2023年北京高考数学真题实战复习(三年高考+一年模拟)专题10填空压轴题（解析版）.pdf

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1、专 题1 0填空压轴题1.(2022北京)已知 数 列 的各项均为正数,其前n项和5“满足q,.S“=9(=1,2,).给出下列四个结论：,的第2 项小于3；a,为等比数列；q 为递减数列；。“中 存 在 小 于 的项其中所有正确结论的序号是.【答案】【详解】对于 =1时，可得4=3,当 =2 时，由&S 2=9,可得 2。(4+出)=9,可得二(逐一D 0,q=3,a当几.2 时,Sn=，anQ Q所以a“=S-S_|=-0.an ”-19 9 1 1所 以 一-=一 -90000,则 册.一,S,9 0 0,则a 9 与已知矛盾，故正确；故答案为：.2.(2021 北京)己知函数f(x)=

2、|/g x|-A x-2,给出下列四个结论：(1)若左=0,则/(x)有 2 个零点；(2)存 在 负 数 使 得 f(x)恰 有 1 个零点；(3)存在负数，使得f(x)恰有3 个零点；(4)存在正数3使得f(x)恰 有3 个零点.其中所有正确结论的序号是【答案】(1)(2)(4)【详解】函数/(x)=|/g x|-2 的零点的个数可转化为函数y=|/g x|与直线y=f cc+2 的交点的个数；作函数y=|/g x|与直线y=丘+2 的图象如右图，若 4 =0,则函数y=|/g x|与直线)，=履+2 的图象在(0,1)与(l,+o o)上各有一个交点，如直线则/*)有两个零点，故(1)正

3、确；当左=一2 时，当 xe(0,1 时，f(x)=-lgx +2x-2,/(1 0-2)=2+-2 0,/(1 0 )=1 +-2 0,故/(外在(1 0，1 0-1)上至少有一个零点，又f (1)=0,结合图象知，f(x)在(0,1 上有两个零点，即),=|/g x|与 y=-2 x+2 有两个不同的交点，故当直线绕点(0,2)顺时针旋转时，存在直线丫=丘+2 与函数y=|/g 幻 与宜线的图象相切，即f(x)有一个零点，如宜线4，故(2)正确；当无 0 且女足够小时，函数y=|/g x|与宜线y=t r+2 的图象在(0,1)与(l,+o o)上分别有1 个、2个交点，如直线，故(4)正

4、确；故答案为：(1)(2)(4).3.(2 0 2 0 北京)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间/的关系为W=f),用-以好一 的大小评价在为,川这段时间b-a内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如给出下列四个结论：在匕，外 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强：在4时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在A 时刻，甲，乙两企业的污水排放都己达标；甲企业在 0,小，,，r 2 ,%，4 这三段时间中，在 0,1 的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是.【答案】【

5、详解】设甲企业的污水排放量W 与时间f 的关系为W=/Q），乙企业的污水排放量W 与时间，的关系为W=g）.对于，在匕，这段时间内，甲 企 业 的 污 水 治 理 能 力 为,乙企业的污水治理能力为-g02）-g（G .tt 由图可知，/（G-/（G）g（G-g（，2），.也 匕 电）_ g 6）g（G,f 2 T l即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故正确；对于，山图可知，/在 G时刻的切线的斜率小于g 在 G时刻的切线的斜率，但两切线斜率均为负值，.在4时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故正确；对于，在4 时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，.在A 时刻，甲，乙两企业的污

6、水排放都已达标，故正确；对于，由图可知，甲企业在 0,“，用，t2,也，这三段时间中，在也，幻 的污水治理能力最强，故错误.正确结论的序号是.故答案为：.4.（2 0 2 2 海淀区一模）已 知 函 数=给出下列四个结论：/（X）是偶函数；/（X）有无数个零点;/（X）的最小值为-L；/（X）的最大值为1.其中，所有正确结论的序号为.【答案】【详解】.函数/X x）：?手，厂+1.（_ 犬）=竺 苧&=罕=/1）,该函数是偶函数，故正确;（-X）+1 X-+1令函数/(%)=(),则8 s万x =0、：.冗x =k 7i+三(k eZ),x +1 2x=k +(k G Z),故正确;/(x)=

