三年(2020-2022)高考数学真题汇编07平面解析几何（选择题、填空题）.pdf

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1、专题07平面解析几何（选择题、填空题）【2022年全国甲卷】W v2 11.已知椭圆C:二+4=1（。0）的离心率为彳，4 出 分 别 为 C的左、右顶点，B为Ca b 3的 上 顶 点.若 瓯 M=-1,则 c 的方程为（）A.+-=1 B.+-=1 C.+-=1 D.+y2=18 16 9 8 3 2 2,【答案】B【解析】【分析】根据离心率及明-M=-1,解得关于。2,匕 2的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率e=、八解得与，从=坊，a a2 3-9 9A，A 2分别为C的左右顶点，则A （-凡。），4（0），B为上顶点，所以8（0力）.所 以 瓯=（a,b），M =（a,切，

2、因 为 瓯%=1Q所以-/+=1,将从代入，解得/=9 方=8,故椭圆的方程为+1 =1.9 o故选：B.【2022年全国甲卷】.2 22.椭圆C：A+与=l（a 6 0）的左顶点为A,点 P,。均 在 C上，且关于），轴对称.若直a b“线 ARAQ的斜率之积为!，则 C的离心率为（）4A.B B.C.1 D.-2 2 2 3【答案】A【解析】【分析】2i i 2设 P(J,则*w j，根 据 斜 率 公 式 结 合 题 意 可 得+f=a，再根据务+=1，将 y用玉表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】解 法 1:设而不求设P(X，X)，则。(一%,%)则由kAp&AQ=W得：后

3、八 ,“人0工 _ 厂=短 0.2 A%+Q _尤 +a _ X j-+ci 42 2吟 土 於L得 b2(a2-x,22所 以 一 下 一)9-x,+a-L即4b2 1所以椭圆C的离心率e=、耳=乌。V 2故选A.解法2：第三定义设右端点为B,连接PB,由椭圆的对称性知：kPB=-kAQ故 kA P KQ-kpA-kAQ=-,1 2由椭圆第三定义得：kpA-k,、Q=-va钻b2 1故F=一a2 4所以椭圆C的离心率e=、1 卫=立，故选A.a V a 2【2022年全国乙卷】3.设/为抛物线C:y?=4x的焦点，点 A在 C上，点8(3,0),若|A F|=忸用，则|明=()A.2 B.2

4、/2 C.3 D.3 亚【答案】B【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A 的横坐标，进而求得点A坐标,即可得到答案.【详解】由题意得,尸（1,0）,则|A F|=|8同=2,即点A到准线x=-l 的距离为2,所以点A 的横坐标为-1+2=1,不妨设点A在x 轴上方，代入得，A（l,2）,所以|A8|二 =2V2.故选：B2022年全国乙卷】4.双曲线C 的两个焦点为耳,入，以 C 的实轴为直径的圆记为。，过士作。的切线与C 交于 M,N 两点，且c o s N K M=1,则 C 的离心率为（）A.在 B.-C.巫 D.叵2 2 2 2【答案】AC【解析】【分析】

5、依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过写作圆。的切线切点为G,利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到26=3。或a=,即可得解，注 意 就 在 双 支 上 还 是 在 单 支 上分类讨论.【详解】方 法 一（几何法，双曲线定义的应用）情况一M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过”作圆。的切线切点为B,3所以0 B1 EN,因为c o s/6 N E=w 0,所以N在双曲线的左支，|O B|=a,|。娟=(?,|F B|=b,设 NFNF=a,由即 cos a =|,贝!s i na=g,|N A|=-(7,|N F2|=-a|阿丽=2ag a-(!+2b)=2a,2b=

6、a,e=2选 A3若 M、N在双曲线的两支，因为cos N 耳”=弓0,所以N在双曲线的右支,所以|O B|=a,|6|=c,旧 B|=b,设4 F、NF1=a,3 3 4由cos/耳NE=g,即cos a =，则s i na=g,|N A|=|)|N F2|=|N E|-|N F；|=2选 c方 法 二（答案回代法）A选项e=2特值双曲线?_/=,.耳卜百,0）,耳（右,0）,过 E 且与圆相切的一条直线为y=2（x+&）,两交点都在左支,，-1&，-1 有），明|=5,|明|=1,|耳引=2后,3则 cosN 4N K=g,C选项6=巫2特 值 双 曲 线 看=1,；.F卜 旧,0），月

