2023年高考数学一轮复习备用题第11单元直线与圆的方程.pdf

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1、第十一单元直线与圆的方程11.1直线方程1.直线2x c o s c-y-3=0(i z e 吟，勺)的倾斜角的变化范围是()A.-|B.-,-C.-,-)D.-,6 3 4 3 4 2 4 3答案 B解 析 因 为 直 线 2x c o s a -y-3=0 的斜率力=2c o s e ,由于a e 弓，,所以(轰1b o s a因此=2c o s a w l,s/3,设直线的倾斜角为。，则有ta n，e l,石 ,由 于 6 e 0,储,所以，e g,j,即倾斜角的变化范围是，.故选B.2.已知 A(-l,0),3(0,2),直线/:2x-2a y +3+“=0 上存在点尸，满足 1PA

2、i +1 PB|=不，则/的倾斜角的取值范围是()A.f生 3,3B 畤U(C.白 刍4 4D.(。百 U印 44答案D解析设 P(x,y)，则 x =a y -北 q，又 1 4 8 1=1+2 2 =石，S.P A+P B=45,所以点P 的轨迹为线段A3,因为线段AB的方程为-2=六 女。-0),即y =2x +2,y =2x +2x e-l,0 ,联 立 方 程 组 2x-2a y +3+a =0,解得a =三 二=三 2,直线/的斜率为._ 2v-l 4 x +3-掇0 7=_ =4 x+3 设/的 倾 斜 角 为。，贝 i jta n a =生 坦=2 ,因 为 掇！k0,所以a

3、2 x+3 2x +3 2 x+3-掇电-1,即-掇n a 1.a e(0,z r),解得a w(0,勺 J 加 .故选D.2x +3 443.经过点尸(3,2)且 在 两 坐 标 轴 上 的 截 距 相 等 的 直 线 方 程 是.答案：2x-3y =0 或 x+y-5 =0解析：直线/在x,y 轴上的截距均为a ,若a =0,即/过点(0,0)和(3,2),.的方程为丫=:X，即2x-3y =0.若 axO,则设/的方程为+?=1 ,.,/过点(3,2),;.3+2=1,a a a a:.a =5,./的方程为x +y-5 =0,综上可知，直线/的方程为2x-3y =0 或 x +y-5

4、=0.4 .经过点A(-8，3),且倾斜角为直线G x+y+l =O 的倾斜角的一半的直线方程为答案 G x-y+6 =0解 析：由 直 线 6x+y +l =0 可 得 y =-6c-l，设 倾 斜 角 为，.则 斜 率&=-6,ta n 6=-6 .6 =120。.要求的直线倾斜角为6 0。.其 斜 率 为.要求的直线方程为：y-3=G(x+G),化 为 -y+6 =0.5 .在 A A B C 中，已知A(5,2),8(7,3),且 AC 边的中点M 在 y 轴上，3 c边的中点N在x轴上，则直线M N的方程为.答案 5 x-2y-5 =0解析：设C(x 0,%),则 AC 中点/工)，

5、3 c中点N(g,当F).在 y轴上，二 =0,毛=-5.N 在 x 轴上，：.2 =0,%=-3.B P C(-5,-3).,N(l,0),.直线M V的 方 程 为 巧+义=1,即5 x-2y-5 =0.1 26.直线x s i n a-y +2=0 的倾斜角的取值范围是()A.0,兀)B.0,呼 C.0,刍 D.0,?U吟 4 472答 案.B解析：根据题意，直线x s i n a-y +2=0,其斜率4 =s i n tz,又由-掇k i n a 1,则其斜率4的取值范围为-1,1;则直线x s i n a-y +2=0 的倾斜角的取值范围是0,-|J ,乃)：故选B6.A A 比 1

6、的三个顶点分别为A(-3,0),8(2,1),C(-2,3),求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)3 c 边上中线AD所在直线的方程；(3)8 c 边的垂直平分线O E的方程.解析：(1)8c边所在直线的方程为：y-l =L(x-2),化为：x +2y-4 =0;-2 2(2)线段3 C 的中点0(0,2),可得5C 边上中线AD所在直线的方程：+=1 ,化为：-3 22x-3y +6 =0;(3)kDE=-L =2.BC 边的垂直平分线上的方程为：y =2 x+2 .7.已知直线/过点M(2,l),且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ,B 两 点,O 为原点，当|MA|MB|取

