2023年高考数学一轮复习新课标版理科作业题组层级快练51-60.pdf

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1、题组层级快练（五十一）1.（2022豫北名校联考）已知直线?U平面a,则“直线L 平面a”是“直线?”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件答 案 B解析 充分性：；直线/，平面a,垂直于平面a 内所有直线,又.直线?U平面a,.直线/，直线用，充分性成立;必要性：若机且直线，U平面a,则直线/_L平面a 不一定成立，必要性不成立.故选B.2.如图，三棱柱ABC-AiBCi中，侧棱A 4 垂直于底面4 8 iG，底面三角形 4 S C 是正三角形，E 是 8 C 的中点，则下列说法正确的是（）A.CG 与 S E 是异面直线B.AE与 8 C 是异面

2、直线，且 血 L与 C.AC_L平面4 M AD.AiCi平面ABiE答 案 B解 析 对于A,CG,S E 都在平面8 B C C 内，故错误；对于B,AE,B iG 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，底面三角形ABC是正三角形，是 BC 中点，所以AE与BiG是异面直线，且又故 A E L B iG,故正确；对于C,上底面ABC是一个正三角形，不可能存在A C,平面ABBiA,故错误；对于D,4 G 所在的平面与平面ASE相交，且 4 G 与交线有公共点，故错误.3.如图，在四面体ABC。中，已知AB_LAC,BD 1.AC,那么。在平面4BC内的射影”必在（）A.直线AB上C.直线A

3、C上答 案 AB.直线BC上D.ZVIBC 内部解析 由 AB_LAC,BD1AC,X ABHBD=B,AB,BOU平面 A 8 O,则 AC_L平面 A8O,而ACU平面ABC,则平面A8C_L平面AB。，因此O 在平面ABC内的射影“必在平面ABC与平面ABO的交线AB上.故 选 A.4.如图，AC=2R为圆。的直径，NPCA=45,也 垂直于圆。所在的平面,8 为圆周上不与点A,C 重合的点，45_LPC垂足为S,ANJ_PB垂足为M则下列结论不正确的是（）A.平面ANS_L平面PBCB.平面4VSJ_平面以BC.平 面 平 面 尸 BCD.平面A8C_L平 面%C答 案 B解析 因为以

4、_L平面ABC,BCU平面A B C,所 以 附 J_ 8 C,又 4B_LBC,PAHAB=A,PA,PBU平面加B,所以BC_L平面B 4 B,又ANU平面A B P,所以BC_LAN,又因为AN_LP8,BCCPB=B,PB,BCU平面P 8 C,所以ANJL平面尸B C,又 ANU平面ANS,ANU平面南B,所以平面AVS_L平面P B C,平面以8_L平面P B C,所以A、C 正确，D 显然正确.故选B.5.（2022 武汉模拟）如图，在正四面体P-A 8 C 中，D,E,F 分别是A8,pBC,C 4的中点，下面四个结论不成立的是（）/A.BC平面 PDF AZ A：；.cB.。

5、口L平面必EC.平面P）F_L平面物E BD.平面PE_L平面4 8 c答 案 D6.如图所示，在四边形ABCQ中，AB=AD=CD=,B D=B_LCD将四边形ABC。沿对角线8。折成四面体A B C D,使平面A 8。_L平 面 B C D,则下列结论中正确结论的个数是（）A CBD；NBA C=90；C 4 与平面A 8 0 所成的角为30。；四面体4 一BCD的体积为;.A.0B.1C.2D.3答 案 B解析：AB=AD=C D,BD=y2,：.ABLAD,.平面 A 8。_ 1_平面8。9,B D V C D,平面 A B Q C 平面 BCQ=BZ),.C_L平面 A BD,取 B

6、O的中点。，连接。4 (图略)，：A B=A D,/.A,OLBD.又平面 A BO_L平面 8 c Z),平面 4 BOA 平面 BC=8,A OU平面 A BD,.,.A O_L平面 BCD又；.O C 不垂直于BD.假设4 C1.BD,：O C为4 C 在平面BC。内的射影，：.O C B D,与 0 c 不垂直于B。矛盾，故错误；由 C)_L平面 A B D,又 4 BU 平面 4 BD,：.CD A B.VA,B=A。=1,BD=y2,，A BLA D,X CDDA D=D,CD,A OU 平面 A CD,：.A B_L平面 A CD,又 A CU平面A CD,.A B A C,故正

