2021-2022学年山东省潍坊市高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

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1、2021-20222021-2022 学年山东省潍坊市高二上学期期末数学试题学年山东省潍坊市高二上学期期末数学试题一、单选题一、单选题1直线 x-y+1=0 的倾斜角是（）A30【答案】B【分析】由直线方程求得直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求解B45C135D150（0 180）【详解】直线x y 1 0的斜率k 1，设其倾斜角为，tan1，得 45故选 B【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础的计算题2在二项式12x的展开式中，含x3的项为（）A32x3【答案】A【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于 3，求得r的值，即可求得含x3的项rrr【详解】解：二

2、项式12x的展开式的通项公式为Tr1 C42 x，4B16x3C8x3D4x34令r 3，故开式中含x3项为C4323 x3 32x3，故选：A3已知，是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列一定能得到l 的是（）Alm，mC，l【答案】A【分析】根据线面垂直的定义和空间直线垂直平行的性质即可判定A 正确，举反例可判定 BCD 错误.A.若m，l与平面【详解】则直线m与平面内的所有直线都垂直，又lm，内的所有直线都垂直，根据线面垂直的定义可得l，故 A 正确；Bl m，mDl m，l n，m，n 第 1 页 共 19 页B.若m，设过m的平面与交于n，则根据线面平行的性质定理可得m/

3、n，在平面内，作直线l n,则l m，而此时l在平面内，故 B 错误；C.若，设=a，在平面内作直线l/a，则l，由线面平行的判定定理可得l，而此时l在平面内，故 C 错误；D.若l m，l n，m，n ，当m,n平行时，l与平面可平行，可在内，也可斜交，也可垂直，故 D 错误.故选：A.4现从甲、乙等 7 名大学生中选出 3 人担任北京冬奥会的志愿者，要求甲、乙至少1人入选，则不同的选法共有（）A10 种【答案】C【分析】利用组合数计算总的选法种数和甲、乙都不入选的选法种数，作差即得所求.33【详解】从 7 人中选 3 人,有C7 35种选法，其中甲、乙都不入选的有C510种选法，B20 种

4、C25 种D35 种所以要求甲、乙至少 1 人入选，则不同的选法共有3510 25种,故选：C第 2 页 共 19 页5 已知直线l1:m2xm2y20，直线l2:3xm2y5 0，若l1 l2，则m（）A2 或5【答案】D【分析】直线A1x B1y C1 0与直线A2x B2y C2 0垂直的充要条件是A1A2 B1B2 0，根据题意即可得到：3m2m2m20，然后解得结果即可【详解】根据题意，由l1 l2，则有：3m2m2m2 0解得：m 2或m 5故选：D6牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为64cm2和36cm

5、2的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点A，在内球表面上有一点B，连接 AB，则线段 AB长度的最小值是（）B2 或5C2 或 5D2 或 5A1cm【答案】AB2cmC3cmD41cm【分析】利用球的表面积公式分别求的外球和内球的半径，两半径之差即为所求.【详解】设外球和内球的半径分别为R和r,则4R2 64,4r2 36,解得R 4,r 3,当 B 在大球的过 A的半径上时 AB的长最小，AB长度的最小值是Rr 1cm,故选：A2227过等轴双曲线x y aa 0的右焦点 F 作两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若FMN的面积为 2，则 a 的值为（）A2【答案】B第 3 页

6、 共 19 页B2C2 2D4【分析】求出过右焦点 F与y x垂直的直线，然后与渐近线方程联立，求出点M的坐标，根据对称性得点N 的坐标，则可得表示出FMN的面积，然后解方程即可.x2y2【详解】双曲线为221，右焦点Faa2a,0，由已知双曲线的一条渐近线方程为y x，则过右焦点 F 与y x垂直的直线为y x2a，x y x联立，解得y x2ay 2a22a22222Ma,aNa,a不妨取2，则根据对称性得2，22S122 2aa 2aa 22222 FMN解得a 2故选：B.8如图，某系统由 A，B，C，D 四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，B，C，D正常工作的概率都为p0

