2022年黑龙江省高考数学联考试卷（理科）（附答案详解）.pdf

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1、2022年黑龙江省高考数学联考试卷(理科)一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合4 =-1,0,1,2,B =x|x(x-2)0,则ACB=()A.0 B.0 C.1 D.0,12.已知i 是虚数单位，复数z =翳，则复平面内复数W所对应的点在()31A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3 .已知|矶=4，b=(1,2).且五E，a-b 0.则行的坐标为()A.(1,2)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(-1,-2)4 .已知t a n(a +.=2,则t a n(2a 今=()A.；B.：C.D.一：34 3 45 .为了监控某种零件的一条生产线的生产

2、过程，检验员每天从该生产线上随机抽取,并测零件的直径尺寸，根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件直径尺寸穴刖)服从正态分布N(18,4),若x 落在 20,22 内的零件个数为2718,则可估计所抽取的这批零件中直径工高于22的个数大约为()(附：若随机变量服从正态分布N(出M)0.6 8 27,P(2a f j U +2 a)0.9 5 4 5,3 a t 0,6 0),点F ,尸 2为双曲线的两个焦点，以0 尸 2为直径的圆与双曲线相交于点P(点P 在第一象限)，若“F 出 式 也 则双曲线离心率的取值范围是()A.萼,+8)B.73 +1,4-00)C.(1,等 D.(

3、1,V3 +19.密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的焉称为1密位.用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位,且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如15 密位记为“0 0-1 5”，1 个平角=3 0 -00,1 个周角=60-0 0,己知函数/(x)=g x-2 cosx,x e p y ,当/(x)取到最大值时对应的x 用密位制表示为()A.1 5-0 0 B.3 5 -0 0 C.4 0 -0 0 D.4 5 -0 01 0.如图，将一张边长为4 的正方形A B C D 硬纸片，剪拼成 力|-|C一个正四棱锥的模型，

4、以长、宽分别为2 和1 的两个长方形拼接成边长为2 的正方形作为模型的底面，使正四棱锥的表面积等于正方形A B C。的面积(不计接缝的厚度)J.I,若将正方形4 B C D 按图中虚线剪开，则该模型的体积为 A 2 2 B()A.运3B.2 V 3C,空3D.3 V 21 1.已 知 函 数 无)=|x +：m|(x e l,4)，则/(x)的最大值g(m)的最小值是()A;B.1 C.1 D.23 21 2.在正方体4 B C D-48传1。1 中，|A B|=3,点E 是线段4 B 上靠近点4 的三等分点，在 三 角 形 内 有 一 动 点 P(包括边界)，则|P 4|+|P E|的最小值

5、是()A.2 B.2 V 2 C.3 D.3 百二、填空题(本大题共4 小题，共 20.0分)x y +1 N 01 3.若实数x,y 满 足 x +y2 0 )则z =3%-4 y 的 最 小 值 是.X 0,若对任意的x 1,+8),不等式27 nx t -z ogd 2 0恒成立，则m的最小值为.三、解答题(本大题共7小题，共8 2.0分)1 7 .已知数列%满足%=1,aM-i C in=an-i -an,且0n K 0.(1)求数列 an的通项公式；(2)dn=(-l)n+1(2 n +l)anan+1,数列%前n项和为,求720221 8 .如图，在三棱柱ABC-A/Q中，C G

6、_ L平面4 B C,AC 1BC,AC=BC=2,C Q =3,点。，E分别在棱A 和棱C G上，且4。=1，CE =2,M为 棱 的 中 点.(I)求证：GM1平面B B ；(D )求二面角B -B、E -。的余弦值.19.为考察本科生基本学术规范和基本学术素养，某大学决定对各学院本科毕业论文进行抽检，初步方案是本科毕业论文抽检每年进行一次，抽检对象为上一学年度授予学士学位的论文，初评阶段，每篇论文送3位同行专家进行评审，3位专家中有2位以上(含2位)专家评议意见为“不合格”的毕业论文，将认定为“存在问题毕业论文”.3位专家中有1位专家评议意见为“不合格”，将再送2位同行专家(不同于前3位