7、COS7TXX2+1一兀(+1)s i n,T X-2 x c os nx(X2+1)2：f（1）二，r（i）=-o,2 2.函数的最小值不可能为-4，故错误；2|c os乃x|,1,当万1=左 万（左w Z）时取等号，1,X2 4-1当且仅当x =0时取等号，JC?S GI 1,x2+l当且仅当x =0时取等号，.（）=学 卫,1,故正确.X +1故答案为：.5.（2 0 2 2东城区一模）某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图所示，线段AB表示角楼的高，C,D,E为三个可供选择的测量点，点3,C在同一水平面内，C D与水平面垂直.现设计能计算出角楼高度的测量方案，从以下六组几何

8、量中选择三组进行测量，则可以选择的几何量的编号为.（只需写出一种方案）C,。两点间的距离；C,E两点间的距离；由点C观察点A的仰角a；由点。观察点A的仰角4；N A C E和 N AE C；Z 4DE和 N AE D.AC【答案】或【详解】经分析可知，若选,在 AAC中，Z A C D =-a,Z A D C =+j3,ZCAD=a-j3,所以 =,sin g +)sin(a)所以 AC=os。.C D,sin(a-/?)所以AB=AC-sina=图 吧-C O,其中各个量均已知；sin(a-y0)若选，已知 NACE和 NAEC，则 NC4E=万一NACENAEC,A C CE CEr r|

9、_ _ _ _sin Z A E C sin Z C A E sin(NACE+NAEC)所以AC=第/Q，所以 AB=A C sin a=sin ZAEC-sin asin(ZACE+Z4EC)CE,其中各个量均已知;其他选择方案均不可求得A B长.故答案为：或.6.(2022朝阳区一模)在平面直线坐标系xOy中，设抛物线C:丁=以的焦点为产，直线/:y =囱(x-l)与抛物线C 交于点A,且点A 在x 轴上方，过点A 作抛物线C 的切线与抛物线 C 的准线交于点P,与x 轴交于点，.给出下列四个结论：A O e 的面积是石；点”的坐标是(-6,0);在x 轴上存在点。使 A 0P Q =O

10、；以“尸为直径的圆与y 轴的负半轴交于点N，则AF=2FN.其中所有正确结论的序号是.【答案】【详解】由题意知，F(1,O),联 立 卜=6(x-l),得3/_ 0*+3 =0,解得x =3 或Ly2=4x3因为点A在x 轴上方，所以4 3,2 6)，所以(?口 的面积S=2|O F 1”=-x x 2y/3 =y/3,即正确;2 2又 丁=4 1,可取 y =2,所以 y，=j=,1耳故点A处的切线斜率为切线方程为丫-26(x-3),即 y=x +V3G，令 y =0,则x=-3,所以点”(-3,0),即错误;把 x=_ l 代入y =X +拒中，得y=-/3 ,B P P(-l,-73),

11、3 3设点 Q(?,0),由 而 PQ=O,得(，-3,-2 6(?+1,-73)=0,即旭 2 _ 2 根+1 =0,所以 z =l,一-3所以点。(1,0),即正确；因为“(-3,0),F(l,0),所以以 所 为直径的圆的方程为(x+I p +V =4,所以点N(0,-B ,所 以 标=(-2,-2 6)，丽=(-1,-6)，所以A k=2 而，即正确.故答案为：.7.(2 0 2 2 东城区二模)某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r(r 0),劳累程度T(O T 1),劳动动机。(1%r2,TtT2,b5,0b 4 b l4r,0Tl0,:.Et E2,即甲比乙工作效率高

12、，故正确；对于，仇 打，rfr2,Tt=T2,则 E,-E2=1 0-1 0 7；bM r-（1 0-1 0 7 也川打）=1 0 7也”i _ 伪”）0 ,/.Et E2,即甲比乙工作效率高，故正确；对于，4=,Et E2,bt b2,0 0 ,7；也 仇 囱，所以7 E2,4 0 ,T2也如例 7如例,所以（0 J _ 4C;存在一点P，D、O/BP；若。，。尸，则 RGP 面积的最大值为石；若P 到直线RG的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分.其中所有正确结论的序号是.【详解】对于，连接A R,C R,由正方体的性质知三角形AC R为等边三角形，由于O为底面4?C）的中心

13、，故为A C中点，故4 C J _ q O,正确；对于，将R 0进行平移到过4点，使之与8/具有公共顶点，根据立体图形判断，无论如何也不可能满足q H平行或重合于8/,所以R0不可能平行于用“，错误；对于取耳3的中点E,连接OE,EC,B D，R E,证明0O _L平面O E C,所以P在线段EC上运动，当点P到点E位置时，G P最大，此时 RG P面积最大为：Sinax=-x2xy5=y5.所以正确.对于，P到直线A G的距离为线段P G的长度，所以|P G I=|/8,判定出尸点位置为直线8 G的垂直平分线，故错误.故正确的序号是：.故答案为：.（2 02 2丰台区一模）如图，在 棱 长

