圆锥曲线-2023年高考数学母题题源解密（全国通用）（解析版）.pdf

《圆锥曲线-2023年高考数学母题题源解密（全国通用）（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线-2023年高考数学母题题源解密（全国通用）（解析版）.pdf（21页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、专题1 6 圆锥曲线备战2023年高考数学田题题源解密（全国通用）考向一椭圆题昌 鳏【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴,且过4（0,-2）,5（|,-1）两点.（1）求E的方程;（2）设过点P（l,-2）的直线交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点满足MT=T H.证明：直线N过定点.【试题解析】【小 问1详解】解：设椭圆E的方程为演+江之，过A（0,-2）,*,14=1则 9，解得加=;，=，根+=1 3 414所以椭圆E的方程为：匕+土 =1.4 3【小问2详解】3 2A（0,-2）,B（1,-l）,

2、所以AB:y+2=1X,r2 v2若过点P（l，-2）的直线斜率不存在，直线X=1 .代入二+=1,3 4可得M（l,观），N（l,冬色），代入48方程y=g x-2,可得7-娓+3,-半），由 疝=而得至I H（-2娓+5-半）.求得HN方程:y =(2 +)x-2.过 点(0,-2).若 过 点H L -2）的直线斜率存在，设H-y -伙+2）=0,M （演,y ）,N（&，%）联 立 kx-y-(k+2)-0 x2 y2，得(32+4)x?-6左(2 +)x+3女(后+4)=0 ,+=13 4_ 6 k(2+k)%+“2=中彳3-4 +Z)可 得 8(2 +2)+%=刀百4(4 +4%2

3、公)%=3 公+4 2 4 人.且=早 工！（）3K十4联 立 y =y 32 可得 T(W+3,y),“(3 x+6 X ，x).尸产2 2可 求 得 此 时H N:y-y2=-好2-5-马），3 y l+6 -%,-x2将（0,-2）,代入整理得2（玉+）-6（y +%）+玉+工2%一 3 y%-1 2 =0 ,将（*）代 入，得 24k+1 2左2 +9 6 +4 8 k-24k-4 8-4 8%+24k2-3 6 k2-4 8 =0,显然成立，综上，可 得 直 线H N过 定 点（0,-2）.【命题意图】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公

4、式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以解答题的形式出现，属于中档题，当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.【得分要点】求 定 点、定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.考向二双曲线【母题来嫄】2 0 2 2年高考浙江卷2 2L【母题题文】已 知 双 曲 线=1（。0,力 0）的左焦点为F,过F且斜率为一的直线交双曲线于点a b 4aA（xy,）,交双曲线的渐近线于点6（马，必）且玉0 超 若|E B

5、|=3|E 4|,则双曲线的离心率是（D题阂圈b b h【试题解析】过 户 且斜率为一的直线A 8:y =（x +c）,渐近线/2：、=一元，4a 4。a联 立 了4,得 巾，?，由|产例=3网，得b 13 3。J V 9 9 a）y=xa而 一 天 内.“L T H 2 5c 2 b2c2,c2 8 1 面、麦 3瓜而点A在双曲线上，于是-Z-T T =1，解得：=,加以离心率e=-8 1/s a2h2 a2 2 4 4故答案为：巫.【命题意图】本题考查了双曲线标准方程的求解、直线与双曲线的位置关系，考查学生的运算求解能力.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以解答题的形式出现，属于中档题，

6、当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.【得分要点】(1)第一问主要利用圆锥曲线的简单性质解答；(2)第二问联立直线和圆锥曲线并消元；考向三抛物线【母题来源】2 02 2年高考全国甲卷(理科)【母题题文】设抛物线C：y 2=2 p x(p 0)的焦点为凡点过F的直线交C于M,N两点.当直 线 垂 直 于x轴时，目=3.(1)求C的方程；(2)设直线NO与C另一个交点分别为4,B,记直线 N,4 3的倾斜角分别为d尸.当。一力取得最大值时，求直线4 B的方程.回题留回【试题解析】小 问I详解】抛物线的准线为x =-当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p,止

7、匕 时|M F|=p +5 =3,所以p =2,所以抛物线C的方程为 2=4%；【小问2详解】、2 y设M7/2 ，N 芋,必|，A?,为 ,5 亍，为直线 MN:x=my+1 ,447(x=my+l由？”可得 了一4冲 一4 =0,A 0,yy2=-4 ,y=4x由斜率公式可得乂一切 _ 49 2 4 4、X i _ 42 o4 4直线：x =y +2,代入抛物线方程可得y 2 _4（A=2）.y 8 =0,必X 0，,必=一8,所以=2%，同理可得”=2%，所以&AB=-=（一k f 分n a又因为直线MM A B的倾斜角分别为a,所以怎8=均11夕=贽 =（，若要使a-4最大，则0,、，