7、p 1，且零件 A，则该系统正常工作的概率为（）2A11 pp p2C11 p1 pp21 p 1 pBp211 pppD【答案】C【分析】要使系统正常工作，则A、B 要都正常或者 C 正常，D 必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算.【详解】记零件或系统X能正常工作的概率为PX，该系统正常工作的概率为:P ABCD PABCPD1 P AB PCPD 1PABPCPD2 11 PAB1 PCPD1 1 p1 pp,故选：C.二、多选题二、多选题第 4 页 共 19 页22229 已知圆O1:x y 1的半径为r1，圆O2:x y 3x4y 4 0的半径为r2，则（）Ar1 r2C圆

8、O1与圆O2外切【答案】BC【分析】根据圆与圆的位置关系即可求解.Br1 r2D圆O1与圆O2外离392【详解】解：圆O1:x y 1的半径为r11，圆O2:xy2的半径为24222r23，故r1 r2,故 B 对，A 错；2252 3圆心距d 020 r1r2，故圆O1与圆O2外切，故 C 对，D 错；22故选：BC.10若1 x2022 a0a1xa2x2 a2022x2022，则（）A展开式中所有的二项式系数之和为22022B展开式中二项式系数最大的项为第1012 项Ca01Da1a2a3 a2022 0【答案】ABC【分析】利用二项式系数的性质可以判定AB;利用赋值法可以判定CD.01

9、20222022【详解】展开式中所有项的二项式系数和为C2022C2022 C2022 2,故 A 正确；展开式中第 1012 项的二项式系数为C2022，是所有项的二项式系数中的最大值，故B 正确；在二项式展开式中，令x 0可得a01，故 C 正确；令x 1可得a0a1 a2022 0,a1 a2022 a0 1,故 D 错误.故选：ABC211如图，已知抛物线y 2pxp 0的焦点为 F，过点 F 且斜率为3的直线与抛物1011线交于两点 A，B，与抛物线的准线交于点D，BF 1，则（）第 5 页 共 19 页ABD 2C点 A 到准线的距离为 2【答案】ABDBp 32D点 F 为线段

10、AD的中点【分析】作AC 准线 l于点 C，AM x轴于 M，BE准线 l于点 EBH x轴于 M，计算得到p 3，逐项分析，得到答案.2【详解】如图所示：作AC 准线 l于点 C，AM x轴于 M，BE准线 l于点 EBH x轴于 M，直线的斜率为3，所以tanHFB 3,HFB 正确；又BF 1，3,所以BDE 6，故|DB|2|BE|2|BF|2，故 A13p13HF,HB,B,22222代入抛物线，得p 31（p 舍去），故 B 正确；223 3，与抛物线方程联立得：4对于 C，由 B 选项得，直线 AB方程为：y 3xx291599x 0，即xx 0，故xA,442164第 6 页

11、共 19 页故点 A到准线的距离为p xA 3，故 C 错误；2对于 D,由 C 选项得,AF 3 FD,点 F 为线段 AD的中点,故 D 正确.故选：ABD12如图，点 P在棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1的对角线BD1上运动，过点 P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于E，F 两点设BP x，EF fx，则（）A动点 E运动形成的轨迹长度为5B线段 EF运动形成的图形面积为6232Cf44D当32 6 x 3时，fx233 x【答案】ABD【分析】作出线段 EF 运动形成的图形，根据图形特点对选项一一判断即可【详解】线段 EF运动形成的图形如图所示：动点 E运

12、动形成的轨迹长度为BE ED1 2 115，故 A 正确；4线段 EF运动形成的图形为平行四边行BED1F其面积为S 2SBEF1136，故 B 正确；2EF BP 2222223当BP，则4312f2，故 C 错误；4223当 x 3时，有23 xEF2 632，则fx EF 323 x，故 D 正确；故选：ABD第 7 页 共 19 页三、填空题三、填空题23C4_13计算：A4【答案】16【分析】根据排列数和组合数的公式计算即可.23【详解】A4C4 43 4 16故答案为：16.14已知向量a 1,2,3，b 1,3,6，若ab，则实数 _【答案】1【分析】由题意可知123，解方程，即