7、四,0）,过E 且与圆相切的一条直线为y=|（x+J F）,两交点在左右两支，N在右支，.|NF,|=5,|N|=9,|F,|=2Vi3,3则 cosNf；N g=M，解法三：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过6 作圆。的切线切点为G,若分别在左右支，因为。G_LN6，且cosNf；N K=3 0,所以N 在双曲线的右支,又|OG|=a,|。制=，|GK|=6,设/耳 出=夕，N 居N =/,在 耳 性 中，有国=_ =2,sin p sin(a+)0)sin a=2即=_4sin(a+)sin/?sin a sin(a+/7)sin/?sin asin a cos p +cos sin/y

8、-sin p sin a,3.a C b 皿.4而cosa=,sinp=,cos,故s in a=一,代入整理得到 3，即 宗|,同理有粤=乃二二sin p sin(cr+p)sin ab其中尸为钝角，故cos#=士，C=2 即_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _曰_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _=工sin/?-sin(a+)sin a sin-sin2cos一 cosasin/7 sincr代入c o s a f sinp=?sina=%整理得到：痛%=子故a=,故e=j =与,故选：AC.2021年甲卷文科】5.点（3,0）到双曲线-/6 C.y/S D.22【答案

9、】A【解析】【分析】设点P 伍，几），由依题意可知，8（0），予+片=1，再根据两点间的距离公式得到附二然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值.【详解】设点尸（与，儿），因为3（0,1）,+y；=l,所以归 砰=*：+（%-1）2=5（1-乂）+（%-1）2=-4尤-2%+6=-4 卜0+；）+y -而所以当先=；时，|P8|的最大值为g.故选：A.【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出.易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B 最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将

10、距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.2021年乙卷理科】7.设8 是椭圆C：E +=1（“匕 0）的上顶点，若 C 上的任意一点P 都满足IP 8 区3,则a b-C 的离心率的取值范围是（）【答案】C【解析】【分析】设。（知 几），由巩0力），根据两点间的距离公式表示出归回，分类讨论求出归却的最大值，再构建齐次不等式，解出即可.【详解】设。（,打），由巩0力），因 为 4+4=1-=/+2,所以a h=X：+（%-/?）2 =/（1_患 +（%_ -=_/（%+*+_+a2+b2,因 为 一 比%也当即时，|峭 =4凡即 P B =2 b,符合题

11、意，irrK ix iik iA由可得42 22c2,即 0eV也；2当一耳_。，即从 02时，|PB|2=*/+/，即/，化简得,C21 lmax c2 c2 v 显然该不等式不成立.故选：c.【点睛】本题解题关键是如何求出|PB|的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值.2021年新高考1 卷】8.已 知 ，K 是椭圆C：+=1的两个焦点，点 在 C 上，贝”M/讣眼 印 的最大值为()A.13 B.12 C.9 D.6【答案】C【解析】【分析】本题通过利用椭圆定义得到I6|+|M 用=2a=6,借助基本不等式MF-MF2 0)的焦点至ij直线y=

12、x+l的星巨离为0,则。=()A.1 B.2 C.2夜 D.4【答案】B【解析】【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得P 的值.【详解】抛物线的焦点坐标为(5,0),-0 +1其到直线X-y+l=0 的距离：.2 万，d=1 =72V1+1解得：P=2(p =-6 舍去).故选：B.【2020年新课标1 卷理科】10.已知A 为抛物线C:y2=2px(p 0)上一点，点 4 到 C 的焦点的距离为1 2,到 y 轴的距离为9,则 p=()A.2 B.3 C.6 D.9【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F,由抛物线的定

13、义知|4 用=4+5 =1 2,即12=9+,解得p=6.故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.2020年新课标1卷理科】11.已知(DM：x2+y2-2 x-2 y-2 0,直线/：2x+y+2=0,尸为/上的动点，过点尸作O M 的切线P A P 8,切点为A B,当1PMi 最小时，直线A 8的方程为()A.2x y-1 =0 B.2x4-y-1 =0 C.2xy+l=0 D.2x+y+=0【答案】D【解析】【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点A,P,民M 共圆，且根据|巴阴=4 S,M=4|则 可 知,当 直