14、为2的正方体A8C）-A g G A中，M ,N分别是棱A A，A A的中点，点尸在线段C M上运动，给出下列四个结论：平面OWN截正方体A 3 8-A B C iR所得的截面图形是五边形；直 线 到 平 面C M N的 距 离 是 也；2存在点P,使得NB、PDX=9 0；APE町面积的最小值是拽6如图直线M V与G B r G R的延对于，由题可知M N/B Q,M V u平面CW N,B Q C平面CM V,B,DJi平面C M N,故点纥到平面C M N的距离即为直线B R到平面C M N的距离,长为2可得,由正方体A 3 C D-A耳G R的棱5/_ 1 c _ 1 V17,_ V1

15、7.-CMN=&CMN h=-x-x h =-h ,%-MMN=S MN C C=3X 2X 2 =I*，由匕RCMN=%Am，可得力=所 以 直 线 到 平 面 CMN的距离 是 半，故错误；对于，如图建立空间直角坐标系，则片(2,0,2),R(0,2,2),C(2,2,0),M(1,设 AC=2砒，猱 睨 1,PC=A.MC=2(1,2,-2),又C(2,2,0),B Q,0,2),D,(O,2,2),:.P(2-A,2-2 2,22),PBi=(2,2A-2,2-2/l),Pi=(Z-2,22,2-2 Z),假设存在点P，使得Zfi,PD,=90。.PBi-PDi=A(A-2)+22(2

16、2-2)+(2-22)2=0,整理得9A2-142+4=0,.7+/13 /公土、-e,7-V132=-I(舍去)或 X=-,9 9故存在点尸，使得NB|PR=90。，故正确；对于，由上知P(2-/l,2-2 2,2 A),所以点P(2-/l,2-2/1,22)在。2 的射影为(0,2,22),.,.点 P(2-2,2-2/1.22)到 DR 的距离为：d=7(2-1)2+(-21)2=15储-4。+4=卜(2-|)2+y 二当a=|时，4,血=,.故 C R 面积的最小值是g x 2 x 竽=竽，故错误.故答案为：.10.(2022石景山区一模)已知非空集合4,5 满足：4|j8 =R，Ap

17、B=0 ,函数/W=F xeA对于下列结论：3X-2,X GB不存在非空集合对(A 3),使得/(为偶函数;存在唯一非空集合对(A,B)，使得/(x)为奇函数；存在无穷多非空集合对(4 3),使得方程f(x)=O无解.其中正确结论的序号为.【答案】【详解】若 x eA,-x e A,则/(幻二X3,/(-x)=-x3,f(x)*/(-x),若 x eB,-x e B,则/(x)=3 x-2,f(-x)=-3 x-2,/(x)*f(-x),若 x eA,-x e B,贝 f(-x)=-3 x-2,/(x)f(-x),若x e 3,-x e A,则 f(x)=3 x-2 ,f(-x)=-x3,/(

18、x)*f(-x),综上不存在非空集合对(A,8),使得f(x)为偶函数；若d u B x-Z,则 x =l 或x=-2,当8 =1 ,A =C 3时，/(1)=3乂1一2满足当工=1时 丁=1,所以力可统一为/(*)=,此时/(一幻=-%3=-7(x)为奇函数，当 8 =-2 ,4=CRB 时，八一2)=3 x(2)2 =-8 满足当 x =-2 时炉=一8 ,所以 f(x)可统一为/(x)=P ,此时/(-x)=-x3=-f(x)为奇函数，所以存在非空集合对(A,B),使得/(幻为奇函数，且不唯一；1=0解的X =O,3 x-2 =o解的x =W,3当非空集合对(A,8)满足0 A且2 8

19、,则方程无解，3又因为A U B =R，A n B =0,所以存在无穷多非空集合对(A,8),使得方程/(幻=0无解，故答案为：.1 1.(2 0 2 2西城区二 模)已 知 四 棱 锥 尸 的 高 为1,和A P C D均是功长为血的等边三角形，给出下列四个结论：四棱锥产-他8 可能为正四棱锥；空间中一定存在到，A,B,C,。距离都相等的点；可 能 有 平 面 皿 平 面 舫 8;四 棱 锥 的 体 积 的 取 值 范 围 是g,|j.其中所有正确结论的序号是.【答案】【详解】根据题意，设PO ABC D,则P O =1,又因为APAB和A P C 均是边长为7 2的等边三角形，易得。4 =