7、得最小值时，直线/的方程为.答案 x +1 3=0.解 析 直 线/过 点 M(2,l),且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ,B 两 点,。为原点，设直线/:y-l =Z(x-2)伏 0),则有A(2-，0)、B(O,l-2 k),kA M|-|MB|=J(-)2+1-5 4 +4 必=2+1).=2-+(-%).2x 2,k|k.|k当且仅当=-l 时，取等号，故取最小值4,此时直线方程为x+y-3 =0,故答案为：x +y-3=O.8.已知直线4 :o r-2y =2a-4 ,/,:2 x+a2y =2 a2+4 ,当0 a女 或0 鼠 1.k k 3%=0 时也满足.综上可得

8、：实数4 的 取 值 范 围 为 故 答 案 为：3 31 0.已知点A(l,3),B(-2,-l),若直线/:y =Z(x-2)+1与线段4?相父，则人的取值范围()A M.B.h 22 2.太 或鼠一2 D.2融-2 2【答案】D【解答】解：直线/:y =Z(x-2)+l经过定点P(2,l),.号”=主 心=_2,即3=1=_1,又直线/：y =k(x-2)+l与线段A3相交，.一2殁&1 2 2 2 2 2故选D.1 1.(2 02 1 广东江门高三一模)如图，平面四边形A 3 CZ)的顶点都在坐标轴上，直线4 3的_|_ 2【答案】C【解析】三角 形 的 外 角 公 式 可 得=所以t

9、 a n N A B C=t a n(NxC B-N x 4B)1 2.(2 02 1 云南昆明市一模)若等边三角形一边所在直线的斜率为3#，则该三角形另两条边所在直线斜率为()6一535正4在2AC如2立404巫，2-BD.【答案】C【解析】根据题意，设三角形另两条边所在直线的斜率为左，机，且?0 +(2-0 =20,且|PA|+|PB|=2 后，由图可知，点 P 的轨迹为线段AB,将点4,8的坐标分别代入直线/的方程，可得。=2,=-1,由直线/的方程可化为：lx-a(y+1)=0,所以直线/过定点C(0,-1),画出图形，如图所示：因为直线A C的斜率为kA C=1,直线BC的斜率为kB

10、 C=2(y=-3,1 02所以直线/的斜率为=4,令a-1；，解得-所以。的取值范围是户,，2 J.-+=0,可得=一12,/./?+n-p =10-12+2=0,故选 C.9.(2021春城关区校级期末)已知三条直线2x y 3=0,4%32-5=0 和ox+y 3 +1 =0相交于同一点P .(1)求点尸的坐标和。的值；(2)求过点(-2,3)且与点P的距离为2石的直线方程.解析：（1）联立2x-y-3=04 x-3 y-5 =0解得”=2y=l.点P(2,l).将 P 的坐标(2,1)代入直线以+y 3a+l=0 中，可得2a+1 -3a+l=0,解得a =2 .（2）设所求直线为/,

11、当直线/的斜率不存在时，贝打的方程为x=-2,此时点P 与直线/的距离为4,不合题意.当直线/的斜率存在时，设直线/的斜率为&,则/的方程为y 3=无。+2）,即丘y+2A+3=0,因此点P到直线I的距离d=|2%-1+2%+3|=2后,解方程可得k=2.所以直线/的方程为2 x-y +7=0.10.（2021 河北迁安期末）“他=2”是 直线4：皿+4 y-6 =0 与直线/2：*+磔-3=0平行”的（）A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当，=2,；两直线方程分别为：2x+4 y-6=0 与直线x+2y-3=0 此时两直线重合,充分性不

12、成立.若直线4：a+4 y-6 =0 与直线4：x+机 y-3 =0平行，则当加=0 时，两直线方程分别为4 y-6 =0或x 3=0,此时两直线不平行，当加工0,若两直线平行，则:=百 工 二，即M =4 且加*2,解得机=-2,即必要性不成立，故 m=2”是 直线4：皿+4），-6=0 与直线4：x+3-3=0平行”的既不充分也不必要条件.故选D.11.（2022 江苏扬中二中第一次检测）已知定点P（-2,0）和直线/:（1+3x+（l+2/L）y=2+5 4 2 e A）,则点尸到直线/的距离的最大值为（）A.2/3 B./io C.历 D.2 厉【答案】B【解析】将（l+34）x+（l

13、+22）y=2+5/l变形得（x+y-2）+X（3x+2y-5）=0,所以/是经过两直线x+y-5 =0 和3x+2y-5=0 的交点的直线系.设两直线的交点为2,由I：；：。得交点Q（L1），所以直线/恒过定点Q（L1），于是点P 到直线/的距离d(0,0),直线/2：-口+2%-2=0 经过定点。(2,2),由h l +l-(-Q =0,可得 0,c 0,则直线方程的截距式为2+上=1,由A(2,2)在直线上可得：2+2=1,即庆.=.+%,因b c b c为 1 =2+N.2、m，所以秘.2 4,当且仅当6=4,c=6 时取等号，b c V be“,_ _,T(b+c+J b+)(+c

