2022年几何辅助线做法要点试题（试卷）.pdf

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1、线、角、相交线、平行线规 律 1.如果平面上有（应2）个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一 共 可 以 画 出 1）条.2规律2.平面上的“条 直 线 鞋 可 把 平 面 分 成（1 n（n+l）+l）个局部.规律3.如果一条直线上有 个点，那 么 在 这 个 图 形 中 共 有 线 段 的 条 数 为 条.2规 律 4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半.例：如图，B在线段AC上，M 是A8的中点，N 是BC的中点.求证：M N=A C；i证明：是A8的中点，N 是8c的中点1 1：.AM=BM=-A B ,BN=CN=-BC

2、2 21 1 1.MN=MB+BN=-A B+-B C=-（AB+BC）2 2 2/.M N=-A C2练习：1.如图，点C是线段AB上的一点，M 是线段BC的中点.2.如图，点8在线段AC上，M 是AB的中点，N 是4c的中点.求证：MN=-B C2A M N B C3.如图，点8在线段AC上，N是A C的中点，M是BC的中点.求证：MN=-A BA N B M C规 律5.有公共端点的”条射线所构成的交点的个数一共有:(n-1)个.规 律6.如果平面内有“条直线都经过同一点，那么可构成小于平角的角共有2n(n-1)个.规律7.如果平面内有n条直线都经过同一点，那 么 可 构 成(n-1)对

3、对顶角.规 律8.平面上假设有。(n3)个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出6(。一2)个.6规 律9,互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90。.规 律10.平面上有n条直线相交，最多交点的个数为,(。一1)个.2规 律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.规 律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.例：如图，以下三种情况请同学们自己证明./L上DG规 律13.AB/DE,如 图 (6),规律ZABC+ZBCD+ZCDE=360如下:ZBCD=ZABC+ZCDEZBCD=ZCD

4、E-ZABCABE/DZBCD=ZABC-ZCDEZCDE=ZBCD+ZABCZABC=ZBCD+ZCDE规 律14.成 8 字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半.例：,BE、DE 分别平分/ABC 和/AD C,假设/A=45。,/。=55。，求N E的度数.A解：Z A+ZABE=Z E+ZADE 二 NC+NCDE=NE+NCBE+得NA +ZABE+ZC+ZC D f=Z+ZADE+ZE+ZCBEBE-ZABC.DE 平分NA DC,A ZABE=ZCBE,ZCDE=ZADE/.2Z E =Z A+Z C/.Z=y (Z4+ZC)：ZA=45,ZC=55,

5、，NE=50三角形局部规 律1 5.在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.例：如图，D、E为A 8C内两点，求证：AB+AOBD+DE+CE.证 法(一)：将DE向两边延长，分别交A B、A C于M、N在中，AM+ANMD+DE+NE 在BDM 中，MB+MDBD 在CE/V 中，CN+NECE +得AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE:.AB+ACBD+DE+CE证 法（二）延长8 D 交 A C 于 F,延长C E 交 8 F 于 G,在

6、A B F 和a G F C 和 G D E 中有，AB+AFBD+DG+GFGF+FCGE+CE D G+G E D E.,+有AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE:.AB+ACBD+DE+CEA注 意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.练习：如图P为 A B C 内任一点，求证：；（AB+BC+AC）PA+PB+PC Z B A D同理Z BDF+Z CDF Z BAD+Z CAD即：Z B D O Z B A C规律21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角

7、形.例：，如图，A。为 的 中 线 且N l=N2,Z3=Z4,求证：BE+CFEF证明：在0A上截取DN=D 8,连结NE、N F,那么DN=DC在8DE和中，DN=DBZ l=Z2ED=ED:.BDEBANDE：.BE=NE同理可证：CF=NF在 可中，EN+FNEF：.BE+CFEFA规律2 2.有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：，如图，4。为A8C 的中线，且N l=/2,Z3=Z 4,求证：BE+CFEF证明：延长ED到M,使。M=D E,连结CM、FMBDE 和CDM 中，BD=CDZ l=Z5ED=MD：.CM=BE又Z3=Z4Z 1+Z 2+Z 3