7、确；Z C A。为直线C 4 与平面A 8。所成的角，ZC A 0=45,故错误；VA，-BCD=VC-A,BD=3SAX,BD*C D=,故错误.故选 B.7.如图，四棱锥SABCQ的底面为正方形，底 面 A8CZ）,则下列结论中不正确的是（）A.AC rSBB.ADSCC.平面SAC_L平面SB。D.BD1SA答 案 D解析 本题考查空间中线线、面面垂直的判断，三垂线定理的应用.由S O,底面ABC。，得 SB在平面ABC。内的射影为。8.又0 8 与 AC垂直，所以SBJ_AC,A 正确；由SC在平面 A8CD内的射影O C 与 A O 垂直，得 SC_LA。，B 正确；由AC_LS8,

8、AC1BD,SBCBD=B,可得ACJ平面S3。，从而有平面S 4 c l.平面SBZ）,C 正确；若 B O J_S4,则 B。垂直SA在平面A8CO内的射影D 4,与已知条件矛盾，D 错 误.故 选 D.8.在正方体ABC。-4 B 1 G A 中，P,。分别为棱8 c 和棱C G 的中点，则下列说法不正确的是（）A.BG 平面 AQPB.平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形C.A1O_L平面 AQPD.异面直线Q P与 4 G 所成的角为60答 案 CO,C,解 析 本题考查线面平行的判定、正方体的截面、线面垂直的判定以及异4,8一面直线所成角的求解.如图，因为p,。分别为棱BC和CG的

9、中点，所以 B G 尸。.又 平 面 A Q P,所以平面A Q P,故 A 正确；连接 卜.*汉 四 AD,DQ,由A 知 B G 尸。，又 8 G A。，所以PQA。.又由已知条件得A Q=A P,所以等腰梯形A P Q 2即为平面AQP截正方体所得截面，故 B 正确；由正方体性质知AQ_L平面A 8C 1A,假设平面A Q P,则平面平面4 Q P,与平面ABGOiC平面AQP=AQi矛盾，故 C 错误；连接4 8,由A 知 B G P Q,所以N 4G B为异面直线Q P与 4 G 所成的角.因为4 G B 为等边三角形，所以/A iC 8=60,故 D正 确.故 选 C.9.如图，已

10、知六棱锥P-ABCDF的底面是正六边形，朋 _L平面ABC,PA=2 A B,则下列结论：/pK PBAE；平面A8CL平 面 PBC；直线BC 平面B4E；/P D 4 /I A=45.A其 中 正 确 的 有（把所有正确结论的序号都填上）.答 案 解析 对于，因为朋_L平面A B C,所 以 以 _LAE,又 E4_LAB,PACAB=A,所 以 E4_L平 面%B,从而可得EA_LP8,故正确.对于，由于出1.平面A 8 C,所以平面ABC与平面PBC不可能垂直，故不正确.对于，由于在正六边形中BCA）,所以BC与 EA必有公共点，从而BC与平面以E 有公共点，所以直线BC与平面办E 不

11、平行，故不正确.对于，由条件易得物。为直角三角形，且以1AD,又用=2AB=AQ,所以NPD4=45.故正确.综上，正确.10.（2022.重庆检测）如图所示，在四棱锥P-4B C O 中，出_ L底面ABC。，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点M 满足_ _ _ _ _ _ _时，平面MB。_L平面PCD（只要填写一个你认为正确的条件即可），义 f C答案 用，/（或 8知_ 1_/等）A B解析 底面 ABC。，：.B D P A,连接 A C,贝 B）_LAC,且 E A 4C=A,PA,ACC平面PAC.平面办C,：.BDLPC,：.当 ）MJ_PC（或 BMJ_P。时，

12、由 8O n）M=Z）（或 B）ri2M=B）,即有尸C_L平面 MB,而尸CU平面 PC。，二平面平面PCD.11.如图所示，ZACB=90,OA_L平面 ABC,AELDB 交 DB 于 E,A F X.。0 c 交。C于F,且AO=A8=2,则三棱锥。一AEF体积的最大值为.答 窠*解析 因为 D4_L平面 A B C,所以 D4_LBC,X BCLAC,D4 n A e=A,所以 BC J_平面A O C,所以BC_L4F,又 4尸，C D,BC H C D=C,所以A凡L平面。C8,所以AFVEF,AF1DB,X DBLAE,A E D A F=A,所以 8_L平面 A E F,所以