14、yj h+c)所以|O 8|+|OC|3C|=+C-J/+C2 =-八1,-b+c+Jb2 4-c2故答案为：8 4/2.2 3.已知 a 0,h 0,直线 4:x+(a-4)y+l =0,l2:2 bx+y-2 =0 ,且/则 +-!-6 7+1 2 b的最小值为()4 0A.2 B.4C.-D.-5 5【答案】D【解析】因为4_L 4，所以力+a 4=0,即a+l +=5.因为”0,b 0,所以a+l 0,2 b 0,所以：a+2 1 1 I-1-=-1-Fa +2 b a +2 b)+1 =-4 +1 =-95 5(!+-!-)/3 +1+2 份 +1 (2 +用-+3契)+1.(2 +

15、2。+1 2 b 5 5 a +2 b 5,当且仅当“=3,时，等号成立，故选D.2 42 4.在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线 方 程 分 别 为 x+2 y+l =0和x+2 y +3=0,另一组对边所在的直线方程分另（I 为 3 x-4y+q =0和 3%4、+。2 =0，则lq-G l=（）A.2 y/3 B.2 7 5 C.2 D.4【答案】B【解析】由题意，根据菱形的两组对边间的距离相等，所 以 上 M L=寞 呈 1,解得|C|-C2|=2 7 5.故选 B.2 5.设直线/1 :x-2 y-l=0 与直线4：（3-+my +m2-3m=0 ,m 为实数.（1）若/

16、2,求，4 之间的距离；（2）当相=2 时，若光线沿直线4 照射到直线4上后反射，求反射光线所在的直线4的方程.解析：（1）直线4 :x-2y-l=0 与直线4 ：（3 m）元+加/+加？一 3 2=0 ,机为实数，若 WL，则 心 仪*史 二 迎，求得,=6,-1 -2-1故直线：x-2y-l=0 ,直线（：一 3 x +6 y +1 8 =0 即x-2y-6 =0.故，之间的距离为|-6 +1|_ （2）当 2 =2 时、若光线沿直线 照射到直线4：x +2y-2=0上后反射，则由反射定律可得，直线仆与直线&的关于直线4对称.由:二 沅 二 求 得3x =2,可得直线4与直线，2的交点!)

17、，显然，M在直线号 上.再 根 据4到4的角等于4到 的角，设4的斜率 为 心 则 一-二4(耳,求 得&=-口，求反射光线所在的直线/,的方程为1 +(一 户 l +-x(-)21 11 3y-=(x-),B P llx +2y-1 7 =0.1 1.3圆的方程1.已知圆C的圆心在x轴上，并且过点4-1,1)和8(1,3),则 圆 的 方 程 是.答 案(x-2f +y 2=io解析:.圆C的圆心在x轴上，设圆心为M(a,O),由圆过点A(-1,1)和3(1,3),由|M 4|=|M B|可得M 4 2=A f f i2,E|J(a +l)2+l=(a-l)2+9 ,求得q=2,可得圆心为M

18、(2,0),半径为|屁4|=有=故 圆 的 方 程 为(x-2尸+2=1 0.2.若四点 A(5,O),3(-1,0),C(a,2),。(3,2)共圆，则正实数”=()A.2 B.3 C.4 D.5答 案D2 5+5 D+F=0解析 设圆的方程为/+丫2+6+助+尸=0,代入A，B,O,可 得 -。+尸=09 +4 +3 )-2+F =0.O =Y ,=-2 ,F =-5,二圆的方程为 丁+丫2-4*一2)，-5=0 ,C(a,2)代入可/+2?-4“-4-5 =0,:.a =5,故选 D.3.已知圆C与直线x-y =0及x-y-4 =0都相切，圆心在直线x+y =0上，则圆C的方程为()A.

19、(x +l)2+(y-l)2=2C.(X-1)2+(-1)2=2【答案】B【解析】圆心在x+y =0上,B.-1)2+(,+1)2=2D.(x +l)2+(y +l)2=2圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、:验证：A中圆心(-1,1)到两直线x-y =0的 距 离 是 型=0；圆心(-1,1)到直线x-y-4 =0V2的 距 离 是 捻=30X0.故4错误.故选B.4 .已知圆C的圆心在直线x+y =0上，圆C与直线x-y =0相切，且在直线x-y-3 =0上截得的弦长为痴，则圆C的方程为.解析：设圆心为C(a,/),半径为r,由题意可得,a=1解得,b=-.r=圆 C 的方程为(x -1)