8、t a n（a J a n a t a n.一 1。_!_=也设&例N=2如=2左 0,则 14-t a n a t a n （3 1 +2 Z2 1十2&2 1 -2/c 4%u 2当且仅当，=2左 即 左=也 时，等号成立，所 以 当 尸最大时，k“显,设直线A 8:x =0 y+,k 2 2代入抛物线方程可得丁一4夜y-4 =0，A。,%=-4 =4 y j 2 =-16,所以=4,所以直线A B:x =J y +4.【命题意图】本题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线的交点问题，考查学生的数学运算能力，是一道较难的题目.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题、填空题和解答题的形式出

9、现.试题难度较大，多为高档题，重点考查抛物线的定义、性质及直线与抛物线的交点等.【得分要点】利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.一、单选题1.（2 0 2 2 湖南.周南中学高二期末）已知椭圆C：a+看=1的左右焦点分别为F/、F2,过左焦点B,作直线交椭圆C于A、B两 点,则三角形A B B的周长为（）A.1 0 B.1 5C.2 0 D.2 5【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的定义求解即可【详解】由题意椭圆的长轴为2 =2 后=1 0,由椭圆定义知A K +耳+：.IABF、=A 3 +A F2+BF)=A 1 +B +A F +BF=4 a =2 0故选：C2.

10、（2 0 2 2.青海 海东市第一中学模拟预测（文）已知椭圆C：m+A =l（b0），直线=三与椭圆Ca2 h2 3交于A,8两点，。为原点，若三角形A O 8 是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为（）A.旦 B.也 C.3 D.叵4 2 2 4【答案】D【解析】【分析】将 x =T 代 入 C中，求得A8坐标，利 用 三 角 形 是 等 腰 直 角 三 角 形，求得a,b的关系，从而求得离心率.【详解】将x 代入C中，得平,由题意得名包，3 1331 1 3 31 3 3畔当e故选：D.3.（2 0 2 2 河南洛阳模拟预测（文）已知点F是 双 曲 线/-汇=1 的右焦点，点 P是双曲线上在

11、第一象限8内的一点，且 尸 尸 与 x轴垂直，点 Q是双曲线渐近线上的动点，则归。|的最小值为（）A 九万二 R?i 1 6母 n.1 6 7 23 3 3 3【答案】B【解析】【分析】由双曲线的方程可得点F坐标及渐近线方程，进而求得点P坐标，利用点到直线的距离公式即可求解.【详 解】解：由双曲线方程可得，点 尸 坐标为（3,0）,将x=3代入双曲线方程，得 =8,由 于 点P在第一象限，所 以 点尸坐标为（3,8）,双曲线的渐近线方程为2土 y=0,点P到双曲线的渐近线的距离为述当.3Q是双曲线渐近线上的动点，所 以|PQ|的最小值为*d=2A/2-|.故选：B.4.（2022江西九江三模（

12、理）双 曲 线 工-工=1（0?1）的左右焦点分别为片，F2,P为 圆V+y2=1m-m与该双曲线的一个公共点，则鸟 的 面 积 为（）A.-m B.机 C.2m-D.1【答 案】A【解 析】【分 析】由双曲线定义得到|喈-PF2=2疝,目 P用2+卢 可2=忻 用2=4,进而求出忸不归闾=2-2根，求 出丛PFF的面积.【详 解】2 2由双曲线方程三-=1（0加 0）的焦点为产，且 F 与圆用：（x+4+y2=l上的点之间距离的最小值为4,则P 的 值 为（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】D【解析】【分析】由抛物线方程得焦点坐标，由几何关系求解【详解】由题意知尸（与，0）,点 F 与

13、圆”上的点之间的最小距离为5 +3=4,所以p=2.故选：D6.（2022贵州贵阳一中模拟预测（文）过抛物线C:y2=2px（p 0）的焦点厂的直线/与抛物线C 交于点 4,B,若 府=2万,若 直 线/的 斜 率 为 鼠 则 依（）A.2夜 B.一2五 C.2&或-2 0 D.夜 或-夜【答案】C【解析】【分析】由条件结合抛物线的定义，解三角形求直线/的斜率.【详解】当A在x 轴上方时，过A B 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A 出，过 B作 BD _L 于。，设|阳上乙贝 力 的=3川 明=r，所以忸q =JAB?-A。？=2 所以=tan/B4Q =四=冬 反=2&,同理可得当A

