重难点06几何类综合问题-备战2022年中考数学重难热点专题突破精讲精练(解析版).pdf
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1、重难点0 6几何类综合问题【命 题 趋 势】几何综合题是中考数学中的重点题型,也是难点所在.几何综合题的难度都比较大,所占分值也比较重,解答题数量一般有两题左右,其中一题一般为三角型、四边形综合;另一题通常为圆的综合;它们在试卷中的位置一般都在试卷偏后的位置.只所以几何综合题难度大,学生一般都感觉难做,主要是因为这种类型问题的综合性较强,涉及的知识点或者说考点较多,再加上现在比较热门的动态问题、最 值(范围)问题、函数问题,这就导致了几何综合题的难度再次升级,因此这种题的区分度较大.所以我们一定要重视平时多培养自己的综合运用知识的能力,从不同的角度,运用不同的知识去解决同一个问题.【满 分 技
2、 巧】1.熟 练 掌 握 平 面 几 何 知 识:要想解决好有关几何综合题,首先就是要熟练掌握关于平面几何的所有知识,尤其是要重点把握三角形、特殊四边形、圆及函数、三角函数相关知识.儿何综合题重点考查的是关于三角形、特殊四边形(平行四边形、矩形、菱形、正方形)、圆等相关知识.2.掌 握 分 析 问 题 的 基 本 方 法:分 析 法、综合法、“两 头 堵”法:1)分析法是我们最常用的解决问题的方法,也就是从问题出发,执果索因,去寻找解决问题所需要的条件,依次向前推,直至已知条件;例如,我们要证明某两个三角形全等,先看看要证明全等,需要哪些条件,哪些条件已知了,还缺少哪些条件,然后再思考要证缺少
3、的条件,又需要哪些条件,依次向前推,直到所有的条件都已知为止即可.2)综合法:即从已知条件出发经过推理得出结论,适合比较简单的问题;3)“两头堵”法:当我们用分析法分析到某个地方,不知道如何向下分析时,可以从已知条件出发看看能得到什么结论,把分析法与综合法结合起来运用是我们解决综合题最常用的办策略.3.注 意 运 用 数 学 思 想 方 法:对于几何综合题的解决,我们还要注意运用数学思想方法,这样会大大帮助我们解决问题,或者简化我们解决问题的过程,加快我们解决问题的速度,毕竟考场上时间是非常宝贵的.常用数学思想方法:转化、类比、归纳等等.【限时检测】A卷(建议用时:9 0分钟)1.(2021安
4、徽中考真题)在6 c 1中,NACB=9 0 ,分别过点B,C 作 N84 C平分线的垂线,垂足分别为点。,E,8 c 的 中 点 是 连 接 C,MD,M E.则下列结论错误的是()A.C D =2 M E B.M E!/A B C.B D =C D D.M E =M D【答案】A【分析】设 A。、BC交于点H,作 麻,4?于点F,连接E F.延长AC与 BO并交于点G.由题意易证 C A E F A E(S AS),从而证明ME为VCBR中位线,H P M E/A B,故判断B 正确;又易证 A G D=A B D(A S A),从而证明D 为 B G中点.即利用直角三角形斜边中线等于斜边
5、一半即可求出C D=B D,故判断 C 正确;由 N HD M +Z D HM=90、N HC E+Z C HE=90和/D HM =A C HE 可证明 A HD M =Z HC E .再由 A HE M +/E HF=90、N E HC =N E HF 和 Z E HC+Z HC E=90 可推出 N HC E=Z HE M ,即推出 NHDM =N/E M,即 M D=M E,故判断 D 正确;假设C)=2M,可推出CD=2 M D,即可推出NDCM=3 0 .由于无法确定NDC版的大小,故 CD=2M E 不一定成立,故可判断A 错误.【详解】如图,设力。、B C 交于点H,作 彼 _
6、LA 8于点片 连接E F.延长4c 与 8。并交于点G.是 4A C 的平分线,HF 1A B-H C A C r :.H CH F,:.AF=AC.A F A C,在 VC4 E 和 AM E 中,I C A E -Z F A E ,:.ME F A E(S A S),A E A E:.C E=F E,AEC=ZAEF=90,:.C,E、F 三点共线,点 E 为 CF 中点.M为 BC中点,.;M E 为VC3尸中位线,.E 7/A 3,故 B 正确,不符合题意;ZGAD=ZBAD在AGO 和m 中,-ADAD,:.AGD=ABD(ASA),ZADG=NADB=90:.GD=BD=-BG
7、,即。为 8G 中点.在 ABCG中,NBCG=90,;.CD=工BG,2 2:.CD=B D,故C正确,不符合题意;ZHDM+ZDHM=90,/HCE+/CHE=9Q0,/DHM=/C H E,:./HDM=/H C E.HF1AB M E/AB,:.H F工ME,:.ZHEM+/EHF=90。.4)是“4。的平分线,./即。=/即/./7。+/。E=9(),A ZHCE=ZHEM,:.ZHDM=/HEM MD=ME,故 DiE确,不符合题意;:银饺 CD=2ME,:.CD=2 M D,:.在 R%CDM 中,NDCM=30。.无法确定NDCM的大小,故原假设不一定成立,故A错误,符合题意.