8、 +Z4=180/.Z3+Z 2 =90即/DF=90：.ZFD M=/EOF=90 EDF 和MDF 中ED=MDNFDM=NEDFDF=DF1.AED&/MDF：.EF=MF.在CMF 中，CF+CM MFBE+CFEF（此题也可加倍F D,证法同上）规 律2 3.在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.例：，如图，AD为A BC的中线，求证：AB+AO2AD证明：延长A。至E,使OE=AD,连结BE：AD为A8C的中线在A CD 和 EBD 中 BD=CDZ l=Z2AD=ED：.A CD丝EBD/B E 中有 AB+BEAE：.AB+AC2AD规 律24.截长补短作辅助线的方

9、法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补短法.当或求证中涉及到线段a、b、c、d有以下情况之一时用此种方法:ab。士b=c a士b=c+d例：，如图，在A BC中，ABAC,Z l=Z2,P为A。上任一点,求证：A B-A O P B-P C证明：截长法：在A8上截取A N=4 7,连结PN在和中，AN=AC!D。AP=AP:.APNQXAPC：.PC=PN：/BPN 中有 PB-PCBN：.PB-PCPMPC：.AB-ACPB-PC练习：1.,在A 8C中，NB=60。/。、CE是A BC的角平分线，并且它们交于点。求证：AC

10、AE+CD2.,如图，AB/CDZ1=Z 2,Z 3=Z4.求证：BC=AB+CD规律25.证明两条线段相等的步骤：观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。假设图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等.如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.例:如图，BE,CD 相交于 F,ZS=ZC,Z l=Z 2,求证：DF=EF证明：V Z A D F=Z B+Z 3ZAEF=Z C+Z 4又：N3=N4Zfi=ZCZADF=ZAEF在ADF和aAEF中ZADF=ZAEFZ l=Z2AF=AF：./XADF/XAEF：.DF=

11、EF规律26.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等.例：，如图 Rt/ABC,AB=AC,/BAC=90。，过 A 作任一条直线 A/V,作 8D_L4N 于 D,CE1AN于 E,求证：DE=BD CE证明：ZBAC=90,B D L A N/.Z l+Z 2 =90 Z l+Z 3 =90Z 2=Z3：BD1ANCEA.AN：.ZBDA=ZAEC=90在48。和CAE中，NBDA=NAECZ2=Z3ABAC：./ABD/CAE：.BD=AE S.AD=CE：.AEAD=BD-CE：.DE=BDCE规 律27.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距

12、离相等.例：4 5为ABC的中线，且CF_LAD于F,8E_L4D的延长线于E求证：BE=CF证明：（略）规 律28.条件缺乏时延长边构造三角形.例：AC=BD,A D U C 于 A,BCBD 于 B求证：AD=BC证明：分别延长。A、CB交于点E：ADAC BCLBD：.ZCAE=ND8E=90在D8E和口!中ZDBE=ZCAEBDACZ E=Z E:.ADBE 空 ACAE:.ED=EC,EB=EA：.EDEA=E C-EB：.AD=BC规 律29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题.例：，如图，AB/CD,AD/BC求证：AB=CD证明：连结AC（或 BD）.AB/

13、CD,AD/BC：.Z l=Z2在ABC和CDA中,/1=/2AC=CAZ3=Z4，AABC 注 ACDAE：.AB=CD练习：，如图，AB=DC,AD=BCf DE=BF,B求证：BE=DF规 律 30.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为角分垂等腰归”.例：，如图，在 R t Z V i B C 中，AB=AC,ZBAC=90,Z l=Z 2 ,C E _ L B D 的延长线于 E求证：BD=2CE证明：分别延长8 4 CE交于F：BE 1.CF：.ZBEF=ZBEC90 在B E F 和B E C 中 Z KBE=BENBEF=NBEC：./B E F/B E CI：

14、.CE=FE=-C F2：ZBAC=90,BECF：.Z B AC=ZCAF=90/1+/B D A =9 0。Z l+Z B F C =90NBDA=ZBFC在 A B D 和中ZBAC=ZCAFNBDA=NBFCAB=AC：./A B D/A C F：.BD=CFBD=2CE练习：，如图，NACB=3NB,/1=/2（。_ 1_4。于。,求证：AB-AC=2CD规 律 31.当证题有困难时，可结合条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形.例：，如图，AC.BD 相交于。，S.AB=DC,AC=BD,求证：Z A -Z D证明：（连结B C,过程略）规律32.当证题缺少线段相等的条件时，

