 I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 100 分，考试时间 90 分钟2、答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第第 I I 卷（选择题卷（选择题 30 30 分）分）一、单选题（一、单选题（1010 小题，每小题小题，每小题

2、 3 3 分，共计分，共计 3030 分）分）1、如图所示，在ABC中，C90，AC2，点D在BC上，ADC2B，AD6，则BC的长为（）A62B2 6C2+2D2+62、如图，在ABC中，ABC90，BD AC，垂足为D如果AC 6，BC 3，则BD的长为（）A2B32C3 3D3 323、等腰直角三角形的直角边长为8，则斜边长为()A2B2C4D84、如图，黑色部分长方形的面积为（）A24B30C40D485、如图，在 44 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，点A，B，C都在格点上，ADBC于点D，则AD的长为（）A2B2C5D36、如图，在 RtABC中，CBA60，斜边AB1

3、0，分别以ABC的三边长为边在AB上方作正方形，S1，S2，S3，S4，S5分别表示对应阴影部分的面积，则S1+S2+S3+S4+S5（）A50B503C100D10037、下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（）A1，2，3B1，2，3C4，5，6D12，15，208、如图，在ABC中，AB AC 5，BC 8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A4 个B3 个C2 个D1 个9、有下列条件：AB C；A:B:C 3:4:5；C AB；a:b:c 3:4:5，其中能确定ABC是直角三角形的是（）ABCD10、下列条件：（1）A90

4、B，A：B：C3：4：5，A2B3C，AB：BC：AC3：4：5，能确定ABC是直角三角形的条件有（）A1 个B2 个C3 个D4 个第卷（非选择题第卷（非选择题 70 70 分）分）二、填空题（二、填空题（5 5 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共计分，共计 2020 分）分）1、如图，在ABC中，ABAC，BAC90，点D、点E在直线BC上，点F为AE上一点，连接BF，分别交AD、AC于点G、点H，若BADCAE，AGHE，AF+ADBF，AC36，则AE的长为_2、如图，在ABC中，ACB90，AB13，BC 12，D为BC边上一点，将ABD沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长

5、线上的点E处，则DE的长为_3、已知跷跷板长为 3.9 米，小明和小红坐在两端玩跷跷板，在这个过程中，跷跷板的两端端点在水平方向的距离的最小值为 3.6 米，此时较高端点距离地面的高度等于 _米4、如图，在平面直角坐标系中，点A(0,3)，B(2,5)，M(3,2)在第一象限内找一点横坐标、纵坐标均为整数的点C，使得点M是ABC的三边垂直平分线的交点，则点C的坐标为_5、如图，在RtABC中，C=90，D为AC上的一点，且DA=DB=5，且DAB的面积为 10，那么AB的长是_三、解答题（三、解答题（5 5 小题，每小题小题，每小题 1010 分，共计分，共计 5050 分）分）1、如图所示的

6、一块地，已知AD=4 米，CD=3 米，ADC=90，AB=13 米，BC=12 米，则这块地的面积为多少?2、如图，在矩形ABCD中，AD10，AB6E为BC上一点，ED平分AEC，求：点A到DE的距离3、如图，ABC中，AB=AC=8 厘米，BC=6 厘米，点D为AB的中点动点P在线段BC上以 2 厘米/秒的速度向点C运动，同时，动点Q在线段CA上由点C向点A运动，连接DP，PQ设点P运动的时间为t秒，回答下列问题：（1）当点Q的运动速度为_厘米/秒时，BPD和CPQ全等；（2）若动点P的速度不变，同时动点Q以 5 厘米/秒的速度出发，两个点运动方向不变，沿ABC的三边运动请求出两点首次相

7、遇时的t值，并说明此时两点在ABC的哪一条边上；在P、Q两点首次相遇前，能否得到以PQ为底的等腰APQ？如果能，请直接写出t值；如果不能，请说明理由4、已知：ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中PCQ=90，探究并解决以下问题：（1）如图 1，若点P在线段AB上，且AC=4，PA=2，则线段PB=，PC=猜想：PA2,PB2,PQ2三者之间的数量关系为（2）如图 2，若点P在线段AB的延长线上，则在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图 2 给出证明过程（3）若动点P满足PCPA1，请直接写出的值（提示：请你利用备用图探究）PB3A

