2023年北京高考数学真题实战复习(三年高考+一年模拟)专题13概率统计综合题（解析版）.pdf

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1、专 题 1 3 概率统计综合题1.（2 0 2 2 北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.5 0?以 上（含9.5 0 的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：机）：甲：9.8 0,9.7 0,9.5 5,9.5 4,9.4 8,9.4 2,9.4 0,9.3 5,9.3 0,9.2 5；乙：9.7 8,9.5 6,9.5 1,9.3 6,9.3 2,9.2 3；丙：9.8 5,9.6 5,9.2 0,9.1 6.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.（I ）估计甲在校运动会

2、铅球比赛中获得优秀奖的概率：（I I）设 X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；（I I I）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）【答案】见解析【详解】（I ）甲以往的1 0 次成绩中有4次获得优秀奖，用频率估计概率，则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率巴=2.1 0 53 1（I I）用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为士 =,，丙在校运6 2动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为1=3,X的所有可能取值为0,1,2,3,3 1 1 3贝 I 尸(X=0)=-x x =5 2 2 2 0尸(X

3、 =l)=2 1 1 3 1 1 3 11 X-X H-X X-1-X X =5 2 2 5 2 2 5 2 282 0255 2 2 5 2 2 5 2 2 2 0P(X=3)=|x l x l =2.=EX=0 x 1-1 x 1-2 x +3 x =.2 0 2 0 2 0 2 0 5（I I I）丙获得冠军的概率估计值最大.2.（2 0 2 1 北京）在核酸检测中，“k 合 1”混采核酸检测是指：先将k 个人的样本混合在一起 进 行 I次检测，如果这女 个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束；如果这Z 个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此

4、时需对每人再进行1 次检测，得到每人的检测结果，检测结束.现 对 1 0 0 人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.(I )将 这 1 0 0 人随机分成1 0 组，每 组 1 0 人，且对每组都采用“1 0 合 1 ”混采核酸检测.(i )如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数:(i i)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设 X是检测的总次数，求 X的分1 1布列与数学期望E(X).(I I )将 这 1 0 0 人随机分成2 0 组，每组5人，且对每组都采用“5合 1 ”混采核酸检测.设y是检测的总次数，试判断数学期望E(y)与(I)中E(x

5、)的大小.(结论不要求证明)【答案】见解析【详解】(I )(i )若采用“1 0 合 1 检测法”，每组检查一次，共 1 0 次;又两名患者在同一组，需要再检查1 0 次,因此一共需要检查2 0 次.(i i)由题意可得：X=2 0,3 0.P(X =2 0)=,P(X=3 0)=.1 11 1可得分布列:X2 03 0P1n1 0T TE(X)=2 0 x l +3 0 x l 2 =.(I I )由题意可得：丫 =2 5,3 0.P(Y=2 5)=20 x&=,p(y =3 0)=.*9 9 9 9可得分布列:Y2 53 0P49 99 59 9)=2 5 卫+3 0 x 结”陋9 9 9

6、 9 9 9 9 9 1 1E(X)p?，此时有 E(X)=20R+3 0(1-)=3 0-1 0 胃；而 E(丫)=2 5 幺+3 0(1 -0)=3 0 -5 小 3 0 -5 P1 3 0 -1 0 巧=E(X),.，（x）P 1 .理由如下:350+150=,设该校总人数为。，则该校支持方案二的人数约为，3 5 0 +2 5 0 +1 5 0 +2 5 0 2 2由表可知，男生支持方案二的概率为七=工，女生支持方案二的概率为务 3 5 0 +2 5 0 1 2尸 女=-,所以一年级支持方案二的人数约为500XN +300X?H404,以 1 5 0 +2 5 0 8 1 2 8一 一

7、4 0 4故除一年级外其他年级支持方案二的概率为P i X 2 -8 0 0a-8 0 8 a-SOO 1-b.5.(2 0 2 2朝阳区一模)某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了 5 0名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩,测试卷满分1 0 0分，将数据分成6组：4 0 ,5 0),5 0 ,6 0),6 0 ,70),70,8 0),8 0 ,9 0),9 0,1 0 0,并整理得到如下频率分布直方图：估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；（I I ）在样本中，从其成绩在8 0 分及以上的学生中随机抽取3人，用 X