20、2+(y +1)?=2.故答案为：(x -1)2+(y +I p =2.5.已知圆d+y 2=4 上一定点4 2,0),8(1,1)为圆内一点，P,。为圆上的动点.(I )求线段小中点的轨迹方程；(I I )若 N P 3 Q =9 0。，求线段PQ 中点的轨迹方程.解析：(1 )设AP中点为M(x,y),由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x-2,2y).尸点 在 圆 d+V=4上，,-.(2x-2)2+(2y)2=4 .故 线 段 AP中 点 的 轨 迹 方 程 为(x-1)2+y2=1.(设也的中点为根不了)，在 R t A P B Q中，|P N R B N|,设 O为坐标原点，则CW

21、J.P。，所以|O P|2)O N|2+|PN|2=|ON+|8N,所 以/+丁+*一)2+(y-)2=4.故线段尸。中点的轨迹方程为丁+丁一-丫_ 1=0.6.已知点P(X,y)在圆Y+(y 1)2=1 上运动，则上二1的最大值与最小值分别为 _ _ _ _ _ _ _ _x-2【答案】正；旦3 3解析：点 P(x,y)在 圆 炉+-1)2=1 上运动,如图,小,则 t a n“3M2的最大值为弓，由对称性可得,2 Z 1的 最 小 值 为 邛.7 .（20 1 9 海南海口模拟）已知实数x,y满足V+y 2 _ 4 x +3 =0,贝 l j x+y的取值范围为（）A.1,2+7 2 B.

22、2-夜，2+V 2|C.2-V 2,1 D.0,2+伪答 案 B解析 x2+y2-4 x +3 =0,可化为（x-2）2+y 2=1,t =x+y 即 x +y-f =O,则圆心到直线的距离为”=乜”,1,二2-四 加 2+夜.故 选 B.8.已知实数x,y 满足方程V+y 2-4 x+l =0,求：(1)上的最大值和最小值；X(2)y x的最小值；(3)炉+1的最大值和最小值;(4)2*2+y 2-4 x-6 的最大值.解析：(1)方程f+9 4 x +l =o 表示以点(2,0)为圆心，以6 为半径的圆.设2 =%,即、=履，由圆心(2,0)到 的 距 离 为 半 径 时 直 线 与 圆

23、相 切，斜率取得最大、X最小值，由 隼 型=6,解得&2=3.,配“=6，媪 一 石，则上的最大值为G，最小值为-G ；(2)i S t y x=m,则 x-y +机=0,圆心(2,0)到 x-y +机=0 的距离 1 =艮 =6 ,.-./n =-2/6 ,.y x 的最小值为一2-几；(3),.,x 2+y 2表示点P(x,y)与点0(0,0)间的距离的平方.C O =2,.二/+产的最小值为(2-A/3)2=7-4/3,最大值为(2+后=7 +40；(4)设 x =2+6 c o s a,y =V 3 s i n a ,P P J 2 x2+y2-4 x-6=2(2+V 3 c o s

24、a)2+(7 3 s i n a)2-4(2+G c o s a)-6=3c o s2 c r+4 /3c o s 6 z-3=3(c o s c r +)2 7,1 时，2x?+y2-4 x-6 的最大值为4G.9.一条光线从点(-2,-3)射出，经)，轴反射后与圆(x +3)2+(y-2)2=1 相切，则反射光线所在直线的斜率为()A 5 T 3 D 3 T 2A.或 B.或 3 5 2 3C.-n g-D.-3 或-34 5 3 4答 案 D解析 点4-2,-3)关于y 轴的对称点为4(2,-3),故可设反射光线所在直线的方程为：y 4-3=k(x-2),化为京-y -2A-3 =0.反

25、 射 光 线 与 圆*+3)2+(y-2)2=1 相 切，.圆 心(-3,2)到 直 线 的 距 离d=l3k-3 -31=1,化为24k2+50k+24=0,.故选 D.3 410.已知 A(0,2),点 P 在直线 x+y+2=0 上，点。在圆/+/一 4；(；-2 =0 上,则|94|+|。|的最小值是.答 案 2石解析：Y+2 _4x_2y=0 可化为(x-2 +(y-l)2 =5,则圆心C(2,l),半径为r=下.设A 关于直线x+y+2=0 的对称点为,贝！I，之？,：.a=-4,b=-2,b-2.8(-4,-2),:PA+PQ的最小值是|r=7(2+4)2+(l+2)2-6 =2