8、C5、如图，有一张四边形纸片ABCD，AB BC经测得AB 9cm，BC 12cm，CD 8cm，AD 17cm（1）求A、C两点之间的距离（2）求这张纸片的面积-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据ADC2B，ADCB+BAD判断出DBDA，根据勾股定理求出DC的长，从而求出BC的长【详解】解：ADC2B，ADCB+BAD，BDAB，BDAD6，在 RtADC中，C90，DCAD2 AC2642，BCBD+DC2 6故选：B【点睛】本题考查了等角对等边，勾股定理，求得BD AD是解题的关键2、D【分析】先根据勾股定理求出AB，再利用三角形面积求出BD即可【详解】解：ABC90，AC 6，B

9、C 3，根据勾股定理ABAC2BC262323 3，BD AC，S ABC=ABBC 12111ACBD，即3 336BD，222解得：BD 故选择 D【点睛】3 32本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式，掌握直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式是解题关键3、C【分析】根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理求出即可【详解】解：一个等腰直角三角形的直角边长为8，该直角三角形的斜边长是：8282 4故选：C【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用等腰直角三角形的性质是解题关键4、B【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，再利用长方形面积公式进行求解即

10、可【详解】解：在直角三角形中，两直角边为 6 和 8，直角三角形的斜边为628210，长方形面积为：10330，故选 B【点睛】本题考查了勾股定理的应用，长方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理5、B【分析】首先由勾股定理得AB，AC，BC的三边长，从而有AB+ACBC，得BAC90，再根据SABC11AC AB BC AD，代入计算即可22222【详解】解：由勾股定理得：AB22422 5，AC 12225，BC32425，AB+AC25，BC25，AB+ACBC，BAC90，SABC11AC AB BC AD，2222222252 5 5 AD，AD2，故选：B【点睛】本题主要考查了

11、勾股定理，通过勾股定理计算出三边长度，判断出BAC90是解题的关键6、B【分析】根据题意过D作DNBF于N，连接DI，进而结合全等三角形的判定与性质得出S1+S2+S3+S4+S5RtABC的面积4 进行分析计算即可.【详解】解：在 RtABC中，CBA60，斜边AB10，BC2AB5，ACAB2BC253，过D作DNBF于N，连接DI，1在ACB和BND中，ACB BND 90CAB NBD，AD BDACBBND（AAS），同理，RtMNDRtOCB，MDOB，DMNBOC，EMDO，DNBCCI，DNCI，四边形DNCI是平行四边形，NCI90，四边形DNCI是矩形，DIC90，D、I、

12、H三点共线，FDIO90，EMFDMNBOCDOI，FMEDOI（AAS），图中S2SRtDOI，SBOCSMND，S2+S4SRtABCS3SABC，在 RtAGE和 RtABC中，AE AB，AG ACRtAGERtACB（HL），同理，RtDNBRtBHD，S1+S2+S3+S4+S5S1+S3+（S2+S4）+S5RtABC的面积+RtABC的面积+RtABC的面积+RtABC的面积RtABC的面积455324503故选：B【点睛】本题考查勾股定理的应用和全等三角形的判定，解题的关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用7、B【分析】根据勾股定理逆定理可知，分别计算选项中两

13、短边的平方和是否等于长边的平方即可【详解】解：A、123，不能构成三角形，故本选项不符合题意；B、12(2)2(3)2，能构成直角三角形，故本选项符合题意；C、4252 62，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D、122152 202，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，熟知三角形的三边满足：a2b2 c2，那么这个三角形为直角三角形是解题的关键8、B【分析】首先过A作AEBC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案【详解】解：如图：过

14、A作AEBC于E，在ABC中，AB=AC=5，BC=8，当AEBC，EB=EC=4，AE=AB2BE252423，D是线段BC上的动点(不含端点B，C).若线段AD的长为正整数，3AD5，AD=3 或AD=4，当AD=4 时，在靠近点B和点C端各一个，故符合条件的点D有 3 点.故选B.【点睛】本题主要考察了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理的计算.9、C【分析】由题意根据所给的数据和三角形内角和定理，勾股定理的逆定理分别对每一项进行分析，即可得出答案【详解】解：由题意知，AB 180C C，解得C 90，则ABC是直角三角形；C 5180 75，