8、表示其成绩在 9 0 ,1 0 0 中的人数，求 X的分布列及数学期望；（HD在（n）抽取的3人中，用 Y 表示其成绩在 8 0 ,9 0）的人数，试判断方差 （X）与。（丫）的大小.（直接写结果）【答案】见解析【详解】（I ）由直方图可得第二组的频率为1-0.0 6-。1 8 -0.3 2 -0.2 0 -0.1 0 =0.1 4,.全校学生的平均成绩为：4 5 x 0.0 6 +5 5 x 0.1 4 +6 5 x 0.1 8 +7 5 x 0.3 2 +8 5 x 0.2 0+95 x 0.1 0 =7 2.6;（I I ）由题可知成绩在8 0 分及以上的学生共有5 0 x（0.2 0

9、+0.1 0）=1 5 人，其中 90,1 0 0 J 中的人数为5,所以X可取0,1,2,3,则”=。）喑嗡尸（X=D=管喑，尸-2）=等嗡尸（X=3）哈高故 X的分布列为:X0123p2 49?4 59?2 09?29?LLA.)=U X-r 1 X-r Z X-r 3 X =1；91 91 91 91(I I I)由题意可知随机变量X服从超几何分布，故 O(X)=(0 _l)2 x少+(1 _1)2 乂竺+(2 _1)2 乂虫+(3 _1)2 乂 2 金,91 91 91 91 912 2 0 4 5 2 4同理，E(r)=0 x +l x +2 x +3 x=2,91 91 91 91

10、2Z)(y)=(0-2)2x +(1-2)2+(2-2)2x +(3-2)291 912 4 5 29f-91故。（x）=o（y）.6.（2 0 2 2 东城区二模）某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了 1 0 0 名男生和1 0 0 名女生的视力数据.分别计算出男生和女生从小学一年级（2 0 1 0 年）到高中三年级（2 0 2 1 年）每年的视力平均值，如图所示.2 0 2 1 年中随机选取1 年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率；（2）从 2 0 1 0 年到2 0 2 1 年 这 1 2 年中随机选取2年，设其中恰有X年女生的视力平均值不低

11、于当年男生的视力平均值，求 X的分布列和数学期望，（3）由图判断，这 2 0 0 名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）【答案】见解析【详解】（1）由折线图可知：从 2 0 1 1 年 到 2 0 2 1 年中，该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的共有3个，所求概率p=a；1 1（2）从 2 0 1 0 年到2 0 2 1 年 这 1 2 年中，女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值的年份有4个，.X 所有可能的取值为0,1,2,P（X=0）=q;P（X =l）=3;P（X=2）=LC,2,3 3 3 3 Cl H则X的分布列为：X012P1 43

12、31 63 31H.乂的数学期望/（*）=0、6+1 竺+2 工=2；3 3 3 3 1 1 3（3）由折线图知：自 2 0 1 7 年开始的连续三年男女生视力平均值接近且连续三年数据相差不大，自2 0 1 7 年开始的连续三年，2 0 0 名学生的视力平均值波动幅度最小，则自2 0 1 7 年开始的连续三年，2 0 0 名学生的视力平均值方差最小.7.（2 0 2 2 房山区一模）良好的生态环境是最普惠的民生福祉.北京市集中开展大气污染防治以来，在经济社会快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降.2 0 2 1 年，经过全市共同努力，空气质量首次全面达标，大气污染治理取得里程碑式突破.

