圆与方程题型归纳2021.pdf

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1、专题复习：圆的方程考点总结考点1:圆的方程1.圆Y+V 2 x-8y+1 3 =0的圆心到原点的距离为一.【解答】解：根据题意，圆V+y2 -2犬-8），+1 3 =0的圆心为（1,4）,则其圆心到原点为距离=布=J万；故答案为：J万.2.若直线2 x +y+m=0过圆x2 +/-2x+4y=0的圆心，则m的值为（）A.2 B.-1 C.-2 D.0【解答】解：圆的标准方程为（*-1）2+（+2）2 =5,则圆心坐标为（1,-2）,.直线 2 x +y+m=0过圆川+9-2犬 +4丫 =0 的圆心，.-.2-2 +=0 W/=0 ,故选：D.3.若方程/+/+以+，+尸=0表示以（2,j 1）

2、为圆心，4为半径的圆，则尸=.【解答】解：由圆的一般方程结合题中的条件可得-9 =2,=,-JD2+E2-4 F=4,2 2 2解得。=-4,=8,F =4 9故答案为4.4.方程V+丁+/n r-2），+3 =0表示圆，则小的范围是（）A.（00,/2）J（A/2,4-00）B.（00,2 /2）（2 V 2,+00）C.（-0 0,一8）U（JV,+0 0）D.（-0 0,25/5）U（2A/5,+00）【解答】解：根据题意，方 程/+9+如一2 +3 =0,必有加2+（2）2 4X3 0,即 加 8,解可得：根2血 或 根 2 =2的圆心为(a,0),半径r =0,若直线x y+l=0

3、与圆(x-4 +y 2=2 相切，则圆心到直线的距离=乜 等=夜，即|a+l|=2,解可得：a=l 或-3,故选：A.2 .已知圆C：x2+/=20,则过点P(2,4)的圆的切线方程是.【详解】因为2?+因=2 0,二 尸(2,4)在圆C：/+籍=2 0 上,4 1|。户的斜率为5=2,；.P 点处的圆的切线的斜率为一.切线方程为y 4=(x-2),化简得：x +2 y=1 0,故答案为：x+2y=10.3 .过 点 P(3,4)作圆F +y 2=0 的两条切线，设切点分别为A,B,则线段A B=【详解】如图所示，A B 与 OP相交于点。，由圆的方程f +y2=i o可知圆心。(o,o),半

4、径r=而，OA=OB=y/w：P A，分别为圆的两条切线，：.OA PA,O B 1 P B,P/PB,OP为 NA F B 的平分线根据等腰三角形三线合一，可知|AT)|=|即，则三角形 P AD为直角三角形.；P(3,4),0(0,0),.-.|O P|=7 32+42=5 .在2-A Q P中，根据勾股定理，得|叫=/2(砌?=屈：在R r-4 Q P中si n N A P。=隅=乎在 Rt P A D 中 si n N A P DrAD4 =AD 因为 si n/AP O =si n/AP D,少JW=一 则 A D .=几RA P V 1 5 5 V 1 5 1 1：.AB=2AD=

5、246 故答案为：2瓜4.一条光线从点(-2,-3)射出，经).轴反射后与圆(x+3 p+(y 2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.或-3 B.-上或一2 c.*或一&D.-&或一上3 5 2 3 4 5 3 4【详解】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(-2,-3)关于y轴的对称点(2,-3),设反射光线所在直线的斜率为Z,则反射光线所在直线方程为y+3 =&(%-2),即 区y-2左一3 =0,又由反射光线与圆(x+3)2 +(y-2)2 =1相切，可得卜=1,4 3整理得1 2公+2 5%+1 2=0，解得女=一一或=一二.故选：D.3 42.相交、弦长问题1 .若

6、直线/:x y+4=0被圆C:(x-l)2+(y-3)2 =产截得的弦长为4,则圆C的半径为()A.7 2 B.2 C.x/6 D.6【解答】解：依题意可得圆心C(l,3),半径广，则圆心到直线/:x-y+4=0的距离 =一 丫 4|=亚,V 2由勾股定理可知2 +4=/，代入化简得/=#,则圆C的 半 径 为 .故 选：C.2.已知直线)，=丘-1与圆/+丁+2 -3 =0相交于A,B 两 点,则|AB|=()A.2B.4C.2 x/3D.与的取值有关【解答】解：直线y=fc r-l 恒过(0,-1),圆d+y2+2 y_ 3 =o 的圆心(o,_ i),半径为2,所以直线)，=依-1 恒过