26、后.11.(2021淮 北 一 模)过 圆/+丁=16上的动点作圆C:d+y 2=4 的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C 内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为()37rA.n B.C.2万 D.3兀2答案 A解析 如图所示，过圆产+丁=16上的动点尸作圆C：f+y 2=4 的两条切线P 4,pB,切点分别为 A,B,贝|J|OP|=4,OA=OB=2,|1=|PA|=J|O一|，则sin/OPA=W 包=4，且 NO/%为锐角，所以NO/%=30。，同理可得NO/8=30。，|OP1 2所以N4PB60。，则A4P8为等边三角形，连接O P交 他 于 点 用，则 为 的 中

27、点，所以S.Z O A B=90-Z P A B =30 ,所以|=|OA|=1,若圆C 内的点不在2任何切点弦上，则该点到圆C 的圆心的距离应小于IOM|,即圆C 内的这些点构成了以原点为圆心，半 径 为 1 的圆的内部，因此，圆 C 内不在任何切点弦上的点形成的区域面积为7rxi2 =7.故选 A.1 2.(20 1 8 秋绵阳期末)若4-3百，)是直线/：Gx+y+a=0(a 0)上的点，直线/与圆C:(x-百 y+(y +2)2=1 2相交于M、N两点，若A M C 7 V 为等边三角形，则过点A作圆C的切线，切点为，贝 lJ|AP|=.答 案 60解析 如图所示.M C V 为等边三

28、角形，过点C做 C D _ L M V,.0 0 =2 8，:.C D =2x =3,:.C(+,一 2)到 直 线 瓜+y +a =0 的距离为 3,|3 =3,2 2解得 a =5,A(-3G,%)是直线 +(y-2)2=4,再把点0(4,a)代入，求得a =2.故选C.1 7.(20 21 江西兴国月考)已知直线x+y +1=0 与圆C相切，且直线，n r-y-2加-1 =0(me R)始终平分圆C的面积，则圆C的方程为()A.(x-2 j+(y-l)2=l B.(x-2)2+(y+l)：=lC.(x-2)2+(y-l)2=2 D.(X-2)2+(+1)2=2【答案】D【解析】：直 线

29、的-广 痴-1 =0(me R)始终平分圆C的面积，.直线侬-y-2 m-l =0(m e R)始终过圆C的圆心(2,-1),又圆C与直线x+y +l =0 相切，则圆的半径r=巴 若 U72=忘，.圆C的方程为(x-2 +(y +l)2=2.故选D.1 8 .(20 21 吉林高三三模)若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4 x-3y =0 和x 轴都相切，则该圆的标准方 程 是()A.(x-3)2+(y-l)2=l B.(x-2)2+(y-l)2=lC.(x+2)2+(y-l)2=1 D.(-V-2)2+(+1)2=1【答案】B【解析】设圆心坐标为(。力)(。0 力 0),由圆与直线

30、4 x-3y =0 相切，可得圆心到直线的距离d=K?0=r =l,化简得：阳3 4=5，又圆与x 轴相切，可得问=厂=1,解得。=1或。=-1 (舍去)，把人=1 代入得：4a 3 =5或4a 3 =-5,解得。=2 或a =-g,又圆心在第一象限，所以 =不满足题意，因此。=2,圆 心坐标为(2,1),则圆的标准方程为(I)?+(y-l =1.故选B.1 9.在平面直角坐标系x O y 中，已知圆0/2 +)，2二产)。)与圆加：(-3)2+(丫-4)2 =9 相交于 A,8 两点，点尸是线段他上的任意一点(含端点)，若存在P,使得以P为圆心，以1 为半径的圆与圆”无公共点，则厂的取值范围

31、为()A.(71 4,3 76)B.(4,8)C.(屈 6扬 D.Q区3币)答 案A解析 由题意，两圆的圆心距为。0=5,则|-3|5-4)2=2的圆心(-2,4),所以圆C:(x+2)2+(y 4 =2 的圆心关于原点的对称点为(2,-4).故选C.22.过三点 A(3,l),B(7,l),C(2,4)的圆交 y 轴于“，N 两点，贝|M N|=()A.8 B.10 C.A瓜 D.2-J2 A答 案 D解析：设过三点 A(3,l),8(-7,1),C(2,4)的圆的方程为：x2+y2+D x+Ey +F=0,9+1 +3O+E+尸=0 0=4则有 49+1-7O +E+尸=0,解得 E=-2

32、,故圆的方程为Y+尸+4x 2y 20=0.4+16+2O+4E+尸=0 F=-20令 x=0,可得 y?-2y-20=0,r.%+%=2,y,-y2=-20,M N|=-4 4%=2技.故 选 D.23.已知圆C:f+y 2=1,点M ,2),若 C 上存在两点A,8 满 足 以=2而，则实数f 的取值范围.答 案 -扃，历 .解 析 .圆C 2 +y2=i,点M 0 2),若。上存在两点A,8 满 足 凉=2而，.1A是A的一个3 等分点靠近3 点，.圆/+丁=1的直径是2,.1MAM，.点M 到原点距离小于等于 5,.产+4,25,历 剥 回,故答案为：-&T,夜 1.24.已知圆C 的