13、下表是2 0 2 1 年每个月空气质量优良和污染的天数统计.月份1 月2 月3月4 月5 月6 月7 月8 月9 月1 0 月 1 1 月 12月 合计空气质量优良天数2 41 81 12 72 32 12 62 92 72 92 33 02 8 8空气质量污染天数71 02 038952327177（I ）从 2 0 2 1 年中任选1 天，求这一天空气质量优良的概率；（I I ）从 2 0 2 1 年的4月、6月和9 月中各任选一天，设随机变量X表示选出的3天中空气质量优良的天数，求 X的分布列；（I I I）在 2 0 2 1 年 的 1 月、3月、5 月、7 月、8月、1 0 月、1

14、2 月中，设空气质量优良天数的方差为s；,空 气 质 量 污 染 天 数 的 方 差 为 试 判 断 s；,s；的大小关系.（结论不要求证明）【答案】见解析【详解】（I ）记事件A为“从 2 0 2 1 年中任选1 天，这一天空气质量优良”，由统计数据可知P（4）=|;（I D X的所有可能取值为0,1,2,3,方 法 1：记事件3为“从 4月任选1 天，这一天空气质量优良”，事件C为“从 6 月任选I 天，这一天空气质量优良”，事件。为“从 9 月任选1 天，这一天空气质量优良”，由题意知，事件3,C,。相互独立，27 9 21 7且2（8）=口。）=一 二 一,尸（。）=一二一3 0 1

15、0 3 0 1 0_ _ _ _ _ _ _ 1 3 1 3所以 P(X=0)=P(B CD)=P(B)P(C)P(D)=x x =1 0 1 0 1 0 1 0 0 0p(X =1)=P(B B C+B C D +B CD)=P(B)P(C)P(D)+尸(耳)尸(C)P(5)+P(耳)PQ)P(D)9 3 1 1 7 1 1 3 9=X X-1-X X-1-X X=1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 061i b o op(x=2)=P(B CD+B C D +B CD)=P(B)P(C)P(D)+P(B)P)P(D)+P(B)P(C)P(D)9 7 1 9

16、3 9 1 7 9 3 69=-X-X-1-X-X-1-X-X-=-,1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 09 7 9 567P(X =3)=P(B CD)=P(B)P(C)P(D)=x x =，1 0 1 0 1 0 1 0 0 0所以X的分布列为:X0i23P3I b o o61I b o o3 69I b o o567i b o o方法 2:P(X=0)=3 x 9x 33 0 x 3 0 x 3 03l o o oP(X =1)=2 7x 9x 3 +3 x 2 1 x 3 4-3 x 9x 2 73 0 x 3 0 x 3 061l o

17、 o oP(X =2)=2 7x 2 1 x 3+2 7x 9x 2 7+3 x 2 1 x 2 73 0 x 3 0 x 3 03 69-I o 66尸-3”默和篇所以X的分布列为:X0i23p3T o o o61T o o o3 69l o o o567l o o o(I I I)S：=S；.8.(2 0 2 2丰台区一模)为研究某地区2 0 2 1届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2 0 2 1届大学毕业生中随机选取了 1 0 0 0人作为样本进行调查，结果如下：假设该地区2 0 2 1届大学毕业生选择的毕业去向相互独立.(I)若该地区一所高校2 0 2 1届大学毕业

18、生的人数为2 50 0,试根据样本估计该校2 0 2 1届大学毕业生选择“单位就业”的人数；(I I)从该地区2 0 2 1届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量X为这3人中选择“继续学习深造”的人数.以样本的频率估计概率，求X的分布列和数学期望E(X)；毕业去向继续学习深造单位就业自主创业自由职业慢就业人数2 0 05601 41 2 898（n i）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a（0 a f 1 1 0 1 1所以I .1 1.(2 0 2 2 西城区一模)2 0 2 1 年是北京城市轨道交通新线开通的“大年”，开通线路的条、段数为历年最多.

