2023新高考数学模拟试题解析.pdf

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1、2023年高考数学模拟试题1 .复数z 的 共 拆 复 数 为 且 Z(3 +1)=1(i是虚数单位)，则在复平面内，复数Z 对应的点 位 于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】利用复数的运算法则可得三，z,利用几何意义即得.1 0 1 0(3-i)1 0(3-i)评析】由z(3 +1)=1 0，可得2=不 二=丁 =3 1,3 +i (3 +i)(3-i)9 +1；z=3+i,即复数z 对应的点位于第一象限.故选：A2.已知集合4 =了|一 2 彳 则 A B=()A.(-2,1)B.(0,1 C.1,5)D.(1,5)【答案】C【解析】根据给定条件，

2、求出函数的定义域化简集合8,再利用交集的定义求解作答.【评析】函 数 y =GT 有意义，则 有 x-1 2 0,解得即有6 =x|x N l ,而A =x|2 c x 04.已 知 函 数=,八是R上的偶函数，则 8 二2x+l,x 4 0A.5 B.-5 C.7 D.-7【答案】B【评析】函数/（月=屋 是 R上 偶 函 数，/2x +l,x l l o g/,则a的取值范围是（）3,【答案】A2 1根据对数函数的单调性先解出l o g“一 1 =l o g a,再解出l o g,l =l o g“a,且一 a,即一 a l,3 3 3又l o g i”1 =1 0 8二，44综上，一 a

3、 1.3故选：A.3 7 r8.在 A B C中，角B为 一，B C边上的高恰为2 C边长的一半，则c o s A=（）A.坡 B.5 5C.-D,在3 3【答案】A【解析】设 3 C 边上的高为，用表示出3C,A B,用余弦定理求得A C,最后再由余弦定理可得cosA.【评析】设 8 c 边上的高为/?,贝 UBC=2/z,A B=血h,由余弦定理，得 AG=AB2+BG（五、-2AB-BC-cosB=2h1+4h22-y/2 h-2h-=10屈，故 A C=J I6/7,所以 cos4=AB?+靖-BC?2A B A C（而）2+（阿）2 一 （2）2 _ 262.同5,故选：A.【拓展】

4、本题考查余弦定理解三角形，掌握余弦定理是解题关键.9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A.136兀【答案】DB.144TIC.36兀D.34兀【评析】解析：作出几何体的直观图，建立空间直角坐标系，求出外接球的球心，从而可的外接球的半径，再计算出外接球的面积.评析：由三视图可知几何体为四棱锥E-A B C D,直观图如图所示：ZA其中，BE _L 平面 A BCD,BE=4,A B I A D,AB=0,C到A B的距离为2,C到AD的距离为2、万，以A为原点，以A B,A D,及平面A B C D过A的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系A -x yz,则 A (0,0,0

5、),B (a,0,0),C (2夜，2,0),D (0,4,0),E (a,0,4).设外接球的球心为M (x,y,z),贝M A=M B=M C=M D=M E,x2+y2+z2=(x -y/2)2+y2+z2=(x -2y/2)2+(y -2)2+z2=x2+(y -4)2+z2=(x -V2)2+y 2+(z-4)2,5解得 x=，y=2,z=2.2二外接球的半径r=M A=+4 +4 =口,外接球的表面积S=4兀 心=3 4兀.故选D.拓展：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力,这样才能找准关系，得到结果，一般内切球需要求球心和半径，首先应确定球心的位

6、置，借助于内切球的性质，球心到各面距离相等计算即可，当球心位置不好确定时，可以用等体积法求球半径.10.若函数/（x）=W，则函数y =/（x）T g；N的零点个数是（）A.5个 B.4个 C.3个 D.2个【答案】D【评析】如图：函数A x）与函数g（x）T g/H有2个交点，所以选D.11.已知抛物线C:：/=4x的焦点为尸，准线为/,点Ae/,线段转 交 抛物线C于点B,若 FA=3FB，则|叫=A.3 B.4 C.6 D.7BH=FK=i-.BF=BH=i,.-.|AF|=3 1M l =4,故选B.12.已知A 4 3 C是边长为2的正三角形，点P为平面内一点，且|C P|=G,则P

7、 C-（P A +P B）的取值范围是3 1A.0,12 B,0,-C.0,6 D.0,3【答案】A【评析】【解 析】如 图，以 点8为坐标原点，BC所在直线为x轴，过 点8与3。垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则3(0,0)、A(l，6)、C(2,0)设尸(x,y)因 为|印=6所 以p点轨迹为(x-2)2+V=3令 2 +cos9 则 尸4=(_ _ 6 cos,上-y/3 sin3 PB-(-2 -f3 cos0,-y/3 sin0 P C =-y/3 cOS0,-G s%e)则 PC-PA+PB=6cosO-sin3+6 =6 +6 c o s(e +)由-6 W6 c o s