33、圆心(2,0),点 A(1,1)在圆C 上，则圆C 的方程是_(x-2)2 +y2=io _；以A 为切点的圆C 的 切 线 方 程 是.答案(x-2)2+/=1 0,y=3x+4.解析 根 据 题 意，圆 C 的 圆 心(2,0),点在圆。上，则 圆 的 半 径r=|C 4|=72-(-l)2+(0-l)2=V10.故圆的方程为(x-2 y+y 2=io,又由 c(2,0)、A(-l,l),则 K2 =1 0 8的圆心到直线/的距离d=粤 金 亘=3(1+Y=).6百.为整数，.上式不能取等号，所以直线和圆相离.所以两者无有公共点.故选A.2 7.正 方 体 A B C D-A 线CQ中，M

34、 为 CC的中点，P在 底 面 A B C 内运动，且满足ND P D,=Z C P M,则点P的轨迹为()A.圆的一部分C.双曲线的一部分B.椭圆的一部分D.抛物线的一部分答 案 A解析 /D P D =N CPM，M为C G的中点，窄嚼=箸，氏2在 平 面/W C )内 以。为原点建立平面直角坐标系，设。C =l,P(x,y),.=2 ,:.P D =2 P C ：.旧 +旷=2 a+(y-l)2 ,；./+(y -：/=1 .p 在底面.内运动，轨迹为圆的一部分.故选A.28.已知a w N*,在平面直角坐标系中，AABC的三个顶点坐标分别为A(a,O),B(-2,2),C(-3,3).

35、设AABC的外接圆为r(1)若a=2,求的标准方程；(2)求面积最小时”的值.解析：(1).a=2;.A(2,0),又.8(-2,2),C(-3,3),二A 3中点。(0,1),8 c 中点 E(-，23),.线段AB的中垂线(：y =2x+l,线段8 C 的中垂线/,:y=x+5,.V=2E得2 丁 =龙+5Jy 1 9 即圆心(4,9)，而 8=，(4+2/+(9-2)2=相，的标准方程：(x-4 y+(y-9)2 =85.(2).A(a,0),B(-2,2),.1/IB 中点.线段/W 的中垂线 4=，由(1)知线段8 C的中垂线4：y =x+5,c 2。a2+12a+2 a x=-2

36、1 c 2 s s.y =x-即 2 a 即圆心r(心 工,+”+2),a2+l0a+l2 2a 2ay=x+5 y=-2a*2 =.+1 2)2+1。呼+12)+26/,5 万 丈 2 /12 0 12 2 6 1,2a2 2 4 a a而 a+U.4 有，当且仅当a=26时，等号成立，Taw N*,.当a=3 或a=4 时，a+aa有最小值，此时S最小.2 9.已知圆O:f +y 2=,直线/：x+y+2=0，点 P 为/上一动点，过点P 作圆O 的切线R4,PB(切点为A,B),当四边 形 丛 OB的面积最小时，直 线 的 方 程 为()A.x -y+l=0 B.x y+42=0C.x+

37、y+l=0 D.x+y y/2=0【答案】C【解答】.圆f +V=i的圆心为c(0,0),半径r=l,当点P 与圆心的距离最小时，切线长 期、P 3 最小，此时四边形2 1 0 8 的面积最小，P O _ L直线/,则尸O 的方程为x-y =0,联 立 卜7=,解 得 x=y=_ i,.“(T T).以O P 为 直 径 的 圆 的 方程为x+y+2=0(x+)2+(y +)2=L,即 x2+y2+x+y=0,两圆方程相减可得 x+y+1 =0.3 0.已知圆心为(a,0)的圆C 与 倾 斜 角 为 至 的 直线相切于点N(3,-石)，则圆C 的方程为.答 案(x-4)2+y2=4解答 由题意

38、可得，圆的半径为r=J(a 3 y+3,直线的方程为y-(-6)=-日(x-3),解行 a _Wx +y=0,因为直线与圆相切，则4=y=r=J(q-3)2+3,3 5解得=4,所以圆。的方程为(x 4)2+尸=4.故答案为：(x-4)2+V=4.3 1.已知圆过两点4(1,4)、8(3,2),且圆心在直线y=0上.(1)求圆的标准方程；(2)判断点尸(2,4)与圆的关系.【解答】解：(1).圆过两点A(l,4)、3(3,2),且圆心在直线y=0上，故可设圆心 C(m,0),则半径为 C4=C8=7(W-D2+42=y/(m-3)2+(0-2)2,求得加=一1,故圆心C(-l,0),半径C4=