13、可求出结果.136123，所以 1.136【详解】因为ab，所以故答案为：1.15甲、乙、丙、丁、戊五名学生参加“劳动技术比赛”，决出第一名到第五名的名次，甲、乙、丙去咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是亚军，乙不是五人中成绩最好的，丙不是五人中成绩最差的，而且五人的成绩各不相同”则他们五人不同的名次排列共有_种情况（用数字填写作答）【答案】14【分析】由题意，可分两类，丙的成绩是最好的和丙的成绩不是最好的，根据分类分步计数原理可得3【详解】解：若丙的成绩是最好的，则有A3 6种，若丙的成绩不是最好的，从甲乙丙之外的 2 人中选 1 人为成绩最好，再选一人为成绩最112差的，其它任意排，故有A2

14、A2A28种，故共有6814种，故答案为：14第 8 页 共 19 页16如图所示，底面半径为3，高为 8 的圆柱内放有一个半径为3 的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面与球相切于点 F，若平面与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线 C，且 C是以 F为一个焦点的椭圆，则C 的离心率的最大值为_【答案】817【分析】根据题意，找到椭圆离心率最大的位置点是关键，要保证该椭圆是以切点F为焦点，则需要新加一个相同大小的球从圆柱上方放入，使得平面也与该球相切，最后通过建立平面直角坐标系，求得椭圆的离心率【详解】第 9 页 共 19 页根据题意，可再新增一个半径为3 的球从圆柱上方放入，设平面分

15、别交两个球于点F1和点F2，则可得：点F1和点F2是椭圆的两个焦点当且仅当G2在圆柱上平面上时，此时椭圆的离心率取得最大值如上图所示，G2C为圆柱的高，O1F1为球的半径，则F1F2为2c，G1G2为2a，然后建立y轴的平面直角坐标系，以A1为坐标原点，以A1E1为x轴，以AG12为易知：G2A1835，O1F123圆O1的方程为：x3 y29设直线G1G2的斜率为k，则该直线的方程为：y kx5根据相切可知：点O1到直线G1G2的距离为3第 10 页 共 19 页则有：3k521k3解得：k 815故直线G1G2的方程为：y则有：G16,则G1G2因O1F1958x1552a34515x83

16、G1G2，则直线O1F1的方程为：y8y x515联立直线G1G2和直线O1F1的方程：15y x38可解得：F1则G1F175 45,17 17ac958解得：c 5故椭圆的最大离心率为：e故答案为：ca817817【点睛】立体几何与圆锥曲线相结合的题目，难度较大，可先将立体几何转化为平面几何进行分析，进而简化问题，然后运用平面几何的知识求解问题.四、解答题四、解答题x2y217已知双曲线C:21a 0的左、右两个焦点分别为F1，F2，焦距为8，M 是a12双曲线上的一点(1)求 C 的离心率和渐近线方程；(2)若MF15，求MF2【答案】(1)e2，y 3x(2)MF29【分析】（1）由已

17、知直接求 a、b、c，再求离心率和渐近线方程；（2）根据双曲线定义直接求解，注意双曲线上的点到焦点的最小距离为ca.(1)由题知：b 2 3，c 4第 11 页 共 19 页所以a c2b2 2所以双曲线 C 的离心率e2，渐近线方程为y 3x.(2)由双曲线定义知：MF1 MF2 2a 4MF15 MF29，或MF21又1ca 2，故MF21不满足 MF29.18如图所示，在RtAOB中，OAB 6，斜边AB 4现将RtAOB以直角边 AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点 C 为圆锥底面圆周上的一点，且BOC 段 AB的中点2，点 D 是线(1)求直线 CD与 OA 所成角的余弦值；(2)求点

18、B到平面 OCD的距离【答案】(1)(2)3【分析】（1）取 OB 中点 M，连接 DM，则可得CDM为直线 CD与 OA 所成角或其补角，在CDM中计算其余弦值即可；（2）过 B 作BN OD交 OD于 N，通过证明BN 面OCD可得线段BN的长即为点 B到平面 OCD的距离，在ODM中计算BN的长度即可.(1)取 OB中点 M，连接 DM，CM,第 12 页 共 19 页64因为 D,M 分别为 BA，BO的中点，则DM/AO则CDM为直线 CD与 OA所成角或其补角，因为AO面O,则DM 面O，又 CM面O，则DM CM,BOC 2，CM OC2OM2221 5，又DM 113AO 43