15、可取某条线段中点，为证题提供条件.例：，如图，AB=DC,Z A=Z D求证：ZABC=ZDCBA D证明：分别取AD、BC中点N、M,/-V连结NB、N M、NC（过程略）规律33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.例：，如图，Z l=Z2,P 为 8N 上一点，且 PD_LBC 于 D,AB+BC=2BD,求证：Z B A P+NBCP=180证明：过 P 作 PE_L8A于 E：PDLBC,Z l=Z2：.PE=PD在 RtABPE 和 Rt/XBPD 中BP=BPPE=PD：.R t/B P E R t/B P D：.BE=BD：A

16、B+BC=2BD,BC=CD+BD,AB=BE-AE：.AE=CD；PEJ LBE,PD1BC/P E B=N P D C=9。在和中PE=PDNPEB=/PDCAE=CD；.4PEA 注 APDC:.NPCB=NEAP：ZB A P+ZE A P=180：.Z B A P+Z B C P=180练习：1.,如图，PA,PC分别是A BC外角NMA C与NNCA的平分线，它们交于P,PDJ_BM于M,P FLB N于F,求证：8P为NMBN的平分线BCF N2.,如图，在A 8 C 中，ZABC=100,ZACB=2 0 ,C E 是/A C B 的平分线，D 是 A C上一点，假设N C B

17、 D =2 0。，求N C E D的度数。规律34.有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：，如图，AB=AC,8 D J _ 4 C于 D,求证：ZBAC2ZDBC证明：（方法一）作/8 A C的平分线A E,交8 c于E,那么/1=N 2=-ZBAC2又；A 8=A CJ.AE1.BC：.Z2+ZAC B =90：BDAC：.ZDBC+ZACB=90：.Z 2=ZDBC：.ZBAC2ZDBC（方法二）过人作A E _ L B C于E （过程略）（方法三）取BC中点E,连结A E（过程略）有底边中点时，常作底边中线例：，如图，8c 中，AB=A C,。为 8c 中点，

18、OEJ_A B 于 ,DEL A C 于 F,求证：DE=DF证明：连结A D.卜.,。为 BC 中点，E/VD C：.BD=CD又；A 8=A C.A D 平分/a4C：DE1.AB,DFrAC：.DE=DF将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：，如图，ZA BC中，AB=A C,在BA延长线和A C上各取一点、F,使A E=AF,求证：EF1BC证明：延长BE到N,使A N=A B,连结CN,那么A B=A N=A C/.Z e=ZACB,ZACN=ZANC：Z B+ZACB+NA CA/+ZANC=180：.2ZBCA+2ZACN=130：.ZBCA+ZACN90即/8CN=90：.NCB

19、C：AE=AF：.NAEF=ZAFE又,：NBAC=NAEF+ZAFENBAC=NACN+ZANCNBAC=2NAEF=2NANC：.ZAEF=ZANC：.EF/NC：.EFLBC常过一腰上的某一点做另一腰的平行线例：，如图，在A BC中，AB=A C,。在AB上，E在AC延长线上，S.BD=C E,连结DE交BC于F求证：DF=EF证明：（证法一）过。作 DNAE,交 BC 于 N,那么/D N B=/ACB,NNDE=NE,：AB=AC,；.N B=ZACB：.ZB=ZDNB：.BD=DN又：8D=CE/.DN=EC在DNF和中Z l=Z2NNDF=NEDN=EC：./DNF/ECF：.D

20、F=EF（证法二）过E作EMAB交8 c延长线于M,那么/E/M 8=/B （过程略）常过一腰上的某一点做底的平行线例：，如图，A BC中，AB=AC,E在A C上，。在8A延长线上，且A D=A E,连结DE_aDMFB求证：DE_LBC证明：（证法一）过点E作EFBC交A8于F,那么NAFE=NBNA EF=NC：AB=AC：.Z B=Z C：.ZAFE=ZAEF：AD=AEZAED=ZADE又 ：ZAFE+ZAEF+ZAED+NA OE=180：.2ZAEF+2ZAED90即 N FED=90DELFE又,：EFBC：.DEBC（证法二）过点。作。NBC交CA的延长线于N,（过程略）（证