7、)进行复评.复评阶段，2位复评专家中有1位以上(含1位)专家评议意见为“不合格”，将认定为“存在问题毕业论文”.每位专家，判定每篇论文“不合格”的概率均为p(0 P b 0)的离心率为争 且过点(1,分 点A,B分别为椭圆E的左顶点和右顶点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)是否存在定点 t x-g(x).22.在平面直角坐标系x O y 中，圆Ci 的参数方程为为参数)，以原点。为极点，X 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为P S 讥(。+：)=3V22(1)求圆G的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；(2)设射线八。=a(0 a 6的解集；(2)已知对任意的x G R,都有/

8、(X)2 3若a,b,c 均为正实数，a +2b +2c =2t +2,在空间直角坐标系中，点(a,b,c)在以点(0,-1,-1)为球心的球上，求该球表面积的最小值.第 6 页，共 19页答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合4 =-1,0,1,2,B=x|x(x 2)0 =%|0%2),则/nB=l.故选：C,解不等式求出集合根据交集的定义计算即可.本题考查了集合的化简与运算问题，属于基础题.2.【答案】D【角 单 析】解.z =七处=空 当 空2=二 +工L in rn J HFF.3-i(3-i)(3+i)10 十 1 0-1 7.A Z=-I,10 10 复平面内复数5所对应的点舄

9、，-在第四象限.故选：D.根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的儿何意义，即可求解.本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式,属于基础题.3.【答案】D【解析】解：b=(1,2).且五3,a-b 0.可知N =k(1,2),|五|=V 5，可得k=1,则方的坐标为(一1,一2).故选：D.利用已知条件设出日的坐标，然后求解即可.本题考查向量坐标的基本运算，向量数量积的应用，基础题.4.【答案】C解析解：tan(a+)=2,tan(cr-)=tan-(a+初sin 皮-(a+勃-cos(a+)一cos(a+9 _ _ _ _ isin(a+j)tan(a+

10、j)2 tan(2a 2tan(a)_ 2x(-)l-tan2(a-7)1-6 443,故选：c.求出tan(a-9 的值，再根据倍角公式求出tan(2a-9 的值即可.o5本题考查了三角函数诱导公式，倍角公式的应用，是基础题.5.【答案】D【解析】解：零件直径尺寸x(cm)服从正态分布N(18,4),=18,7 =2,+。=20,/!+2。=22,二 P(20 x 22)B 1-M=0.02275,故所抽取的这批零件中直径x高于22的个数大约为2718+0.1359 x 0.02275=455.故选：D.根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解.本题主要考查正态分布

11、列的对称性，以及频率与频数的关系，属于基础题.6.【答案】B【解析】解：若m u a,m/p,贝”a 夕或a 与0 相交，故p为假命题；若m 1 a,a/?,m l/?,又/1/?,则m/,故q为真命题*二p A q为假命题；(A q为真命题；pV(飞)为假命题；(A()为假命题.故选：B.由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系判断p与q的真假，再由复合命题的真假判断得答案.第8页，共19页本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查复合命题的真假判断，是基础题.7.【答案】A【解析】解：函数/(X)=s i n(2 x +0)的图象向右平移巳个单位得

12、到函数g(x)=s i n(2 x -g +W)的图象，由于函数满足g(x)=g(-x),所 以 心+=+会整理得W =k +(k e Z)；当 k=一1 时，(P=-gO即|9|的值最小，故选：A.直接利用函数的图象的平移变换和函数的奇偶性的判定的应用求出结果.本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换，函数的奇偶性的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.8.【答案】D【解析】解：.以0 尸 2 为直径的圆与双曲线相交于点P,N&P F2=90在A P F1 F2 中，由正弦定理有忐黑=恶廿=总簿=2 c，所以|P F/=2 csinZ.PF2F1 9 PF2 =IcsinZ