20、O 8 =O C =O D =1,且NAO B=NC O D=%,2对，当A 3 =B C =C =A r =夜 时，底面为正方形，且O为底面中心，此时四棱锥尸-他 CD可能为正四棱锥，故正确；对，0 4 =O 8 =O C =O )=O P =1,故一定存在到，A,B,C,。距离都相等的点O,故正确；对 ,当 平 面 平 面 A B C D 时，因为P O 1 A B C D,故 POu平面P A D，此时Z A O D =n,又因为N A O B =N C O D =巳，此时3,C重合，不满足题意，错误；2对，设 ”=，则匕=-(-+-O B O C s i n?+-9A O Ds i n

21、(-(9)=-(l +s i n(9),3 2 2 2 2 311 9因为，e(0 ),故s i n，e(0,1,所以匕,一.=(l +s i n。)(,，故正确；故答案为：.A f-12.(2022 西 城 区 一 模)已 知函 数f(x)=12x-a-k x-3,给出下列四个结论:若a =1,则函数/(x)至少有一个零点；存在实数a,3使得函数f(x)无零点；若a0,则不存在实数3 使得函数/(x)有三个零点；对任意实数a，总存在实数人使得函数/(x)有两个零点.其中所有正确结论的序号是.【答案】【详解】当 a =l 时，/(x)H 2-a-k x-3 ,令/(x)=0,得|2*-1|=依

22、+3 ,在 同 一 坐 标 系 中 作 出 y=|2*-l|,y=kx+3的 图 象，如 图 所 示：由图象及直线)，=h+3 过定点(0,3)知函数/(X)至少有个零点，故正确;当a =T,z=0 时，作出y=|2，+4|,y=3 的图象,确;函数/(x)无零点，故正当a =6,上=!时，在同一坐标系中作出y=|2*6|,y=x+3 的图象，如图所示:2 2由图象知：函数f(x)有三个零点，故错误;在实数上使得函数/(X)有两个零点，故正确.故答案为：13.(2022丰台区二模)如图，某荷塘里浮萍的面积y(单 位:?)与时间r (单位：月)满足关系式：y=a 7 w(为常数)，记)，=/(/

23、).0).给出下列四个结论：设an=f n)(e M),则数列 a,是等比数列；存 在 唯 一 的 实 数(1,2),使得/(2)-/(1)=/。)成立，其中/是/(f)的导函数；常数a e(l,2)；记浮萍蔓延到2后，3病，6疗所经过的时间分别为乙,t2,匕，则乙+t2 ty.其中所有正确结论的序号是.【答案】【详解】依题意人）=底,因为/(O)=0,所以 l e a v e,H P a e (1,e),令(a)=a3lna ,a e(l,e),贝(a)=3 a2lna +a2 Q,则(a)=a%a在a e(l,e)上单调递增，又 h(2)=2l n 2 6,所以 a e(2,e),故错误；

24、由己知可得 an=f(n)=dIna ,则 an+i=f(n+1)=a+lna,a=/(I)=a lna ,所以也也竺an a Ina所以 凡 是以Hw 为首项，为公比的等比数列，故正确;令 f(t)=a!Ina ,则广(.)=(/。)2,f(2)=a2liu i9 f(1)=a lna,令 g o)=a U M?-cr lna 4-a lna ,则 g(*)=疑(/)3/0 e(l,2),因为a e(2,e),所以 0,即 g o)二曲(/)？-cr lna +a lna,在 z()G(1,2)上单调递增，因为 (2,e),所以历a a v O,Ina-1 0,令 0(a)=Ina -a+a

25、 (2,e),贝 1 J(a)=1 =-0,a a所以 9(a)=lnci-a +,在 a w(2,e)上单调递减，且 (2)=历2 2+1-历2-1 v O ,即夕(a)=Ina-t z +1 Of所以H (a)=&一4+1在。(2,6)上单调递增，又(2)=2/2 2+1 =2/2 1 0,所以(a)=a lna-a +1 0,所以 g (1)=a(lndy-cr lna +a lna =a lna(lna -)+a lna =a Ina (Ina-+1)0,g(2)=cC(lna)2-a2 Ina +a liu i=a2 Ina r ina-1)+a lna =a lna(a lna-a