13、 DE 为三棱锥。一AEF的高.因为AE为等腰直角三角形A8Q斜边上的高，所以DE=AE=巾,设人/二”，1 1 a2+b2 1 2 1F E=b,贝 U /+=2,A77 的面积 5=5曲4 5=5 X 5=5,所以三棱锥 DAEF乙 乙 乙 乙 乙 乙的体积啦=*（当且仅当a=b=时等号成立）.12.如图，S是圆锥的顶点，AB是圆锥底面圆。的直径，点 C在圆锥底面圆。上，。为 8C的中点.求证：平面SOO_L平面S8C；（2）若ASAB为正三角形，且 BC=2AC=4,设三棱锥S-ABC的体积为V,圆锥的体积为吻，求色的值.y 5 n答 案 略（2）丁解 析（1）证明：由已知可知，SOJ_

14、底面圆。，.8。在底面圆。内，；.8（?，50,点C在底面圆。上，C.ACA.BC,又点。，点。分别为AB,BC的中点，S.OD/AC,：.ODVBC.又 oz）n s o=o,且 0。，s o u 平面 SOO,：.BC _L平面 S。，又 BCU平面S B C,：.平面SOD平面SBC.；8C=2AC=4,AByjAC2+BC2yj42+22 2邓,.1SAB是边长为24的正三角形，.50=坐 义 2小=/.VI=|XSAACXSO=:1XX2X4X/15=1V15,V2=|x 3 1 义（小）2-4 B CQ i中，M,N分别为8 ,C。的中点,有以下命题：MN平面4 8。；MN_LC

15、Oi；平面A|MN_L平面A|A C,则正确命题的序号为.答 案 解析 方法一：如 图1,取BC的中点E,连接ME,NE,易 知 平 面 平 面4B Q=M N平面ABD.方法二：如 图1,连接A S交A出于点产，连接。尸，F M,在正方体A G中，MF 统 DNnNMDF=NM平而 Ag图1如图2,取CCi中点H,连接NH,易得N H为 在 平 面DCCD内的投影,D L N H=C DMN.（三垂线定理）如图3,取 8 c的中点E,连接N E,B D,易得B Z）_ L 平面4 A C,NE/BD,平面 A AC.延长A i M交A B的延长线于点Q,连接N Q,N。即 为 平 面 与 底

16、 面 的 交 线.由题知 B Q=A B=2 N C,易知E 在 NQ,即 N E C 平面4MM平面4MN与平面A AC不垂直.1 5.（2 0 2 2 惠州市模拟）在平行四边形A B C D 中，AB=3,B C=2,过 4点作C 的垂线交C D的延长线于点E,4 6=小.连接E 8 交 AO于点尸，如 图 1,将 A O E 沿 AO折起，使得点E到达点尸的位置，如图2.（1）证明：直线A D _ L 平面B F P；若 G为 PB的中点，为 C E）的中点，且平面A O P L 平面A 8C。，求三棱锥G-8 CH的体积.3答 案 略（2）讳解 析（1）证明：如题图1,在中，A B=3

17、,A E=小,：.Z A E B=60 且 B E=2 小.A O E 是直角三角形，:.D E=q AD 2 AE2=l,.第=矍=乎.：/A E C=N B A E=9 0 ,：.ABAE/AED,：.Z EAD=Z ABE=9 0-6 0 =3 0 ,Z D A B+Z A B E Z D A B+Z A D=9 0 ,：.BEAD,故在题图 2 中，PFL AD,BFAD,P F H B F=F,且 BF,P 尸 U 平面 B F P,二4。，平面 BFP.（2）：平面A O P _ L 平面A 8 C D,且平面A O P C 平面A 8C D=A ,P F U 平面A OP,且由（

18、1）知PF1AD,.PF_L 平面 ABCD.方法一：如图，取 B尸的中点为0,连接G 0,则 GOP F,且 GO=gPF,：.GO_L 平面 ABCD,即 G。为三棱锥 G-BCH 的高，G 0=1pF=|4sin304-厂 口 1门 二 3.1 rj 1 v 3 r-3 s C H=D C=y .SBCH=2C H 3=2X2X3=-4,0 VG-BCH=GO=1x3小“小 34 4-16-方法二：；G 为 PB 的中点，.三棱锥G-B C H 的高等于;PF.易得 PF=%sin30。=坐,:H为CQ 的中点，.,.BCH的面积是四边形ABCQ的面积的;,二三棱锥G-B C H 的体积

19、是四棱锥P-A B C D的体积的OVp-ABCD=AHCD ,P F=g x 3小 X坐=：,1 3 3三棱锥G-B C H的体积为o 2 lo题组层级快练（五十二）1.已知向量4=（1,1,0）,%=（1,0,2）,且痴1+B 与 2 一b 互相垂直，则左的值是（）A.1 B.2C.j D.1答 案 A2.如图所示，在平行六面体ABC。-A B iG D i中，M 为4 G 与 B Q 的交点.若矗=a,A D=b,A 4,=c,则下列向量中与前相等的向量是（）ac,A BB.1a+于+cD.ab+c3.若Q=(2,3,m),b=(2n,6,8),且 a,为共线向量，则机+的值为()5A.

