2023届河南省TOP二十名校高三9月摸底考试数学理试题（解析版）.pdf

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1、2022-2023学年高三年级TOP二十名校九月摸底考试高三理科数学试卷一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合4 =卜|我 之2卜 8=1,2,4,5 ,则 5C6RA=().A.1 B.1,2 C.1,2,4 D.4,5 2 .已知复数z满足(z i)(N+i)=l,则|z -i|=().A.1 B.2 C.75 D.2 723 .已知向量2,5满足同=M =1，(2a-bA.b,则方与日的夹角为().4 .中国公民身份号码编排规定，女性公民的顺序码为偶数，男性为奇数，反映了性别与数字之间的联系；数字简谱以1,2,

2、3,4,5,6,7代表音阶中的7个基本音阶，反映了音乐与数字之间的联系，同样我们可以对几何图形赋予新的含义，使几何图形与数字之间建立联系.如图1,我们规定1个正方形对应1个三角形和1个正方形，1个三角形对应1个正方形，在图2中，第1行 有1个正方形和1个三角形，第2行有2个正方形和1个三角形，则在第9行中的正方形的个数为().4 第i行f1 v 4 第2行图2C.5 7 D.5 95.已知抛物线C：V=4x的焦点为F,准线为/,与x轴平行的直线与/和C分别交于A,8两点，且若网=网,则|A B|=（）.A.2 B.2 V2C.2/3 D.46 .己知等比数列 a“的公比4 0,前项和为S“，3

3、 a,-S3=6 0,a2-4=1 8,则为=().A.2 B.3 C.6 D.1 07.在正方体 中，P,Q分别为A8,C D的中点，贝ij().A.44 平面 B G QB.平面A&A平面B G QC.4 Q J平面D.平面旦。_1 _平面4。尸38.执行如图所示的程序框图，输出的“的值为三，则输入的/的值可以为().7A.2 9B.3 0C.31D.3 29.已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，AB,8。所成角的余弦值为().C Q 分别为上、下底面圆的直径，A B A.C D,则直线A C 与1A.-4口 6D.-4C.I3D.也31 0.已知函数“X),g(x)的定义域均为R,若 1

4、 一2 力 为奇函数，g(l +2 x)为偶函数，则().A.|/(x)|+g(X)的图象关于直线X =1 对称B./(x)+|g(x)|的图象关于直线X =1 对称C.|/(x)|_ g(x)的图象关于点(1,0)对称D./(x)-|(x)|的图象关于点(1,0)对称1 1.将 1 0 个不同的数字分成4组，第 1 组 1 个数，第 2组 2个数,第 3组 3 个数，第 4组 4个数，记匹是第i 组中最大的数(，=1,2,3,4),则不 工 2 七%的 概 率 为().A.21 5B-Wu ID-?1 2.若过点(。涉)(。0)可以作曲线y =?的三条切线，则().A.-heb a 0B.0

5、 Z?QGC.4-b a e2 0D.0 h e2 0,b 0）的右焦点为F,P为C右支上一点，0 P与x轴切于点凡 与ya b轴交于A,8两点，若APB为直角三角形，则C的 离 心 率 为.16.玩具厂家设计一款儿童益智玩具，玩具主体是由一矩形托盘和放置在托盘中的乙形木块构成.L形木块的水平截面如图1所示，矩形托盘中间有一隔断，隔断的宽为a,隔断上有一开口，开口的长为小水平截面如图2所示.若木块可以按照图2所示的方式紧贴托盘底部旋转穿过隔断，则 力 的 最 小 值 为图1 图2三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、

6、23题为选考题，考生根据要求作答.（-）必考题：共60分17.（本小题满分12分）ABC 中，tan A-tan Bsin C-sin Bcos Acos B(1)求 4；(2)若BC=2,ABC的 面 积 为 无，求AB+AC.218.（本小题满分12分）如图，四 棱 锥 的 底 面 为 直 角 梯 形，R4_L底面ABC,A D/B C,ZADC=60,AP=AD=23C=2,E 为棱 CP 上一点.（1）证明：平面ABEL平面AOP；（2）若A E=B E,求平面ABE与平面CCP所成二面角的平面角的正弦值.19.（本小题满分12分）检测新型冠状病毒特异序列的方法最常见的是荧光定量PCR

7、（聚合酶链式反应）.在PCR反应体系中，如反应体系存在靶序列，PCR反应时探针与模板结合，DNA聚合酶沿模板利用酶的外切酶活性将探针酶切降解,报告基团与淬灭基团分离，发出荧光.荧光定量PCR仪是病毒检测过程中的核心设备，能够监测出荧光到达预先设定阈值的循环数（C t 值）与病毒核酸浓度有关，病毒核酸浓度越高，C t 值越小.某第三方核酸检测机构先后采用过甲、乙两家公司的荧光定量P C R 仪，日核酸检测量分别为6 0 0 管 和 10 0 0 管，现两家公司分别推出升级方案，受各种因素影响，升级后核酸检测量变化情况与相应概率p如下表所示：甲公司：乙公司:日核酸检测量增加2 0 0%增加50%降