8、故选A.【点睛】本题考查角平分线的性质,三角形全等的判定和性质,直角三角形的性质,三角形中位线的判定和性质以及含30。角的直角一角形的性质等知识,较难.正确的作出辅助线是解答本题的关键.2.(2021山东滨州中考真题)在锐角“5C中,分别以A8和AC为斜 边 向 的 外 侧 作 等 腰RhABM和等腰点。、E、尸分别为边AB、AC、8C的中点,连接M、MF、FE、FN.根据题意小明同学画出草图(如图所示),并得出下列结论:MD=F E,NDMF=4EFN,FM工FN,$“=3%边 形 其中结论正确的个数为()【答案】B【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和三角形中位线定理判断结论,连接
9、。尸,EN,通过SAS定理证明AMCF丝FEN判断结论,利用全等三角形的性质结合平行四边形的判定和性质判断结论,利用相似三角形的判定和性质判定结论.【详解】解:E、F分别为边AB、AC,BC的中点,且AA8M是等腰直角三角形,:.DM=AB,EF=AB,EF/AB,NMOB=90,:.DM=EF,NFEC=NBAC,故结论正确;连 接。尸,EN,:D、E、F分 别 为 边AB、AC、8 C的中点,且ACN是等腰直角三角形,:.E N=A C,D F=AC,D F/AC,NNEC=90,:.EN=DF,ZBD F=ZBAC,NBDF=NFEC,:.ZBDF+ZMDH=ZFEC+ZNEC,:.N
10、M D F=/F E N,MD=EF在和FEN 中,2M D F =ZFEN,:.4M D F m/F E N (SAS),:.Z D M F Z E F N,故结论正确;DF=EN:E F/AB,D F/A C,,四边形 AOFE 是平行四边形,:.N D FE=N BAC,又 MO尸丝 FEN,:.Z DFM=Z ENF,:.Z EFN+Z DFM=Z EFN+Z ENF=180-Z FEN=180-(N FEC+N N EC)=180-(ZfiAC+90)=90-ZBAC,:.Z M F N Z D F E+Z E F N+Z D F M=Z B A C+9 0 0-Z B A C=9
11、0 ,故结论正确;.),.(。,.:,.一 4所 为 则 源 小,故结论错误,AB 2 A48C 3.正确的结论为,共3个,故选:B.【点 睛】本题考查全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,三角形中位线定理,题目难度适中,有一定的综合性,适当添加辅助线构造全等三角形是解题关键.3.(2021四川泸州市中考真题)如 图,。的 直 径AB=8,AM,B N是它的两条切线,O E与。相切于点E,并 与4M,B N分 别 相 交 于。,C两 点,BD,O C相交于点尸,若CC=10,则B F的长是10后9【答案】A【分 析】过 点 D 作 D G B C 于 点 G,
12、延 长C O交D 4的延 长 线 于 点 H,根据勾股定理求得G C =6,即可得AD=BG=2,8c=8,再证明”A。丝8 C 0,根据全等三角形的性质可得A=BC=8,即可求得川)=10:在RSABD中,根据勾股定理可得8。=2折;证明O H FSABC F,根据相似三角形的性质可得DH DF,加 8折-=-由此即可求fj-BF-BC BF 9【详解】过点D作DGLBC于点G,延长CO交DA的延长线于点H,VAM,BN是它的两条切线,OE与。相切于点 E,J.ADDE,BC=CE,ND4B=NA8C=90。,:D G B C,四边形 A8GD 为矩形,:.AD=BG,AB=DG=i,在 R
13、SDGC 中,CD-10)GC=yJC lf-D G2=V102-82=6-AD=DE,BC=CE,CD=0,:.CD=DE+CE=AD+BC=10,:.AD+BG+GC=10,:.AD=BG=2,BC=CG+BG=S,;NrAB=/A8C=90。,J.AD/BC,:.NAHO=NBCO,NHAO=NCBO,:04=08,.,.“AO丝SCO,:.AHBC=S,:AD=2,:.HD=AH+AD=0;在 RtAABQ 中,AD=2,AB=8,BD=ylAB2+AD2=V82+22=2717-DH DF:AD/H C,:.丛 DHFs 丛 B C F,:.=,BC BF.3 =巫竺,解得,B八 生