20、7B，2C.6 D.8答 案 C解析 由a,b 为共线向量,.得机一83-6解得m=4,=2,则 加+=6.故选C.4.（2022西安五校联考）在空间四边形A8CZ）中，AB-C D+A C -D B+A D -B C （）A.-1 B.0C.1 D.不确定答 案 B（）5.已知空间四边形O A 8C,其对角线为。8,AC,M,N 分别是边OA,CB/的中点，点 G 在线段MN上，且使M G=2G N,如图，则正确用向量为i,CO B,无 表 示向量论的是（）BA.d G=d A+O B+d cB.CC.OG=yOA+O B+o C0 3 3D.5G=7 O A+7 O B+1(?C 6 3

21、3答 案 C解析 连接O N.dh=BM+祓 7 O A+O N-O M)1 一 21-*1 -*1 -*=20A+石。3+2。/OA1 -1 1 -A=心 4+0 8+亚心故选C.6.如图所示，正方体ABC4 一4 B C Q 1 的棱长为a,M,N 分别为4 B 和AC上的点，A i M=A N=华,则 MN与平面B B C C 的位置关系是()A.相交 B.平行C.垂直 D.在平面B 5 G C 内答 案 B解析 .曲=必 1+启+而=；2Ai+AiA+；启-A -A 1 -A -A=Q(8I4 BlB)+BiB+A B+A D)2 1 ：.M N,加B,8 7 3 共面.又 M N Q

22、 平面B B C C,；.MN平面 BB C C.7.直线/的方向向量a=(l,-3,5),平面a 的法向量n=(1,3,-5),则有()A.I/aB./1 aC./与 a 斜交D./C a 或/a答 案 B解析 因为 a=(1,3,5),=(1,3,5),所以 a=,a/n.,./_1_平面a.故选B.8.如图，二面角a/一夕为60,A,B 是棱/上的两点，AC,8。分别在半平面 a,内,AC A.I,BD A.I,且 AB=AC=m B D=2 a,则 C D的长为()A.2 aC.a答 案 AB.y 5aD.y f i a解析,：AC L l,BD L l,：.AC,而=60,且 证 函

23、=0,BD=0,：C D C A +AB+BD,|C D =l (C A+AB+BI)2 y a2+a2-(2 a)2+2 a-2 a c os 1 2 0 =2 a.9 .给定两个不共线的空间向量a与4定义叉乘运算：a X。，规定：为 同 时 与a,b垂直的向量；a,b,a X b三个向量构成右手系(如图1)；心义臼=|训臼 s i n .如图2,在长方体A BCD-48 i GZ)i中，AB=AD 2,A 4i=4,则下列结论不正确的是().ABXAD=AAB.ABXAb=AD XABC.(Ai+AD)XAAABXAAi+AD XAAiD.长方体 A 8 C A|8 i G)i 的体积 V

24、=(魂答 案B10.已知A,B,C三点不共线，点O为平面A B C外任意一点，若点M满足原=好+浙2-+ffi C,则点M_ _ _ _ _ _ _(填“在”或“不 在)平面A B C内.答 案 在11.若a=(l,1,0),0,2),则与a+Z 同方向的单位向量是答 案(。,李,平)12.如图，四棱锥P A 8 C。中，用_L底面A BCD,底面A 8 C D为梯形，AD/BC,C D 1.BC,A O=2,A B=8 C=3,PA=4,M 为 4。的中点，N 为 PC 上的点，且P C=3P N.求证：M N平面B4B.答 案 略证 明 方法一：如图，在平面P 8 C内作N H 8 c交P

25、 8于点H,连接A H,在 P BC中，NH/BC,且NH=1fi C=1,A M AD=1,又 ADBC,.%，4用 且/=4加,四边形AMNH为平行四边形，：.MN/AH,又 A”U 平面MN4平面B4B,；.MN平面 PAB.方法二(向量法)：在平面ABCD内作AE C。交 BC于点E,则 AELAD.分别以A,AD,A P所在直线为x 轴、)，轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则P(0,0,4),M(0,1,0),C(2隹 2,0),A(嗜 j,|)，B Q -1,0),A(0,0,0),故 疝=(平，AP=(0,0,4),矗=(2 -1,0).设加=加 通+崩，二 呼，4 2(