14、在x 轴下方时，上 的值为 2 0，AD r故选：C.7.（2 0 2 2.北京市第十二中学三模）已知点户在抛物线C：V=4x上，若以点P为圆心的圆与C的准线相切,且与x轴相交的弦长为6,则点P到 y轴的距离为（）A.4 B.4&C.5 D.5 a【答案】A【解析】【分析】设尸（?,）,由条件结合直线与圆的位置关系结论列方程求其坐标值即可.【详解】设 打 优,），设圆的半径为因为点P在抛物线C：y 2=4 x 上,所以2=4,，以点P为圆心的圆与C的准线相切，所以加+1 =人圆P与X轴相交的弦长为6,所以3 2+2=/,所以加2 _ 2 m-8 =0,又 心 0,所以机=4,故=4,r =5,

15、所以点尸到），轴的距离为4,故选：A.2 28.（2 0 2 2.全国.模拟预测）已知双曲线 方=1（6 0）,其左、右焦点分别为6，F,.点用到G的一条渐近线的距离为1,若双曲线g 的焦点在y轴上且与a 具有相同的渐近线，则双曲线G 的离心率为（）A.6 B.2 C.6 D.也2【答案】A【解析】【分析】先写出a的渐近线方程，根据点到直线距离公式求出悦 再根据两双曲线渐近线相同,求 出Cz实轴与虚轴的关系即可求出其离心率.【详 解】设 双 曲 线G的半焦距为C，则右焦 点 耳（c,0）,其一 条渐近线 为 云-2 y =o,根据点到直线距离公式有：赤W =L由于片=4,。2=/+/解 得6

16、=1：2 2设G当年=1（4 曲 ），其半焦距为。，其渐近线方程为：产 士 力-2幺4=1-2-幺4以所即4=2卬，所 以G的离心率故 选:A.二、填空题9.（2 0 2 2上海普陀二模）设 椭 圆:+亡=1的左、右两焦点分 别 为 乙，尸2,P是 上的点，则 使 得 耳 耳8 4是直角三角形 的 点P的个数为.【答 案】6【解 析】【分 析】根据椭圆的性质判断尸为上下顶 点 时N-P鸟 的 大小判断直角三角形个数，再 加 上 耳、PF i -F A对应直角三角形个数，即可得结果.【详 解】由椭圆性质知：当尸为 上下顶 点 时/耳尸鸟最大，此 时I P 6 R P月|=2 0,1 4 6 1=

17、4,Q I Q _ 1 ZL所 以c o s夕P E =2 x 2 0 x 2&=0，故 焦 点 三 角 形 中 鸟 最大为9 0，故 有2个；乂尸耳，耳心、尸心，耳心对应的直角三角形各有2个；综 上，使 得 尸耳鸟是直角三角形的点尸的个 数 为6个.故答案为：61 0.（2 0 2 2.上海静安.二 模）已知 椭 圆V+E =l （a 0）的一个焦点坐标为（0,1）,则。=.a【答 案】7 2【解析】【分析】由椭圆的标准方程直接求解即可.【详解】由焦点坐标（0,1）知焦点在y 轴上，且解得。=及.故答案为：日1 1.（2022.四川成都.模拟预测（文）某双曲线的实轴长为4,且经过（1,2夜）

18、，则该双曲线的离心率为【答案】叵2【解析】【分析】分别设出焦点在x 轴和y 轴上的双曲线的标准方程，代入点的坐标，求出双曲线方程，即可得到离心率.【详解】2222由题意知。=2,故双曲线的标准方程为二一 与 二1 或匕 一=1,分别将（1,2&）代入，得双曲线的标准4 b*2 *44 b2方程为 故离心率为e 二且.4 22 21 2.（2022 上海长宁二模）已知双曲线C:吞-专 l,。力0）的左、右焦点分别为耳、心，过鸟且斜率为-半的直线与双曲线C的左支交于点A.若（而+品）豆=0,则双曲线C的 渐 近 线 方 程 为.【答案】y=2s/2x【解析】【分析】根据向量的线性运算可 得 归=再