13、.PF 2 a=|P Fi|-PF2 =2 csinz.PF2F1-2 csinZ.PF1F2=2 c s i n(90-乙 P Fg -s i n z.P F1F2=2 c g s 乙-s i M P F/z)=2 2 c-c o s P F +4 5 ),：=企8 sdF2+4 5。):乙 PF#2 1=3 0。，N P F1 B+4 5 e (4 5。,75。,二 c o s.P&B +4 5 0)0,当时，f(X)|,二函数g (m)的最小值是g.故选：B.由题可得y=x+：e 4,5 ,进而可得当mW T时，函数f(x)的最大值为以巾)=5 m；当m割寸，函数/(X)的最大值为g(m

14、)=m-4,再求函数g(m)的最小值即可.本题考查了对勾函数的单调性、最值及分类讨论思想，属于中档题.12.【答案】C【解析】解：如图,以。为坐标原点，分别以ZM、DC、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，由正方体的对称性可知,A G 1平面4/D,4(3,0,0),的(0,3,3),(3,1,0),设A关于平面41BD的对称点为4,宿=(-3,3,3)，ACt=V32 4-32 4-32=3取,i x 3x3x3由等体积法求得4到 平 面 的 距 离/I=屋&亘=8，AA,=2V3，则 而=|福=(-2,2,2),设A(x,y,z),则 而=(x-3,y,z)=(-2,2,2)-即4(

15、1,2,2),EA,=(-2,1,2).可得|P*+|PE|的最小值是J(2尸+/+22=3.故选：C.以。为坐标原点，分别以ZM、DC、DDi所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出点4 关于平面4 B。的对称点的坐标，再由向量的模求得|PA|+|PE|的最小值.本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间向量的应用，考查运算求解能力，是中档题.13.【答案】-4【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x-4y得y=U，平移直线y=-由图象知当直线y=:x-：经过B(0,l)点时，直线的截距最大，此时z最小，则z=0-4 =-4,故答案为：-4.作出不等式组对应的平面区域

16、，利用直线的几何意义，利用平移法进行求解即可.第 12页，共 19页本题主要考查线性规划的应用，利用直线的儿何意义，利用数形结合进行求解是解决本题的关键，是基础题.14.【答案】40【解析】解：根据题意，在2名医生中选出1人，在6名护士中选出3人，安排到第一个学校，有 戏 叱=40种分法，剩下1名医生和3名护士安排到第二所学校，有1种情况，则有40 x 1=40种分配方法；故答案为：40.根据题意，依次分析两个学校的分法，由分步计数原理计算可得答案.本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.15.【答案】3【解析】解：圆的圆心为C(2,0),半径r=l,=2,A B是圆的直径

17、，C是A B的中点，连接P C,PA,P B,设P(m 2,2 m),PA-PB(CA-CP)(CB-CP)=(-CB-CP)(CB-CP=CP 2-CB 2=|而产一 1=(6 2 _ 2产+4m2-l=m4+33.当且仅当m =0时取等号，B故答案为:3.由题可知4B是圆的直径，瓦？.丽=(石？一汴)(福 一而)=|加 一 1，问题转化为求抛物线上点P到圆心C的距离的平方减1的最小值.本题考查数量积的最小值，转化为求距离的最小值,转化为求函数的最小值，属中档题.16.1答案-eln2【解析】解：2 吁-1一?0 9 4%2 0 变形为2 皿-1一/1 啕 空 0,B P 2mx log2x

18、,即m x-2T O X log2x-2t o,设 f(t)=t-2 t(t 0),f(t)=2f+t -2 n 2 0,则 f(t)在(O,+8)上单调递增,由/(m x)/(log z x)恒成立得m x log 2%在(1,+8)上恒成立，即m 色詈在(1,+8)上恒成立，设9(x)=号 。1),9 。)=与禽，l 0,函数g(x)在(l,e)单调递增，时,g (%)V 0,g(%)在(e,+8)单调递减,所以g(x)m a x=9(e)=4 明=*，所以m ,所以TH的最小值为一eln2 eln2故答案为：-y.eln2不等式变形后构造同构不等式m x -2 m x iOg2%,2lO