26、 +1)0.故存在J (1,2)上，g&)=0,故正确；依题意 2=a Ii,3 =a，2lna,6=ahlna ,所以 2x 3 =a八Ina x a，2Ina =a (Jt mf,所以/+(Ina)2 6,则“=1,d,Ina即 a+2T 3.=i,仇(1-)所以 4+t2-t3=如 一,Ina因为 a (2,e),所以 ln2 Ina 1 ,所以 1 0，即4+弓4，故正确；故答案为：.14.(2022昌平区二模)刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有2000多年的历史.小王同学在刺绣选修课上，设计了一个螺旋形图案-即图中的阴影部分.它的设计方法是：先画一个边长为3的正三角形AqG，取

27、正三角形44G各边的三等分点4，C?,得到 第 一 个 阴 影 三 角 形 乃2；在正三角形&G中，再取各边的三等分点4，B,G，得到第二个阴影三角形A与鸟；继续依此方法,直到得到图中的螺旋形图案,则4员=；图中螺旋形图案的面积为Cl【详解】设正三角形M C 的边长为4,后续各正三角形的边长依次为g,6,设第一个阴影三角形面积为后续阴影三角形面积为 邑，S 3,，S“，由题意知 q=3,an=a,.)2+(|a,)2-2 x 1 a,x|a,cos60=(q-,2=且，./是以3 为首项，如 为公比的等比数列，%3 3.6=3 x(g)i=(理)T，二人 生=|生=|x(理 尸=苧，S,=器4

28、 帝)加 60。=笔哈 严=鹭尸，.$邛，.5.是以.图中阴影部分面积为:且 为 首项，以，为公比的等比数歹U,2 3f a/)1216-z -,I 1 162故答案为：管百16215.(2022门头沟区一模)如图，已知四棱锥尸-他 8的底面是边长为2 的菱形，且jrZDAB=-,PD=AD,P D L 平面43CD,F,O 分别是2 4,BD的中点，是线段P83上的动点，给出下列四个结论:ACJ_OE；FC=PO;直线PO与底面ABCD所成角的正弦值为手;M E C 面积的取值范围是百，炳.其中所有正确结论的序号是.【详解】由AC_L3D,A C A.P D 得 AC_L平面P3D，因为O

29、E u平面尸皮)，所以AC_LO E,正确计算可得 AC=2 g,PC=PA=2y/2,AF=42,AO=G，PO=s jp -A O2=J(2夜 K 一 旧=也，w AC2+PA2-PC2(2面+(2&)2-(2扬2 代2|AC|PC|2X2X/3X272 4CF2=AF2+AC2-2|AC|AF|cosZPAC=V22+(2/3)2-2x2V3xV2x =8,4所以CF=2 0,不正确；由线面角定义知，NPO就是直线PO与底面MCE所成的角，sin ZPOD=-,不正确；由 AC_LP8 得，ACYOE,SM C E=-ACO E=3OE,OE,IU L=y5,P3LO E时|。臼 最小，

30、|O E h=正确故答案为：.p.（2 02 2 通州区一模）如图，在 棱 长 为 2的正方体ABC -A 4 G R中，点E，F,G 分别是棱3C,CC）,的中点，点 P 为底面 A 4 G A 上任意一点.若P 与 A 重合，则三棱锥E-P FG 的 体 积 是;若 直 线 与平面E F G无公共点，则 BP的最小值是1-6【详解】若 P 与 A 重合，则S =：x l x l=/匕 iFG=X：x l=:；2 2 3 2 6若直线B P与平面E F G无公共点，则BP/I平面EFG,分别 取 A Q，A A，A3 的中点 H,I,J,连接 G H,HI,U ,JE,则 G，AG，E/AC

31、,7/A C,而 A C/A G，所以 G/E/,同理 G尸，EF/HI,因此可得证E,F,G ,H ,I,/共面，即截面F G即为截面EPG/Z/J,A G 仁平面EF G,H G u 平面EFG,则 A G 平面以七，同理?8平面EF G,而=A G，A8 u平面，所以平面A B C；/平面EF G,只要PeAG,则有BP/平面EFG,线段AG即为 2点轨迹，A B =2 及，因 此 族 的最小值 为 等 x20 =，故答案为：；A/6.617.(2 02 2 顺义区模拟)向量集合2 =3|1=(x,y),x ,y e R ,对于任意2,b eS,以及任意/l e 0,1,都有；11+(1