8、1+(卜6 得0 W6 +6 c o s(6 +2 1 12 故 选A拓 展：本题在求解过程中采用了建立平面直角坐标系的方法，先根据题目条件得出点P点轨 迹，然后利用三角函数换元，求得各向量的表示方法，借助辅助角公式进行化简，本题较为综合，运用了较多知识点.二.填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.计 算：1(3 2 -7喝 3=4【答 案】一一3【评 析】解 析：由题意结合对数的运算法则整理计算即可求得最终结果.评 析：由对数的运算法则有：l o g8 3 2-7,o g 73 =l o g2,2s-71 0 g 73 =g _ 3 =_ g.拓 展：本题主要考查对数的运算

9、法则，对数恒等式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.1 4.若X,y满足约束条件|x+y N O,则2=空;的最大值为.x+2【答案】2【评析】解析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值的方法，利用直线斜率之间的关系，求解2=察 目 标 函 数 的 最 大值.x+2x-y 0评析：作出实数X,y满足约束条件,X+2O,对应的平面区域如图,z的几何意义是区域内的点到定点D (-2,-1)的斜率.由图象知A D连线y-1斜率最大由解得AH直线过A时，直线斜率最大,此时P A的斜率k=-1-(-2)=2,2=丝的最大值为2.x+2故答案为2拓展：本题考查的是线性规划问题，解决线性

10、规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6已知3(。-方=2,则如3-方的值等于【答案】一10【评析】由tan(a K)=幺 匚 =2,解得tana=-3,4 1 +tan a因为 sin(2a一 生)=(sin 2a-cos 2a)=(2 sin a cos a-cos?a+sin*2 3a)【答案】Y 匕=132【评析】设双曲线C的方程为：二矿由|RW|=3|M国及勾股定理可得0=-4

11、，又因为F E与渐近线垂直，/力-4。结 合/=4一，可 得 =3,/=1 双 曲 线C的 方 程：2 b2 2x2-=l，故答案为炉一2_=1.3 3三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知数列 为 的前项和是S“，且S”=2a”l（eN）（1）求数列 4,的通项公式；（2）令d=log2%,求数列（一1）“；前2项的和T.【答案】(1)4=2T；(2)7=(2-1).【评析】试题解析：（2）由a.=S“一S,i计算求得，并验证当=1时是否成立（2）由（力得bn=log2=log2 2T=一 1代入求得前2项的和4 2 2夜 2 sin cos a-cos2

12、a+sin2 a 夜 2tana-l+tan2a-x-x-2 cos2 a+sin2 a 2 1 +tan2 aV2 2 x(-3)-1 +(3)V2-Vx 1+(-3)2-7F-16.已知双曲线C的中心为坐标原点，点E(2,0)是双曲线。的一个焦点，过点厂作渐近线的垂线/,垂足为加，直线/交y轴于点E,若|月0|=3|目，则双曲线。的方程为y21 ,由已知得：由点到直线的距离公式可得S n 2clM 1 /*解析：由 得%=2%（cN,1）,5,T=2%T-1 7于是 4 是等比数列.令=1得q=1,所以a“=2T.（2）bn=log2an=log22n-1=n-,于是数列 是首项为0,公差

13、为1的等差数列.7=一月+优一6 +6一 -%_】+%=b+b2+b3+b2n_x+b2n,所以 7=2（；-1）=（2_ ）.18.某中学高二社会实践小组就社区群众春晚节目的关注度进行了调查，随机抽取80名群众进行调查，将他们的年龄分成6段：20,30）,30,40）,40,50）,50,60）,60,70）,70,80,得到如图所示的频率分布直方图.问：（I）求这80名群众年龄的中位数；（II）若用分层抽样的方法从年龄在20,40）中的群众随机抽取6名，并从这6名群众中选派3人外出宣传黔东南，求选派的3名群众年龄在30,40）的概率.【答案】55；（ID【评 析】试 题 解 析：（I）设8

14、 0名 群 众 年 龄 的 中 位 数 为x,则0.005xl0+0.010 xl0+0.020 xl0+0.030 x（x-50）=0.5,解得x=5 5,从而可得这80名群众年龄的中位数；（H ）按分层抽样的方法随机抽取年龄在20,30）的群众2人，年龄在30,40）的群众4人，利用列举法可得6人抽取三人的事件数为20,其中选派的3名群众年龄都在30,40）的基本事件有4个，根据古典概型概率公式可得结果.试题解析：（I）设80名群众年龄的中位数为x,则0.(X)5xl0+0.010 xl0+0.020 xl0+0.030 x(x-50)=0.5,解得x=55，即80名群众年龄的中位数55.