14、 叵.故 选A.8 BF 9【点睛】本题是圆的综合题,考查了切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定于性质,熟练运用相关知识是解决问题的关键.4.(2021黑龙江鹤岗市中考真题)如图,在正方形A8CO中,对角线AC与6。相交于点。,点E在BC的延长线上,连接。E,点F是。上的中点,连接OF交C。于点G,连接C E,若CE=4,OF=6.则下列结论:Gb=2;OD=yiOG;tanNCDE=g;ZODF=ZOCF=90;点 D 到 CF的 距 离 为 座.其中正确的结论是()5A.B.C.D.【答案】C【分析】由题意易得5 c =8,8。=。=。4=OC,NBDC=45,/
15、B C D =ZDCE=90,由三角形中位线可进行判断;由AOOC是等腰直角三角形可进行判断;根据三角函数可进行求解;根据题意可直接进行求解;过点。作。H L C F,交C尸的延长线于点”,然后根据三角函数可进行求解.【详解】解:;四边形ABCO是正方形,二 BC=CD,BO=OD=OA=OC,ZBDC=45,/B C D =ZDCE=90,ACLBD,.点尸是OE 的中点,OF=LBE,OF7/8,;O9=6,CE=4,,族=12,则 CD=BC=8,2CJ F,JOF/BE,.,.D G FA D C,;.-=一,Z.GF=2,故正确;CD CE 2.点 G 是 C。的中点,.OGJ_CC
16、,/ODC=45。,.DOC是等腰直角三角形,。二夜O G,故正确;CE 1V CE=4,CD=8,ZDCE=90,:.tan ZCDE=一,故正确;CD 2VtanZCDE=-l,:.ZCDE 45,:.ZODF9Q0,故错误;2过点D作D H LCF,交CF的延长线于点”,如图所示:,点F是 C 的中点,:.CF=DF,:.NCDE=NDCF,:.t anZ C D E=t anZ D C F =-2设。H=x,则C =2 x,在 中,X2+4X2=6 4.解得:尤=述,5:.D H=比,故正确;.正确的结论是;故选C.5【点睛】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数,
17、熟练掌握正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键.5.(2 0 2 1山东东营市中考真题)如图,AM C 是边长为1 的等边三角形,D、E为线段AC上两动点,且/D B E =30,过点。、E分别作A&8c 的平行线相交于点F,分别交B C、A8于点H、G.现有以下结论:当点。与点C重合时,FH=g;A E +C D =&D E;当AE=C 时,四边形 B H F G 为菱形,其中正确结论为()A.B.C.D.【答案】B【分析】过 A作 A/,8c垂足为/,然后计算 4 B C 的面积即可判定;先画出图形,然后根据等边三角形的性质和相似三角形的性质即可判定;如图将A B C。
18、绕 B点逆时针旋转60。得到AABN,求证NE=DE;再延长E 4 到户使A P=C D=/W,证得N P=60。,N P=A P=C D,然后讨论即可判定;如 图 1,当A E=C。时,根据题意求得C”=C 力、A G C H,再证明四边形8”FG为平行四边形,最后再说明是否为菱形.【详解】解:如 图 1,过 A作 A/_L 8c垂足为/4 5。是边长为1 的等边三角形Z B A C=Z A B C=Z C=60,Ci=-BC=-:.AI=也 SMBC=LA7 BC=!X1X =,故正确;2 2 2 2 2 2 4如图2,当。与C重合时;NO8E=30。,4 A i S C是等边三角形;.N
19、 D B E=NABE=30。:.DE=AE=工A D =!2 2BG D E i;GE/BD:.=1;.B G=-A B =-:GF/BD.BG/DF:.H F=BG=,故正确;A G A E 2 2 2如图 3,将8CO 绕 B 点逆时针旋转 60。得到A4 BN;.N l=/2,Z 5=Z 6=60,AN=CD,BD=BN:/3=30”.N 2+N 4=/1+/4=30./NBE=N3=30又,:BD=BN,BE=BE:.A N B E 公A D B E(SAS):.NE=DE延长 EA 到 P 使 AP=CD=AN:Z NAP=180o-60-60o=6 0 4 V P 为等边三角形,