14、 线 M P L 时，最 小,求 出 以 M P为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线A 3的方程.【详解】圆的方程可化为(x-l)2+(y-l)2=4，点 到直线I的距离为d=石 2,V22+l2所以直线/与圆相离.依圆的知识可知，四点A,P,8,M 四点共圆，且所以PM-AB=4SPAM=4XXPAXAM=4PA,而 网=加 不 二,当直线M P口 时，|MP1mhi=石,|儿 面=1，此 时 明 最 小.=即 y=；x+；,由,1 1V=XH-2 2 解得,2x+y+2=0 x=-ly=0所以以M P为直径的圆的方程为(x l)(x+l)+y(y T)=。，即x2+y2-y-=0,

15、两圆的方程相减可得：2x+y+l=0,即为直线A 8的方程.故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题.【2020年新课标1卷文科】1 2.已知圆X2+)，2-6X=0,过 点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】当直线和圆心与点。,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆北+/-6 彳=0化为(x-3)、y 2=9,所以圆心C 坐标为C(3,0),半径为3,设尸(1,2),当过点P的直线和直线C P 垂直时，圆心到过点

16、P的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时|CP|=7(3-1)2+(-2)2=2 7 2根据弦长公式得最小值为2 j 9-|C P=2 亚 后=2 .故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.【2 0 2 0 年新课标1 卷文科】1 3.设耳，尺是双曲线。:炉-仁=1 的两个焦点，。为坐标原点，点尸在C上且|8|=2,则3P 6心的面积为()75A.B.3 C.-D.222【答案】B【解析】【分析】由A耳工尸是以P为直角直角三角形得到|PK F +I PF。=1 6,再利用双曲线的定义得到|PFt-PF=2,联 立 即 可 得 至 I I P鸟I,代入6.=与?

17、耳|尸工|中计算即可.【详解】由已知,不妨设耳(一2,0),下(2,0),则 a =Lc =2,因为|OP|=2 =g用段,所以点P 在以耳心为直径的圆上，即AG鸟尸是以尸为直角顶点的直角三角形，故I PK F+I 桃 =|耳玛F,即|P 6 +|PK|2=1 6,又|甲一|鸟|=2 0 =2,所以4 =|6|-|P g|=I P F +P F212-2 I P/-|PF21=1 6-2 PFtPF2,解得|尸耳|叫|=6 ,所 以 以 烟=g I 际 I I 也1=3故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.【2020

18、年新课标2 卷理科】1 4.若 过 点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2 x-y-3=0 的距离为（）AA.百 口 2石 0 3#）口 40D.J -U.-5 5 5 5【答案】B【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设 圆 心 的 坐 标 为 可 得 圆 的 半 径 为。，写出圆的标准方程，利用点（2,1）在圆上，求得实数。的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线2-），-3=0 的距离.【详解】由于圆上的点（2,1）在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为（风力，则圆的半径为。，圆的标准方程为（x-a

19、p+U-a）=.由题意可得（2 a）2 ,可得/一 6。+5=0,解得 a=1 或。=5,所以圆心的坐标为（1,1）或（5,5）,|2x 1 1 3|25/515 -亏圆心（L1）到直线2 x-7-3 0 的距离均为4 =圆心（*）到直线2x-,-3 -0 的距离均为4 =|2x5-5-3|2755圆心到直线2 x-y-3 =0 的距离均为“=甲=毡;V5 5所以，圆心到直线2 x-y-3 =0 的距离为乎.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.【2 0 2 0 年新课标2卷理科】1 5.设O 为坐标原点，直线x =。与双曲线C:!