15、(I I)由已知得，年龄在 20,30)中的群众有0.005x10 x 80=4人，年龄在 30,40)的群众有0.01x10 x80=8人，按分层抽样的方法随机抽取年龄在 20,30)的群众4 86x=2人，记 为1,2；随机抽取年龄在 30,40)的群众6x=4人，记为4+8 4+8.则基本事件有：(a,b,c),(a,b,d),(a,b,i),(a,b,2),(a,c,d),(a,c,l),(a,c,2),(a,d,l),(a,d,2),(b,c,d),b,c,1),(b,c,2),(b,d,1),(b,d,2),(c,d),(c,d,2),(a,l,2)，9，l,2),(c,l,2),

16、(d,l,2)共 20 个，参加座谈的导游中有 3 名群众年龄都在 30,40)的基本事件有:(a,0,c),(a,0,d),(a,c,d),(女c,d),共4个，设事件A为“从这6名群众中选派3人外出宣传黔东南，选派的3名群众年龄都在4 I 30,40)”，则 p(A)=l=g【方法拓展】本题主要考查直方图的应用以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本事件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先(4，即

17、，(4，与).(A，B),再(4,即,(4也).(4,纥)依次(怎 即(4，4).(4，纥)这样才能避免多写、漏写现象的发生.19.如图，已知四棱锥P ABCD的底面为菱形，且NABC=6 0，E是DP中点.(1)证明：平面ACE；(2)若 AP=PB=O,AB=PC=2,求三棱锥 C R4E 的体积.【答案】(1)证明见解析6【解析】（1）连接8。交AC于 尸，连 接 可 证 得 是 中 位 线，从而得EF/PB,进而得证；（2）先证得P Q 1 A 8,P Q C Q,得PQ1平面A B C D，由C-PAE=VE-ACP=3 D-ACP=P-ACD 即可得解.【小 问1评析】连接3。交A

18、C于 尸，连接EF，/四棱锥P-A B C D的底面为菱形，.F 为 B D 中 点,又 ：E 是 D P 中点，在/X B O P 中，EF/PB,又,:E F u平面A C E,而尸8 2平面A C E,：.P B H平面A C E.【小问2评析】取A B的中点。，连接R 2，C Q,设.四边形A 8 C D为菱形，且N A 3 C =6 0。，为正三角形，二CQ，A 8,A P=P B =，A B =P C =2,C Q =y/3,4乃+依2 =48 2即/见8 =90,故.为等腰直角三角形，A P Q J.A B,且P Q =1,，PQ2+CQ2=。2 2 .P Q，CQ又 AB c

19、C Q =Q,A B,C Q u 平面 A B C D，：.P Q 平面 A B C D,._ l z _ 11Z _ 1 ,z _ 1 1 c _ 1 1 1）rz._ V3一C-PAE=VE-ACP=TVD-ACP-T P-ACD ACD X P Q=TXTXTX2x3x l =2 2 2 3 23 2 62 0.已知动点”（x,y）满足：7（+1）2+/+yl（x-l）2+y2=2 V2 .（I ）求动点M的轨迹E的方程；（I I ）设过点N（1,0）的直线/与曲线E交于A 8两点，点A关于*轴的对称点为C （点C与点B不重合），证明：直线B C恒过定点，并求该定点的坐标.2【答案】（1

20、）+/=1 （2）见解析2【评析】试题解析：动 点M到 点P（-l,0），。（1,0）的距离之和为2夜，且|P 2五，所以动点M的轨迹为椭圆，从而可求动点M的轨迹E的方程；(2)直线/的y=攵(工+1)方程为：y =Z(x +l),由|f、得(1+2公)/+4 k 2 l +2氏2-2 =。，根据韦5+y =1达定理可得%,y9 4-x.y,y9+y.2=2,直线5c的方程为丁二/2 2,即可证明其过定点.x2 一 N x2-玉试题解析：由已知，动点M到点尸(一1,0),。(1,0)的距离之和为2友，且归。2及，所以动点用的轨迹为椭圆，而a =J L c =l,所以匕=1,所以，动点M的轨迹E

21、的方程：+y2=l.2(2)设A(玉,y),3(马,)，则C(玉,一y),由已知得直线/的斜率存在，设斜率为k,则直线/的方程为：y =&(x+l)由(%+*2)_ 2-+(X +“2)_八-0，人JX 必+y -2(%+)+2左一(内+尤2)+2所以直线3 c与x轴交于定点。(一2,0).2 1.已知函数/(x)=l n x,g(x)=a(x-l)(I )当a =2时，求函数(x)=/(x)-g(x)的单调递减区间；(H)若x l时，关于x的不等式/(x)g(x)恒成立，求实数。的取值范围：(III)若数列 aj满足为+1 =1+。，4=3,记 ,的前项和为S“，求证：In(l x 2 x