19、,222CD CM2 DM28cosCDM DM36,CD486；4即直线 CD与 OA 所成角的余弦值为(2)过 B 作BN OD交 OD于 N，CO OB,CO OA,OBOA O，CO 面OAB，又BN 面OAB，CO BN，又BN OD,COOD O，BN 面OCD，则线段BN的长即为点 B到平面 OCD的距离，SOBD 2 3 2BN，BN 3.即点 B到平面 OCD的距离为3.【点睛】19如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中 1 号箱装有 1个黑球和 3 个白球，2 号箱装有 2 个黑球和 2 个白球，3 号箱装有 3 个黑球，这些球除颜色外完全相同小明先从三个箱

20、子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事第 13 页 共 19 页件Aii 1,2,3表示“球取自第 i号箱”，事件 B表示“取得黑球”(1)分别求PBA1，PBA2，PBA3和PB的值；(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由【答案】(1)PBA11117，PBA2，PBA3，PB.121263(2)来自 3 号箱的概率最大,理由见解析.PBA2，【分析】（1）利用条件概率公式PBAi PAiP(B|Ai),计算即可求得PBA1，PBA3；三式求和即得PB；（2）利用条件概率公式分别计算PA1|B，PA2|B，PA3|B，最大者即为所求箱号.(1)1由已知

21、可得PA1 PA2 PA3,3123PB|A1,PB|A2,PB|A3,443111PBA1 P(A1)P(B|A1)，3412121PBA2 P(A2)P(B|A2)，346131PBA3 P(A3)P(B|A3)，333PB PBA1 PBA2 PBA3(2)1117.126312111PA3B34PA2B62PA1B121，PA3|B，PA1|B，PA2|B777777PBPBPB121212PA3|B最大，即若小明取出的球是黑球，该黑球来自3 号箱的概率最大.220已知抛物线C:y 2pxp 0的焦点为 F，点Mp1,p在抛物线 C 上(1)求抛物线 C的方程及其准线方程；(2)过点

22、M 的直线 l与抛物线 C 相交于 M，N两点，且MFN的面积为 3，求直线 l的方程第 14 页 共 19 页【答案】(1)y2 4x；x 1(2)2x3y4 0或2x y4 0【分析】（1）将点M代入计算即可；（2）设直线 l的方程为x ky21，Nx0,y0，与抛物线方程联立，消去x，可求出y0，再求出直线与x轴交点坐标，再利用SMFN(1)2由已知得p 2pp1，解得p 2.12 y0FQ列方程求解即可.2所以抛物线 C 的方程为y2 4x，其准线方程为x 1;(2)由（1）得M1,2，F1,0，设直线 l的方程为x ky21，Nx0,y0，2y 4x联立，消去x得y24ky 8k 4

23、 0，x ky 212 y0 4k，则y0 4k 2又直线 l与x轴交点坐标为Q2k 1,0，SMFN解得k112 y0FQ 24k 2 2k 11 32213或k 22所以直线 l的方程为x 31y21或x y21，22即2x3y4 0或2x y4 0.21ADBC，AB AD，如图，在多面体ABCDEF中，平面ACEF 平面ABCD，AD 2，AB BC 1第 15 页 共 19 页(1)求证：CD AF；(2)若四边形 ACEF为矩形，且EDC 30，求直线 DF 与平面 DCE所成角的正弦值；(3)若四边形 ACEF为正方形，在线段 AF上是否存在点 P，使得二面角PBD A的余2弦值