20、=1（。0 力 0）的两条渐近线分别交于D,E两点，若AODE的面积为8,则C的焦距的最小值为（）A.4 B.8 C.1 6 D.3 2【答案】B【解析】【分析】因为。：乌 看=1 3 0 力 （），可得双曲线的渐近线方程是=生，与直线x =a 联立方程a2 b-a求得。，E两点坐标，即可求得I 匹|,根据）D E的面积为8 ,可得而值，根据2 c =2 7 7 工，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】双曲线的渐近线方程是y =%a.直线x =a 与双曲线C ：?-，=1（。0,b 0）的两条渐近线分别交于D,E两点不妨设。为在第一象限，E在第四象限x=a联立 b,解 得“y=x=8a故 D

21、(a,b)x=a ()力 ()其焦距为 2c=2Ja2+b2 2y/2ab=2际=8当且仅当4=b=2夜取等号，C 的焦距的最小值：8故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.【2020年新课标3 卷理科】16.设。为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2 p x(p 0)交于Q ,E两点，若O D LO E,则C 的焦点坐标为()A.B.C.(1,0)D.(2,0)【答案】B【解析】【分析】7 T根 据 题 中 所 给 的 条 件 结 合

22、 抛 物 线 的 对 称 性，可知NOOx=NEOx=:，从而可以4确定出点。的坐标，代入方程求得。的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线x=2与抛物线y2=2px(p0)交于反。两点，且0_L0E,根据抛物线的对称性可以确定ZDOx=NEOx=?,所以0(2,2),代入抛物线方程4=4 p,求得。=1,所以其焦点坐标为(；,0),故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.【2020年新课标3 卷理科】2 217.设双曲线C：三-2=1（。0,60）的左、右焦点分别为B

23、,F 2,离 心 率 为 行.Pa b是 C上一点，且 BPLF2 P.若 P F/尸 2的面积为4,则。=（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】W=G；.c=G，根据双曲线的定义可得I l w H P 或=2%SN g 刊计归用=4,即|尸用疗用=8,-.-FtP F2P,|2+|P|2=（2C）2,.（仍用-归用）2+2|尸/讣|尸周=4 2,即。2 _ 5/+4 =0,解得 =1,故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用,属于中档

24、题.【20 20 年新课标3 卷文科】18.在平面内，A,B是两个定点，C是动点，若 4 己8 占1,则点C的轨迹为（）A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线【答案】A【解析】【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.【详解】设 舫=2 4“0）,以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：A(-a,O),B(a,O),设 C(x,y),可得：AC=(x+a,y),BC=(x-a,y)从而：A C BC=x+)(x-o)+y2,结合题意可得：(x+a)(x-a)+V=l,整理可得：x2+/=c r+,即点C 的轨迹是以AB中点为圆心，在 7 T 为半径的

25、圆.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【2020年新课标3 卷文科】19点(0,-1)到直线y=%(x+l)距离的最大值为()A.1 B.72 C.73 D.2【答案】B【解析】【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点2-1,0),设 4 0,-1),当直线y=/(x+i)与 AP垂直时，点A到直线y=k(x+i)距离最大，即可求得结果.【详解】由y=A(x+1)可知直线过定点P(-1,O),设 A(0,-1),当直线y=&(x+D与AP垂直时，点A到直线y=%(x+i)距离最大，即为 14Pl=&.故选：B

26、.【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.20 22年新高考1卷】20.已知。为坐标原点，点A Q 1）在抛物线C:V=2p y（p 0）上,过点3（0.-1）的直线交C于尸，Q两点，则（）A.C的准线为y =T B.直线A B与C相切C.OP-OQ O D.BP BQ BA【答案】B C D【解析】【分析】求出抛物线方程可判断A,联立A 8与抛物线的方程求交点可判断B,利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【详解】将点A的代入抛物线方程得l =2 p,所以抛物线方程为f =y,故准线方程为y =-1,A错4误；（田=:浮

27、=2,所以直线A 3的方程为y =2 x 7，f y =2x 1联 立 佶=、，可得2x+l =0,解得x =l,故B正确；设过8的直线为/,若直线/与V轴重合，则直线/与抛物线C只有一个交点，所以，直线/的斜率存在，设其方程为丫=履-1,2%,%）,。（孙必），y=k x-联立I ,得X?齿+1=0,1/=yA=J12-4 0所以，x,+x2=k,所以2或4 2=|4|2,故 C 正确;因为 18Pl=Jl+公 卬,BQ=yJ+k2|x2|，所以|BP|8Q=（1 +公）|耳*=1+公 5,而5 4 =5,故 D 正确.故选：BCD2022年新高考2 卷】2 1.已知。为坐标原点，过抛物线C