8、 低 10%P3 _41V2_6日核酸检测量增加8 0%增加50%增 加 10%P2_44（1）求至少有一家公司的升级方案使得日核酸检测量增加不低于5 0%的概率;（2）以日核酸检测量为依据，该检测机构应选哪家公司的仪器？2 0 .（本小题满分12 分）已知椭圆（?：+%=1（4 人0）的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,月=1,忸目=3.（1）求 C的方程；（2）设 M,N是 C上在x 轴两侧的两点，直线AM与BN交于点P,若 P的横坐标为4,求 F 7W N 的周长.2 1.（本小题满分12 分）已知函数/（x）=x（x-lnx-1）.（1）讨论/（x）的零点个数;（2）若求a 的取值范

9、围.（二）选考题：共 10 分.请考生从2 2、2 3 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.2 2 .选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10 分）在直角坐标系X。），中,直线/的参数方程为（f 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极/77轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为0 =高 访/万（加0）.（1）写出C的直角坐标方程；（2）/与 C交于A,B两点，与 x 轴交于点P,若=2|/邳，求2 3.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10 分）己知a,b 都是正数，且&+扬=2,证明：(1)a+b2.11(2)-5 5a+1 b+1 1.2022-2023学年高三

10、年级TOP二十名校九月摸底考试高三理科数学参考答案1.【答案】B【解析】A =x|x 4 ,6RA=X|X 4),则3C6RA=1,2.故选B.2.【答案】A【解析】设2=%+何(e R),则 乞=%同，(z-i)(z+i)=(x+(y-l)i)(x-(-l)i)=x2+(y-l)2=1,|z-i|=J尤2=,故选 A.3.【答案】B【解析】由3 可得出-B)石=2拓 一 户=0,则2同.同 期 他5m =o,又 同=W=1,则c o s R E，1与B的夹角为(故选B.4.【答案】B【解析】设/为 第 行中正方形的个数，灯为第行中三角形的个数，由于每个正方形产生下一行的1个三角形和1个正方形

11、，每个三角形产生下一行的1个正方形，则有4+=4 +bn,b,+i=a,整理得4+1 =Q+4T(N2),且4=1,4=2,则。3=。2+Q=3，。4=。3+。2=5 ,。5=。4+。3=8，4二 5+。4=1 3 ,%=&+。5=2 1,。8=。7+。6=3 4,。9=。8+%=5 5.故选 B.5.【答案】D【解析】由抛物线的定义可知|A可=忸 目=|AB|,A 4防 为 等边三角形，设准线/与x轴交于点“，则怛”|=2,易得|明=|AF|=2|m|=4.故选 D.6.【答案】B【解析】设等比数列 q 的首项为4,公比为外4(2 _ q_ q2)=6 0qg(l _ q2)=1 8由题意可

12、得2 q-%一%=6 0，即%一。4 二 1 8整理得q(i_ q)(2+g)=6 o4夕(1一夕)(1 +4)=1 8解 得 夕=或4 =一、（舍去），4=4 8,所 以 生=。闷4=3.故选B.7.【答案】D【解析】如图，因为A 4 C D,而G。与平面B G Q相交，则A选项不正确;因为。P 8Q,B,P/CtQ,所 以 平 面 平 面B GQ，而平面Ag A与平面g O P相交，则B选项不正确；在矩形A gC O中，片。与 月。不垂直，即片。与平面片。P不垂直，则C选项不正确；设8 Q的中点为G,因为=所以G P _ L8Q,又因为 G P B G，BC,BtC ,所以 G P _ L

13、 g C，所以G P _ L平面g C。，所以平面500,平面g OP,则D选项正确.故选D.8.【答案】B【解析】程序运行如下：n ,a =；n 2,a=；n 3,a=；n 4,a=；7 7 7 7此程序的。值3个一循环.若输出的“的值为,，则输入的r的值为3 Mz e N*）.故选B.9.【答案】C【解析】如图，作正四棱柱AE 8E G C”。，使棱柱的顶点分别在圆柱的上、下底面圆上，ACc EG=O.由题意可知，A B =A G =2,A E =C,O A =O E =2由E G B。可知，NA OE即为直线4 c与 E)所成的角,1 0.【答案】A【解析】因为一2 x)为奇函数，所以l