19、92 X,令f(t)=t-2，(t 0),利用导数判断/(t)的单调性，从而将不等式变形，再分离参数转化为求新函数的最值，得出结论.本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题.17.【答案】解：(1)数列 an 满足的=1,a7 17 0n=0n_ i an,两边同除即_ 1即，得止=1；an an-l所以:是以1为位首项，1为公差的等差数列.an所以%an即即=%=(-1严马=(一1)飞+W),第1 4页，共1 9页盛)一岛+短)3 11-2-0=22-2023 2023【解析】(1)直接利用数列的递推关系求出数列的通项公式；(2

20、)利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和.本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.18.【答案】(I)证明：因为CG J_平面ABC,CA U 平面ABC,CB u 平面ABC,所以CC11C4,CCr 1 C B,又因为ACJ.BC,所以&4、CB、CG两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，G(o,0,3),4(2,0,0),B(0,2,0),D(2,0,1),的=(1,1,0)，AB=(-2,2,0)，AD=(0,0,1).所以 而=0，QM-AD=0，所以Q M J.4B,CXM

21、1 AD,因为AB u 平面BBi。，40 西=(0,2,1)，设 平 面 的 法 向 量 为 记=(x,y,z),m-ED=2x z=0m-EBi=2y+z=0令z=2,m=(1,1,2),平 面 的 法 向 量 为 元=(1,0,0),所以二面角8-B 1E-D的 余 弦 值 为 晶=总=%【解析】(I)只要证明GM垂直平面SB】。内相交直线4B和4。即可；(II)用向量数量积计算二面角的余弦值.本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题.19.【答案】解：(1)设每篇毕业论文被认定为“存在毕业论文”为事件4,则p(A)=p3+Cfp2(l-p)+Cp(l-p)2l

22、-(1-p)2,因为p =5所以p Q 4)=|,(2)设每篇文章的评审费用为X元,则X的可能取值为9 0,1 8 0.P(X =1 8 0)=玛p(l -p)2,p(X=9 0)=1 -C和(1 -p)2,E(X)=9 0 x 1 -C|p(l -p)2 +1 8 0 x 0P(1 -p)2=2 7 0 p(l -p)2+9 0.令9(P)=P(1-P)2，P G (0,1).g (p)=(l-p)2-2 p(l-p)=(3 p-l)(p-l).当p e(0,时，g (p)0,g(p)在(0 1)上单调递增，当peG，l)时，g(p)0,g(p)在G，l)上单调递减，g(p)的最大值为g g

23、)=所以每篇论文平均评审费用的最大值是1 3 0元.【解析】(1)根据二项分布和独立事件概率公式可表示出所求概率，代入P =即可得到结果；(2)分别求得评审费用X所有可能取值对应的概率，可得E(X)=2 7 0 P(1 -p)2 +9 0,利用导数可求得g(p)=p(l -p)2的最大值，由此可确定结果.本题考查离散型随机变量的期望，考查概率的最大值，属于中档题.2 0.【答案】解：(1)由题意得：0由韦达定理可得为+丫2=需，%=会，所以_=-2 2-=-=口(1+2)(%2+2)(myA+t+2)(m y2+t+2)m 2 y l y 2+6 +2)(%+%)+2)2第 16页，共 19页

24、_ _ _ _ _ _ _ _ _ 是氢_ _ _ _ _ _ _ _ _=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 巴W _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ t?-4=m 2韶+m(t+2)寿+(t+2)z -m 2 t 2-4m 2-2 m 2 t(t+2)+(t+2)2(1n2+4)-4(t+2)2-1 2 解得t=1,所以存在点”(1,0),对任意过点M 的直线CD(C,D在椭圆C上且异于A,B两点)，都有卜8。=3 kAe【解析】(1)由椭圆所过点、离心率和a,b,c之间关系可构造方程组求得结果；(2)当直线CD斜率不存在时，求得C,。坐标，可得t =l；当直线CC