19、1 2 月 3 1 日首班车起，地 铁 1 9号线一期开通试运营.地铁1 9号线一期全长约2 2 公里，共 设 1 0 座车站，此次开通牡丹园、积水潭、牛街、草桥、新发地、新宫共6座车站.在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐1 9号线一期的2 0 0 名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表(单位：人)：下车站上车站牡丹园积水潭牛街草桥新发地新宫合计牡丹园/564272 4积水潭1 2III2 01 3786 0牛街57III3812 4草桥1 399III163 8(I)在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概率；新发地41 01 62III33 5新宫255

20、43III1 9合计3 63 65 62 62 12 52 0 0(H)在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为X,求随机变量X的分布列以及数学期望；(I I I)为了研究各站客流量的相关情况，用。表示所有在积水潭站上下车的乘客的上、下车情况,“=1 ”表示上车,“。=0 ”表示下车.相应地，用是，女分别表示在牛街，草桥站上、下车情况，直接写出方差力 与，力 刍大小关系.【答案】见解析【详解】(I)在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客6 0 人，对应乘客在牛街站下车的2 0 人,从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概率6 0 3(

21、I I)在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为X,可得取值为0,1,2,3,X B(3).3口*=0)=(1 一 手 吟,P(X=l)=C|x(l-l)2=l|,P(X=2)=X()2X(1-1)=AP(X=3)=C；*(g)3=一.X的分布列为:X0123P82 71 22 762 712 7E(X)=3 x；=l .(I I I )2 D&+c c：一.135所以X 的分布列为:X0510P18351635135所以 E(X)=10X+5X3 +0X曳=35 35 3518T(i l l)解：记随机变量y 为消费者在一次抽奖活动中的收益,则 y=

22、x-3,1 Q 3所以 E(Y)=E(X-3)=E(X)-3=3=一一 Po-1 5.(2 0 2 2 通州区一模)某单位有A ,8两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近 1 0 0 个工作日选择餐厅就餐情况统计如表：选择餐厅情况(午餐，晚餐)(A,A)(4 B)(B,A)(B,B)甲员工3 0 天2 0 天4 0 天10 天乙员工20天2 5 天15 天4 0 天假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估i 概率.(I )分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择5餐厅就餐的概率；(H)记 X为甲、乙两员工在一天

23、中就餐餐厅的个数，求 X的分布列和数学期望E(X)；(I I I)试判断甲、乙员工在晚餐选择3餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A 餐厅就餐，并说明理由.【答案】见解析【详解】(I )设事件C=“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐”，事件 一天中乙员工午餐和晚餐都选择8餐厅就餐”.由于10 0 个工作日中甲员工午餐、晚餐都选择A 餐厅就餐的天数为3 0,乙员工午餐、晚餐都选择B 餐厅就餐的天数为4 0,所以 P(C)=0.3 ,P(D)=0.4；10 0 10 0(I I )甲员工午餐、晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.1：乙员工午餐、晚餐都选择A 餐厅就餐的概率为0.2.X 的所

24、有可能取值为 1,2.P(X =l)=0.3 x0.2 +0.1x0.4 =0.1,P(X =2)=1-P(X =1)=0.9 .X 的分布列为 x x i x o.i +z xoguis.(il l)设乂=甲员工晚餐选择3餐厅就餐”，N2=乙员X12P0.10.9工晚餐选择5餐厅就餐”，M,=甲员工在午餐时选择A 餐厅就餐”，M2=乙员工70?75 5在午餐时选择A 餐厅就餐”，则尸(必|N)=一 =一，P(M,应)=一=.3 0 3 6 5 13因为p(M IN)P(M 1%),所以在已知晚餐选择8餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A 餐厅就餐.16.(2 0 2 2 海淀区校级

25、一模)某社区10 0 名居民参加2 0 19 年国庆活动，他们的年龄在3 0岁至 8 0 岁之间，将年龄按 3 0 ,4 0),(4 0 ,5 0),5 0 ,6 0),6 0 ,7 0),7 0 ,8 0 分组，得到的频率分布直方图如图所示.(I )求。的值，并估计该社区参加2 0 19 年国庆活动的居民的年龄中位数：(H)现从年龄在 5 0,6 0),7 0,8 0 的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用 X表示参与座谈的居民的年龄在 7 0,8 0 的人数，求 X的分布列和数学期望；(I I I)若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地3 0 岁至8