14、 +2 x)=1 2 x),所以函数/(力 的图象关于点(1,0)对称，则|/(x)|的图象关于直线x =l对称.因为g(l +2 x)为偶函数，所以g(l-2 x)=g(l +2 x),所以函数g(尤)的图象关于直线x =l对称，所以(x)|+g (x)的图象关于直线x =1对 称.故 选A.1 1.【答案】A【解析】最大的数在第4组的概率4=卡4 =(2,3 1在前3组中，最大的数在第3组的概率乙=3 =,，6 22在前2组中，最大的数在第2组的概率2 12 2x1 x2 x3 x4 的概率 P =X X2 =x X.故选 A.1 2.【答案】D【解析】y=9,设切点为“0 b则上m =Q

15、,整理得考 一?o+a=e xn-a e 由题意知关于4的 方 程 至 普 有 三 个 不 同 的 解.设司=士/，/（上.。二 收2）,由 /（X）=。得x =。或 x =2 ,又a 0,所以当x a时，/（x）0,“X）单调递减,当a x0,“X）单调递增,当x 2时，/（x）0,/（x）单调递减.当x趋向于负无穷时，/（x）趋向于正无穷，当x趋向于正无穷时，/（x）趋向于零，因为“X）的图象与直线y =b有三个交点，4 （1所以即0 儿 2 4令%+；=&兀或 1 +：=+兀（%,女 2 Z）,M.7T._p.7T.则工二一+4兀或X=1 +&兀，令 网=0,则 工=?.故 可 填（：,

16、o（答案不唯一）.田上、/2 +/61 5.【答案】-2【解析】不妨设点尸在x轴的上方，因为P b_ Lx轴，丫2 2,2将尸点的横坐标4 =C代 入 会 一 方=1,得%,=亍=归可.由题意可知乙4尸3=90。，且|Q 4|=|尸邳=|尸耳，,2则 有 归 目=正。，即2=0 C,则&a c =/。2,即一五 1 =0,则 e=立 +逅 aJ a a 216.【答案】47 2【解析】解 法1：如图，作 板，AB于凡 D G J _ A 5于G,延长C O交A B于E,设Z A E D =6,点A到直线C D的距离为h.由题意可知，A b =OG =2,C D =a,则=A -s in e=(

17、A F+F G +G Es in 6 A F +C D c o s 0+-t an gs in 6=2 +t z co s 0 +=2 s in e+o s in 6 co s e+2 co s 6 =2 2 s in 6 +；)+s in 2。.当e=2时，取最大值2夜+0.4 2若木块可以旋转穿过隔断，则有2夜+0 4匕，2即26 a 2 4及，故处一。的最小值为4及.解法2：如图，设CD的中点为/，点A到直线CO的距离为,由题意可知AH=2 j 5,由NC7/=工，可 知 印=，C=.2 2 2则有 W4VA/7+H,当A”LCD时，两个等号同时成立，此时取最大值4 +/=2血+0.2若

18、木块可以旋转穿过隔断，则有即乃一a“正，2故 乃-a的最小值为4近.17.【答案】见解析【解析】（1）E 1 J tan A-tan B=-，cos Acos Br/口 sin A sin B sin C sin B可得-=-,cos A cos B cos A cos B整理得 sin Acos B-cos Asin B=sin C-sinB.则 sin Acos B-cos Asin B=sin（A+B）-sin B,即 sin Acos 5-cos Asin B=sin Acos B+cos Asin 3-sin B,故 sin 5=2 cos AsinB.由 sin 8 w 0,故 c

19、os A=,2又A e（0,兀），所以A=2.（2）设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,因为A=四，所以ABC的面积S=1bcsinA=Xbc=走，3 2 4 2所 以 乩=2.因为6C=a=2,由余弦定理/=Z2+/-2Z?CCOSA,得力2 +c2 bc-b+cy 3bc-4,所以 A8+AC=b+c=ViU.18.【答案】见解析【解析】（1）由题意可知AB_LAZ）,因为PAJ底面ABC。，ABu平面ABC,所以A5LAP,又A PcA D =A,所以A 3,平面AOP,又AB u平面A 8E,所以平面ABE_L平面AOP.（2）由题意可知ACO为等边三角形，且AB=8.连

20、接A C,作E E L A C于F,连接3凡则 有 防 A P,且 历，平面ABC。，因为AE=3 E,所以A尸=3尸，所以AF=C F,故E为CP的中点.以4为坐标原点，A B,A D,正的方向分别为x轴、），轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,八Zjlx（0,2,0）,E 设平面A B E的一个法向量演=（X，x，zJ,丽=便,0,0）,A E=卓;J，AB-n,=0 后=。则c 即6 1 ，可取4=（）,2,-1）.AE-=0 了 玉+弘 +4=0设平面CQ尸的一个法向量为=（X2，M，Z2），定=（百,L 2）,且1 .P（0,0,2）.75=（0,2,-2）,则一,L,即“