28、：V=2px（p 0）焦点尸的直线与C 交于A,8 两点，其中A 在第一象限，点M（p,0）,若|A F|=|4W,则（）A.直线A 8的斜率为2 B.OB=OFC.AB4OF D.ZOAM+ZOBM 8Q【答案】ACD【解析】【分析】由|AF|=|AM|及抛物线方程求得人（，率），再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线A 8的方程，联立抛物线求得B（g,-率），即可求出|。目判断B 选项；由抛物线的定义求出|AB|=答 即 可 判 断 C 选项；由 方.而 0，福.诬 2 p =4所，C正确；对于D,西加寻穹呜，一 冬哼个季卜等卜一冬0,则4 0 8为钝角,又丽即一涔).(*=弘 一 2一

29、p-0,则 ZAM86为钝角，X ZAOB+ZAMB+ZOAM+ZOBM=360.则 NOAM+NOBM 4 ,+2 2 亚 5所以，点尸到直线A3的距离的最小值为小逝-4 2,最大值为小叵+4 M，则直线/与圆C相离，故 B正确;若点A（a 啰 在 圆 C外,则所以d=，卜yJcT+b-则直线/与圆C相交，故 C错误;若点A（a,b）在直线/上，则/+/-产=0即/+从=产,2所以=，=上|,直线/与圆C相切，故 D正确.yla2+b2故选：A B D.【2 0 2 0 年新高考1 卷（山东卷）】2 4 .已知曲线C:z n r?+”）2 =1.（）A.若?心0,则。是椭圆，其焦点在y轴上B

30、.若小=0,则。是圆，其半径为C.若,0,则 C是两条直线【答案】A C D【解析】【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，2 =0时表示圆，加 0,则 如 2+町?2=1 可 化 为+J ，m n因为机0,所以一0,则 尔 2 +肛,2 =1 可化为V+y 2 =,n此时曲线C表示圆心在原点，半 径为近的圆，故 B不正确；n2 2对于C,若加，0,则/加+/=1 可化为）=,ny =近，此时曲线C表示平行于*轴的两条直线，故 D正确；n故选：A C D.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.2 02 2 年全国甲卷】25

31、.设 点M在直线2x+y-l=0上，点(3,0)和(0,1)均在O M上，则。”的方程为【答案】(x-l)2+(y+l)2=5【解析】【分析】设出点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】方法一：(三点共圆)点M在直线2x+y-l=0上，二设点M为(。/一2 ),又因为点(3,0)和(0,1)均在。M上，点M到两点的距离相等且为半径R,-7(-3)2+(l-2 a)2=M+(-2 a)2=R，a2-6a+9+4a2-4(z +l=5a2 解得a=l,/.A/(l,-1),R=BQM 的方程为(x-l)2+()，+lf =5.故答案为：(x-l)2+(

32、y+l)2=5方法二：(圆的儿何性质)由题可知，M是 以(3,0)和(0,1)为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线2 x+y-l=0的交点=石，0M 的方程为(x-l)2+(y+l)2=5.故答案为：(x-l)2+(y+l)2=5【2022年全国甲卷】26.记双曲线C:-1 =1(a080)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”a b的e的一个值_.【答案】2(满足l e 4石皆可)【解析】【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线y=2 x中0 （U 0）,所 以C的渐近线方程为=2,a结合渐近线的特点，只需0 l,所 以l e 4蓬,故答案为：2（满 足I0）的 渐 近 线

33、 与 圆/+丁一4），+3=0相 切，则相=.【答案】显3【解 析】【分 析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意 圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可.【详 解】丫2X解：双 曲 线/一 J=的渐近线为y=,即X土 冲=0,m m不 妨 取x+my=0,0|x2+/-4 y +3=0,即f+（y 2）2 =1,所以圆心为（0,2）,半径/*=1,依题意圆心（0,2）到 渐 近 线x+my=0的距离d=-=1,解 得7 M =或 加=（舍 去）.3 3故答案为：立.3【2022年全国乙卷】2 8.过 四 点(0,0),(4,0),(