26、 0 岁之间的市民中抽取 2 0 名进行调查，其中有4名市民的年龄在 3 0,5 0)的概率为收=0,1,2,2 0),当勺最大时，写出女的值.(不用说明理由)【详解】(/)由频率分布直方图可知，(0.0 0 5 +0.0 1+0.0 3 +0.0 3 5)x10 =1 ,解得a =0.0 2,故a 的值为0.0 2,设该社区参加2 0 19 年国庆活动的居民的年龄中位数为x,则0.4 +x 0.2=0.5,解得x=5 5.10()年龄在 5 0,6 0)内的人数为0.0 3 x10 x10 0 =3 0,年龄在 7 0,8 0)内的人数为0.0 1x10 x10 0 =10,根据分层抽样,可

27、知年龄在 5 0,6 0)内的抽取6人,年龄在 7 0,8 0)内的抽取2人，X所有可能取值为0,1,2,尸(X=0)=4 =，c；14P(X =1)=,5152 8P(X=2)=-CC2 =3c：2 8故X的分布列为:X012数学期望 E(X)=0X+1X+2X3=3 .14 28 28 4P5141528328(/)设在抽取的20名市民中，年龄在 30,50)内的人数为y,则 y 服从二项分布，由频率分布直方图得年龄在 30,50)内的频率为。005+0.035)X10=0.4,故 1 5(20,0.4),P(Y=k)=CO-4A0-620-k(k=0,1,2,，20),设t-P(Y=k)

28、_ G O d O G。-*_ 2-%)_ 42-2:以-P(Y=k-1)-CO-O-G2_4 -3k-3k 当 f l 时，A:8,4,P(Y=k-)P(Y =k),当 f8.4,p(y=%-i)p(y=z),当=8 时，尸(y=Q 最大，故当6 最大时，4=8.17.(2022西城区校级模拟)在某批次的某种灯泡中，随机地抽取100个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下.根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.寿命(天)频数频率100,200)20.02200,300)18a30

29、0,400)350.35400,500)b0.20500,600)250.25合计1001(I)根据频率分布表中的数据，写出。，人的值.(II)某人从灯泡样品中随机地购买了 2 个，求 2 个灯泡中恰有一个是优等品的概率.(III)某人从这个批次的灯泡中随机地购买了 3 个进行使用，若以上述频率作为概率，用 X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求 X 的分布列和数学期望.【答案】见解析【详解】（I ）由频率分布表的数据可知：=0.1 8,1 0 0Z?=1 0 0 x 0.2 0 =2 0.（II）由表中数据可知，从灯泡样品中随机抽取一个优等品的概率为0.2 5,故 2个灯泡中恰有1 个是优等

30、品的概率是p=C；x（0.2 5）x（l 0.2 5）=0.3 7 5 .（Il l）X 的所有取值为0,1,2,3,由题意，够买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.0 2 +0.1 8 =0.2,从这次批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验，p（X=0）=C x（K8 3=0 5 1 2 ,p（X =1）=C；x 0.2 x 0 第 2 =0.3 8 4 ,P（X=2）=C；x 0.22 x 0.8 =0.0 9 6 ,尸（X=3）=C；x 0.2 3=0.0 0 8.所以随机变量X 的分布列为：（%）=0 x 0.5 1 2 +1 x 0.3 8 4 +2 x 0.0 9 6 +3

31、x 0.0 0 8 =0.6.X0123P0.5 1 20.3 8 40.0 9 60.0 0 81 8.（2 0 2 2 顺义区模拟）为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的（1）班 （8）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽1 0 名学生进行身体素质监测.经统计，每 班 1 0 名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x 轴表示对应的班号，y 轴表示对应的优秀人数）：（I ）若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；（I I ）若从以上统计的高一（4）班 的 1 0 名学生中抽出2人，设 X

32、 表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求 X 的分布列及其数学期望：（III）假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的1 0 名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取I名同学，用“短=1 ”表示第左班抽到的这名同学身体素质优秀，“4=0”表示第上班抽到的这名同学身体素质不是优秀仅=1 ,2,.8）.写出方差D多,D 2,。与，。刍的大小关系（不必写出证明过程）.d i 1 i ；*【答案】见解析【详解】（/）抽取的80人中，身体素质监测成绩达至I 优秀的有8+6+9+4+7+5+9+8=56人,故从高一年级学生中任意抽测1 人，该生身体素质监测成绩达到优秀的概率2=生