26、2啦,-1,0)+(0,0,4),1 2 n=2:.MN,AB,4P 共面.二 血 平面FAB.又MNQ平面PAB,：.MN平面 PAB.方法三(法向量)：建系写点坐标如方法二.、一 一 f4zi=0,设 机=(xi,yi,zi)为平面PAB的一个法向量，则 由 i nAP,得J广22x1yi=0,fzi=0,lyi=2y2x.令 Xi=1,则,=(1,2y2,0).,.MN,/n=X I；X 2/5+/XO=O.；.m 1 M N,二 疯 平面 PAB.又 M/W平面 PAB,：.MN/平面 PAB.13.如图所示，正三棱柱ABC-A山C i的所有棱长都为2,。为 C G 的中 A _ _

27、_ _ _ _点.求 证：ABi_L平面A ID /?答 案 略 姓妙证 明 方法一：取 8 c 的中点0,连接AO.:ABC为正三角形，：.AOBC.在正三棱柱ABC4 B G 中，平面ABC1平面B C G B ,平面A8CA平面8CG81=8C,A 0U 平面ABC,.A0_L平面BCCB.取 31G 的中点。1,连 接。，以。为原点，6B,OO,后 的方向分别为X,y,Z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则 3(1,0,0),D(-l,1,0),Ai(0,2,小)，A(0,0,小)，Bi(l,2,0).设平面 4 3。的法向量为=(x,y,z),B A i=(-l,2,小)，访

28、=(一2,1,0).-/1BAi=0,则_L8Ai,n A.B D,故,“砺=0.f-x 2y-yf3z=0,l1 I令 x=1,则 y=2,z=y3.一 2r+y=0,故 篦=(1,2,一小)为平面4 3。的一个法向量，而泰=(1,2,一木)，即施 凡 .A8i_L平面A 8D方法二：设平面ABD内的任意一条直线机的方向向量为/n.由共面向量定理，得存在实数，,使 m=XBA令B S=a,BC=b,BA=c9 显然它们不共面，并且=|b|=|c|=2,a b=a c=0f bc=2,以它们为空间的一个基底，则位i=a +c,BD=a+b,AB=a c9 m=XBA+PBD=(4 +%)+/必

29、+2。,ABm,=(Q-c(4+)+6+舵 =4(4m,结论得证.方法三：基向量的取法同上.VABi,BAi=(ac)-(a+c)=|a|2|c|2=0,AB BD=(ac)a+b c-b cO,：.ABiBAi,A B V B D,即 ABVBAi,A B ilB D,由直线和平面垂直的判定定理，知 A8iJ_平面4B DI重点班选做题14.（2022山东潍坊市模拟）如图，棱 柱 ABCD-ABCD的所有棱长都等于2,Z A B C 和NAiAC 均为 60,平面 A4GCJ平面 A8CD n 求证：BDLAAn 在直线CG 上是否存在点P,使 8P平面D4|Ci，若存在，求出点 P 的位置

30、，若不存在，请说明理由.取答 案 略解 析（1）证明：设与AC交于点。，则 8O_L4C,连接 4 0,在AA|。中，AA|=2,AO=1,N4|AO=60,所以 A|O2=A4|2+AO2-2A4|AOcos60=3,所以所以 AtOLAO.由于平面A4CC_L平面ABCD,且平面AAJGCCI平面ABCD=AC,4 O U 平面 A4CC,所以4。_ 1 _ 平面ABCD.以OB,OC,0 4 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 4 0，-1，0）,仇 小，0,0）,C（0,1,0）,。（一 书,0,0）,A|（O,0,小），G（o,2,小）.因为应）=

31、（一2小，0,0）,筋 i=（0,1,小），所以看 而=0 X（2小）+1 X 0+小 X0=0,所以砺_ 1 _ 筋 1,即 BOJ_A4.（2）假设在直线CG 上存在点P,使 BP平面DAC,设P（x,y,z）,则（x,y-l,z）=A（0,1,小），即 x=0,y=k+1,z=小人.从而有 P(0,1+A,小 4),BP=(-y f 3,1+A,小 4).设平面。4 G 的一个法向量为=(xi,y i,z i),则 ttA C =0,n-D A=0fX A =(-2,1,0),MN=(2,1,1).设 需工噜即B F与 MN所成角的余弦值 为 曙.故选A.2.(2 0 2 2 重庆诊断)