39、5,故要求的圆的方程为。+1尸+V=2 5.(2)由于点P(2,4)到圆心。的距离为PC=7(2+1)2+(4-0)2=5=半径C4,故点P在圆上.11.4 直线与圆、圆与圆的位置关系1.(2021湖南学业考试)若直线/:3-y-6 =0与圆C:V +y2-4x+3=0相交于A,B两点，O是坐标原点，则0 3的面积是()A D Lz.D.-4 3 2 3答案：A解析：由圆C:Y +y2-4x+3=0,得(一2)2+丁=1 ,则圆心c(2,0),半径r=l,圆心。到直线/的距离d=包乙=且，.|阴=2/2一/=2仁1 =1,又原点。到直线/的距V3+1 2 V 4离 八 镇 邛 f=%*=3 4

40、 邛,故 选 儿2.(2021兴庆区校级二模)已知直线/过点A(a,O)且斜率为1,若圆d +y2=4 上恰有3 个点到/的距离为1,则a 的值为()A.3及 B.3五 C.+2 D.土夜答案：D解 析 直 线/过 点 A(a,O)斜率为1,.设 a=O ,.圆V +丁=4 上恰有3 个点到/的距离为1,.圆心到直线的距离等于半径减去1,.圆心(0,0)到直线/:y =x+a 的距离为：号=1,解得 =土 夜.故 选 D.3.(2 0 2 1 春 昌 江 区 校 级 期 中)已 知 圆 C,:x2+/+2 x-6 y-2 6-0 ,C2:x2+y2-4x+2 y +4=0,判断两圆的位置关系(

41、)A.两圆内切 B.两圆相交C.两圆外切 D.两圆相离答案：A解析：.圆。1：/+丁+2X 6y-26=0 的圆心为：G(-l,3),半径q=6,圆C2：x2+y2-4x+2y+4=0 的圆心为：C2(2,-l),半径4=1,.G G I=A/(T_2)2+(3_(_1)2=5,又 4-4 =5,.JGGI=，3_/；=5,.圆G 与 C2 内切.故选 A.4.(2020秋河南期末)在平面直角坐标系xOy中，圆G：Y+V=1,圆&：/+产=15,点动点A,3 分别在圆C1和圆G 上，且N 为线段4 5 的中点，贝的 最 小 值 为.答 案 2-7 2 .解析 由题意可知，ON为 RtAAOB斜

42、边上的中线，ON=l 4 B,又2+.1*0=2,.点N 的轨迹是以(0,0)为圆心、半径为2 的圆 M 在圆C,内，r.M N 的最小值即是半径减去M 到圆心(0,0)的距离，即M N“血=2-&.5.(2021 新安县校级模拟)已知圆C 的方程是d +丁-8 x-2 y+8=0,直线/:y=&-3)被圆C 截得的弦长最短时，直线/方程为.答案 x+y-3=0.解析 由圆 C:V +y2-8 x-2 y +8=0,W(x-4)2+(y-l)2=9.则圆心坐标为 C(4,l),直线/:y =a(x-3)过定点尸(3,0),要使直线/被圆C 截得的弦长最短，贝.1 kpc-=1 ,1,则直线/的

43、方程为 y=-(x-3),即 x+y-3 =0.6.设圆f +V 2 x-2 y-2 =0 的圆心为C,直 线/过(0,3)与 圆 C 交 于 A,3 两点，若|A 8|=2石，则直线/的方程为()A.3x+4y 12=0 或4x-3y+9=0B.3x+4y-12=0 或 x=0C.4x 3y+9=0 或x=0D.3x 4y+12=0 或4x+3y+9=0答 案 B解析 当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=0,联立厂二 ，得x2+y2-2 x-2 y-2 =0 x=0 x=0 广或 厂，.1AB|=2 6,成立.当直线/W 的斜率存在时，设直线/W 的y=1-V3 y=l+j3方程为 =

44、依+3,.圆f +y 2 x-2 y-2 =0 的圆心为C,直线/与圆C 交于A,B两点，|4B|=2/J，.圆半径 r=g j4 +4+8=2,圆心 C(l,l)到直线 y=fcr+3 的距离=与 4=单 望 1,.2+(四1)2=/,.中立+3=4,解得女，.直线.至 71 x/F7T 2 k2+l 4a的方程为y=-x +3,即 3x+4y-12=0.综 上，直线/的 方 程 为 3x+4y _ 12=0 或4x=0.故选B.7.(2021辽宁朝阳高三一模)设尸为直线x-y =0 上的动点，P A,尸 8 为圆C:(x-2)?+y2=i的两条切线，A 3为切点，则 四 边 形 向 C 的