21、法三）过点A作A M8 c交0E于M,（过程略）常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形一等边三角形例：，如图，A 8C中，A 8=A C,N8A C=8 0 产为形内一点，假设/P8C=10。=3 0 求/%B的度数.解法一：以AB为一边作等边三角形，连结CE那么 NBA E=/A 8E=60A E=A 8=BE：AB=ACNPCB：.AE=AC ZABC=ZACB，ZAEC=ZACE：ZEAC=ZBAC-Z BAE=80-60=20I/.ZACE=-(180-ZA C)=80?ZACB=；(180-NBA C)=50：.ZBCE=ZACE-ZACB=8050=30：ZPCB=30；.NPCB=

22、NBCEZABCZACB=50,/ABE=60ZEBC=ZABE-ZABC=60-50=10：ZPBC=10：.ZPBC=/EBC在aPBC和EBC中ZPBC=NEBCBC=BCNPCB=NBCE：./PBC/EBC：.BP=BE:AB=BE：.AB=BP：.ZBAP=ZBPAZABP=ZABC-ZPBC=50-10=40ZRA B=-(180-ZZ(BP)=70解法二：以A C为一边作等边三角形，证法同一。解法三：以BC为一边作等边三角形BCE,连结A E,那么EB=EC=BC,ZBEC=ZEBC=60；EB=EC在BC的中垂线上 BE同理A在BC的中垂线上/：.EA所在的直线是8 c的中垂

23、线：.EABC1ZAEB=-ZBEC=30=ZPCB2由解法一知：/ABC=50。A A ABE=NEBC NABC=10=NPBC?NABE=NPBC,BE=BC/AEB=NPCB：./ABE/PBC：.AB=BP；.NBAP=NBPA：NABP=NABC-NPBC=50-10=40：.ZPAB=-(1800-Z4BP)=-(180-40)=70规律35.有二倍角时常用的辅助线构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角例：，如图，在A BC 中，Z l=Z2,ZABC=2ZC,求证：AB+BDAC证明：延长AB至 IjE,使 BE=BD,连 结 DE那么 NBED=NBOE：ZABD=Z

24、E+ZBDE：.ZABC=2ZE：Z ABC=2ZC：.Z E=ZC在A ED和A CD中NE=ZCZ l=Z2AD=AD：./AED/ACD：.AC=AE：AE=AB+BE:.AC=AB+BE即 AB+BD=AC平分二倍角例：，如图,在A BC 中，BD_L4C 于。，ZBAC=2ZDBC求证:ZABC=ZACB证明:作NBA C的平分线AE交 BC于 E,那么NBA E=ZCAE=NDBC：BDAC：.ZCBD+Z C=90：.ZCAE+ZC=90：/AEC=1800-NCAE NC=90J.AELBC：.ZABC+ZBAE=90：ZCAE+ZC 90ZBAE=ZCAE：.ZABC=NAC

25、B加倍小角例：，如图，在48C 中，BD_LA C 于。，ZBAC=2ZDBC求证：ZABC=ZACB证明：作NFBD=NDBC,BF交AC于F（过程略）规律36.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来.例：，如图，ABC中，AB=AC,ZBAC=120,EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F,交AB于E求证：BF=-FC2证明：连结AF,那么AF=BF：.ZB=ZFAB：AB=AC：.Z B=Z C：N8AC=120：.ZB=ZCZBAC=-1800-ZBAC)=30：.ZFAB=30：.ZFAC=ZBAC-ZFAB=12030=90XVZC=30 1：.AF=-FC21：.