32、如图所示，在三棱柱A B C A i B i G 中，A B C 是等边三角形，441 1.平面AB C,44i=AB=2.O,E,尸分别是8自，4 4”4 G的中点，则直线E F 与 C。所成角的余弦值为()A.|B 坐1C.2D.0答 案 D解析 方法一：分别延长4 G,A C至 M,N,使 GM=A G,CN=A C,连接AC,C M,D M,Bi M,B F,M N,如图所示.由题意，易知 EF/AC t/C M,CD=本,C M=2 y 2,DM=j+B i M 2 K B i +B F+FM?y l2+(y/3)2+32y 13.设直线E 尸与C )所成角为仇易知c o sC D2

33、+C M2-DM2(小)2+(2 业 2-(y/13)2e=|c o s N D C M=-2 C D C M =2 X邓X2小直线E F与CO所成角的余弦值为0.故选D.方法二：如图，将三棱柱补成四棱柱，其中两个三棱柱全等.取 PB中点Q,连 接DQ,由棱柱性质易知EF/D Q,：.ZCDQ为EF和 C。所成的角或其补角.连接C。，由题知B C=2,8。=1,BD=1,：.C D=y 5,D Q=y 2,又/C B Q=1 2 0 ,二在 C B。中，由余弦定理可得 C Q 2=2 2+1 2-2 X 2 X 1 X(-)=7,.，。二巾.在 C Q Q 中，CQ2=C2+O Q2=7,Z

34、C Z 2=9 0 ,和 CD所成角的余弦值为0.故选D.方法三：如图，以A 为原点，以过点A 垂直于平面A CG4 的直线为x 轴,以4 c所在直线为y 轴，以A 4 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系.由 AAi=AB=2,/XABC 为正三角形，D,E,F 分别为 BB,A41.A,C,的中点，得 E(0,0,1),F(0,1,2),C(0,2,0),(小，1,1),：.EF=(0,1,1),历=(/,-1,1).：EF C D=0-l +l=0,：.EF CD,:.EF 与C）所成角的余弦值为0.故选D.3.如图，已知棱长为2 的正方体ABC。一AiBCi。，点 E 为线段C A 的中

35、点，则直线AE与平面4 8 c A 所成角的正切值为（）答 案 A解析 连接A S,设 A S 与AiB交于点F,易知APJ_A山，A F Y B C,且A iB C B C=B,所以ApAF_L平面AIBCCI.连接EF,则NAEF是直线A E与平面A山C A 所成的角，tanN A E F=nr=乎 故 选 A.4.（2022.辽宁省部分重点高中联考）已知圆锥S O的底面半径为，当圆锥的体积为田山3时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为（）B坐D坐答 案 Ay2解 析 本题考查圆锥的结构特征以及圆锥的体积.设圆锥的高为/2,由圆锥的体积为手冗得,九解得人=乎的母线与底面所成角为a,则 si

36、n2+7=坐二设圆锥竽.故选A.5.（2022 临沂市调研卷）如图，已知尸是矩形ABC。所在平面外一点，PAL平面ABC,E,尸分别是AB,P C 的中点.若NPD4=45,则 E F 与平面A B C D所成角的大小是（）A.90B.60C.45D.30答 案 C解析 如图，取尸。中点G,连接AG,F G,V E,尸分别为A 8,尸 C 的中点,：.AE=AB,GFC 且 G F=3）C,又：在矩形 4BC 中，ABC。且 AB=C,：.AE/GF S.AE=GF,：.四边形AEFG是平行四边形，：.AG/EF,：.A G 与平面ABC。所成的角等于E F 与平面ABCD所成的角,:附 1.

37、平面 ABC。，AOU平面 4BCD,：.PAAD.过 G 作 G H L 4 Q,垂足为H,G/7U平面 也。，则 G”必，；.GH_L 平面 ABCD,：.ZG AH 为AG与平面AHCD所成的角，；/PD 4=45,G 为 P。的中点，/.ZGAH=45,即 E F 与平面48C O 所成的角为45.故选C.6.如图，圆柱0。2的底面半径为1,高为2,AB是一条母线，8。是圆01的直径，C 是上底面圆周上一点，/CBO=30,则异面直线AC与 8。所成角的余弦值为（）.3而A-3FCL14答 案 C解析 连接A02（图略），设 A02的延长线交下底面圆周于点E,连 接 C E,易知/C