20、NP=60。,NP=AP=CD如果AE+C=6O E成立,则 P E=6 NE;需NNEP=90。,但/N E P不一定为90。,故不成立;如图 1,当 AE=CD 时,:GE/BC:.NAGE=NA8C=60,/GEA=NC=60A ZAGE=ZAEG=60,;.AG=AE 同理:C H=C D:.AG=CH:BG/FH,GF/BH:.四边形B H F G是 平 行 四 边 形 四 边 形B H F G为菱形,故正确.故选B.【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定等知识点,灵活运用相关知识成为解答本题的关键.6.(2021湖南衡阳市中考真题)如
21、图,矩形纸片4 3 8,4 3 =4,3。=8,点用、分别在矩形的边/1。、3 c 上,将矩形纸片沿直线M N 折叠,使点C 落 在 矩 形 的 边 上,记为点P,点。落在G 处,连接PC,交M N于点Q,连接C M .下列结论:四边形C M P N是菱形;点尸与点4 重合时,M N =5;APQM的面积S 的取值范围是4 S 5.其中所有正确结论的序号是()B NA.B.C.D.【答案】C【分析】根据矩形的性质与折叠的性质,证明出NPM N=ZP N M ,P M=P N,通过等量代换,得到PM=CN,则由一组邻边相等的平行四边形是菱形得到结论正确;用勾股定理CN=5,CQ=3AC=2小,由
22、菱形的性质对角线互相垂直,再用勾股定理求出MN=2QN=2逐;当过点。时,最小面积S=;S菱 形CMPS=;X4X4 =4,当 P 点与4点重合时,S最大为S=;*5*4=5,得出答案.【详解】解:如图I,PMPCN,:.ZPMN=ZMNC,折叠,ZMNC=NPNM,NC=NP:./PMN=/PNM,;.PM=PN,:,PM=CN,:.MPCN,;.四边形 CNPM 为平行四边形,QV=NP,.平行四边形C N PM 为菱形,故正确,符合题意;当点P 与 A 重合时,如图2 所示设 8N =x,则 A7V=M C=8-x,在 RrAABN 中,AB2+BN2=AN2,即4 2+2=(8一)2,
23、解得:x=3,;.CN=5,A C NAB?+BC2=4/,CQ=gAC=2 g ,又.四边形 CNPM 为菱形,,A C _ L M N,且 MN=2QN,:.QN=yCN2-CQ2=75:.MN=2QN=2不,故错误,不符合题意.当M N 过点。时,如图3 所示:图 3此时,CN最短,四边形CMPN的面积最小,则 s最小为S =;S 菱 形CMPS=;X4X4 =4,当 P点与4点重合时,CN最长,四边形CMPN的面积最大,则 S最大为S =4 x 5 x 4 =5 ,4A4S 绕点A顺时针旋转9 0。得到AA B H,则有。E=8”,N D A E=N B A H,然后易得M E/运 A
24、 H F,则有E f,则可判定;对于:连接4C,在8P上截取B M=O P,连接AM,易得。8=。,O P=O M,然后易证A O PS2M 8 F,进而问题可求解:对于:过点A作 A M L E 尸于点N,则由题意可得A N=A 8,若4 E F的面积为定值,则 E F 为定值,进而问题可求解;对于由可 得 丝=也,进而可得A A PGS/X A FE,然后可得相似比 为 丝=也,最后根据相A F 2 A F 2似三角形的面积比与相似比的关系可求解.【详解】解:;四边形A8 CO 是正方形,P F L A P,ZAPF=ZABC=ZADE=ZC=90,AD=AB,N A 8D=4 5,;ZA
25、BC+ZAP F =1 8 0 ,由四边形内角和可得 44P+N5EP =1 80,.点 4、B、F、P 四点共圆,A AFP=ZABD=45,.AP尸是等腰直角三角形,A P=P F,故正确:把 4EO绕点A顺时针旋转90。得到 4 8 4,如图所示:H B:.DE=BH,ZDAE=ZBAH,ZHAE=90,AH=AE,/H A F =/E A F =45.:AF=AF,.AEF丝A/7F(SAS),:.HF=EF,;HF=BH+B F,:.DE+BF=E F,故正确;连接A C,在BP上截取8M=/,连接A M,如图所示:对角线8。的中点,.OB=OQ,B D 1A C,:.OP=OM,Z
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