34、7,1),(4,2)中 的 三 点 的 一 个 圆 的 方 程 为.答 案】(x-2+(y 3/=1 3 或(x 2 y+(y-l)2=5 或 xf +尸()吟或(N 169+(y-l)=7 25【解 析】【分 析】法 一：设 圆 的 方 程 为 炉+、2 +6+)，+=0,根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可;【详 解】法一:圆 的 一 般 方 程依题意设圆的方程为V+V+6+4+/=o,F=0(1)若 过(0,。)，(4,0),(T l),则 16+4。+b=01 +1-O+E+/=0，解得所以圆的方程为 f +y2-4 x-6 y =0,即(x-2)+(y-3)=13；F=0(2)若

35、过(0,0),(4,0),(4,2),则 16+40+尸=016+4+4O+2E+b=0所以圆的方程为 十 丁2一4彳-2)=0,即(2 7+(y=5；F=0(3)若 过(0,0),(4,2),(-1,1),则1+1 Q+E+尸=016+4+4D+2E+F=0 14所 以 圆 的 方 程 为 犬+丁 可 二。,F=0D=-4,E=-6F=0解 得。=-4,E=-2F=0Q解 得o =一 ,E=-14Tl+-D+E+F=0(4)若 过(T l),(4,0),(4,2),则 16+4。+尸=016+4+4O+2E+尸=0F=5解 得3空，所以圆的方E=-2程为7 +y2Tx-2y-=0,即 卜 用

36、 一+所 广 詈；故答案为：(x-2 y+(y-3)2=1 3或(x-2)2+(y-l)2=5或(x-g)=或 法二：【最优解】圆的标准方程(三点中的两条中垂线的交点为圆心)设点4(0,0),B(4,0),C(-l,l),)(4,2)(1)若圆过A、B、C三点，圆心在直线x =2,设圆心坐标为(2,a),贝l j 4+a?=9+(“-1f=a =3,r =,4+a。=上,所以圆的方程为(x-2 +(y-3)2=13 ；(2)若圆过A、B、D 三点、,设圆心坐标为(2,。)，则4+/=4 +(。-2尸=。=1,.=/?77=6,所以圆的方程为(x 2 +(y 1 =5；(3)若 圆 过A、C、。

37、三点，则线段AC的中垂线方程为y =x+l,线段AD的中垂线方程为y =-2 x +5,联立得x =g,y =g=r =,所以圆的方程为(x-g f+(y-f =蔡；(4)若圆过8、C、。三点，则线段8。的中垂线方程为y =l,线段BC中垂线方程为y=5 x-7,联立得x =*y=i n =J 1,所以圆的方程为(*)2+(y 7)2 =粤.故答案为：(x-2)2+(y-3 =1 3或(x-2 y+(y-l)2=5或=系或)2+(1二 等【整体点评】法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解

38、.2 0 2 2年新高考1卷】2 9.写出与圆一+/=1和(x-3 +(3 5 7 T【答案】=吗 +或 尸 五、一5y-4)2 =16都相切的一条直线的方程_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，或=-1【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】解：方法一：显然直线的斜率不为0,不妨设直线方程为X+勿+c =o ,4-353b=-bc247257故 C?=1+从，|3 +4/+|=|4。|.于是3 +4/?+0 =4-5 =0.(填一条即可)方法二：设 圆/+/=1的圆心。(0,0),半径为4=1,圆(%3)+(y 4-=16 的圆心 C(3,4),

39、半径 r2=4 ,则|O C|=5 =C+4，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然x+l =0 符合题意；又由方程(x-3 尸+(y-4)2 =16和/=1相减可得方程3 x+4y-5 =。,即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC的方程为4x-3 y =0,4直 线0C与 直 线x+l=O的交点为设过该点的直线为y+：=Z(x+i),则 7 解 得k=,V F7T 2 4从而该切线的方程为7x-2 4y _ 2 5 =0.(填一条即可)方法 三：圆f+y 2=i的圆心为。(。，半 径 为1,圆*一3)2+(一4)2=16的 圆 心。1为(3,4),半径为4,两