7、圆Y+y 2+2 y-3 =0的圆心，直线与圆相交于A,B 两 点,则|A8|=4.故选：B.3.直线x G y +2=0被圆V +y2 =4 截得的弦长为.解：由题知：圆X?+y 2=4 的圆心为(0,0),=2,故圆心到直线x 6y +2=0 的距离为：=)=1,所以弦长为：/=2 2 一 屋=2 g 故答案为:2百4.已 知 是 圆 V+y2-6x +2 y=0内过点E(2,l)的最短弦，则|Am 等于()A.A/3 B.2 7 2 C.2 6 D.2 石【解答】解：圆 炉+2-6*+2)=0的标准方程为(x-3 +(y+l)2=1 0,则圆心坐标为C(3,-l),半径为：回,过 的最短

8、弦为为 C在弦上垂足，则。=“3 2 为+(1 +1)2=6,则|48|=2410-5=2旧，故选：D.考点3：圆与圆的位置关系1.公切线问题1 .若圆G：%2 +y2 =1 与圆G+y2 -6x _ 8y+根=0 有三条公切线，则机=()A.2 1 B.1 9 C.9 D.-1 1【解 答 解：圆 C 的方程：x2+y2=1 ,圆 心 G(0,0),半 径 为 1 ,圆 G：/+/-6x-8y+加=0 ,化 为：(x-3)2+(y-4)2=2 5-/H,圆心G(3,4),半径为逝5-、,两圆的圆心距为5,圆+,2 =i 与圆G：f +,2 -61 一 85+机=0 有三条公切线，,5 =1

9、+42 5-,.m=9,故选：C .2.已知两圆G：V+y2=4,C2:(x-l)2+(y-2)2=r2(r 0),当圆G与圆G 有且仅有两条公切线时，则的取值范围.【解答】解：若圆G与圆C 2有且仅有两条公切线时，等价为两圆相交，圆心G(0,0),半径R=2,圆G(I，2)，半径r,则|C C 2J+22=百,若 两 圆 相 交，则满足一R I G G I R +r,即2石 2+厂，得 石-2 r&+2,故答案为：石-2 的面积S =g|A B|4 所以S e 2,6,故选：A.3.由直线y =x +l 上的一点向圆f+y2 6 x +8=0 引切线，则切线长的最小值为()A .7 7 B

10、.2 0 C .3 D .V 2试题分析：圆的圆心坐标0 加 硼，半径逑=工，圆心到直线的距离成=阴 顿 7招钝7 f=唇制因此直线和圆相离，当这个点到圆心距离最小时，切线长最小，最 小 值 为 荷 _炉=再4.从点P(加,3)向圆(*-2)2+产=1引切线，则切线长的最小值()A .2y/6 B .5 C .V 26 D .2夜【详解】设切线长为d，则 屋=(6 2)2+321=5?2)2+8 2 8,所以QN2 J L故选：D.5 .圆G：(X+1)2+G3)2=1,圆C 2：(x-5)2+(y-5=4,M,N分别是圆C-C2 上的动点，P为x 轴上的动点,则|P M|+|P N|的最小值

11、()A.6 B.2厢 C.7 D.10解：设&(5,5)关于x 轴的对称点为Q,则G(5,-5),:P M +PNPCX-+PC2-2 I C,C31 -3=7(5 +1)2+(-5 -3)2-3=10-3=7,故选：C.6 .点P在圆O:Y+y 2=i 上 运 动.点 Q在圆C：(x -3)2+y 2=1上运动，贝的最小值为.解：.圆Y +V=i 的圆心坐标o(o,o),半径厂=1,圆C：(x -3 +y 2=l 的圆心坐标C(3,0),半径R =l,.d=|O C|=3 l +l =R +r,两圆的位置关系是外离，又 P在 圆 O上，Q在 圆 C上，贝 U|P Q|的最小值为d-(R +r