33、=工80 10（）由散点图可知，高 一（4）班 的 10名学生中，身体素质监测成绩达到优秀的有4 人,X 所有可能取值为0,I,2,如。）借斗尸。川二警陪尸-2）啥带故 X 的分布列为：X012P3815215o 2 4 2 4 9 1故 E(X)=0 x-+lx +2x =-.(/Z/)P(=1)=-,P(=0)=-=-,则3 15 15 5 1 10 5 1 10 54 1I)=5X5425P C=i）=9=3,尸 6 o）=3 =2,则。6）=，2=色，10 5 2 10 5 2 5 5 25o1o 1 op（,=i）=,p=o）=一,则）（4）=三 x=10 3 10 3 10 10

34、100/刍=1）=3=2,=o）=-,则 o（）=2 x 3=9,10 5 10 5 5 5 25故 5$）=。（或）/）（$）0（）.19.（2022海淀区二模）加值是国际上通行的宏观经济监测指标之一，能够反映经济的变化趋势.如图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMZ值趋势图.将每连续3 个月的P M 1值作为一个观测组，对国家经济活动进行监测和预测.1 0个观测组中任取一组，(i )求组内三个P A值至少有一个低于5 0.0的概率；(i i)若 当 月 的 值 大 于上一个月的P A值，则称该月的经济向好.设X表示抽取的观测组中经济向好的月份的个数(由已有数据知1月份的PA

35、 值低于去年12月 份 的 值)，求X的分布列与数学期望；(H)用%(，=1,2,，12)表示第j月非制造业所对应的力1值，5表示非制造业12个月P A值的平均数，请直接写出|3-5|取得最大值所对应的月份.【答案】见解析【详解】(I)从制造业的10个观测组中任取一组的基本事件有：(51.3,50.6,51.9),(50.6,51.9,51.1),(51.9,51.1,51),(51.1,51,50.9),(51,50.9,50.4),(50.9,50.4,50.1),(50.4,50.1,49.6),(50.1,49.6,49.2),(49.6 ,49.2,50.1),(49.2,50.1,

36、50.3),共有 10 个,设“组 内 三 个 值 至 少 有 一 个 低 于50.0”为事件A,则事件A包含的结果有：(50.4,50.1,49.6),(50.1,49.6,49.2),(49.6 ,49.2,50.1),(49.2,50.1,50.3)共 4个，由古典概型的计算公式，得P(A)=g=2；10 55)x的可能取值为0,1,2,c/八、15 *I r y4 2 1-*z八 *W 10 2X的分布列为：10 5所以随机变量X的数学期望E(X)3；+l x|+2*=|；X012Pj_2251T o(II)8月份，理由如下：由某年12个月的非制造业P M 7 值趋势图中的数据，得r5

37、2.4+51.4+56.3+54.9 +55.2+53.5+53.3+47.5+53.2+52.4+52.3+52.7 一 八b=-x 52.9，12根据某年12个月的非制造业P A值趋势图，可知当，=8 时，电-5 1取得最大值为|-5 1=|47.5-52.9|=5.4.20.(20 22房山区二 模)北京20 22年冬奥会、向全世界传递了挑战自我、积极向上的体育精神，引导了健康、文明、快乐的生活方式.为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取10 0 名学生作为样本，统计他们参

38、加体育实践活动时间(单位：分钟)，得到下表：(I)从该校随机抽取1 名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在 50,6 0)的概率；(II)从参加体育实践活动时间在 8 0,9 0)和 9 0,10 0)的学生中各随机抽取1 人，其中初中学生的人数记为X ,求随机变量X的分布列和数学期望；时间人数类别 0,50)50,6 0)6 0,70)70,8 0)8 0,9 0)9 0,10 0性别男51 21 3898女691 01 064学段初中1 0高中m1 31 2754(I I I)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的1 0 0 名学生参加体育实践活动时间的平均