25、斜率存在时，假设直线4C方程，结合韦达定理可求得C点坐标，同理可求得。点坐标，利用标“=册”可整理得到(48-48t)四0+(4-4t)=0,由此可确定t =1；综合两种情况可得结论.本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识,属于中等题.21.【答案】解：(1)由g(x)=V7x *i,g，(x)=2；;j,即(2)=4,且g(2)=3,所以曲线y=g(x)在点(2,g(2)处的切线方程为y-3=i(x-2),即y=|x+2；(2)由 九(%)=/(x)x2-2,得九(x)ex e-x 2x,从而心(x)=峭+e-x-2 2 2y/ex-e-x-2=0,所以

26、八(x)在R上为增函数，注意到/i (0)=0,则当x 0 时，(x)0 时，九(乃 0,所以h(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，所以x=0是h(x)的极小值点，也是h(x)的最小值点，故/i(x)的最小值为八(0)=0；(3)证明：令H(x)=/(x)xg(x)=ex+ex x/7x-/1(；x x2+2,从而e*+ex xj7x x2 1 x2+2 xV7x x2 1(当且仅当x=0时取等号)，所以，要证H(x)N0,只需证明x+：/一 1 2 0,而曲线y=x+：在尢=2处的切线方程为y=ix+2.因为(x+|)-(|x+2)=|+|-2 2-2=0(当且仅当=2

27、 时取等号)，所以 +三2；%+2成立，由此，即证1+22/7%2 1X 2 2而(|+2)2-(V7x-x2-l)2=|(x-2)2 0(当且仅当久=2时取等号).所以|+2宜夜x T-1成立.综上，H(x)0,即/(x)x-g(x)成立.【解析】(1)求得g(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程；(2)求得/i(x)的二阶导数，可得/i(x)的单调性和极值、最值；(3)构造函数H(x)=/(x)-x g(x),结合(1)的结论，运用分析法和不等式的性质，即可得证.本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、最值，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于中档

28、题.22.【答案】解：(1)圆G的普通方程为(x 2)2+y2=%所以圆G的极坐标方程为p=4cos0.由psin(。+彳)=苧，p(苧sin。+cos。)=苧，所以曲线C2的只直角坐标方程为久+y=3.(2)因为 SAOQM=：|OCil|OM|sina,SAOQN=0Ci|0N|sina,SA0CM _ O M-=-SAOCN|ON|且|OM|=Pi=4cosa,P2=sina+3 cosa所以 SOCIM=ic o s a(sina+cosot=-V2sin(2a+*)+1,S&OCN p2 3 3 4当且仅当a=软寸，OCM与A OC1N面积之比的最大值是|(鱼+1).【解析】(1)直

29、接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用三角形的面积公式和三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果.本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形的面积公式，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能第1 8页，共1 9页力和数学思维能力，属于基础题.23.【答案】解：(1)当 工6时，/(x)=2-x+l-2x=3-3 x 6,解得 x W-1,此时 x -1；当：x 6,解得 x2 5,此时 x e 0；当X 2时，/(x)=x-2+2x-l=3 x-3 6,解得 x 3,此时 x 3.综

30、上所述，不等式f(x)3的解集为 x|x 3；3 3x,x -(2)由(1)可知/(%)=卜+1尚 乂；2,2所以，函数/(X)的单调递减区间为(一 8,孑，单调递增区间为G，+8),所以，t =/(1)=|,所以，a+2b+2c=2t+2=5,因为a、b、c均为正实数，由柯西不等式可得(1?+22+22)(a2+(b+I)2+(c+l)2)a+2(b+1)+2(c+I)2=81,所以，R2=a2+(b+I)2+(c+I)2 9,则该球表面积为4兀/?2 n 36兀，当且仅当。=等=.，即a=l,b=1,c=l时取得等号.所以该球表面积的最小值为36兀.【解析】(1)由零点分区间法和一次不等式的解法，可得所求解集；(2)由f(x)的单调性可得/(x)的最小值3再由柯西不等式可得a?+(6+1)2+(c+I)2的最小值，再由球的表面积公式可得所求值.本题考查绝对值不等式的解法和函数的最值、柯西不等式的运用，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题.