26、BF-FC2练习：，如图，在 ABC中，N C A 8 的平分线A D 与 B C 的垂直平分线O E 交于点D,DMA.AB于 M,CW _ L AC延长线于N求证：BM=CN规律37.有垂直时常构造垂直平分线.例：，如图，在ABC 中，Z B=2Z C,AOJ_ BC于。求证：CD=AB+BD证明：（一）在 C D 上截取D E=D B,连结A E,那么A8=AE：.ZB=ZAEBVZB =2 Z CZAEB=2ZCcBE1)又；/AE B=NC+NE4C：.Z C =ZEAC：.AE=CE5 i：CD=DE+CE：.CD=BD+AB（二）延长CB到F,使O F=O C,连结AF那么A F

27、=A C（过程略）规律38.有中点时常构造垂直平分线.例：，如图，在A BC 中，8c=2AB,/A8C=2/C,8D =CD求证：A 8C为直角三角形证明：过。作。E_LBC,交A C于连结B E,那么8E=CE,A ZC=ZBC：Z ABC=2ZC；.NABE=NEBC：BC=2AB,BD=CD：.BD=AB在A 8E和OBE中AB=BDZABE=ZEBCBE=BE：./ABE/DBE：.ZBAE=ZBDE：ZBDE=90/BAE=90即A BC为直角三角形规 律39.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题.例：，如图，在A BC中，Z4=90,DE为BC的垂直平分线

28、求证：BE2AE2=AC2证明：连结C E,那么8E=CEZA=90：.AE2+AC2=EC2：.AE2+AC2=BE2:.BE2-AE2=AC2练习：，如图，在8c 中，ABAC=90,AB=AC,P 为点B C上一求证：PB2+PC2=2R42规律40.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中.例：，如图，在A BC 中，ZB=45,ZC=30,A 8=J 7，求 A C 的长.解：过A作A D J_8 c于。：.Z B+Z B A D =90,：/B =45,N 8=/B AD =45,：.AD=BD：AB2=AD2+BD2,=：.AD=1V Z C=30,AD1.BC：.AC=

29、2AD=2四边形局部规律41.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半.例：，必BCD的周长为6 0 cm,对角线AC、8。相交于点。，A A O B的周长比 8O C的周长多8 c m,求这个四边形各边长.解：.四边形ABCD为平行四边形：.AB=CD,AD=CB,AO=CO：ABJrCD+DA+CB=60AO+AB+OB-（OB+BC+OC）=8：.AB+BC=30,AB-B C=8：.AB=CD=19,BC=AD=11答：这个四边形各边长分别为19cm、11cm,19cm、11cm.规律42.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差.例题如上）规律43

30、.有平行线时常作平行线构造平行四边形例：，如图，M A B C,ZACB=90,CD1.AB T D,A E 平分/CA8 交 CD 于 F,过 F作交BC于，求证：CE=BH证明：过F作FP8C交A8于P,那么四边形FP8H为平行四边形：.N B=/F P A,BH=FP：ZACB=90,CD1AB/5+/C 4 8 =45,Z B+Z C A B =90：.Z 5=Z B：.Z 5=Z F P A又；N1=N2,AF=AF：./C A F/P A F：.CF=FPV Z 4=Z 1+Z 5,Z3=Z 2+Z B.*.Z3=Z4CF=CE：.CE=BH练习：，如图，AB/EF/GH,BE=G

31、C求证：AB=EF+GH规律44.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段.例：，如图，在aABCD中，AB=2BC,M为AB中点求证：CM1.DM证明：延长。M、CB交于N四边形ABCD为平行四边形：.AD=BN：.BN=BC：AB=2BC,AM=BM：.BM=BC=BNA Z 1=Z 2,N 3=N NV Z l+Z 2+Z 3 +ZA/=180,，N l+N3=90：.CM1,DM规律45.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等.如图：OE=OF规律46.平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端点的连线所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半.如图：SA

32、 BEC1-SABCD2规律47.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相邻的两个三角形的面积之和等于平行四边形面积的一半.如图：SAOB+SDOC=SBOCSAOD=So/tBCD规律48.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中,不相邻的两条线段的平方和相等.如图：AO2+OC2BO2+D 02规 律49.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形.如图：四边形GHMN是矩形（规律45规 律49请同学们自己证明）规律50.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线.例：，如图，E为矩形A BCD的边AD上一点，且8E=ED,P为对角线BD上一点，PF_L8E于F,PGA.AD