39、数记为。，初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为四，人，当，满足什么条件时，为.4上 幺.(结论不要求证明)【答案】见解析【详解】(I)方法一：女生共有6 +9 +1 0 +1 0 +6 +4 =4 5 人，记事件A为“从所有调查学生中随机抽取1 人，女生被抽到”，事件B为“从所有调查学生中随机抽取1 人，参加体育活动时间在 5 0 ,6 0)“，4 5 Q由题意可知，P(A)=,P(AB)=,1 0 0 1 0 09因此(8 1 A)=P(AB)P(A)1 0 04 594 5 51 0 0所以从该校随机抽取1 名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在 5 0 ,

40、6 0)的概率为(；方法二：女生共有6+9+1 0+1 0 +6 +4 =4 5 人，记事件M 为“从所有调查学生中随机抽取1 名学生，若已知抽到的是女生，该学生参加体育活动时间在 5 0 ,6 0)“，由题意知I,从所有调查学生中随机抽取1 人，抽到女生所包含的基本事件共4 5 个，抽到女生且参加体育活动时间在 5 0 ,6 0)所包含的基本事件共9个，9 1所以()=一 ,4 5 5所以从该校随机抽取1 名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在1 5 0,6 0)的概率为：；(0)方法一：X的所有可能值为0,1,2,时间在 8 0,9 0)的学生有1 0+5 =1 5 人，

41、活动时间在 9 0,1 0 0)的初中学生有8+4-4 =8 人，记事件CM从参加体育活动时间在 8 0,9 0)的学生中随机抽取1 人，抽到的是初中学生”，事件。为“从参加体育活动时间在 9 0,1 0 0)的学生中随机抽取1 人，抽到的是初中学生”，由题意知,事件C,。相互独 立,K P(C)=-,P(D)=-,1 5 3 1 2 3所 以=0)=P(C D)=P(C)P(D)=1 x 1 =1 ,_ 2 112 4P(X =1)=P(C M C )=P(C)P()+P(C)P()=-x-+-x-=-,=3 3 3 3 92 2 4P(X =2)=P(CD)=P(C)P(D)=-x-=-,

42、所以x的分布列为：1 4 4 io 4故 X 的数学期望 E(X)=0 x +lx 2 +2 x M =-；9 9 9 9 3X()12P144999方法二：X的所有可能值为0,1,2,因为从参加体育活动时间在 8 0,9 0)和 9 0,1 0 0)的学生中各随机抽取1人是相互独立,且抽到初中学生的概率均为2,故 X8(2,2),3 3所以 P(X=0)=C；(l-7.2=1t，P(X=1)=吟(1-守=1,2 2 4 2 2 4P(X=2)=C(-)2=-=-x-=-2 3 9 3 3 9所以X 的分布列为:X012P94949故 X 的数学期望E(X)=0=2 x|=g：(III)根据男

43、女生人数先补全初中学生各区间人数:时间人数类别L0,50)150,60)160,70)170,80)180,90)90,100性别男51213898女69101064学段初中-tn81111108局中tn131275450,100)内初中生的总运动时间 4=8x55+11x65+11x75+10 x85+8x95=3590,50,100)内高中生的总运动时间 r2=13x55+12x65+7x75+5x85+4x95=2825，则由题,2,3.111 1 2390又 4)=(11x25+3590+2825)=66.9,4=-25(ll-m)+3590=-+25100 59 z 591 c 18

44、00任)=-(25加 +2825)=25 H-41+租 414-/71由外 包可得0飞、2390 1800oJ.o.:-1-5941+“当 7 =2,311时成立，故相的取值范围mwZ|2领血11.21.(2022平谷区模拟)为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动.从参加该活动的学生中随机抽取了 12名学生的竞赛成绩,数据如下表:男生8 18 48 68 68 89 1女生7 28 08 48 89 29 7(I)从抽t 匕的男生和女生中，各随力,选取一人，：男生成绩高于女生成绩的概率；(I I )从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀(9