19、根据焦点三角形中的关系可得1 6Al=2a+2 c,再根据等腰三角形的性质可列式求得离心率，进而求得渐近线的方程.【详解】因为（而+网.可=0,故（质+不 丹（用-而）=0,即 患 炭2=0,故 陷=|髭 卜 2 c,根据双|UUIT|IUUUI IUUITI R 77曲 线 的 定 义 有 科=2 ,故|例=2 +2 c,又直线A 工 斜 率 为-冷，故t a n N A M=掾，所以c o s Z A/f；=2物+后I，根据等腰三角形的性质有|垓彳=2|片号c o s N A 6耳=gc,即2 a +2 c =gc,解故双曲线C的渐近线方程为y =2也x三、解答题1 3.(2 0 2 2四

20、 川 成 都.模 拟 预 测(理)平面直角坐标系中，椭圆一7+至=1(。人0)的焦距为2指，过焦点的最短弦长为.(1)求椭圆的标准方程;(2)斜 率 为g的直线与椭圆交于4B两 点，P为椭圆上异于AB的点，求 PA B的面积的最大值.【答 案】土v-2 +匕v2=18 23百【解 析】【分 析】(1)由条件列方程求“，c，可得椭圆方程；(2)设 直 线A8的 方 程 为y =；x+，利用设而不求法求出的面积的解析式，再求其最值.2c=2 瓜由题意得，乎=母=8,6 2=2,CT+“=C-故椭圆的标准方程为兰+片=1;8 2(2)设直线4 8 的方程为y=g x+，则x丫 2.y 2i =1=x

21、1+2mx+2m2-4 =0,1y=x+m2x.+x?=-2mD=1 6-4T?72 0?2 m 0,x2+2nx+2/i2-4 =0,y =-x +2由 D=16-4?=0 得=2,此时尸(一 2,1),_ m-2|_ 2帆-2|P到AB的距离最大 为-3+L-y/5，故PAB的面积 s=4 仓 MM d=：创 万,4-小？昨2|74-/n2?m 2|,2 2则 S2=(2+机)(2-m)3=(6+3w)(2-m)3 4-(6+3/+6-3,1=27,3 3 4故S 3 ，当且仅当机=T 时取等号.当0 帆 2 时，当尸到A 8的距离最大时，点尸在第四象限旦过户点的切线正好与A 8平行，设切

22、线方程为y=g x+”，x2+2ra+2n2-4 =0,由 D=16-4/=0 得 =-2,此时P(2,-1),y=x+n12|f f l+2|_ 2 m+2尸到A 8的距离最大为 L 1 亚，故 P AB的面积S=:触 物 d =：创万 口 7？生 詈 1 ”-苏？帆2|,2 2 ，5贝 lj S2=(2-加)(2+机)3 =-(6-3M(2+附 3 4-(6 3/w+6+3/w.)4=2 7 ,3 3 4故5 3 石，当且仅当利=1 时取等号.所以 M B 的面积的最大值为3 石.【点睛】解决直线与椭圆的三角形面积问题的关键在于利用设而不求法表示三角形的面积，再利用基本不等式或导数求其最值

23、.2 21 4.(2 0 2 2 山东潍坊模拟预测)己知双曲线C:-方=1(。0 力0)的左、右焦点分别为耳、尸 2,双曲线 C 的右顶点A 在圆0:/+/=3上，且丽.而=T.(1)求双曲线C 的方程；(2)动直线/与双曲线C 恰 有 1 个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M、N,设。为坐标原点.求证：AO MN的面积为定值.【答案】三-丁=13(2)证明见解析【解析】【分析】(1)设耳(Y,0)，6(G。),通 过 通.=/c 2=_i,求解从通过A(a,0)在圆。上，求 解 得 到 双 曲 线 C 的标准方程.(2)当动直线/的斜率不存在时，求解三.角形的面积;当动直线/的斜

24、 率 存 在 时,且 斜 率 不 妨 设 直 线al-.y=h+加,联立直线与双曲线方程，求出3 k2=疗+1,然后求解M.N的坐标，求解|M V|,结合原点0到直线/：区一)，+,“=0的距离,求解4 0 册的面积是为定值即可.(1)不妨设(c,0),玛(c,0),因为4(“0),从 而 丽=(-c-a,0),无瓦=(c-a,0)故由 A F A F a2-c2又因为a 2+=c 2,所 以b=,又因为A(a,O)在 圆 O:f +y2=3上，所 以 =收所以双曲线C 的标准方程为：-/=13(2)设直线/与x 轴交于。点，双曲线的渐近线方程为y =#x由于动直线/与双曲线C 恰 有 1 个