33、于 G求证：PF+PG=A B证明：证法一：过P作于H,那么四边形4HPG为矩形：.AH =GP PH/AD：.Z A DB=ZH PB：BE=DE：.ZEBD=ZADB：.NH PB=ZEBD又,：NPFB=NBH P=9。：./PFB/BH P：.H B=FP：.AH+H B=PG+PF即 AB=PG+PF证法二：延长GP交8 c于M 那么四边形A BNG为矩形，（证明略）规 律51.直角三角形常用辅助线方法:作斜边上的高例：，如图，假设从矩形A 8CD的顶点C作对角线BD的垂线与/B A。的平分线交于点E求证：AC=CE证明：过A作AFJ_8D,垂足为F,那么A FEG-女刁”：.ZFA

34、E=ZAEG四边形ABCD为矩形：.ZBAD=90 OA=OD：.ZBDA=ZCAD：AF1.BD：.ZABD+ZADB=ZABD+ZBAF=90：.ZBAFZADB=ZCAD为/B AD的平分线：.ZBAE=ZDAE:.NBAE NBAF=NDAE NDACVZFAE=ZCAE：.ZCAE=ZAEG：.AC=EC作斜边中线，当有以下情况时常作斜边中线：有斜边中点时例：，如图，AD.BE是A BC的高，F是DE的中点，G是A8的中点求证：GFLDE证明：连结GE、GD：AD.BE是A BC的高，G是AB的中点BG/.GE=-AB,GD=-A B2 2：.GE=GD：F 是 DE的中点：.GF1

35、.DE有和斜边倍分关系的线段时例：，如图，在ABC中，。是 8 c 延长线上一点，且 DAJ_BA于 A,AC=-BD2求证：ZACB=2ZB证明：取 8。中点E,连结A E,那么AE=8E=-BD2：.Z 1=Z BI：AC=-B D A2,：.AC=AE B f D/A C B=/2V Z 2=Z 1+Z BA Z 2=2ZBZACB=2ZB规律52.正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等.例：，如图，过正方形A8CD对角线8。上一点P,作 PE_L8C于 E,作 PEL CD于 F求证：AP=EF证明:连结A C、PC 四边形ABCD为正方形垂直平分 A C,/BCD=90

36、.D：.AP=CPVPFBC,PF LCD,N8CD=90.四边形PECF为矩形：.PC=EF：.AP=EF规律53.有正方形一边中点时常取另一边中点.例：，如图，正方形A BC。中，M为AB的中点，MN1MD,8N平分NCBE并交M N于N求证：MD=MN证明：取4 5的中点P,连结PM,那么 DP=PA-AD2:四边形A 8CD为正方形：.AD=AB,ZA=ZABC=90：.Z 1+Z A M D =9O,又。M_LMN/2+N AM D =90。.Z1=Z2为AB中点I：.AM=MB=AB2DP=MB AP=AM：.ZAPM=ZAMP=45：.NDPM=135。平分/CBE/CBN=45

37、ZMBN=ZMBC+ZCBN=900+45=135即 NDPM=/MBN.DPM 丝MBN，DM=MN注意：把M改为A8上任一点，其它条件不变，结论仍然成立。练习：，Q为正方形A BCD的CD边的中点，P为CQ上一点，月.A P=PC+8C求证：ZBAP=2ZQADA B规 律54.利用正方形进行旋转变换旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某局部绕相等邻边的公共端点旋转到另一位置的引辅助线方法.旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件.旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形中.例：，如图，在A BC中，AB=AC,ZBAC=90,D为BC

38、边上任一点求证：2AD2=BD2+CD2证明：把A BD绕点A逆时针旋转90得BD=CE NB=NACE：ZBAC=90：.ZDAE=90：.DE2=AD2+AE2=2AD2：NB+NA CB=90。：.ZDCE=90：.CD2+CE2=DE22AD2 BD2+CD2注意：把aADC绕点A 顺时针旋转90。也可，方法同上。练习：，如图，在正方形A8C。中，E 为 4。上一点，BF平分NCBE交 CD于 F求证：BE=CF+AEB规律55.有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长，构造全等三角形.例：如图，在正方形ABCD中，E、F 分别是CD、DA的中点，BE与CF交手 P点、求证：