38、A E 即为异面直线4 c 与 8 D 所成的角或其补角，连接C D,在 RtaBC。中，ZBCD=90,BD=2,NCBD=30,得 BC=小，CD=1.又 AB=DE=AE=BD=2,AC=AB1+BC1=,CEI_k；r 上 AC2+AE2CE2 7+4-5 3由 n n=yjDC2+DE2=y 5,所以在中，cosi-2/；而一=2X小X2=，即异面直线4 c 与 8。所成角的余弦值为蛙.7.一副三角板由一块有一个内角为6 0 的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，Z B=Z F=90,ZA=60,ZD=45,BC=QE.现将两块三角板拼接在一起，取8 C 中点0 与 AC中

39、点M,则下列直线与平面OFM所成的角不为定值的是（）答 案 B解析 本题考查直线与平面垂直的判定定理，直线与平面所成角.因为0,历 分别为BC,A C 的中点，所 以。所 以 0M_LBC.又。尸 _L 8C,且 0M C 0 F=。，所 以 BC_L平面0 M F,所以8尸，C F与平面。尸 M 所成的角分别为/8 尸 0 和/C F 0,它们相等，均为45.根据直线与平面所成角的定义知，AC与平面。尸 M 所成的角为NCM O=NC48=60.故只有 A尸与平面。尸 M 所成的角不为定值.8.（2021山东青岛期末）如图,正方体ABCD-AiBiG如的棱长为1,则下列四个结论不正确的是（）

40、A.直线BC与平面A8CQ1所成的角为？B.点 C 到平面A 8 C B 的距离为日JIC.异面直线。|C 与 BC1所成的角为彳D.三棱柱AAQi8 8 G 外接球的半径为坐答 案 C解 析 本题考查异面直线所成角、线面角、点到平面距离及外接球问题.正方体ABC。一A/C iA 的棱长为1,直 线 B C 与平面ABG。所成的角为/C B G=?,故 A 正确；连接B C 由 BiCIBCi,BiCLAB,B C i H A B=B,得 8jC_L平面 ABCiD i,所以点 C 到平面 ABCiD i的距离为B C 长度的一半，即乎，故 B 正确；因为B G A A,所以异面直线A C 与

41、 BG所成的角为/A Q C,连接A C,则A A C 为等边三角形，故异面直线。C 与 B G 所成的角为 故 C 错误；三棱柱A 4 S B B C 的外接球也是正方体ABC。一4 由 。|的外接球，故外接球半径为-2=2）故 D 正 确.故 选 C.9.（2022 武汉模拟）已知四棱锥尸一4 3 8 的底面是菱形，ZBAD=60,PQ_L平面ABCQ,且 P O=A B,点 E 是棱A O 的中点，/在 棱 P C 上.若 P F：/C=l：2,则直线E F 与平面A B C D所 成 角 的 正 弦 值 为.答 案 嘴解 析 如图，以。点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D v y

42、 z.设菱形A 8 C D 的边长为2,则)(0,0,0),E再,0),0,1,所以访=(一坐,看,又平面4 B C 4的一个法向量为“=(0,0,1),4、/3 5即直线EF与平面A 8 C。所成角的正弦值为 紫1 0.如图，四边形A 8 C D 是正方形，附，平面A 8 C D,%E B,且 以=A B=3.求证：C E 平面 ：(2)若以 求直线尸。与平面P C E 所成角的正弦值.答 案 略 坐解 析(1)证明：因为四边形A B C。是正方形，所以B C A D又 ACU平面力。，B C C 平面 以。，所以B C 平面也D同理可证E B 平面PAD.因为8Cn EB=8,所以平面E

43、B C 平面B A D又因为C E U 平面E 8 C,所以C E 平面以D(2)以A为原点，分别以A。，AB,AP所在直线为x,y,z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为以=AB=3,所以 8 E=；%=1,则 P(0,0,3),D(3,0,0),C(3,3,0),E(0,3,1).所以历=(3,0,-3),记=(3,3,-3),走=(0,3,-2).设平面P C E 的法向量为帆=(x,y,z),机 PC=3x+3y3z=0,则j 令 z=3,得机=(1,2,3).,mPE=3y2z=0,设直线P。与平面PCE所成的角为。，I丽 加 正所以sin 0=-=亍，PDm即 直 线 与 平

44、面 PCE所成角的正弦值为乎.11.如图所示，在四棱锥 PABCO 中，A P=P D=D C C B,A8=2,NAPD=/D C B=ZCBA=90,平面南。，平面 A8CD(1)求证：PB=PC；(2)求直线PA与平面PCD所成角的正弦值.答 案 略 半解 析 本题考查线面垂直、面面垂直、直线与平面所成的角及空间向量的应用.(1)证明：设 AO,BC的中点分别为。，E,连接P。，OE,E P,如图，依题意可知OE为直角梯形ABCO的中位线，故OELBC.又平面B4_L平面A BCD,平面3 0 n 平面A8CD=A,依题意可知尸O_LAO,所以POJ_平面ABC。，又 BCU平面ABC。