25、公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M、M当动宜线/的斜率不存在时，l-.x=,OD =y/3,|MW|=2,SA O M N=|XV3X2=/3.当动直线/的斜率存在时，且斜率左才士且，不妨设直线l：y=kx+m,3y=kx+m故 由 X2.T依题意，l-3 k、0 且机w O,I =0_ 3 2）%2 _6?履_3 a 2 _3 =0 =（-6,成）2-4（1 一 3 公）（一 3 裙-3）=0.化简得 3 公=+1,y=kx+m m故由 7 3 n x,=*,同理可求,%一 7 3.,y 曲j F+kI-,2 闻 W+l所以%-/1 =-m乂因为原点0到直线/：丘-、+机=0的距

26、离4 =-;*=.V F+1,/3 m2 /3 m k2+1 厂所以SA M=利叫=pj，又由弘2 =疗+1 所以Sz 一目=6 -故QM N的面积是为定值,定值为后15.(20 22黑龙江鸡西市第四中学三模(理)己知抛物线C：=2 3(。0),圆 O：x2+y2=.(1)若抛物线C 的焦点下在圆。上，且 A为 C 和圆。的一个交点，求|4 月；(2)若直线/与抛物线C 和圆。分别相切于点M,N,求|M V|的最小值及相应p的值.【答案】括一 1(2)最小值为2血，p=也【解析】【分析】（1）由尸（0,1）得出抛物线方程，并与圆方程联立，求出以，最后由抛物线定义得出|4 尸|；（2）由导数的几

27、何意义得出切线/的方程，由点。到切线/的距离等于1结合勾股定理得出4 MN=4+-T +y02-l,再由基本不等式得出|M N|的最小值及相应P的值.（1）由题意，得尸（0,1）,从而C：V=4 y.解方程组:=4），,整理得，y2+4 y-l =0,解得=百-2X-+y =所以=设物伍,凡），由y =得 y=彳，故切线/的方程为y =藁（x-x o）+%,注意到片=27 7%,故整理得/x-p y-p%=0由|QV|=1且ON取，即点。到切线I的距离等T-1得d2=1所以|z%|=y1 xo+p2=y）2py0+p2,整理，得。=孕 且%Ji。，所以 MNf=|O M|2-1=X（）2+城

28、1 =2py0+y02-1=j +%2-1 =4 +-+%?-12 4 +2 J 二；,（%-）=8%-1%-i Y%T当且仅 当%=6时等号成立.所以|M V|的最小值为2 a，此时=登 个=百.16.（20 22青海海东市第一中学模拟预测（理）已知椭圆M：鸟+与=1（。0 0）的离心率为变，A Ba2 b2 2为过椭圆右焦点的一条弦，且AB长度的最小值为2.求 椭 圆 的 方 程；若直线/与椭圆M交于C,。两点，点 P（2,0）,记直线P C的斜率为，直线P D的斜率为网，当;+；=1K K2时，是否存在直线/恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由.【答案】（1）?+曰=

29、1（2）存在，（2 T）【解析】【分析】(I)由 题 意 求 出 即 可 求 出 椭 圆 M 的方程.(2)设直线/的方程为见x2)+y=l,。(与乂)，。(当，必)，联立直线/的方程与椭圆方程(/x-2、)2+2 V,=T(/x 2、),得(1 +4“八一丁2丫 +4r丁-2 +2=。，贝 4%1 +匕1 =一4问=，化简得=1,即可求出直线/恒过的定点.(1)因 为 +=1(泌 0)的离心率为 无，过椭圆右焦点的弦长的最小值 为 之=2,a1 b2 2 a所以=2,c=&,b=五,所以椭圆M 的方程 为?+；=1.(2)设直线/的方程为/”(x2)+y=l,C(与，x),3(%,%)，由椭

30、圆的方程V+29=4,M(x-2)2+2/=-4(x-2).联立直线/的方程与椭圆方程，得(x-2)2+2 y 2=T(x-2)?(x-2)+”)，,即(1+4机)(x-2)+4(x-2)y+2)2=0,1 1 x-2-2 4 .所以厂+厂=+i-=m=，k h X y2 1 +4 机化简得加+=-；，代入直线/的方程得相(-2)+(-；-利 卜=1 ,即，(x-y-2)-g y =l,解得 x=-2,y=-4,即直线/恒过定点(-2,T).17.(2022四川省宜宾市第四中学校模拟预测(文)已知抛物线。:丁=20小 5 0)的焦点为尸，为抛物线上一点，IMF 1=2.(1)求抛物线C 的标准