39、APAB证明：延长CF交 8A的延长线于K:四边形ABCD为正方形：.BC=AB=CD=DA ZB C D=ZD=ZB A D =90F分别是CD、加 的中点CE=-C D DF=AF=AD2 2：.CE=DF:.ABCE 也 ACDF：.ZCBE=ZDCFVZBCF+ZDCF=90；./8CF+NCBE=90：.BECF又./D=/DAK=90 DF=AF Z 1=Z 2.CDF 丝KA F，CD=KA：.BA=KA：.AP=AB练习：如图，在正方形A BC。中，Q在CD上，且OQ=QC,P在且 A P=CD+CP求证：4 2平分/DAP8c上,规 律56.从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把

40、梯形分成一个平行四边形和一个三角形.例：，如图，等腰梯形A 8CD 中，AD/BC,AD=3,A 8=4,BC=7求N 8的度数解：过A作A ECD交8 c于E,那么四边形A ECD为平行四边形：.AD=EC,CD=AE：AB=CD4,AD=3,BC=7：.BE=AE=AB=4.A 8E为等边三角形：.ZB=60规 律57.从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个三角形.例：，如图，在梯形 A BCD 中，AD/BC,ABAC,N8A C=90。，BD=BC,BD 交 A C 于。求证：CO=CD证明：过A、。分别作A EJ_8C,D FBC,垂足分别为E、F那么四

41、边形A EFD为矩形：.AE=DF：AB=AC,AE1BC,ZBAC=90,1：.AE=BE=CE=-BC,ZACB=452：BC=BD1：.AE=DF=-B D2又；DF_LBC：.ZDBC=30：BD=BC:.NBDC=NBCD=y (1800-Z DSC)=75ZDOC=ZDBC+ZACB=300+45=75：.ZBDC=ZDOC：.CO=CD规 律58.从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形.例：，如图，等腰梯形A 8CD 中，AD/BC,ACLBD,AD+BC=10,DE_LBC于 E求DE的长.解：过。作DF/AC,交BC的延长线于 F,那 么 四 边

42、 形A CFD为平行四边形A PBECF：.ACDF,AD=CF；四边形A 8CD为等腰梯形：.AC=DB：.BD=FDVDF1BC1：.BE=EF=-B F2=-(BC+CF)=L(BC+AD)2 21=-x lO =52：AC/DF,BDAC：.BDDF；BE=FE：.DE=BE=EF=-B F =52答:DE的长为5.规律59.延长梯形两腰使它们交于一点，把梯形转化成三角形.例：，如图，在四边形4 8 c o中，有A 8=DC,NB=NC,AD+SzDM=S 梯形 48co=EF-AB规律6 1.有梯形一腰中点时，也常把一底的端点与中点连结并延长与另一底的延长线相交,把梯形转换成三角形.

43、例：，如图，直角梯形 A8CD 中，AD/BC,AB_1_AD 于 A,DE=EC=BC求证：ZAEC3ZDAE证明：连结BE并延长交A。的延长线于NJ AD/BC：.Z3=NN又：/1=/2 ED=EC:.ADEN q ACEB：.BE=EN DN=BC-X：.AE=EN=BE/B C：.NN=NDAE：.ZAEB=ZN+ZDAE2ZDAE：DE=BC BC=DN：.DE=DN/.ZN=Z1V Z 1=Z 2 ZN=ZDAE：.Z2=ZDAE：.ZAEB+Z2=2ZDAE+ZDAE即 ZAEC=3ZDAE规律62.梯形有底的中点时，常过中点做两腰的平行线.例：，如图，梯形A BCD中，AD/

44、BC,ADCD,AD=BC,对角线A C、8D相交于。，ZAOB=6 0，且 、F、/W分别为。D、OA,BC的中点求证：村 下是等边三角形证明：连结BF、CE四边形A BC。为等腰梯形：.AD=BC,A C=8。A B又Y AB为公共边/ABD/BAC：.ZCAB=ZDBA：.OA=OBZAOB=60：.A B O为等边三角形又；F 为 4。中点Z.BF1AC.M为 8C中点Z.MF=-B C2同理可证：M E-B C2；E、F分别为。、0A 中点：.EF=-A D2：AD=CB：.ME=MF=EF.MEF为等边三角形规律74.如果矩形对角线相交所成的钝角为120%那么矩形较短边是对角线长的