45、0 分)的学生人数为X,求X的分布列和数学期望；(I I I)表中男生和女生成绩的方差分别记为s；,s；,现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为8 6 分，组成新的男生样本，方差计为s；,试比较s：、s；、s；的大小.(只需写出结论)【答案】见解析【详解】(I)设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩“为事件A,由表格得：从抽出的1 2 名学生中男女生各随机选取一人，共有C：C：=3 6 种组合，其中男生成绩高于女生(8 1,7 2),(8 1,8 0),(8 4,7 2),(8 4,8 0),(8 6,7 2),(8 6,8 0),(8 6,8 4),(8 6,7 2),(8 6

46、,8 0),(8 6,8 4),(8 8,7 2),(8 8,8 0),(8 8,8 4),(9 1,7 2),(9 1,8 0),(9 1,8 4),(9 1,8 8),所以事件A有 1 7 种组合，因此P(A)=，；(I I)由数据知，在抽取的1 2 名学生中，成结为优秀(9 0 分)的 有 3人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取1 人，该学生成绩优秀的概率为1 ,4因此从该校高一学生中随机抽取3人，成绎优秀人数X可取0,1,2,3且*8(3)，43 2 7 1 3 2 7 3 1 9P(X =0)=(-)3=,P(X =1)=?3 x-x(-)2=,P(X =2)=X-X(-)2=,

47、4 6 4 4 4 6 4 4 4 6 4p(X=3)=d)3=，,所以随机变量X的分布列为：4 64X0123P2 7642 764964164 J W M E(X)=0+l x +2 x +3 x =-.64 64 64 64 4/(II”II、)男m /生L.的f y/t平v i z 均L A成r-绩p.为M 玉=-8-1-+-8-4-+-8-6-+-8-6-+-8-8-+-9 1=8 6,贝mi.ij s；二 一1 工(七一%)2。9八.667；女/生的平均成A绩d k 为马=-7-2-+-8-0-+-8-4-+-8-8-+-9-2-+-9-7=8o5.5,则m,5i，=乙12(%.一

48、%)-65.9 2；6 6 y=i由于从参加活动的男生中抽取成绩为86分的学生组成新的男生样本,福川一 81+84+86+86+88+86+9 1 o.2 1 。所以毛=-=8 6，则 s；=2 _（/一/）-8.2 86：7 7 I所以 s；s；公=0.6(1-0.6)=0.2 4,=0.3(1-0.3)=0.2 1,Dr/s=0.2(1-0.2)=0.16.:.方差 D q，。外，D/，D%,3%的大小关系为：D%=D%D%D h D%.2 3.(2 02 2朝阳区二模)为实现乡村的全面振兴，某地区依托乡村特色优势资源，鼓励当地农民种植中药材，批发销售.根据前期分析多年数据发现，某品种中药

49、材在该地区各年的平均每亩种植成本为5 0 0 0元，此品种中药材在该地区各年的平均每亩产量与此品种中药材的国内市场批发价格均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：该地区此品种中药材各年的平均每亩产量情况各年的平均每亩产量4 0 0依5 0 0依频率0.2 50.7 5(注：各年的平均每亩纯收入=各年的平均每亩产量x批发价格-各年的平均每亩种植成本)(I)以频率估计概率，试估计该地区某农民2 0 2 2年种植此品种中药材获得最高纯收入的概率；(I I )设该地区某农民2 0 2 2年种植此品种中药材的平均每亩纯收入为X元，以频率估计概率，求X的分布列和数学期望；(I I I)已知该地区某农民

50、有一块土地共1 0亩，该块土地现种植其他农作物，年纯收入最高可达到4 5 0 0 0元，根据以上数据，该农民下一年是否应该选择在这块土地种植此品种中药材？说明理由.频率【详解】(【)该地区此品种中药材各年的平均每亩产量5 0 0口的概率为0.7 5,此品种中药材的国内市场批发价格为2 5元/版的概率为0.6,该地区某农民2 0 2 2 年种植此品种中药材获得最高纯收入的概率0.7 5 x 0.6=0.4 5 .(I I )4 0 0 x 2 0 -5 0 0 0 =3 0 0 0 ,4(X)x 2 5 -5 0 0 0 =5 0 0 0 ,5 0 0 x 2 0 -5 0 0 0 =5 0 0