21、可取也年五PD-n2=0 2y2-2z2=0 v 则cos（居，无）=挛二 =田 叵，即所求角的正弦=J1 （巫=75x77 35、（35 J平面ABE与平面CQP所成二面角的平面角的正弦值为拽0 .3519.【答案】见解析【解析】（1）记事件A为“甲公司的方案使日核酸检测量增加不低于50%477035，事件8为“乙公司的方案使日核酸检测量增加不低于50%”，事件C为“至少有一家公司的升级方案使得日核酸检测量增加不低于50%”则C=A耳且4 8相互独立.由题意可知P（A）3 1 5I 二4 12 6P（C）=P（AB）+P（AB）+P（AB）=|x l-|l-x|+|x|=|）故至少有一家公司

22、的升级方案使得日核酸检测量增加不低于50%的概率为上.24（2）设采用甲公司的仪器和改造方案后日核酸检测量为X,采用乙公司的仪器和改造方案后日核酸检测量为随机变量丫的分布列为:y,随机变量X的分布列为：X1800900540P241n_63 1 1则 E（X）=1800 x +900 x +540 x =1515./4 12 6则 E（y）=1800 x；+1500 x；+U 00 x；=1550.Y180015001100PJ_2_4J_4故E（X）E（y）,应该选择乙公司的仪器.20.【答案】见解析【解析】（1）设椭圆C的半焦距为C,由 尸|=1,忸臼=3,可得a c=l,+c=3.则 Q

23、=2,C=1,Z?2=c2=3,所以 C 的方程为二十 2-=1 .4 3（2）由。的方程可知A（2,0）,3（2,0）,设P（4 j）,N（孙），则直线AM的方程为y=（x+2）,直线8N的方程为y=工（工一2）,由，y=k(x+2)2 2，得(2 7+产)/+4产X+4产1 0 8 =0,-F=11 4 3A =1 6/4-4(2 7+/2)(4/2-1 0 8)0,rc rlz 4 r-1 0 8 5 4-2/所以(-2)玉=-,则百=-.)1 2 7 +产 1 2 7 +广所以M5 4-2 r 1 8 r、2 7 +/2 7 +户)2/一6 -6t,同理可得N所以直线M N的方程为y

24、+6t 6t3+产 产一9(2-6X-z-13 +/即 了=一 詈31+詈3=-/9 3(1-1),故直线MN恒过右焦点尸(i,o).则有 4 F M N 的周长 L =|MF|+|NF|=MF +|MF+|NF +|NF=4 =8,所以 f TWN的周长为8.2 1 .【答案】见解析【解析】(1)设解(x)=x-l n j c-l,./(x)的定义域为(0,+8)，可知/(x)与尸(x)的零点相同.Fr(x)=l-=x-1,当xe(0,l)时，F(x)0,尸(x)单调递增,当x=l时F(x)取得最小值，且 尸=0,则 网X)有且只有1个零点,故“X)有且只有1个零点.(2)方法一：由如(无)

25、0,得-l-a(x-nx-x1)2 0,设g(x)=-l-a(x-l n x-l),则 g(l)=0,g(x)=-(x-l)x-x-1 /i -13 乙-。-=le-ax).X X x-v 7设G(x)=ex-x(x0),G(x)=ex-l,当xw(O,l)时，G(x)0,G(x)单调递增，则G(x)1G(l)=O,当a l 时，因为xw(0,+oo),所以-xNO.所以xe(0,l)时，g,(x)=l(-1-ar)0 ,g(x)单调递增，故g(x)在(0,4oo)上的最小值为g =0,即qf(x)0),则=1一l.当%(,l+lna)时,(x)0,单调递减，J%(尢)/?0.故九(l+lna

26、)时，g(、)=vo)0，g(九)单调递减，而g(l)=0,即无(l,l+ln)时，g(x)0,故qf(x)KeT 不成立.综上，。的取值范围为(80,1.(2)方法二：ax(x-lnx-l)ev-1-x 4 Z(x In x-1)0.则 af(x)ex-x a t er-I对于t 2 0恒成立.令(%)=一一1 .则”(r)=d-a,(0)=1-a.i.若IQNO,即41时,，川(，)2 1-。2 0恒成立，力)单调递增./2(r)/?(o)=o符合题意.2.若 1。1 时，令/(/)=0,则f=ln。.则/e(O,lna)时,)递减，/2(lna)0,?2 0,因为1 PAi=2|PB|,则 有/不，当“a =b”时等号成立.则出?4 1,故 1一。2。22 0,所以 一_-0,/-2 .1 W 1,2.1 所 以 一 一+一 一21.当“a =b”时，等号成立.a2+l b2+