45、面积的最小值为()A.g B.y/2 C.20 D.1答 案 D解 析 如 图,如 娜 语=2S 叽=2x g|A C H P A|=J|P C 一,要使四边形APBC的面积最小,只需|P C|最小，当尸C垂直直线x-y =O 时,|P C|取 最 小 值 为 号=血,四边形A P 8 C 的面积最小值 为 符-1=1，即四边形A P 8 C 的面积的最小值为1.8.(20 21 梁园区校级模拟)在平面直角坐标系x O y 中，已知圆O:Y+y 2=/什 0)与圆”:(%-3)2+(-4)2=9相交于48 两点，点 P是线段/W上的任意一点(含端点)，若存在 尸，使得以尸为圆心，以 1 为半径

46、的圆与圆无公共点，则 r 的取值范围为()A.(7 14,3 7 6)B.(4,8)C.(岳,6 夜)D.(2,3#7)答 案 A解析 由题意，两圆的圆心距为。W=5,则|厂-3|5。+3 ,解得r e(2,8),若 P 为线段43中点时，若以P 为圆心，1为半径的圆与圆用无公共点，这样的点P 必存在，将圆O,圆M的方程作差，可得直线AB的方程为6 x +8 y-16-产=0,此时圆”与圆P 必定内含，所以MP=341 -1-即12,解 得 内。3#.故选 A.9.已 知 定 直 线/:y-l =%(x-2)(A 0),点。是 直 线/上 的 动 点，过 点。作圆C:(x-iy+(y +2)2

47、=l 的一条切线，v 是切点，C是圆心，若AQ MC面积的最小值为四，则直线/的方程为()A.3 x-4y-10 =0 B.3 x +4y-10 =0C.3 x +4+10 =0 D.4x +3 y-10 =0答 案 B解 析 根 据 题 意，圆C:(x-iy+(y +2)2=l,其圆心为(1,-2),半径r =l,过点Q 作圆C的一条切线，M 是切点，如图：S.w c=g x 10M冈 CM|=；x|=g x/F -1,当|QC|最小时，即Q C，/时，|Q M|取得最小值，此时AQ MC面积取得最小值，则有g x Q C5-1=0 ,变形可得|Q C|=3,即|Q C|的最小值为3,则点C

48、 到直线/的距离=注 匕 竺 1 =3,又 由/0,解可得=-a,直线/的方程为y-1 =a3(x 2),变形可得3x+4y-10=0；4 4故选B.10.(2021河南顶尖名校5 月联考)过圆M：(x-1)2+V=4 内一点A(2,l)作一弦交圆于8、C 两点，过点B、C 分别作圆的切线P8、P C,两切线交于点P,则点P 的轨迹方程为()A.y-5=0 B.x+y+5=0C.x+y-5=0 D.x-y-5 =0【答案】C【解析】设P 点坐标为(毛,%),根据圆的直径式方程知，以M P为直径的圆的方程为(x-l)(x-/)+y(y-%)=0,两圆方程作差可得公共弦8 C 的方程(-1卜+阳,

49、一毛-3=0,而 4(2,1)在直线3 c 上，5=0,故点P 的轨迹方程为x+y-5 =0.故选C.11.(2021春赣州期末)如图，在平面直角坐标系屹y 中，已 知 圆+丁 =3,过点尸(-3,0)的直线与圆。相交于不同的两点A,B.(1)求AOAB面积的最大值；(2)若|AB|=2应，求直线4 3 的方程.ii3.S OB-=-O AO BsmO =-risnO =,m e,因为（0,左），所以0 =与直线工一2丁 +人=0 垂直，一 3 2、（一 4）+6=0且 4=-2,解得人=-5 且 =-2,故选B.13.（20 21春赤峰期末）若直线依一外一2=0（0,力 0）被圆X?+丁-2

50、x +2y +1 =0 截得的弦长为2,则工+1 的最小值为（）a bA.-B.4 C.-D.24 2答 案 D解 析 圆 f+y 2-2 x+2 y +l =0 即（x-l）2+（y+l）2=l,圆 心 为 半 径 为 1,.直线o r 勿2=0(a 0,b 0)被 圆/+/-2 彳+2丫 +1 =0 截得的弦长为2,/.直线ox 切 一2=0经过圆心，.+0-2 =0,即 +匕=2,l(l+l)(a +b)=-(2 +-+-).J-(2 +2.l )=2,当且仅当且=2 时，即=8=1,等号成2ab 2 b a 2 b a b a立，故L +1的最小值为2.故选D.a b14.(2021春