45、，则 POJ_8c.又 P O C O E=O,所以 BC_L平面 PEO.又 PEU 平面 P E O,故 BCJ_PE又 E 为 BC的中点，所以PB=PC.(2)在 AB上取一点尸，f t#A B=4A F,连 接 0 居 易知OF,OE,OP两两垂直，以。为原点，OF,OE,O P所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，则 尸(0,0,阴，A(1,0),cI，I，0),D(I，I，0),从而两=&T-坐)，正=(T i,Z)C(0,1,0).设平面PCD的法向量为=a，y,z),则n-PC=_%+|y 一 坐 z=0,n-DC=y=0,可取=(/，0,1),所以c

46、os 防 =回 口=坐I网|“|-故直线P A与平面P C D所成角的正弦值为坐.12.(2022 湖南雅礼中学模拟)如图，在直角梯形AEFB中，AE/BF,AE1.0 K/E F,且BF=EF=2AE=4,直角梯形。|EFG可以通过直角梯形AEFB以/直线E F为轴旋转而得到.B 求证：平 面G O iEF,平面BCiF；(2)若二面角C EF-B 为 鼻,求直线G E与平面ABG所成角的正弦值.答 案 略(2)田正解 析(1)证明：在直角梯形AEF8中，AELEF.且直角梯形D iEF Ci是通过直角梯形AEFB以直线EF为轴旋转而得，.OiELEF,：.BF EF,C F L E F,又

47、 8尸0 0尸=尸，EF 1.平面 BCi F,又；EFU 平面 CQi EF,平面 GOiEF_L平面 BCF.(2)由(1)知 8EF,CiF J-EF.,./Cl尸B即为二面角C|一E尸一B的平面角.yf/；./GFB=W.过 点尸作平面AEFB的垂线，建立空间直角坐标系如图所示.yB由 B F=EF=24E=4,可得 E(4,0,0),G(0,2,2小)，8(0,4,0),4(4,2,0).：.AB=(-4,2,0),GB=(0,2,一2小)，ECi=(-4,2,23).设平面ABG的法向量为=(x,y,z),n-AB=4x+2y=0,则有，jt-CB=2y2-3z=0.令z=l,则

48、=小，x=坐.,.=(坐,小，1).二直线G E与平面AB。所成角的正弦值为|cos“，EG|=n-EC V714|n|Cil 38国重点班选做题1 3.已知平行四边形ABC。中，NC=60,点 E 在 AO上，且满足BC=248=4AE=4,将aABE沿 BE折起至PBE的位置，得到四棱锥尸一BCQE,如图.(1)求证：平面PDE_L平面8C DE；(2)若二面角 一B E-。的大小为120,求直线PB与平面PC。所成角的正弦值.答 案 略(2声 罂解 析（1）证明：翻折前，在AABE中，AB=2,AE=1,/A=60,由余弦定理得 BE2=AB2+AE2-2AB AECOS 60=3,所以

49、 8E2+AE2=AB2,故 BEJ_AE.翻折后，因为 BE_LPE,BEVDE,PECDE=E,所以BEJ_平面PDE,又 BEU平面BCDE,所以平面POEJ_平面BCDE.(2)由(1)可知NPED即为二面角P-B E-D 的平面角.以E 为坐标原点，E D,诬 的 方向分别作为x 轴、y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz.于是。（3,0,0）,8（0,小，0）,P（-1,0,坐），C（4,0）,所以崩=房，小，一坐)，C=(|小-2丽=1,0,一 监，设平面PCD的一个法向量为=(xi,y,zi),有,n-PC=0,即 jiP D=0,%+小）1一 亭|=0,夕1 一

50、坐zi=0,令 x i=S，则 yi=-1,zi=7.所以=(小，-1,7)即为平面尸CD的一个法向量.cos ，PB_ n-PB 2159nPB 2y 设直线P 8与平面PC。所成角为仇则 s in=|c os i n,P B)尸斗 兽，所以直线P B 与平面P C D所成角的正弦值为言 詈.题组层级快练（五十四）（第一次作业）1 .如图所示，在直三棱柱1 6 C-4 6 4 中，N3=90,2 A g A A、=BC=2 .若为棱力4上一点，二面角的大小为6 0 ,贝 I JD 的长为（）A.A/2B.7 3C.2D.-答 案 A解析 如图所示，以 C为坐标原点，C 4,C B,CG所在直