40、 圆 圆 心 距 为 存 百=5,等于两圆半径之和，故两圆外切,如 图，当 切 线 为/时，因 为&叩=4,所 以 用=-：3 ,设 方 程 为y =j3x+r(f 0)L解 得 咛，所 以，的方程为y=-%+,。到/的距离当切线为?时，设 直 线方程为履+y+o=o,其 中。o,k b 0),C的上顶点为A,两个焦点为，离心率为会 过F,且垂直于A F2的直线与C交于D,E 两点,|O E|=6,则 A D E的周长是.【答案】13【解析】【分析】利用离心率得到椭圆的方程为+E =l,B P 3 x2+4r-12 c2=0,根据离心率得到直线4 c 3c A 8 的斜率，进而利用直线的垂直关

41、系得到直线OE的斜率，写出直线。的方程：x=6 y-c,代入椭圆方程犷+4八 12/=0,整理化简得到：1 3/一 6 6 c y-9c 2=0,利用弦长公式求得c =13 ,得。=2 c =1=3,根 据 对 称 性 将 的 周 长 转 化 为 6。后的周长，利用8 4椭圆的定义得到周长为4 4 =1 3.【详解】,椭圆的离心率为e =1,.,.a=2 c,.,.Z/=a2-c 2=3 c 2,.椭圆的方程为a 2条+白=1,BP3X2+4/-1 2C2=0,不妨设左焦点为耳，右焦点为鸟，如图所示，/A F2=a,OF2=C,a=2 c,二.4 6 层为正三角形，.过且垂直于4 8的直线 与

42、 C交于。，E两点，OE为线段4 乙的垂直平分线，.直线OE的 斜 率 为 立，斜率倒数3为 也,直线OE的方程：X =&C,代入椭圆方程犷+4)3-1 2/=0,整理化简得到：1 3 y2-6 6 y-9 c 2=0,判别式=倒 疯 1)2+4X13X9C2=62X16XC|。同=Jl+(|y|-y2|=2x*=2 x 6 x 4 x 1 =6 ,:.c =,得 a=2 c =U,8 4为线段A居的垂直平分线，根据对称性，AD=DF2,A E =E/的周长等于 E O E的周长，利用椭圆的定义得到 E O E周长为。用+怛6|+|E|=|DF21+|%|+|。曰+|环卜|。用+|DF21+|

43、EFt+EF2=2a+2a=4a=l3.故答案为：1 3.2 0 2 2年新高考2卷】3 1.设点4-2,3),8(0,)，若直线48关 于 对 称 的 直 线 与 圆(x +3 +(y+2)2=I有公共点，则。的 取 值 范 围 是.【答案】层-1 3一【解析】【分析】首先求出点A关 于 对 称 点A的坐标，即可得到直线/的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：4(-2,3)关于 对称的点的坐标为A(-2,2 a-3),8(0,a)在直线，=上，所以AB所在直线即为直线/,所以直线/为丫=与+。，即(a-3)x+2 y-2 a=0；圆 C:(x+3)+(y+

44、2)=1 ,圆心。(一3,-2),半径 r=1,-3（a-3-4-2a依题意圆心到直线/的距离 =I,、2，-41,V（-3）+22即（5 5司2 4（.一3）2+2 2,解 得;4“4彳，即“e 3-故答案为：【2 0 2 2年 新 高 考2卷】3 2.己 知 直 线/与 椭 圆 鸟+=1在 第一象限交于A,B两 点，/与x轴，y轴 分 别 交 于M,N6 3两 点，且|M 4|=|NB|,|M N|=2 jL 则/的方程为.【答 案】x+f2y-2-j2=0【解 析】【分 析】令AB的中点为E,设A（X QJ,8（超,必），利用点差法得到心E-L=-J，设直线A B:y=k x+m ,k

45、0,求 出 、N的坐标，再根据|M V|求 出、?，即可得解;【详 解】解 法 一：（弦 中 点 问题：点 差 法）令A3的 中 点 为E,设A（Ay）,矶,），2）,利用点差法得到勺 原广-g,设 直 线A B:y=h+机，k 0,求 出 、N的坐标，再 根 据|M V|求出左、m,即可得解；解：令48的 中 点 为E,因为所以|M E j=|NE|,2 2 2 2设A（x“x）,则 工+竺=1,+江=i,6 3 6 3所 以 近 一 立+近 一 丈=o,即a-xj a+，）J X+）,2）（）L%）=066 6 3 33所以即自人阳8=-!，设直线 4 B:y=f c r+m,k 0,（%