31、方程；(2)过的两直线交抛物线于A,8,且 的 平 分 线 平 行 于 y 轴，试判断AAMB的面积是否有最大值?若有，求出最大值；若没有，说明理由.【答案】V=4x(2)AAMB的面积有最大值，最大值为6【解析】【分析】小 问1:由抛物线的焦半径公式及抛物线上的一点坐标，列出方程组即可求解;小问2：由 川 田 的 平 分线平行于)，轴，可以推出的整理可得出直线AB的斜率，设出直线43的方程，表示出M到A8的距离，以及AB的长度，即 可 表 示 出 最 后 结 合 函 数 的 性 质 即 可 求|1 S.的最值.4 2因为加(北一2)为抛物线C:y2=2 p x(p 0)上一点，所以机=b=一

32、.因 为 尸|=2,乙p P所以2 =机+与，即2+与=2,解得p =2,所以抛物线C的标准方程为y2=4 x.2 p 2/2 (2、由(1)得，M(l,-2).设A 1 ，丁|，B?,必 y,+2 _ y2+2因为Z AM B的平分线平行于y轴，所以kMA=,得算一；一 一 3TT4 4y.+2 必 +2 ,即F te与 TEN，整理得i=4,.k=1 v2 v2,关 才 ，则设直线几:y-y=x-，即x-y+），/&=o,4 4点M到直线配的距离为：，3+Xy -4d=-,=V 2|相|=夜 亨 一 妥 冲2 f 1 =2闺2 f3 0.-4I 4 I 1 I,Ix 乂2 0*|2-%|=

33、亍（丫1-2）-1 6 y,-2|令-2*，由+*=4,y,0 ,y2 0 ,得 24/42,所以 以 研=；/-1 6小因为f(t)=#-网 是偶函数，所以只需讨论0 MY2的情况.当0 V/V 2时,令g(f)=1 6 3,则 g，Q)=i 6-3产 0,所以g(r)=1 6 r-在 0,2 上单调递增，所以g(f)=-的最大值为g(2)=2 4,即8M =%-喇的最大值为 2)=；g =6.综上可知，的面积有最大值，最大值为6.【点睛】本题考查圆锥曲线中的面积问题，结合函数性质求出最值.2 21 8.(2 0 2 2 全国模拟预测)已知一百,0),6便,0)分别是双曲线C：S-g=l(a

34、 0)的左、右焦点,A为双曲线在第一象限的点，鸟的内切圆与x轴交于点尸(1,0).(1)求双曲线C的方程;(2)设圆O:x?+y 2=2上任意一点。处的切线/,若/与双曲线C左、右两支分别交于点M、N,问：Q M Q N是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.2【答案】(l)x2-=l2(2)西丽 为 定值，,QM-QN=-2.【解析】【分析】利用三角形内切圆的性质与双曲线的定义相结合，即可求I H双曲线方程：(2)设出切线I的方程，并利用切线的性质求得 病 与 公的关系，联立切线/与双曲线C的方程，并利用韦达定理及平面向量的线性运算、数量积，即可求解.(1)如图，设A片，A鸟与 片

35、鸟的内切圆分别交于G,H两点,则2=|幽 但|=|一 阀|所以 4=1,则 6?=2，由题意得，切线/的斜率存在.设切线/的方程为y =+m ,M（X|，X）,N（x2,y2）.因为/与圆0:/+丁=2相切，所以-即加2=2公+2.J l +2 2联立y=kx+m,y 2 消去了并整理得（2-公卜2-2切比一加2-2 =0,X -5=1，2km所以 +超=-nV-2二F，中广三p-.Q M QN=(Q d+O M y(Q d+ON=Q0-OQ ON-OQ OM+0N OM=|因(而H丽卜os NQON-|O0|-|OM|C O S AQOM+ON OM=丽 T而H丽H宛I ,I而I+丽 丽=1对-幽-网 +丽丽 .I.|2=ON OM-OQ.又 OM ON=%9+y1y2=%+（3-m）kx2+m）=（储+1）玉 /+k7?（x +彳2）+徵2=k）（-丁-叽 空+.2-k2 2-k2m2-2k2-2=-2-k2-将w?=2二+2代入上式 得 丽.丽=（）.综上所述，的所 为 定值，且 丽 丽=-2.