32、-/1历5,则称集合S是“凸集”，现有四个命题：集合M =1|1=(x,y),y.l 是 凸 集 ；若S为“凸集”，则集合N =2&|ae S 也 是“凸集”；若4，4都 是“凸集”，则 AU&也 是“凸集”；若A，为 都 是“凸集”，且交集非空，则 4 0|人 也 是“凸集”其中，所有正确的命题的序号是.【答案】【详解】由题意得，若对于任意方，OB&S,线段至 上 任 意一点C,都 有 反 e S,则集合S是 凸集，由此对结论逐一分析：对于，M =a a =(x,y),y.x2,若对于任意4(%,y),8(%，当)满足以/；，%-K，则。4，OB&M ,由函数 =*2的图象知，对线段45 上

33、任意一点C(，%)，都有外；，即 近 e M,故 加 为“凸集，正确；对于，若 S为 凸 集”，则对于任意茂，13&N,此:时左=25,j 3 =2b,其中G,b&S ,对于任意;le0，1,Aa +(l-A)=2(2a +(l-/l)GN ,故 N 为“凸集”，正确；对于，可举反例，若 A =d|d =(x,y),y=x ,A2=a a =(x,y),y=-x ,易知A，A?都 是“凸集，而 A|J4不 是“凸集”，故错误对于，若 A，4都 是“凸集，则对于任意a,e an 4,任意;i0,I ,则2近 +(1-/1)，A，且 2 +(1-团&,故 然+，故 4 p|A2也 是“凸集”，故正

34、确.故答案为：.18.(20 22海淀区二模)在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列 仅 ，分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数 列 模 型：a+1=2a +bn,b*i=a“+2b”(n=l,2,)，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足q ，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论：M ,an hn；VeN，a+l a,bll+l bn；m k e N,使得当心一时，总有|&一1|%时，总有|-a“其中，所有正确结论的序号是.【答案】【详 解】因 为%=2 a“+b“，也用=4+2勿(=1,2 ,-),两 式 作 差 得

35、“用 一 4+1=2 4+bn-an+2h=an-hn,故 a”-。”为常数列，W an-bn=a-bt 0(故 VeN*,an bn 故正确；因为a“*a.=a”+b”,bn+i-bn=an+b ,又数列 a，,为正实数数列,故为+4 0,故a“+|q,勿+1 包 0,故正确；由上可知力|=|幺二4|,bn b bn因为4为常数，仍“为单调递增数列，故当 f+8 时，幺 4-0,又 10-1。0,故 就 eN”,使得当 *时，总有|2-1|0 ,故%an an3 2 R-一 2 a 小北胃 4,一(6 8)印 4-4,a“a a an an因为4-a 为常数，a,J为单调递增数列，故当 f+

36、o o 时，幺 4-0,1 一幺4-1,hn a故错误.故答案为：.19.(2 02 2 房山区二模)声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y=Asin o f.我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音.已知一个复合音的数学模型是函数/(x)=sinx+gsin2 x.给出下列四个结论：/(x)的最小正周期是万；/(X)在 0,2 划上有3 个零点；/(x)在 0,上是增函数；/(x)的最大值为主g.4其中所有正确结论的序号是.【答案】【详解】因为/(x +;r)=sin(x+;r)+gsin2(x+;r)=-sinx+gsin2xw/(x),故乃不

37、是f(x)的周期，故错误；令/(x)=0,即 sinx+sinxcosx=0,即 sinx(l+cosx)=0 解得：x=0 或工=4 或 x=24，故正确；H fM =cos x+cos 2x=2 cos2 x 4-cos x-1 ,因为广(g =-4 vO,=0 故0，令 上 必存在r(x)(0,-G),故正确;对于：由(x-c o s 6)2+(y-s i n 6)2 =4 中，设 x =2 c o s a +8 s，y =2 s i n a +s i n 6,则点 M 到原点的距离 d =y x2 4-y2=/(2 c o s a +c o s 0)2+(2 s i n a +s i

38、n )2=j 5 +4 c o s(a-6),当a =6时，c o s(a-9)=l,d取得最大值为3,故错误；对于：由知最高点为C(0,3),最低点。为(0,-6),所以|C 0=3 +百，故正确；对于：“水滴”图形是由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成；计算它的面积S =S 芈M+2 s 弓 形+S&=g x;r x F +2 x(#)+gx2x#=1-不，故正确.故答案为：.2 1.(2 0 2 2 平谷区模拟)设棱长为2的正方体ABCD-AAGR,E是 AD 中点，点M、N分别是棱A3、G A 上的动点，给出以下四个结论：存在E N/M G ；存在M N _ L 平面E C