46、玉2 2令 x =0 得 y=m,令 y=o 得 x =_ ,B|J M（-,oj,N（0,z）,所 以“*松，m即&x-2-=_:，解得力=-变 或 4=变（舍去），_tn 2 2 22k又|M N|=2 6,即 阿 凶=，川+（&”y=2后,解得加=2 或帆=2（舍去）,所以直线A8:y=-冬+2,即 x+/2.y 2 5/2=0；故答案为：x+V 2y-2x/2=0解法二：（直线与圆锥曲线相交的常规方法）解：由题意知，点 E 既为线段A 8的中点又是线段M N的中点,设 A（Xi，y J,8（,）,设直线 AB:y=fcr+机，k 0,则以-,0卜N（O,z）,E-与,g ,因为|MN|

47、=2 g,所以|0 E|=6 乙K 乙）y=kx+m联立直线AB与椭圆方程得,尤2 2 消掉y得（1 +2&2*+4 加+2-6=016 3其中=（4 次 -4（+2k2）（2毋-6）X）,玉 +工2 =-1彳）,.AB中点E 的横坐标5-黑.2mk tn：k 0,=-5,又|0 同=/）2+（罗=6,解得 m=2所以直线4B:y=-*x +2,即x+应 y-2 后=0解法三：令 4 8 的中点为E,因为|M 4|=|N 8,所以|岫=|啊,2 2 2 2设 A(%,y),8(%,%),则+$1，半+号=1,所以日一立+元 迂=0,即&-电)&+3)+(/+%)(%)=06 6 3 3 6 3

48、所以!+)2，2=一;，即/，原5=一,，设直线 A8:y=A x+m,k0,(Xl-X2)(XI+x2)2 2令彳=0 得丫=，令丫=0 得=一/，即M(-,0),N(0,z),所以E-鬓，晟，m即&x C=-!，解得及=-立 或 k=也（舍去）,2 2 2-2l又|MV|=2石，即|MN|=J”?+(夜 7)=2 G ,解得?=2 或,w=-2(舍去),所以直线A8:y=-当 x+2,即x+夜 y-2 血=0；2021年甲卷文科】3 3.已知耳，鸟为椭圆C：二+=1的两个焦点，P,。为 C 上关于坐标原点对称的两点,16 4且归。|=忻 用，则四边形W Q 鸟的面积为.【答案】8【解析】【

49、分 析】根 据 已 知 可 得P片，P八，设|月|=九|尸鸟|=，利用勾股定理结合根+=8,求 出 机，四边 形P E Q鸟面积等于如7,即可求解.【详 解】因 为P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，且I P Q R耳用I,所以四边形尸耳。鸟为矩形,设|/耳|=m,|%|=,则,+=8,/+2 =4 8 ,所以 6 4 =(w i +“)2 =m2+2m n +n2=4 8 +2m n ,m n =8,即四边形尸6 Q 5面 积 等 于8.故答案为：8.2 02 1年乙卷文科】3 4.双 曲 线M-=l的右焦点到直线x+2 y-8 =0的距离为.4 5【答案】7 5【解 析】【分 析】先求出右

50、焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详 解】由已知，。=/7寿=，4=3,所以双曲线的右焦点为(3,0),|3+2 x 0-8|5/T所以右焦点(3,0)到直线犬+2)，-8 =0的 距 离 为L 4+2 2=有=4.故答案为：石 2 02 1年乙卷理科】35.已知双曲线C:U V =1(m 0)的一条渐近 线 为y/3x+m y=0,则C的焦距为【答 案】4【解析】【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出。力的关系，再 结 合 双 曲 线 中 对 应 关 系，联立求解加，再由关系式求得c,即可求解.【详解】由渐近线方程6x+，y =0化简得 即2 =电，同时平方得=三，又双曲线中m a m