45、一半.例：，四边形A8CD为矩形，对角线AC、B。相交于点120.求证：AB=-B D2O,NAOB=（证明略）规律75.梯形的面积等于一腰的中点到另一腰的距离与另一腰的乘积.例：，如图，梯形ABCD中，AD/BC,E 为 C。中点，EFJ_AB于 F求i正：S梯 形ABCD=EF A B证明：过 E 作 MA/A B,交 A。的延长线于M,交 BC于 N,那么四边形ABNM为平行四边形.EFLAB:S匚 A B N M =AB-EF9：AD/BC：.Z M=Z M N C又:DE=CE Z 1=Z 2AACE/VADEMSCEN=SDEM*.S 梯形 A BC。=5 A B N E D +S

46、ACE/V=S 五边形 A B N ED+S/XDEM规 律 76.假设菱形有一内角为120%那么菱形的周长是较短对角线长的4 倍.例：，四边形A8C。是菱形，NA8c=120。.求证:A8=BDABC（证明略）相似形和解直角三角形局部规律77.当图形中有叉线（根本图形如下）时，常作平行线.例：，如图，AD为ABC的中线，F为AB上任一点，CF交于E求证:AF EF证明：过尸作FA/BC交AD于N,AF FNABBDFN EFCDCE又：CD=BD.AF EFABEC规律78.有中线时延长中线（有时也可在中线上截取线段）构造平行四边形.例：AD为ABC的中线，E为A。上一点，BE、CE的延长线

47、分别交A C、AB于点M、N求证：MN/BC证明：延长AD至F,使。F=D E,连结BF、CF,那么四边8FCE为平行四边形J.BF/CN CF/BM.AN AE AE AMNBEF EFMC形.A N A M：.MN/BC规律79.当或求证中，涉及到以下情况时，常构造直角三角形.有特殊角时,如有30。、45。、60。、120。、135。角时.涉及有关锐角三角函数值时.构造直角三角形经常通过作垂线来实现.例：一轮船自西向东航行，在 A 处测得某岛C在北偏东60。的方向上，船前进8 海里后到达8,再 测 C 岛在北偏东3 0 的方向上，问船再前进多少海里与C 岛最近？最近距离是多少？解：由题可作

48、图，且NCAB=60。，/A8C=120。，A8=BC=8（海里）在 RtZXABC 中，BC=8,ZCBD=6 0 ,：.BD=BCcos6 0=8x-=4（海里）2CD=BC-sinGO0=8x =4（海里）2答：船再前进4 海里就与C最近，最近距离是4 道 海里.规律80.0。、30。、45 60。、90。角的三角函数值表三角函数030456090sin A02立221cos A1正2在20tan A03173cot A一731小V0另外：0。、30。、45。、60。、90。的正弦、余弦、正切值也可用下面的口诀来记忆:。可记为北京电话区号不存在，即：010不存在，90。正好相反30。、4

49、5。、60。可记为:1、2、3、3、2,1,3、9,27,弦比2,切 比 3,分子根号别忘添.其中余切值可利用正切与余切互为倒数求得.规律8 1.同角三角函数之间的关系:(1).平方关系：sin2 a +cos2 a =1(2).倒数关系：ta n a-co ta =l(3)商数关系：tana=2 吧costzcos acot a =-sin e规 律 8 2.任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.规 律 8 3.任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值.规 律84.三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦之积的一半.例：/

50、XABC 中=60。,A B=6,A C=4,求A BC 的面积。解：作于。在 RtAABD 中，8D=AB-sinASA A BC=AC-BD21=AC-AB-sinA21=x4x6xs/n602=12x-=6 5/32规律85.等腰直角三角形斜边的长等于直角边的立倍.规 律86.在含有30。角的直角三角形中，60。角所对的直角边是30。角所对的直角边的6倍.（即30。角所对的直角边是几，另一条直角边就是几倍V L）规律87.直角三角形中，如果较长直角边是较短直角边的2倍,那么斜边是较短直角边的遥圆 部 分规律88.圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一辅助线，