39、 G ；存在无数个等腰三角形 M N ；三棱锥C-MNE的体积的取值范围是|,则所有结论正确的序号是.【答案】【详解】对于：取 3c中点P,当点N在 RG上移动时，直线ENu平面E P G R,同时当点M在直线A B上移动时M C,u平面A B C R ,因为E P C Q r|他 GR=CQ，故 硒 与 A/G 不可能平行，错误.对于：如图，以。为原点建立空间直角坐标系，2,2),设N(0,a,2)(0 a 2),M(2,b,0)(0 /?2),所 以 方=(-1,2,0),西 =(0,0,2),两=(2 力-a,-2),设平面ECG的法向量为五=(x,y,z),r.f n -E C=0 a

40、 n x+2 y =0 .则 4 _ _.即 令 y =l，得 x =2,z =0，n-C Cx=0 2 z =0所以为=(2,1,0),所以M W，=4 +a-H 0,故 MN与平面ECG不垂直，错误.对于：令|屉|=|丽 j，即 J(【_ 0)2 +(0 _ q)2+(0 _ 2)2 =J(2 _ 0)2+3 a)2+(0 2)2 ,化简得从一勿人+3 =0,即 2 a =6 +3,2 a e(0,4),3.2 Gb b因为2 石 4,所以该式在0 a 2,0 h 0),甲、乙声波合成后的数学模型为f(f)=3 ,与图象不符，6 6 6 6 2.排除，只能是.故答案为：万，.2 3.(2

41、0 2 2 房 山 区 校 级 模 拟)设 函 数=l o g3 x,x 1.(1)如果/(1)=3 ,那么实数.=；(2)如果函数)，=/(*)-2 有且仅有两个零点，那么实数a的 取 值 范 围 是.【答案】一 2 或 4；(-1 ,3 【详解】(1)如果/(1)=3 ,贝 1 1/(1)冒1 一。|=3 ,解得。=一2或 4,(2)当x l 由/(无)一 2 =0得/(x)=2,l o g3x =2,解得x =9,若函数y =/(x)-2 有且仅有两个零点，则等价为当%,1 时，|x-a|=2 只有一个交点，山|x-a|=2,解得 x =a +2 或 x =a 2 ,若当用,1 时，|x

42、-a|=2 只有一个根，则满足a +2 l 且 a-2,1 ,即 a -l 且 4,3 ,即一1 Ja2+c2,s：+s；+s；=a d +a2b2+b2c24(/+/+万+。2 _/一.2)24(2 +)(/+/)S2=-(r +b2)(b2+c2 ysiZ,GEF=-(a2+b2)(b2+c2)l-4 4=-(a2+Z?2)(Z?2+c2)4(4a2h2+4a2 c 2 +40 2c2)42c2 +02 b2 +匕 2 c?4(a2+b2)(h2+c2)4S：+S；+S；=S2,再根据三棱锥A-EFG的等体积算法可得S；A 2=S；A尸=S AG2=S2AH2=t,c2 /、c2 _-卡/

43、,c2 _-祠/一c2 _而 1,t t t t,-1-4-=-,4 序 A尸 AG?H1111-1-1-=-,A.E2 A产 A.G2 A.H-故正确,25.(2022海淀区校级模拟)著名数学家棣莫佛(Oaoi”e,16671754)出生于法国香槟,他 在 概 率 论 和 三 角 学 方 面，发 表 了 许 多 重 要 论 文.1707年棣莫佛提出了公式:r(cos 0+i sin=r(cos n0+i sin n 0),其中 r 0 ne T V*.根 据 这 个 公 式，则(cos-+isin)6=_;r(cos+zsin)4=-16,则 r=_.12 12 44【答案】i:2【详解】由

44、题意可知(cos工+isin=cos+isinX=i.12 12 2 2Z(cos?+isin?)r =-16,可得，/(co s乃+isin%)=-16,所以r=2.故答案为：i;2.26.(2022密云区一模)已知点A(2,0),8(0,2)和点P(cos。,sin。)，0GR.给出下列四个结论：点P 到直线4 3 的最大距离为忘+1 ；当NE4B最大时，|P A|=6；的 面 积 的 最 大 值 为 4+0 ；若=福 衣，则4-2虚热5 4+2 夜.其中所有正确结论的序号是.【答案】【详解】由点A(2,0),8(0,2)可得直线4 5 的方程：x+y-2 =0,m s A A u L *