15、则ABC不是直角三角形；3 45由题意知，C B 180A A，解得A90，则ABC是直角三角形；由题意知，a2b2 c2 25，则ABC是直角三角形；故选：C【点睛】本题主要考查直角三角形的判定方法注意掌握如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；如果一个三角形的三边 a，b，c 满足 a+b=c，那么这个三角形是直角三角形10、B【分析】利用三角形内角和定理和勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可【详解】解：A90B，A+B90，C90，ABC是直角三角形；A：B：C3：4：5，设A3x，则B4x，C5x，3x+

16、4x+5x180，解得：x15，C15575，ABC不是直角三角形；222222A2B3C，B A,C A12131213ABC AAA 180，A（1080），11ABC为钝角三角形；AB：BC：AC3：4：5，设AB3k，则BC4k，AC5k，AB+BCAC，ABC是直角三角形；能确定ABC是直角三角形的条件有共 2 个，故选：B【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理以及三角形内角和定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断二、填空题1、6 3【分析】过点C作CIBE交AE于I，即可证明ABDACI得

17、到AI=AD，ADB=AIC，BD=CI；延长FA到K使得AK=AD=AI，连接KB，KD，DI，可证ADK和ADI都是等腰直角三角形，从而推出DIC=KDB；证明KDBDIC得到KBD=DCI=90，得到BKE+E=90，KBF+EBF=90，由BF=AF+AD，得到BF=AF+AK=KF，可推出E=EBF，由三角形外角的性质得到BFA=E+EBF=2E，再由AGH=E，GAF=90，可得E=30，过点A作AMBE于M，然后利用勾股定理求解即可222【详解】解：如图所示，过点C作CIBE交AE于I，ICD=90，AB=AC，BAC=90，ABC=ACB=45，ACI=45，ABD=ACI，在

18、ABD和ACI中，BAD CAI，AB ACABD ACIABDACI（ASA），AI=AD，ADB=AIC，BD=CI，延长FA到K使得AK=AD=AI，连接KB，KD，DI，AKD=ADK，ADI=AID，AKD+KDI+AID=180，ADK+ADI=90，即KDI=90，BAD=CAE，BAC=90，BAD+CAD=CAE+CAD=90，即DAI=90，ADK和ADI都是等腰直角三角形，DKI=DIK=ADK=45，KD=ID，BDK+ADK=DIK+DIC，DIC=KDB，在KDB和DIC中，BD CIKDB DIC，KD DIKDBDIC（SAS），KBD=DCI=90，BKE+E

19、=90，KBF+EBF=90，BF=AF+AD，BF=AF+AK=KF，BKF=KBF，E=EBF，BFA=E+EBF=2E，AGH=E，GAF=90，3E=90，E=30，过点A作AMBE于M，ACM=45，MAC=45，ACM=MAC，AM=CM，AC2 AM2CM2，2AM AC2 54，AM 3 3，AE 2AM 6 3，故答案为：6 3【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，含 30 度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件2、263【分析】根据勾股定理求出AC

20、 AB2BC2 169144 5，再根据折叠的性质得到AE AB 13，BD DE，再根据勾股定理计算即可；【详解】ACB90，AB13，BC 12，AC AB2BC2 169144 5，将ABD沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上的点E处，AE AB 13，BD DE，CE8，DE2 CD2CE2，DE212DECE2，26；32632DE 故答案是【点睛】本题主要考查了折叠的性质和勾股定理，准确计算是解题的关键3、1.5#【分析】设较高端点距离地面的高度为h米，此时，跷跷板长即为直角三角形的斜边长，两端端点在水平方向的距离的最小值即为一条直角边长，利用勾股定理即可求出结果【详解】解

21、：设较高端点距离地面的高度为h米，根据勾股定理得：h3.9 3.6 2.25，h1.5（米），故答案为：1.5【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解决问题的关键4、（4，5）或（6，1）或（6,3）【分析】连接MA，MB，根据线段垂直平分线的性质结合勾股定理可求出MA MB MC 10设C点坐标为222(a，b)，则MC(xC xM)2(yC yM)2 10，即(a3)2(b2)2 10，最后根据C点在第一象限内，且横、纵坐标都为整数，即可确定a，b的值，即得出答案【详解】如图，连接MA，MB，根据图可知MA MB 1232 10点M是ABC的三边垂直平分线的交点，MA MB MC