22、3x 4x.x/?)0求得x的范围，可得函数(X)增区间，(x)l,所以a(x-l)-l n x 0显然不成立，先证明因此a N l时，x)g(x)在(1,欣)上恒成立，再证明当0。1时不满足题意，从而可得结果；(III)先求出等差数列的前w项和为S =+“),结 合(H)可得In 2 2,l n 33,l n 4 0).所以X X令(x)0,解得或x 0 (舍去)，所以函数(x)=/(x)-g(x)的单调递减区间 为(y,+o 0),(U)由/(x)0当“W O时，因 x ,所以a(x-l)-h u 0显然不成立，因此a0.令尸(x)=a(x_ l)_ l n x,则产,(工).x-J，令尸

23、(x)=O,得x=:.X X当“2 1 时、O 0,/.F(x)F(1)=O,所以a(x-l)l n x,即有/(x)g(x).因此a i l时,/(%)8()在(1,+8)上恒成立.当0 a 1,尸(x)在(1,：)上为减函数，在上为增函数，A F(x)mmF(l)=O,不满足题意.综上，不等式/(x)g(x)在。,+8)上恒成立时，实数。的取值范围是口,田).(Il l)证明：由 用=1 +%，4=3知数列4是%=3,4 =1的等差数列，所以an=3+(3)d -n所以 S=(+旬)=(1+)2 2由(H)得，1 1 1 0(%-：1)X一1 尤在(1,+0)上恒成立.所以l n 2 2,

24、In 3 V 3,l n 4 v 4,l n .将以上各式左右两边分别相加，得In 2 +l n 3 +l n 4 d-v 2+3 +4 H-n.因为In i =0 1所以 In i +l n 2 +l n 3 +l n 4 +In n l +2 +3 +4 +=-=Sn2 n所以1 1 1(1乂2乂3乂4 X 乂 )5.2 2.在直角坐标系x O y中，抛物线。的方程为y=4 x.(1)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求。的极坐标方程;x=2 +/c o s cc(2)直线/的参数方程是 为参数)，/与C交于A,8两点，y=t s m aAB=4 y/6,求/的倾斜角.-r r

25、【答案】(1)/?s i n e 4 c o s。=0；(2)或【解析】(1)由题意利用直角坐标与极坐标的转化公式可将直角坐标方程转化为极坐标方程;(2)联立直线参数方程与抛物线方程，结合参数的几何意义求得s i n e的值即可确定直线的倾斜角.【评析】(1).八，代 入/=以，y=psint)psirr 6-Acos。=0.(2)不妨设点A,B对应的参数分别是4，L，把直线/的参数方程代入抛物线方程得：H s i/a _ 4 c o s a 4-8=0，_ 4 c o s a，则 网.7=如曾包=4折1 1sivTa-T-2-sin a.A/2._ 乃 y _ 3万 since ，a =或

26、a -2 4 4【拓展】本题主要考查直角坐标方程转化为极坐标方程的方法，直线参数方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2 3.已知函数/(%)=|。一3 x|-|2 +x|.(I )若a =2,解不等式/(x)3；(H)若存在实数“，使得不等式f(x)W l-“-4|2 +x|成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)y x ；(2)(-0 0，一2.4 2 2【解析】(1)不等式x)4 3化为|2 3乂|2 +八3,对工分三种情况讨论，分别去掉绝对值 符 号，然 后 求 解 不 等 式 组，再 求 并 集 即 可 得 结 果；(2)原 不 等 式 等 价 于 3 x|+|

27、6+3 x|之1 由 绝 对值三角不等式知卜3闻+|6+3%闫 +6，解不等式|a +6|W l 。能求出实数。的取值范围.【评析】(I )不 等 式 力43化为|2 3 4-|2+八|3,当x v-2时，2-3 x+2+x 4 3,解得X 2 1.无解22 3 3 2当-2K x 时，2 3 x 2 解得x N ,x 时，一2+3%2 x 3,解得犬 一,，一 x 一3 2 3 23 7所以综上，一一%-,4 2、f 3 71所以不等式/(x)W 3的解集为卜一卜(II)不等式/(x)W l-a-4|2+乂等价于卜-3乂+3|2+%|41-。即|a 3 x|+3 1 2+x|1 -ci,因为|a-3 x|+3|2+x|=|a-3 x|+|6+3 x -3 x+6 +3 H=|a +6,若存在实数“，使不等式 a-4|2+x|成立，则|a+6 W l-a,解得：a -,实数。的取值范围是(一8，一 二.【拓展】绝对值不等式的常见解法：利用绝对值不等式的儿何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法“求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想