45、八 f,|cos+sin0-2|I V2 sin(0+)-2|由点到直线的距离公式，d=-j=-=-j=-,当sin(e+()=-1时，距离最大，最大值 为 血+1,故正确；当 点 P 移 动 到 第 四 象 限 时，也 即 直 线 以 与 单 位 圆 相 切 时ZP A B最 大，I PA=y/O A2-O P2=V22-12=/3,故正确；设P 到直线4 3 的距离为d,贝 1 5仙林只有当d 最大时，即才能取得最大，因为“最大值为&+1，所 以 稗最大值为2 +血，故错；AB=(-2,2),入 户=(cos。-2,sin0 y=AB-AP=-2(cos-2)-1-2 sin=-2 cos

46、+2 sin6 +4=2 /2 sin(-)+44f-.-0&R,：.sin(6 -)e-l,l.所以4-2 屈W 4+2 及，故对.4故答案为：.2 7.(2 02 2 西城区校级三模)直线x=l 与抛物线C：V=4 x 交于M,N 两点，点 P 是抛物线 C 准线上的一点，记 O P=a O M，+bO N(a,b R),其中。为抛物线C 的顶点.给出下列命题：加 0,使 得 丽 与 丽 平 行；且人 0,使得。户与。月垂直；APMN不可能是等边三角形；无论点P 在准线上如何运动，a+b=-l 总成立.其中，所 有 正 确 命 题 的 序 号 是.【答案】(X=【详解】由:,求出点M(l,

47、2),N(l,-2),从而。而=(1,2),的=(1,-2),设I 1=4xOP=(-1,0,对于：当得。户与ON平行时，t=2,因为求0 户=。0 而+匕0 河(。,6/?),所以a+b=i2a-2b=2解得1=,故不正确;b=-对，因 为 而 _ L 的 o l 2 f =0of=-一，2所以由。户=a O A/+b O M(a,b w R),得。+b =-1I 解得，a-b =45a=8,故正确;一8对于若A PMN是等边三角形，则 因 为 垂 直 于 x 轴,所以P在x 轴上，且在x =-l 上，故 P(-l,0),但这不满足P M=MV,所以不存在三角形PMN是等边三角形，故正确;对

48、，由上面可知显然正确，故正确.故答案为：.(2 0 2 2 东 城 区 校 级 三 模)己 知f(x)=x+2 x,3 x 0/一,0 公火3X+1(1)函数/(x)的零点个数为 个;(2)若 g(x)=|/(x)|_ a r-a 的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围为【答案】(1)1;(2)2 e【详解】(1)当 3,x 得一-=1,即 x=0 .X 4-1 X+1函数/(X)的零点个数为1 个;(2)g(x)f(x)-a x-a的图象与x轴有3个不同的交点,即y=|f(x)|与y =a(x +l)的图象有3个不同交点，如图,直线y =a(x +1)过定点(-1,0),过两点(

49、-1,0)与(3,2/2)的 直 线 的 斜 率 2-2-0=3-(-1)2过(一 1,0)的直线与曲线y =/(x +1)相切于(X。，/(%+1),由i(X+l),得击，则-=*则曲线在切点处的切线方程为y-阳x 0 +l)=!(X-%),%+1把(1,0)代入，可得/(/+1)=-毛+1解得=e-l ,此时切线的斜率为4=.e：.要使g(x)=|/(x)-a x-a的图象与X轴有3个不同的交点，则实数的取值范围为 生2).2 e故答案为：(I)1；(2)2 e2 9.(2 0 2 2朝阳区校级三模)已知函数/(x)=s i n(C+x)s i n g-x),给出下列四个结论:4 4/(X

50、)的值域是-1,1 J;/(X)在i o,g上单调递减;/(X)是周期为7的周期函数；将/(X)的图象向左平移 个单位长度后，可得一个奇函数的图象.其中所有正确结论的序号是.【答案】【详 解】4/乃、,/2.y/2 V2.1 2 1.2 1 oj (x)=sin(+x)sin(-x)=(c o s x+-sin cos x sm x)=cos x-sin x=cos 2x所以f(x)的值域为；,故错误；令2Z展 蚁+2Z万，Z e Z,兀2通k +k7i，Z w Z,2当左=0时，f(x)的一个单调递减区间为0,故正确；/(X)的周期7=至=%，故正确COf(x)的图像向左平移-个单位长度后得