22、 10设C点坐标为(a，b)根据题意可知a 0，b 0，且a，b都为整数MC(xC xM)2(yC yM)2 10，即(a3)2(b2)2 10，且a3 3，b2 210(1)2+(3)2，a31a3 1a33 a3 3或或或，b2 3b2 3b2 1b21解得：a 4a 2a 6a 6或（舍）或或b 5b 5b 3b 1C点坐标为(4，5)或(6，1)或(6，3)故答案为：(4，5)或(6，1)或(6，3)【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理，两点的距离公式理解题意，结合线段垂直平分线的性质，分析出MA MB MC是解答本题的关键5、45【分析】由SDAB2DABC10 且DA5

23、得出BC4，再在RtBCD中，利用勾股定理求出CD，然后在RtABC中通过勾股定理可得答案1【详解】解：C90，DA5，SDAB2DABC10，BC4在RtBCD中，CDBCBD，即CD4 5，解得：CD3，AC ADCD 8，在RtABC中，AB AC2 BC282 4280 4 5,2222221故答案为：4 5【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和一定等于斜边的平方三、解答题1、24 平方米【分析】利用割补法，将图形补齐，连接AC，根据勾股定理判定ABC是直角三角形，即可求出四边形面积【详解】解：如图，连接AC，在ACD中，A

24、D=4 米，CD=3 米，ADC=90，AC=5 米，又AC2 BC2 52122132 AB2，ABC是直角三角形，这块地的面积=S1212ABC-SACD=51234 24（平方米）【点睛】本题主要考查勾股定理的判定，利用辅助线构造直角三角形，再进行面积求值，熟练掌握勾股定理的应用是本题的关键2、310【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义证明ADEAED，根据等角对等边，即可求得AE的长，在直角ABE中，利用勾股定理求得BE的长【详解】解：在矩形ABCD中，ADBC，ADBC10，ABCD6BC90，ADECED，ED平分AEC，AEDCED，AEDADE，ADAE10，在RtABE

25、中，根据勾股定理，得BEAE2 AB2102628，ECBCBE1082，在RtDCE中，根据勾股定理，得DEDC2 EC26222210，设点A到DE的距离为h，则ADCD2DEh，h1063102 10121答：点A到DE的距离为 310【点睛】本题考查勾股定理的综合应用，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义三角形面积公式及勾股定理是解题关键3、（1）或 2 厘米/秒时；（2）t 832216，两个点在ABC的边AC上首次相遇；0 或73【分析】（1）分当BPDCPQ时和当BPDCQP时，利用全等三角形的性质求解即可；（2）根据当PQ相遇时，Q点比P点多走的距离为AB+AC，得到5t 2t

26、 88，由此求解即可；分当P在BC上靠近B一端，Q在AC上时，当P在BC上靠近C一端，Q在AC上时，当P在AC上，Q在AB上时，当P在AC上，Q在BC上时，进行分类讨论求解即可【详解】解：（1）当BPDCPQ时，BP CP BC 3cm=2t，BD CQ AB 4cm，321212t，3283Q点的运动速度为4cm/s；当BPDCQP时，BP CQ 2t，BD CP AB 4cm，BP CQ BC CP 2cm，2t=2t 1，Q点的运动速度为21 2cm/s；综上所述，当点Q的运动速度为 或 2 厘米/秒时，BPD和CPQ全等；（2）当PQ相遇时，Q点比P点多走的距离为AB+AC，5t 2t

27、 88，解得t 16，38312AB AC BC 16805 AB AC BC AC，33两个点在ABC的边AC上首次相遇；如图所示，当P在BC上靠近B一端，Q在AC上时，过点A作AEBC于E，BE BC 3cm，AP AQ AC CQ=85tcm，PE BE BP 32tcm，AE2 AB2 BE2 55，AE2 AP2 PE2，85t32t55，68（舍去）；212212解得t 0或t 同理可求出当P在BC上靠近C一端，Q在AC上时，结果与上面相同；如图所示，当P在AC上，Q在AB上时，AQ=AP，862t 5t 8，解得t 22；7如图所示，当P在AC上，Q在BC上时，同图可知此时不存在