24、为？若存在，请求出线段AP的长；若不存在，请说明理由3【答案】(1)见解析(2)217(3)存在，AP 1【分析】（1）利用直角三角形和余弦定理及勾股定理的逆定理经过计算可证得ACCD,然后根据已知条件，利用面面垂直的性质定理可证得CD平面 ACEF,从而证得结论；（2）根据已知条件利用面面垂直的性质定理可证得AF,AB,AD两两垂直，以A为原点，以射线 AB、AD、AF 为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系.然后利用空间向量运算求得；（3）与（2）同样建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解.(1)ADBC，AB AD，四边形 ABCD为直角梯形，又AB BC 1，BAC=45，AC

25、=2，CAD=45，又AD=2,CD=AD2 AC22AD?ACcosCAD 42222AC2CD2 AD2,AC CD,又平面 ACEF平面 ABCD,平面 ACEF 平面 ABCD=AC,CD平面 ABCD,CD平面 ACEF,又AF平面 ACEF,CDAF第 16 页 共 19 页222(2)四边形 ACEF为矩形，AFAC,又平面 ACEF平面 ABCD,平面 ACEF平面 ABCD=AC,AF平面 ACEF,AF平面 ABCD,CE平面 ABCDAF,AB,AD两两垂直，以 A 为原点，以射线 AB、AD、AF为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系如图所示.AF平面 ABCD,AF/

26、CE,CE平面 ABCD，=2又EDC 30，CE=CDtan30A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(2,0,0),F(0,0,36,3366),E(1,1,),336DF 2,0,由 ACCE,ACCD,CECD=C,AC平面 CDE,3平面 CDE的法向量为AC 1,1,0,ACDF221764119直线 DF与平面 CDE所成的角的正弦值为ACDF(3)若 ACEF为正方形，则与（2）同理可得AF,AB,AD两两垂直，以A为原点，以射线AB、AD、AF为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系.A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(2,0,0),F(

27、0,0,2),E(1,1,2),设P0,0,t(0t 2),平面 PBD的法向量为n x,y,z2xtz 0PD 2,0,t,BD 2,1,0,则,令x t,则y 2t,z 2,n t,2t,2,2x y 0平面 ABD的法向量为m0,0,1,cosm,n 2t24t2412,解得t 1，32在线段 AF上存在点 P，使得二面角PBD A的余弦值为，线段 AP的长为 1.3第 17 页 共 19 页22如图，已知圆F1:x3 y2100，动圆 P 过点F23,0且与圆F1内切于点 N，2记动圆圆心 P 的轨迹为 E(1)求 E 的方程；(2)过点Mm,0m 5的直线 l（不与 x轴重合）与 E

28、交于 A，B两点，点 C 与点 B 关于 x轴对称，直线AC与 x轴交于点 Q，已知点D5,0，试问若是，请求出该定值，若不是，请说明理由x2y2【答案】(1)12516MD DQ是否为定值？MD DQ1(2)是定值，为.5【分析】（1）设动圆圆心P的坐标为x,y，动圆 P 的半径为r，根据条件可得PF1 PF210，故动圆圆心 P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆，根据椭圆定义即可求出轨迹方程；第 18 页 共 19 页（2）设直线l的方程为x kym,m 5，A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x2,y2)，与椭圆方程联立，然后利用韦达定理求出直线AC与 x 轴交于点 Q 的坐标，直接计

29、算即可得答案.(1)设动圆圆心P的坐标为x,y，动圆 P 的半径为r，则由已知PF2 r，PF110r，消去r得PF1 PF210，x2y2故动圆圆心 P 的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆，设为221,a b 0，abMD DQMD DQ则2a 10，a 5，b2 259 16x2y2则 E 的方程为1；2516(2)设直线 l的方程为x kym,m 5，A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x2,y2)x kym联立2，消去x得(16k225)y232kmy 16m2400 0，216x 25y 40032km16m2400y1 y2,y1y2，16k22516k225y1 y2(x x1)y1又直线 AC 的方程为y x1 x2令y 0，得x y1x2 y2x1y1(ky2m)y2(ky1m)2ky1y2m(y1 y2)y1 y2y1 y2y1 y216m240032km2km 16k22516k22525，32kmm216k 25 25即Q,0，mMD DQMD DQ1111m51DQMD525m55m55m55mMD DQ1是定值，且为.MD DQ5第 19 页 共 19 页