12、)=3-(l +l)=l .故答案为：1.7 .已知线段AB是圆。：尤 2+丁 2=4 的一条动弦，且|/3卜 2 6,若点P为直线x +y -4=0 上的任意一点，则国+方|的 最 小 值 为()A -27 2-1B .2 V 2+1c -4 V 2-2D.4 7 2+2【详解】取 AB中点为M，连接PM，O M ,因为AB是圆C：x?+2=4 的一条动弦，且所以|0M|=1 f又肾+而 1 =2 丽 PM+OMOP,PMOP-因此，I 西+而 J取最小值，即 是 取 最 小 值，所以只需|。尸|取最小，又点p 为直线X+y4=0 上的任意一点，所以点。到直线X+y-4=0 的距离，即是|O

13、 儿 m，即 1 0P L n =2=2二,因 此 1P M m in T 0pL T =2拉 1，即|阳+而 1,=2|而L =4 0 2.选 C./1 +18.已知圆。：(一5 5)2+()，-3)2=3 和直线/:6 )，一4=(),点尸是直线/上的动点，过点尸作圆。的两条切线PA,P B,切点是A,B,则Z A P B的最大值是()A.6 0 B.90 C.1 2 0 D.1 5 0【详解】如图，由几何知识可知，Z A P C A B P C.所以当NA P C 最大时，Z4P 3也最大.1 3-3-4 1 同当CP_ L/时，C 到直线/上的点的距离最小为d =l/二，=2,此时s

14、i n/APC=y V 3 +1 2所以NA P C 取得最大值为60，从而Z4P 3的最大值是1 2 0、故选：C9.已知圆C：(%+l)2+(y-l)2=l,P 是直线x-y -1 =0的一点，过点P 作圆。的切线，切点为A，B,则的最小值为()A-J 1 4B.2A/7C-3 5/2D -V TT【详解】圆C：(x+lp+(y 1)2=1的圆心为C(一 1,1),半径r=l，设四边形B4c3的面积为S,由题设及圆的切线性质得，归。|卜 创=25=225会 起=4 g|/刈|4 7|,.1 4 =厂=1,|PC|.|AB|=21PAi=2ylPCf-r2=2 4 P q-，圆心 C(T/)

15、到直线 y T =0的距离为d=当，二|PC|的最小值为半，则|PC|A5|的最小值为21 半 一 1 =，故选：A10.已知0 c:，+/一2X一2一2=0,直线/:x+2y+2=0,M为直线/上的动点，过点M作。C的切线M A,M B,切点为A,B,当四边形M4cB的面积取最小值时，直线AB的方程为()A.x+2y 1 =0 B .x+2y+l=0 C.x-2 y l=0 D .%2y+l=0【详解】将 炉+丁2x 2y 2=0化为标准方程为(x l+(y l)2=4,故圆心半径为2,可得 M 4 J.4 C,则 M4 2+AC2=MC2,A SM A C B=2 5 =2 x|x|MA|

16、x|AC|=-4 ,M为直线/上的动点，则可得|M Cn|1+2+2|,此时S.M AC取得最小值为2,此时MC，/,kMC=2,则直线 方程为 y-l=2(x 1),即 y=2 x-l,联立 MC 和/可 得 (0,1),可得M,A C 8四点共圆，且圆心为MC中点半径为=手，则该圆方程为(x+丁=：，将两圆联立相减可得直线4B方程为x+2y+l=0.故选：B.1 1.已知点N(4,0),点“(后,%)在 圆/+丁=4上运动，点P(x,y)为线段MN的中点.(1)求点P(x,y)的轨迹方程;(2)求点P到直线3x+4y+4=0的距离的最大值和最小值.【详解】（1）因为点尸（x,y）是MN的中点，x =92 ,即.2x0=2x-4、y0=2y又石+$=4,（2 x -4）2 +（2 =4,即（x 2）2 +y 2 =1 .所以点0的轨迹方程为（2+y 2 =1.（2）由（1）知点P的轨迹是以（2,0）为圆心，半径r=1的圆./、|6+4|圆心（2,0）到直线3 x+4 y+4 =0的距离d=小=2 1.根据圆的性质，可得点P到直线3 x+4 y+4 =0的距离的最大值为d +r =2+1 =3,最小值为d-r =2 l =L