28、t使得AQ=AP，综上所述，当t=0 或t22，使得APQ是以PQ为底的等腰三角形7【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解4、（1）3 2，10；AP+BP=PQ；（2）见解析；（3）【分析】（1）在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的长，然后根据PA的长，可求得PB的长，再利用SAS证明APCBQC，得出BQ=AP=2，CBQ=A=45，那么PBQ为直角三角形，依据勾股定理求出PQ=2 5，即可得到PC；过点C作CDAB，垂足为D，由ACB为等腰直角三角形，可求得：CD=AD=DB，然后根据AP=DC-22210

29、10或42PD，PB=DC+PD，可证明AP2+BP2=2PC2，因为在RtPCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论；（2）过点C作CDAB，垂足为D，则可证明AP+BP=2PC，在RtPCQ中，PQ=2CP，可得出22222AP2+BP2=PQ2的结论；（3）根据点P所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得PA、PD的长（用含有CD的式子表示），然后在RtACD和RtPCD中由勾股定理求得AC和PC的长度即可【详解】解：（1）如图连接BQ，ABC是等腰直角三角形，AC=4，AB=4242=4 2，PA=2，PB=4 2 2 3 2，ABC和PCQ均为等腰直角

30、三角形，AC=BC，ACP=BCQ，PC=CQ，APCBQC（SAS）BQ=AP=2，CBQ=A=45PBQ为直角三角形PQ=BQ2 PB2(2)2(3 2)2 2 52PC2 PQ2 20，PC 10；故答案为：3 2，10；如图过点C作CDAB，垂足为DACB为等腰直角三角形，CDAB，CD=AD=DBAP=（AD-PD）=（DC-PD）=DC-2DCPD+PD，22222PB2=（DB+PD）2=（DC+DP）2=CD2+2DCPD+PD2，AP+BP=2CD+2PD，在RtPCD中，由勾股定理可知：PC=DC+PD，AP+BP=2PCCPQ为等腰直角三角形，2PC=PQAP+BP=PQ

31、；故答案为：AP+BP=PQ；（2）如图：过点C作CDAB，垂足为D222222222222222222ACB为等腰直角三角形，CDAB，CD=AD=DBAP=（AD+PD）=（DC+PD）=CD+2DCPD+PD，22222PB2=（DP-BD）2=（PD-DC）2=DC2-2DCPD+PD2，AP+BP=2CD+2PD，在RtPCD中，由勾股定理可知：PC=DC+PD，AP+BP=2PCCPQ为等腰直角三角形，2PC=PQAP+BP=PQ；（3）如图：过点C作CDAB，垂足为D222222222222222点P位于点P1处时P11A，PB3114121212AD CD，P1AABCD，PD

32、1在RtP1CD中，由勾股定理得：2PC PD CD2115CD，2在RtACD中，由勾股定理得：AC AD2CD22CD22CD，5CD10；PC12AC42CD当点P位于点P2处时P2A1，P2B31P2A2ABCD，P2D P2A AD 2CD，在RtP2CD中，由勾股定理得：P2C P2D2CD25CD25CD，在RtACD中，由勾股定理得：AC AD2CD22CD22CD，P2C5CD10；AC22CD综合上述，【点睛】PC1010的值为：或AC42本题主要考查的是等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，以及全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，根据等腰直角三角形的性质得CD=AD=

33、DB，将PA、PB、PQ、AC、PC用含DC的式子表示出来是解题的关键注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行求解.5、（1）15cm；（2）114cm【分析】（1）连接AC，在Rt ABC中利用勾股定理求解即可；（2）先用勾股定理的逆定理证明ACD90，然后根据三角形面积公式求解即可2【详解】解：（1）如图所示，连结AC在Rt ABC中，ABC90由勾股定理，得AC2 BC2 AB2AC BC2 AB2 1229215cm（2）AD2172 289，AC2CD215282 289，AD2 AC2CD2ACD90四边形ABCD的面积 S【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键ABC S11=912815 114cm2ACD22